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20112012学年度上学期期末考试高二数学试卷


2011 — 2012 学年度上学期期末考试高二数学试卷(文科)
gkxx123@qq.com 本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共 150 分,考试时间 120 分 钟,注意事项: 1.第Ⅰ卷的答案填在答题卷方框里,第Ⅱ卷的答案或解答过程写在答题卷指定处,写在 试题卷上的无效。 2.答题前,考生务必将自己的“姓名” 、 “班级” 、和“考号”写在答题卷上。 3.考试结束,只交答题卷。

第Ⅰ卷(选择题共 50 分)
一、选择题(每小题 5 分,共 10 个小题,本题满分 50 分) 1.如果命题“ ?( p或q) ”为假命题,则( A.p,q 均为真命题 C.p,q 均为假命题 2.下列说法正确的是(
2 2



B.p,q 中至少有一个为真命题 D.p,q 中至多有一个为真命题 )

A.命题“若 am ? bm ” ,则“ a ? b ”的逆命题是真命题 B.命题“若 ?x ? R, x2 ? x ? 0 ” ,的否定是“ ?x ? R, x2 ? x ? 0 ” C.命题“p 或 q” ,则命题“p”和命题“q”均为真命题 D.已知 x ? R ,则“x>1”是“x>2”的充分不必要条件 3.根据右边程序判断输出结果为( ) A.8 B. 9 C.10 D.11 4.函数 f ( x) ? x2 ? 3x ? 2, x0 ?[?5,5],任取 x0 使 f ( x0 ) ? 0 的 率为( A. ) B.

1 10

1 5

C.

9 10

D.

4 5

i=0 s=0 Do s=s+i i=i+1 Loop while s<40 输出 i



5.下列命题中真命题的是( ) A.在同一平面内,动点到两定点的距离之差(大于两定点间的距离)为常数的点的轨迹是双 曲线 B. 在平面内,F1,F2 是定点,|F1F2|=6,动点 M 满足|MF1|+|MF2|=6,则点 M 的轨迹是椭圆 C. “若-3<m<5 则方程

x2 y2 ? ? 1 是椭圆” 5?m m?3

D.存在一个函数,它既是奇函数,又是偶函数 6.记定点 M (3,

10 ) 与抛物线 y 2 ? 2x 上的点 P 之间的距离为 d1,P 到抛物线的准线 l 距离为 3
) D. ( , ? ) C. (2,2)

d2,则当 d1+d2 取最小值时,P 点坐标为( A.(0,0) B. (1, 2)

1 8

1 2

7.已知双曲线中心在原点,且一个焦点为 F ( 7,0) ,直线 y=x-1 与其相交于 M、N 两点,MN 中点的横坐标为

2 ,则此双曲线方程为( 3



A.

x2 y 2 x2 y 2 ? ? 1 B. ? ?1 3 4 4 3

C.

x2 y 2 ? ?1 5 2

D.

x2 y 2 ? ?1 2 5

8.若点 ( x0 , y0 ) 满足 y0 2 ? 4 x0 ,就叫点 ( x0 , y0 ) 在抛物线 y 2 ? 4 x 的内部。若点 ( x0 , y0 ) 在抛物 线 y 2 ? 4 x 的内部,则直线 y0 y ? 2( x0 ? x) 与抛物线 y 2 ? 4 x ( A.有一个公共点 9.椭圆 B.至少有一个公共点 ) D.无公共点

C.恰有两个公共点

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的四个顶点 A,B,C,D 构成的四边形为菱形,若菱形 ABCD a 2 b2
) D.

的内切圆恰好过焦点,则椭圆的离心率是( A.

3 5 2

B.

3? 5 8

C.

5 ?1 2

5 ?1 4

10.动点 P 为椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 上异于顶点 (? a, 0) 的一点,F1,F2 为椭圆的左右两 a 2 b2

个焦点,动圆 C 与线段 F1P,F1F2 的延长线及线段 PF2 相切,则圆心 C 的轨迹为除去坐标轴上 的点是( ) A.抛物线 B.一条直线 C. 双曲线右支 D.椭圆

第Ⅱ卷(非选择题共 100 分)
二、填空题(每小题 5 分,共 5 个小题,本题满分 25 分) 11. 若样本 1+x1, 1+x2, 1+x3,….. 1+xn, 的平均数为 10, 方差为 2, 则对于样本 2+x1, 2+x2, 2+x3,….. 2+xn,,其平均数和方差的和为____________。 12.已知函数 f ( x ) ?

1 ? ln x ' ,则 f (2) ? _________________。 1 ? ln x

13.在平面直角坐标系中,已知△ABC 的顶点 A(-4,0) ,C(4,0)且顶点 B 在椭圆

x2 y 2 ? ?1 25 9

sin A ? sin C ? ____________。 sin B 1 3 3 2 14.若 f ( x ) ? x ? x 在 (m,10 ? m ) 上有最小值,则实数 m 的取值范围是_________。 4 4
上,则

x2 y 2 5 ?1 15.我们把离心率为 e ? 的双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 称为黄金曲线,O 为坐标原 a b 2
点,如图所示,给出以下几个命题: ①双曲线 x ?
2
2

2 y2 ? 1是黄金曲线; 5 ?1

y B1 N F1 A1 O A2 F2 B2 M x

②若 b ? ac ,则该双曲线是黄金曲线; ③若 ?F 1B 1A 2 ? 90 ,则该双曲线是黄金曲线;
0

④若 ?MON ? 90 ,则该双曲线是黄金曲线;
0

其中正确的是_______________。 三、解答题(需要写出解答过程或证明步骤) 16. (本小题满分 12 分) 2008 年奥运会在北京举行,奥运会期间需从 8 名志愿者中选出英语、俄语和日语的志愿者 各一名组成一服务小组,已知 8 名志愿者中 A1,A2,A3 ,A4 会英语,B1,B2,B3 会俄语,只 有 C 会日语。 (1)求 B1 被选中的概率; (2)求 B1 和 A1 不全被选中的概率;

17. (本小题满分 12 分) 命题 p:实数 x 满足 x ? 4ax ? 3a ? 0 ,其中 a<0;命题 q:实数 x 满足 x ? x ? 6 ? 0 或
2 2 2

x 2 ? 2 x ? 8 ? 0 ,且 ? p 是 ? q 的必要不充分条件,求 a 的取值范围。

18. (本小题满分 12 分) 若曲线 C: y ? x ? 2ax ? 2ax 上任意点处的切线的倾斜角都为锐角,且 a 为整数。
3 2

(1)求曲线 C 的解析式; (2)求过点(1,1)的曲线的切线方程。

19. (本小题满分 12 分)

x2 y 2 已知双曲线 C: 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的两个焦点为 F1 (-2, 0) , F2 (2, 0) , 点 P (3, 7) a b
在曲线 C 上。

(1)求双曲线 C 的坐标; (2)记 O 为坐标原点,过点 Q(0,2)的直线 l 与双曲线 C 相交于不同两点 E,F,若△OEF 的面 积为 2 2 ,求直线 l 的方程。

20. (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ?

1 3 x ? ax 2 ? (2a ? 1) x 。 3

(1)若 f ' (3) ? 0 ,求 a 的值; (2)若 a>1,求函数 f(x)的单调区间与极值点; (3)设函数 g ( x) ? f ( x) 是偶函数,若过点 A(1,m) ( m ?
'

2 ) 可作曲线 y=f(x)的三条切线, 3

求实数 m 的范围。

21. (本小题满分 14 分) 已知一条抛物线和一个椭圆都经过点 M(1,2) ,它们在 x 轴上具有相同的焦点 F1,且两 者的对称轴都是坐标轴,抛物线的顶点在坐标原点。 (1) 求抛物线的方程和椭圆方程; (2) 假设椭圆的另一个焦点是 F2 ,经过 F2 的直线 l 与抛物线交于 P , Q 两点,且满足

???? ? ???? ? F2 P ? mF2Q ,求 m 的取值范围。

2011—2012 学年度上学期期末考试高二数学试卷(文科)参考答案
一、选择题(每小题 5 分,共 10 个小题,本题满分 50 分) 1 B 2 B 3 C 4 C 5 D 6 C 7 D 8 D 9 C 10 B

二、填空题(每小题 5 分,共 5 小题,满分 25 分)

11.13 12.

?1 (1 ? ln 2) 2

13.

5 4

14. [?2,1)

15. ①②③④

三、解答题(需要写出解答过程或证明步骤) 16.解: (1)P=

1 ………………..6 分 3

1 1 1 ? ? ,………………..9 分 4 3 12 1 11 ? ………………..12 分 ∴B1、A1 不全被选中的概率为 P ? 1 ? 12 12
(2)B1、A1 全被选中的概率为 P ? 17.解:p: (x-3a)(x-a)<0,∵a<0,∴3a<x<a……………….3 分 q: ( x ? 3)( x ? 2) ? 0,??2 ? x ? 3 , ∵ x2 ? 2 x ? 8 ? 0,??4 ? x ? 2 ………………..6 分 ∴ ?q : x ? 3或x ? ?4 ,又 ? p 为 ? q 的必要不充分条件 ∴?

4 ? a ? 0 ………………..12 分 3
3 2

2 2 18.解: (1) y ' ? 3x ? 4ax ? 2a ? 0 , ? ? 16a ? 24a ? 0 ,∴ a ? (0, ) ,……….3 分

∵ a ? Z ,∴a=1,∴ f ( x) ? x3 ? 2 x2 ? 2 x ………………..6 分 (2)令切点为( ( x0 , x03 ? 2x02 ? 2x0 ) , ∴ y ? ( x03 ? 2x02 ? 2x0 ) ? (3x02 ? 4x0 ? 2)( x ? x0 ) ,………………..8 分 ∵点(1,1)在切线上, ∴ 1 ? ( x03 ? 2x02 ? 2x0 ) ? (3x02 ? 4x0 ? 2)(1 ? x0 ) , ∴ 2 x03 ? 5x02 ? 4 x0 ?1 ? 0 ,∴ ( x0 ?1)(2x02 ? 3x0 ? 1) ? 0 , ∴ ( x0 ?1)2 (2x0 ?1) ? 0 ,∴ x0 ? 1或x0 ? ∴切线方程为 y=x 或 y ?

1 。 2

3 1 x ? ……………….12 分 4 4 9 7 2 2 2 2 2 19.解: (1)依题意 c ? 2, ∴ 2 ? 2 ? 1且c ? a ? b ,解得: a ? 2, b ? 2 , a b
所以双曲线方程为

x2 y 2 ? ? 1 ………………..4 分 2 2

(2)依题意可知,直线 l 的斜率存在 设直线 l 的方程为 y=kx+2,E( x1 , y1 ) ,F( x2 , y2 ) ,

由 y=kx+2 及

x2 y 2 ? ? 1 得 (1 ? k 2 ) x2 ? 4kx ? 6 ? 0 , 2 2

∵有两个交点,∴ 1 ? k ? 0 ,又△= 16k 2 ? 24(1 ? k 2 ) ? 0 ,∴ k ? 3 ,
2

2

∴ ? 3 ? k ? 3 ,又 x1 ? x2 ? ∵ | EF |? 1 ? k
2

4k 6 且x1 ?x2 ? , 2 1? k 1? k 2

4k 2 24 ………..8 分 ( x1 ? x2 )2 ? 4 x1 x2 ? 1 ? k 2 ( ) ? 2 2 1? k k ?1
2 1? k
2

∵O 点到直线的距离为 d ?

,又 S ?

1 | EF | d ? 2 2 , 2

∴ (

4k 2 24 ) ? 2 ? 2 2 ,∴k= ? 2 , 2 1? k k ?1

∴直线 l 的方程为 y ? 2 x ? 2 或 y ? ? 2x ? 2 ………………..12 分 20.解: (1) f '( x) ? x2 ? 2ax ? (2a ?1) ,∵ f '(?3) ? 0,? a ? 2 ,……………….3 分 (2) f '( x) ? x ? 2ax ? (2a ?1) ? 0 得 x1 ? ?1, x2 ? 1 ? 2a ,
2

∵a>1,∴-1>1-2a,

f '( x) ? 0 ? x ? ?1或x ? 1 ? 2a ,函数的单调递增区间为 (??,1 ? 2a) 和 (?1, ?)
f '( x) ? 0 ? 1 ? 2a ? x ? ?1 ,函数的单调递减区间为 (1 ? 2a, ?1) …………..6 分
函数的极小值点为 x1 ? ?1 ,极大值点为 x2 ? 1 ? 2a ………………..7 分 (3)当 g ( x) ? f '( x) ? x ? 2ax ? (2a ?1) 为偶函数,则 a=0,
2

1 3 x ? x ,………………..8 分 3 1 3 2 函数在 ( x0 , y0 ) 的切线方程为 y ? ( x0 ? x0 ) ? ( x0 ? 1)( x ? x0 ) , 3 1 3 2 且经过点 A(1,m)的直线有三条,即 m ? ( x0 ? x0 ) ? ( x0 ? 1)(1 ? x0 ) 关于 x0 的方程有 3 2 3 2 3 2 2 三个解, 即 m ? ? x0 ? x0 ? 1 关于 x0 的方程有三个解, 即 y=m 与 y ? ? x0 ? x0 ? 1 有 3 3 2 3 2 2 三个交点,考虑令 h( x0 ) ? ? x0 ? x0 ? 1 ,则 h '( x0 ) ? ?2x0 ? 2x0 ? 0 , 3
函数 f ( x) ? 解得 x01 ? 0, x02 ? 1 , ∴ h( x0 ) 在区间(0,1)上单调递增,在 (??, 0) 和 (1, ??) 单调递减………………..12 分 ∵y=m 与 y ? ?

2 3 2 x0 ? x0 2 ? 1 有三个交点,即 h(0) <m<h(1),∴ ?1 ? m ? ? 3 3 2 故 m 的取值范围为 ?1 ? m ? ? ………………..13 分 3

21.解: (1)由题意可设抛物线方程为 y 2 ? 2 px( p ? 0) , 把 M 点代入方程得:抛物线方程为 y 2 ? 4 x ………………..2 分

所以 F1(1,0) ,且经过点 M,故设椭圆方程为

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) ,联立方程得 a 2 b2

?a 2 ? b 2 ? 1 ? 解得 a2 ? 3 ? 2 2, b2 ? 2 ? 2 2 , ?1 4 ? 2 ? 2 ?1 ?a b

x2 y2 故椭圆方程为 ? ? 1 ………………..6 分 3? 2 2 2 ? 2 2
( 2 )易知 F2 ( -1 , 0 ) ,设直线的方程为 y=k(x+1) ,联立方程得 ?

? y=k(x+1)
2 ? y ? 4x

,消去 y 得

k 2 x2 ? (2k 2 ? 4) x ? k 2 ? 0 ,因为直线 l 与抛物线相交于 P、Q 两点,
所以 ?

?k ? 0
2 2 2 ?(2k ? 4) ? 4k ? 0

,解得-1<k<1 且 k ? 0 ………………9 分

? 4 ? 2k 2 x ? x ? ? 2 设 P( x1 , y1 )Q( x2 , y2 ) ,则 ? 1 k2 , ? x ?x ? 1 ? 1 2
由 F2 P ? mF2Q 得 ( x1 ? 1, y1 ) ? m( x2 ? 1, y2 ) ,所以 ?

???? ?

???? ?

? x1 ? 1 ? m( x2 ? 1) , ? y1 ? my2

∵P、Q 为不同的两点,∴ m ? 1, y12 ? m2 y22 ,即 4x1 ? m2 ? 4x2 ,∴ x1 ? m2 x2

1 1 , x1 ? m ,∴ x1 ? x2 ? ? m ………………..12 分 m m 1 4 4 1 ? m ? 2 ? 2 ,∵ 0 ? k 2 ? 1 ,∴ 2 ? 2 ? 2 ,即 ? m ? 2 即 m k k m 所以 m>0 且 m ? 1 ………………..14 分
解得 x2 ?


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