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30、反函数与对数运算(含答案)


对数运算及反函数
一、知识与方法 1、对数的运算法则(将高一级运算向低级运算转化) (1) log a MN ? log a M ? log a N (3) log a M
n

? n log a M

M ? log a M ? log a N N 1 (4) log a n M ? log a M n

2) log a

2、一个正数的对数是由首数加尾数组成的 3、几个常用的对数结论

log a 1 ? 0

log a a ? 1

log a a n ? n

a loga b ? b

log a m a n ?

n m

l o gm b n ? a
log c b lg b ? log c a lg a

n lo gb a m

l o gb?l o ga ?1 a b

4、换底公式: log a b ? 5、常用对数与自然对数

6、对数的运算:以同底为基本要求,注意质因数分解,未知数在指数位置即为求对数 7、研究反函数是否存在:从函数的单调性出发 8、反函数的定义域:与原函数的值域相同,必须研究原函数值域求得 9、求反函数的基本步骤,分段函数的反函数分段求得 10、原函数与反函数的图像关于 y ? x 对称 11、 f f

?

?1

?x ?? ? x ?x ? R f ?

f

?1

? f ?x ?? ? x ?x ? D ?

12、反函数具有保奇性,并且保持单调性不变 13、函数 y ? f ?x ? a ? 与 y ? f
?1

?x ? a ? 不是互为反函数关系

14、互为反函数的公共点不一定在 y ? x 上 二、练习 1、若 2log a ( M ? 2 N ) ? log a M ? log a N ,则 2、计算:① log 2

M 的值为__________ N


2

8 ? _______ ② 3 2?log9 2 =________
2

2

log2 3?1

=____________
2

④ lg 20 ? lg 2 ? _____

⑤ lg 2 ? 2 lg 2 ? lg 5 ? lg 5 ? ________

⑥ lg 0.01 ? lg 1000 ? lg 20 ? lg ⑦ log
2 ?1

? 3 ? 2 2 ? ? ___________ ⑧ lg 25 ? lg 2 lg 50 ? (lg 2)
? 1 2

1 ? ______ 2

2

? _____

3、已知 log 7 [log 3 (log 2 x)] ? 0 ,那么 x 4、计算: log 1 b ? log a
a

等于__________

1 之值为__________ b

5、若 x log 3 4 ? 1 ,则
a

23 x ? 2?3 x 的值是_______________ 2 x ? 2? x

6、已知 3 ? 2 ,那么 log3 8 ? 2log3 6 用 a 表示是__________ 7、若 log a 2 ? m,log a 3 ? n, a 8、已知 3 ? 5 ? m ,且
a b
2 m? n

?

1 1 ? ? 2 ,则 m 之值为 __________ a b

9、如果方程 lg x ? ?lg 5 ? lg 7 ? lg x ? lg 5 ? lg 7 ? 0 的两根是 ? , ? ,则 ? ? ? 的值是________
2

10、求下列函数的反函数 (1)y= ? x (x ? 0) (3) y ?
1 ? 2x 1 ( x ? R, 且x ? ? ) 1 ? 2x 2
?1

(2) y ? ? x ? 4 x
2

( x ? ?3)

(4) y ? ?

?x 2 ?? 3 x

?x ? 0? ?x ? 0?
f ( x ? 5) 的图象经过点_______

11、若函数 y ? f 12、已知函数 y ?

,则函数 y ? ? x ? 的图象经过点(-2,0)

1 1 x ? m 与 y ? nx ? 互为反函数,则 m ? __________, n ? ________ 2 3 x ?5 13、已知函数 f ( x) ? 的图象关于直线 y ? x 对称,则 m ? _________ 2x ? m
14、若点(4,3)既在函数 y ? 1 ? ax ? b 的图象上,又在它的反函数的图象上,则这个函 数的解析式为___________ 15、已知 f ( x) ? 1 ? 16、已知 f ( x ) ?

x ? 1 的反函数为 f ?1 ( x) ,则 f ?1 (?2) 的值为___________
(1)求 f
?1 ?1 ( x) ; (2)求 f ( x) 值域; (3)判断 f ( x) 的奇偶性

2 x ? 2?x 2 ?2
x ?x

17、函数 f ? x ? 的定义域为 R ,对任意 a ? R , y ? f

?1

?x ? a ? 的反函数为 y ? f ?x ? a ? ,

(1)若 f ?1? ? 2 ,求 f ?2 ? 的值; (2)判断函数 f ? x ? 单调性,并加以证明

30、反函数与对数运算

1、 4

2、 (1) 2 (2) 9 2 (3)

6 1 (4) (5) 1 (6) 2 (7) ? 2 (8) 2 2 2
7、 12 8、 15 9、

3、

2 4

4、 0
2

5、

7 3

6、 a ? 2

1 35

10 ( 1 ) y ? ? x ?x ? 0? ( 2 ) y ? ?2 ? 4 ? x ?x ? 3? ( 3 ) y ?

1? x ?x ? ?1? ( 4 ) 2x ? 2

?? x ? y?? x ?? ? 3
11、?? 5,?2 ?

?x ? 0? ?x ? 0?
12、m ?

1 ,n ? 2 6

13、m ? ?1

14、 y ? 1 ?

24 ? 5 x

15、

8
16、 (1) f
?1

( x) ? log 2
?1

x ?1 ?x ? ?1orx ? 1? (2) ?? ?,?1? ? ?1. ? ?? (3)奇函数 x ?1

17、 (1) y ? f

?x ? a ? 的反函数为 y ? f ?x? ? a ,则 f ?x ? a ? ? f ?x? ? a ,令 x ? a ? 1 ,

则 f ?2? ? f ?1? ? 1 ? 1 (2)任取 x1 ? x2 ,可得: f ?x2 ? ? f ?x1 ? ? x1 ? x2 ? 0 ,则 f ? x ? 为减函数


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