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安徽省安庆一中安师大附中2014届高三1月联考数学文


安庆一中、安师大附中高三 2014 年 1 月联考 数学(文)试卷
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共计 50 分。在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1、已知全集 U=R,集合 A={x|1<x≤3},B={x|x>2},则 A ?C U B 等于( A.{x|1<x≤2} B.{x|1≤x<2} C.{x|1≤x≤2} D.{x

|1≤x≤3} )

2、已知复数 z1 ? 1 ? i, z2 ? 1 ? i, 且 A. 2 B. 2i C. ?i

1 1 1 ? ? ,则复数 z 等于( z z 2 z1
D. i

)

3、如图给出的是计算

1 1 1 1 的值的程序框图,其 ? ? ? ??? ? 2 4 6 2014

中判断框内应填入的是( ) A. i ? 2014 B. i ? 2014 C. i ? 1007 D. i ? 1007 4、已知定义在 R 上的函数 f ? x ? ,则命题 p:“ f ? ?2 ? ? f ? 2 ? ”是 命题 q:“ y ? f ? x ? 不是偶函数”的( A. 充分不必要条件 C. 充要条件 )

B. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件

5、已知命题 P : ?x ? R ,使得 A. ?x ? R ,使得

x?2 ? 0 ,则命题 ?P 是( x

)

x?2 ?0 x x?2 C. ?x ? R ,都有 ? 0或x ? 0 x

x?2 ?0 x x?2 D. ?x ? R ,都有 ? 0或x ? 0 x
B. ?x ? R ,都有
2 2

6、 一个直棱柱被一个平面截去一部分后所剩几何体的三视图如 图所示,则该几何体的体积为( ) A.9 B.10 C.11 D.

23 2
正视图

3

? 个单 2 位,若所得的图象与原图象重合,则 ? 的值不可能等于( )
7、将函数 f ( x) ? cos? x ?

3 sin? x 的图象向左平移

侧视图

A.4

B.6

C.8

D.12
本卷第 1 页(共 7 页) 1 1 俯视图 第 6 题图

8、已知A(3,0),B(0,4),若圆M: x ? y ? r (r ? 0) 上有且仅有两点C使 ?ABC 面积等于
2 2 2

5 , 2

则实数 r 的取值范围是( A. (1, 3) B. ( ,

) C. (

7 12 ) 5 5

12 17 , ) 5 5

D. ( ,

7 17 ) 5 5

?x ? 2 y ? 6 ? 0 ? 9、已知实数 x 、 y 满足条件: ? x ? y ? 3 ? 0 ,则 z ? x ? 1 ? y ? 1 的取值范围是( ?2 x ? y ? 0 ?
A. [1, 3) B. [0, 4) C. [1, 4) D. [0,3)

)

10、 已知点 P 在以 O 为圆心、 半径为 1 的扇形区域 AOB (含边界) 内移动,?AOB ? 90? ,E、 F 分别是 OA、 OB 的中点, 若 OP ? x AF ? yBE 其中 x, y ? R ,则 x ? y 的最大值是(
2 2

??? ?

??? ?

??? ?

)

A.

4

B. 2

C.

20 9

D.

8

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共计 25 分。 11、角 ? 终边上一点 M( x , ? 2 ) ,且 cos ? ?
2

x ,则 sin ? = 3
__ ;

__



12、若抛物线 y ? ax 的焦点坐标为(0,1),则 a =

13、已知函数 f ( x) ? lg x ? x ? 10 的零点在区间 (k , k ? 1) 上, k ? Z ,则 k ?

__



14、在 ?ABC 中, AB ? 4, AC ? 2 , M 是 ?ABC 内一点,且满足 MA ? MB ? MC ? 0 ,则

???? ???? ???? ?

?

AM ? BC =

__



15、给出下列四个命题: ① 函数 f ( x) ? 3 sin( 2 x ? ② 若 a ? b ? ?1 ,则

?
3

) 的图象关于点 (?

?
6

,0) 对称;

a b ? ; 1? a 1? b ③ 存在唯一的实数 x ,使 x 3 ? x 2 ? 1 ? 0 ;
④ 已知 P 为双曲线 x 2 ?

y2 ? 1 上一点, F1 、 F2 分别为双曲线的左右焦点,且 PF2 ? 4 ,则 9

PF1 ? 2 或 6 。
其中正确命题的序号是 __ ;

本卷第 2 页(共 7 页)

三、解答题: 本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16 、 (本小题 12 分)已知函数 f ( x) ? 2sin(? x ? ? )(0 ? ? ? π, ? ? 0) 为偶函数,且函数

y ? f ( x) 图象的两相邻对称轴间的距离为 ? .
(1)求函数 y ? f ( x) 的解析式; (2)已知△ABC 中角 A、B、C 所对的边分别是 a、b、c ,且 f ( A ? 求 sin C 的值. 17、 (本小题 12 分)在某高校自主招生考试中,所有选报 II 类志向的考生全部参加了“数 学与逻辑”和“阅读与表达”两个科目的考试, 成绩分为 A,B,C,D,E 五个等级. 某考场考生 的两科考试成绩数据统计如下图所示, 其中“数学与逻辑”科目的成绩为 B 的考生有 10 人. (1)求该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩为 A 的人数; (2)若等级 A,B,C,D,E 分别对应 5 分,4 分,3 分,2 分,1 分,求该考场考生“数学与 逻辑”科目的平均分; (3)已知参加本考场测试的考生中,恰有两人的两科成绩均为 A. 在至少一科成绩为 A 的考 生中,随机抽取两人进行访谈,求这两人的两科成绩均为 A 的概率.

?
6

)?

6 , c ? 2a , 5

频率

科目:数学与逻辑

频率

科目:阅读与表达

0.375
0.250 0.200

0.375

0.150

0.075
等级

0.025
等级
?

18、 (本小题 12 分)已知 S n 为数列{ a n }的前 n 项和,且 2 a n ?1 ? S n , n ? N (1)求数列{ a n }的通项公式; ( 2 )若数列 ?bn ? 满足

n ? N * ,求 ?bn ?的前 n 项和 Tn

b b1 b2 b3 n ? ? ?? ? n ? n ? n , a1 a2 a3 an 2

P

19、 (本小题 12 分)如图,在四棱锥 P ? ABCD 中, PA ? 底面 ABCD , AB ? AD , AC ? CD , ?ABC ? 60? , PA ? AB ? BC , E 是 PC 的中点。 (1)求证: PD ? 面ABE ; F ?面 P A B (2) 在线段 PD 上是否存在点 F , 使C ?若存在,
本卷第 3 页(共 7 页)

E A

D

B C

指出点 F 的位置,并证明;若不存在,请说明理由。

20、 (本小题 13 分)已知椭圆 C:

y 2 x2 6 ,且椭圆 C ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的离心率为 e ? 2 3 a b

上的点到点 Q(2,0) 的距离的最大值为 3. (1)求椭圆 C 的方程。 (2)已知过点 T(0,2)的直线 l 与椭圆 C 交于 A、B 两点,若在 x 轴上存在一点 E ,使 ?AEB ? 90? ,求直线 l 的斜率 k 的取值范围. 21、 (本小题 14 分)已知函数 f ( x) ? ln x ? ax ? 2 在点 (1, f (1)) 处的切线与直线

l : x ? y ? 1 ? 0 垂直,
(1)求实数 a 的值和函数 f ( x) 的单调区间; (2) 若 g ( n) ? 1 ?

1 1 1 ? ? ? ? ,h(n) ? ln n ,数列 ?an ? :an ? 2 g (n) ? h(n) ,求实数 m 2 3 n
*

的取值范围,使对任意 n ? N ,不等式 an ? log 2 m ? 4log m 2 ? 1 恒成立

安庆一中、安师大附中高三 2014 年 1 月联考 数学(文)答案
一、选择题: 1 2 A C 二、填空题: 11、 ? 3 B 4 A 5 D 6 C 7 B 8 D 9 C 10 A

2 3

12、

1 4

13、9

14、-4

15、②③

三、解答题: 16、 (本小题 12 分) 解: (1)由已知函数 f ( x) 周期为 2? . ?? ? 1 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·2 分 又当 x ? 0 时 f (0) ? 2sin ? ? ?2 ,?? ?

?
2

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·5 分

本卷第 4 页(共 7 页)

所以 f ( x) ? 2sin( x ? (2) f ( A ?

?
2

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·6 分 ) ? 2cos x ·

? 6 ? 3 ) ? 2cos( A ? ) ? ,? cos( A ? ) ? 6 6 5 6 5 ? ? 7? ? 4 又由于 ? A ? ? ,? sin( A ? ) ? · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·8 分 6 6 6 6 5
? ? 3 ? 1 ? 4 3 ?3 ? sin A ? sin[( A ? ) ? ] ? sin( A ? ) ? cos( A ? ) ? · · · · · · · · ·10 分 6 6 2 6 2 6 10
? sin C ? c sin A 4 3 ? 3 ? · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·12 分 a 5

?

17、 (本小题 12 分) 解: (1)因为“数学与逻辑”科目中成绩等级为 B 的考生有 10 人, 所以该考场有 10 ? 0.25 ? 40 人· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·2 分 所 以该考 场考生 中“ 阅读与 表达” 科目 中成绩 等级为 A 的人数 为

40 ? (1 ? 0.375 ? 0.375 ? 0.15 ? 0.025) ? 40 ? 0.075 ? 3 , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·4 分
(2)该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分为 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·7 分 1? 0.2 ? 2 ? 0.1 ? 3 ? 0.375 ? 4 ? 0.25 ? 5 ? 0.075 ? 2.9 · (3)因为两科考试中,共有 6 人得分等级为 A,又恰有两人的两科成绩等级均为 A, 所以还有 2 人只有一个科目得分为 A, 设这四人为甲,乙,丙,丁,其中甲,乙是两科成绩都是 A 的同学,则在至少一科成绩等级 为 A 的考生中,随机抽取两人进行访谈,基本事件空间为

? ? { {甲,乙},{甲,丙},{甲,丁},{乙,丙},{乙,丁},{丙,丁} } ,有 6 个基本事件
设“随机抽取两人进行访谈,这两人的两科成绩等级均为 A”为事件 B,所以事件 B 中包 含的基本事件有 1 个,则 P ( B ) ? 18、 (本小题 12 分)

1 . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 12 分 6

2a1 ? 1 ? S1 ? a1 ? 1. · 解: (1) 当n ? 1时, · · · · · · · · · · ·1 分
当n ? 1时,a n ? s n ? s n ?1 ? (2a n ? 1) ? (2a n ?1 ? 1) ? 2a n ? 2a n ?1 ? a n ? 2a n ?1 · · ·4 分
· · · · · · · · · ·6 分 ? {a n }是首项为a1 ? 1公比为q ? 2的等比数列,a n ? 2 n ?1 , n ? N * . · b 1 1 (2) 当n ? 1时,1 ? ,? b1 ? · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·7 分 a1 2 2 b b b b b b b b n n ?1 当n ? 1时, 1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ? n ? n , 1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ?1 ? n ? 1 ? n ?1 a1 a2 a3 an 2 a1 a2 a3 an ?1 2
本卷第 5 页(共 7 页)

bn n n ?1 n?2 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·9 分 ? n ? n ? (n ? 1 ? n ?1 ) ? 1 ? n · an 2 2 2 n?2 ,又 当n ? 1时 符合该式 ? an ? 2n ?1 ,? bn ? 2n ?1 ? 2 n?2 所以 bn ? 2n ?1 ? · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·10 分 ,n? N*· 2 1 n?2 n( ? ? ) 1 ? 2n n 2 3n 2 2 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 12 分 Tn ? ? ? 2n ? 1 ? ? · 1? 2 2 4 4 ?
19、 (本小题 12 分) 解: (1) ? PA ? 底面 ABCD ? PA ? AB, PA ? CD 又 AB ? AD 所以 AB ? 面 PAD 即 AB ? PD· · · · ·2 分 又 AC ? CD 所以 CD ? 面 PAC 即 CD ? AE ? PA ? AB ? BC ? AC , E 是 PC 的中点。 即 AE ? PC AE ? 面 PCD ? ? · · · · · · · ·5 分 AE ? PD· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·6 分 ? PD ? 面ABE · (2) 在底面 ABCD 中过点 C 作 CM ? AB 交 AD 与点 M,在 三角形 PAD 中过点 M 作 MF ? PA 交 PD 于点 F,连接 CF 面CMF ? 面PAB ? ? · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·9 分 CF ? 面PAB · P

E A

D

B C

1 1 此时 在底面 ABCD 中, ?CAD ? 30?, ?ACD ? 90?, CM ? AD ,故 DM ? CD ? DA 2 4 1 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·11 分 ? DF ? DP · 4 1 所以在线段 PD 上存在点 F 满足 DF ? DP ,使 CF ? 面PAB · · · · · · · · · · · · · · · · · ·12 分 4 20、 (本小题 13 分)
解: (1)? e ?
2

y 2 x2 6 ? a2 ? 3b2 ,设椭圆的方程为 2 ? 2 ? 1 ,设 P( x, y ) 为椭圆 C 上任 3 3b b
2 2

2 2 意一点, PQ ? ( x ? 2) ? y ? ?2( x ? 1) ? 6 ? 3b · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·2 分 2 2 2 由于 x ?[?b, b] ,当 b ? 1 时,此时 PQ 取得最大值 6 ? 3b ? 9 ,? b ? 1, a ? 3
2

2 当 b ? 1 时,此时 PQ 取得最大值 (b ? 2) ? 9 ,不符合题意。 · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·5 分

2

故所求椭圆方程为

y2 ? x 2 ? 1· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·6 分 3

(2)由已知,以 AB 为直径的圆与 X 轴有公共点, · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·7 分 设 A( x1 , y1 ), b( x2 , y2 ) ,AB 中点 M ( x0 , y0 )

本卷第 6 页(共 7 页)

直线 l : y ? kx ? 2 代入

y2 ? x 2 ? 1 得 (3 ? k 2 ) x 2 ? 4kx ? 1 ? 0 , ? ? 12k 2 ?12 3

? x0 ?

x1 ? x2 ?2k 6 , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·8 分 ? , y0 ? kx0 ? 2 ? 2 2 3? k 3? k2
? 2 3 k 4 ?1 ? · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·10 分 3? k2 3? k2

AB ? 1 ? k 2

? ? ? 12k 2 ? 12 ? 0 ? 4 ?? 6 解得: k ? 13 ,即 k ? 4 13或k ? ? 4 13 · · · · · · · ·12 分 1 ? AB ? ?3 ? k 2 2
所以,所求直线 l 的斜率 k 的取值范围是 k ? 4 13或k ? ? 4 13 · · · · · · · · · · · · ·13 分 21、 (本小题 14 分)

1 · · · · · · · · · · · · · · · · ·2 分 ? a , f ' (1) ? 1 ? a ? ?1,? a ? 2 · x 1 1 1 1 ' ' 由 f ( x) ? ? 2 ? 0 解得 0 ? x ? ,由 f ( x) ? ? 2 ? 0 解得 x ? · · · · · · · · · ·5 分 x 2 x 2 1 1 所以函数 f ( x) 的单调递增区间是 (0, ) ,单调递减区间是 ( , ??) · · · · · · · · · · · ·6 分 2 2 1 1 1 (2)由已知 an ? 2 g (n) ? ln n ? 2(1 ? ? ? ? ? ) ? ln n 2 3 n 1 1 1 an?1 ? 2(1 ? ? ? ? ? ) ? ln(n ? 1) 2 3 n ?1 2 n 2n · · · · · · · · · · · · · · · ·8 分 ? an?1 ? an ? ? ln n ? ln(n ? 1) ? ln ? ?2· n ?1 n ?1 n ?1 1 由(1)知函数 f ( x) 在区间 [ ,1] 上单调递减 2 1 n n 2n n 由于 ? · · ·11 分 ? 1 ,? ln ? ?2? f ( ) ? f (1) ? 0 即 an ?1 ? an · 2 n ?1 n ?1 n ?1 n ?1 1 ? log 2 m ? 4log m 2 ? 1 ? (an ) min ? a1 ? 2 ,解得 ? m ? 16 且 m ? 1· · · · · · · · ·13 分 2 1 所以实数 m 的取值范围是 ( ,1) ? (1,16) · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·14 2
解: (1)由已知 f ( x) ?
'

本卷第 7 页(共 7 页)


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