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高中数学三角函数常见习题类型及解法


高中数学三角函数常见习题类型及解法
高考试题中的三角函数题相对比较传统,难度较低,位置靠前,重点突出。因此,在复习 过程中既要注重三角知识的基础性,突出三角函数的图象、周期性、单调性、奇偶性、对称性 等性质。以及化简、求值和最值等重点内容的复习,又要注重三角知识的工具性,突出三角与 代数、几何、向量的综合联系,以及三角知识的应用意识。 一、知识整合 1.熟练掌握三角变换

的所有公式,理解每个公式的意义,应用特点,常规使用方法等; 熟悉三角变换常用的方法——化弦法,降幂法,角的变换法等;并能应用这些方法进行三角函 数式的求值、化简、证明;掌握三角变换公式在三角形中应用的特点,并能结合三角形的公式 解决一些实际问题. 2.熟练掌握正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数的性质,并能用它研究复合函数 的性质;熟练掌握正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数图象的形状、特点,并会用五点 画出函数 y ? A sin(? x ? ? ) 的图象;理解图象平移变换、伸缩变换的意义,并会用这两种变换 研究函数图象的变化. 二、高考考点分析 2004 年各地高考中本部分所占分值在 17~22 分,主要以选择题和解答题的形式出现。主 要考察内容按综合难度分,我认为有以下几个层次: 第一层次:通过诱导公式和倍角公式的简单运用,解决有关三角函数基本性质的问题。如 判断符号、求值、求周期、判断奇偶性等。 第二层次:三角函数公式变形中的某些常用技巧的运用。如辅助角公式、平方公式逆用、 切弦互化等。 第三层次:充分利用三角函数作为一种特殊函数的图象及周期性、奇偶性、单调性、有界 性等特殊性质,解决较复杂的函数问题。如分段函数值,求复合函数值域等。 三、方法技巧 1.三角函数恒等变形的基本策略。 2 2 (1)常值代换:特别是用“1”的代换,如 1=cos θ +sin θ =tanx·cotx=tan45°等。 2 2 2 2 2 2 (2)项的分拆与角的配凑。如分拆项:sin x+2cos x=(sin x+cos x)+cos x=1+cos x;配凑 角:α =(α +β )-β ,β =

???
2



???
2

等。

(3)降次与升次。 (4)化弦(切)法。 (4)引入辅助角。asinθ +bcosθ = a 2 ? b 2 sin(θ + ? ),这里辅助角 ? 所在象限由 a、b 的符号确定, ? 角的值由 tan ? =

b 确定。 a

2.证明三角等式的思路和方法。 (1)思路:利用三角公式进行化名,化角,改变运算结构,使等式两边化为同一形式。 (2)证明方法:综合法、分析法、比较法、代换法、相消法、数学归纳法。
-94-

3.证明三角不等式的方法:比较法、配方法、反证法、分析法,利用函数的单调性,利用 正、余弦函数的有界性,利用单位圆三角函数线及判别法等。 4.解答三角高考题的策略。 (1)发现差异:观察角、函数运算间的差异,即进行所谓的“差异分析” 。 (2)寻找联系:运用相关公式,找出差异之间的内在联系。 (3)合理转化:选择恰当的公式,促使差异的转化。 四、例题分析 例 1.已知 tan? ?

2 ,求(1)

cos ? ? sin ? 2 2 ; (2)sin ? ? sin ? . cos? ? 2 cos ? 的值. cos ? ? sin ?

例 2.求函数 y ? 1 ? sin x ? cos x ? (sin x ? cos x)2 的值域。 例 3.已知函数 f ( x) ? 4sin 2 x ? 2sin 2 x ? 2,x ? R 。 (1)求 f ( x ) 的最小正周期、 f ( x ) 的最大值及此时 x 的集合; (2)证明:函数 f ( x ) 的图像关于直线 x ? ? 例 4. 已知函数 y=

π 对称。 8

1 3 2 cos x+ sinx·cosx+1 (x∈R), 2 2

(1)当函数 y 取得最大值时,求自变量 x 的集合; (2)该函数的图像可由 y=sinx(x∈R)的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到? (例 5.已知函数 f ( x) ? sin

x x x cos ? 3 cos 2 . 3 3 3 (Ⅰ)将 f(x)写成 A sin(?x ? ? ) 的形式,并求其图象对称中心的横坐标;
2

(Ⅱ)如果△ABC 的三边 a、b、c 满足 b =ac,且边 b 所对的角为 x,试求 x 的范围及此时函 数 f(x)的值域. 例 6.在 ? ABC 中,a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边,且 (1)求 sin B 的值; (2)若 b ? 4 2 ,且 a=c,求 ? ABC 的面积。 例 7.已知向量 a ? (2cos α ,2 sin α),b= (? sin α, cos α),x ? a ? (t 2 ? 3)b,

cos C 3a ? c ? , cos B b

?

?

?

?

?

? ? ? ? ? y ? ?ka ? b ,且 x ? y ? 0 ,
(1)求函数 k ? f (t ) 的表达式;

, 3] ,求 f (t ) 的最大值与最小值。 (2)若 t ? [?1
-95-

例 8.已知向量 a ? (cos α, sin α),b = (cos β, sin β ), | a ? b |? (1) 求 cos(α ? β ) 的值; (2) (2)若 0 ? α ?

?

?

?

?

2 5 , 5

π π 5 , ? ? β ? 0,且 sin β ? ? ,求 sin α 的值。 2 2 13

例 9.平面直角坐标系有点 P(1, cos x), Q(cos x,1), x ? [?

? ?

, ] 4 4

(1) 求向量 OP 和 OQ 的夹角 ? 的余弦用 x 表示的函数 f ( x) ; (2) 求 ? 的最值.

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cos? ? sin ? 解: (1) ? cos? ? sin ?

sin ? cos? ? 1 ? tan? ? 1 ? 2 ? ?3 ? 2 2 ; sin ? 1 ? tan? 1 ? 2 1? cos? sin 2 ? ? sin ? cos? ? 2 cos2 ? 2 2 (2) sin ? ? sin ? cos? ? 2 cos ? ? sin 2 ? ? cos2 ? sin 2 ? sin ? ? ?2 2 2? 2 ?2 4? 2 . ? cos ? 2 cos? ? ? sin ? 2 ?1 3 ?1 cos2 ? 1?

说明:利用齐次式的结构特点(如果不具备,通过构造的办法得到) ,进行弦、切互化,就 会使解题过程简化。 解:设 t ? sin x ? cos x ?

π 2 sin( x ? ) ? [? 2, 2] ,则原函数可化为 4

1 3 y ? t 2 ? t ? 1 ? (t ? ) 2 ? ,因为 t ?[? 2,2] ,所以 2 4 1 3 当 t ? 2 时, ymax ? 3 ? 2 ,当 t ? ? 时, ymin ? , 2 4 3 3 ? 2] 。 所以,函数的值域为 y ? [ , 4
解: f ( x) ? 4sin x ? 2sin 2 x ? 2 ? 2sin x ? 2(1 ? 2sin x)
2 2

π ? 2sin 2 x ? 2 cos 2 x ? 2 2 sin(2 x ? ) 4
(1)所以 f ( x ) 的最小正周期 T ? π ,因为 x ? R ,

π π 3π ? 2kπ ? ,即 x ? kπ ? 时, f ( x) 最大值为 2 2 ; 4 2 8 π (2) 证 明 : 欲 证 明 函 数 f ( x ) 的 图 像 关 于 直 线 x ? ? 对 称 , 只 要 证 明 对 任 意 x ? R , 有 8 π π f (? ? x ) ? f (? ? x )成立, 8 8 π π π π 因为 f (? ? x) ? 2 2 sin[2(? ? x) ? ] ? 2 2 sin( ? ? 2 x) ? ?2 2 cos 2 x , 8 8 4 2 π π π π f (? ? x) ? 2 2 sin[2(? ? x) ? ] ? 2 2 sin(? ? 2 x) ? ?2 2 cos 2 x , 8 8 4 2 π π π 所以 f (? ? x) ? f (? ? x) 成立,从而函数 f ( x ) 的图像关于直线 x ? ? 对称。 8 8 8
所以,当 2 x ?
-97-

解: (1)y=

? ? ? = +2kπ ,(k∈Z) ,即 x= +kπ ,(k∈Z) 。 6 2 6 ? 所以当函数 y 取最大值时,自变量 x 的集合为{x|x= +kπ ,k∈Z} 6
所以 y 取最大值时,只需 2x+ (2)将函数 y=sinx 依次进行如下变换: (i)把函数 y=sinx 的图像向左平移

1 1 1 3 3 2 2 cos x+ sinx·cosx+1= (2cos x-1)+ + (2sinx·cosx)+1 2 4 4 4 2 1 5 1 ? ? 5 3 = cos2x+ sin2x+ = (cos2x·sin +sin2x·cos )+ 4 4 2 6 6 4 4 1 ? 5 = sin(2x+ )+ 2 6 4

? ? ,得到函数 y=sin(x+ )的图像; 6 6 1 ? (ii) 把得到的图像上各点横坐标缩短到原来的 倍 (纵坐标不变) , 得到函数 y=sin(2x+ ) 2 6
的图像; ( iii ) 把 得 到 的 图 像 上 各 点 纵 坐 标 缩 短 到 原 来 的 y=

1 ? sin(2x+ )的图像; 2 6
iv)把得到的图像向上平移 综上得到 y=

1 倍(横坐标不变) ,得到函数 2

5 1 ? 5 个单位长度,得到函数 y= sin(2x+ )+ 的图像。 4 2 6 4

1 3 2 cos x+ sinxcosx+1 的图像。 2 2

说明:本题是 2000 年全国高考试题,属中档偏容易题,主要考查三角函数的图像和性质。 这类题一般有两种解法: 一是化成关于 sinx,cosx 的齐次式, 降幂后最终化成 y= a 2 ? b 2 sin (ω x+ ? )+k 的形式,二是化成某一个三角函数的二次三项式。本题(1)还可以解法如下:当

1 3 1 3 cos2 x ? sin x cos x ? t an x 2 2 2 cosx=0 时,y=1;当 cosx≠0 时,y= 2 +1= +1 sin 2 x ? cos2 x 1 ? t an2 x 2 化简得:2(y-1)tan x- 3 tanx+2y-3=0 3 7 ∵tanx∈R,∴△=3-8(y-1)(2y-3) ≥0,解之得: ≤y≤ 4 4 7 ? ∴ymax= ,此时对应自变量 x 的值集为{x|x=kπ + ,k∈Z} 4 6
解: f ( x) ? 1 sin 2 x ? 3 (1 ? cos 2 x ) ? 1 sin 2 x ? 3 cos 2 x ? 3 ? sin( 2 x ? ? ) ? 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 3 2 (Ⅰ)由 sin(

2x ? 2x ? 3k ? 1 ? ) =0 即 ? ? k? (k ? z )得x ? ? 3 3 3 3 2
-98-

k?z

即对称中心的横坐标为 (Ⅱ)由已知 b =ac
2

3k ? 1 ?, k ? z 2

a 2 ? c 2 ? b 2 a 2 ? c 2 ? ac 2ac ? ac 1 ? ? ? , 2ac 2ac 2ac 2 1 ? ? 2 x ? 5? ? ? cos x ? 1, 0 ? x ? , ? ? ? 2 3 3 3 3 9 ? ? 5? ? ? 2x ? 2x ? 3 ?| ? |?| ? | , ? sin ? sin( ? ) ? 1, ? 3 ? sin( ? ) ? 1 ? , 3 2 9 2 3 3 3 3 3 2 3 即 f ( x) 的值域为 ( 3 ,1 ? ]. 2 ? 3 f ( x) 值域为 ( 3 ,1 ? 综上所述, x ? (0, ] , ] . 3 2 cos x ?
说明:本题综合运用了三角函数、余弦定理、基本不等式等知识,还需要利用数形结合的思想 来解决函数值域的问题,有利于培养学生的运算能力,对知识进行整合的能力。 解:(1)由正弦定理及

cos C 3a ? c cos C 3sin A ? sin C ? ? ,有 , cos B b cos B sin B

即 sin B cos C ? 3sin A cos B ? sin C cos B ,所以 sin( B ? C ) ? 3sin A cos B , 又因为 A ? B ? C ? π , sin( B ? C ) ? sin A ,所以 sin A ? 3sin A cos B ,因为 sin A ? 0 ,所 以 cos B ?

1 2 2 2 ,又 0 ? B ? π ,所以 sin B ? 1 ? cos B ? 。 3 3
2 2

(2)在 ? ABC 中,由余弦定理可得 a ? c ? 所以有

2 ac ? 32 ,又 a ? c , 3

4 2 a ? 32,即a 2 ? 24 ,所以 ? ABC 的面积为 3 1 1 S ? ac sin B ? a 2 sin B ? 8 2 。 2 2 ?2 ? ? ?2 ? ? 解:(1) a ? 4 , b ? 1 , a ? b ? 0 ,又 x ? y ? 0 ,

所以 x ? y ? [a ? (t 2 ? 3)b ] ? (?ka ? b ) ? ?ka 2 ? (t 2 ? 3)b 2 ? [t ? k (t 2 ? 3)]a ? b ? 0 ,

? ?

?

?

?

?

?

?

? ?

1 3 3 1 3 t ? t ,即 k ? f (t ) ? t 3 ? t ; 4 4 4 4 3 2 3 (2)由(1)可得,令 f (t ) 导数 t ? ? 0 ,解得 t ? ?1 ,列表如下: 4 4
所以 k ?
-99-

t

-1 0 极大值

(-1,1) - 递减

1 0 极小值

(1,3) + 递增

f (t ) 导数 f (t )
1 2

而 f (?1) ? ,f (1) ? ? ,f (3) ? , 所以 f (t ) max ? ,f (t ) min ? ?

9 9 2 2 ? ? 解:(1)因为 a ? (cos α , sin α),b=(cos β, sin β),

1 2

1 。 2

所以 a ? b ? (cos α ? cos β, sin α ? sin β), 又因为 | a ? b |?

? ?
?

?

2 5 2 5 2 2 ,所以 (cos α ? cos β ) ? (sin α ? sin β ) ? , 5 5
4 5 3 ; 5

cos(α ? β ) ? 即 2 ? 2 cos(α ? β ) ? ,
(2) 0 ? α ?

π π , ? ? β ? 0, 0?α? β ?π, 2 2 3 4 又因为 cos(α ? β ) ? ,所以 sin(α ? β ) ? , 5 5 5 12 63 sin β ? ? ,所以 cos β ? ,所以 sin α ? sin[(α ? β ) ? β ] ? ? ? 13 13 65
解: (1)? OP ? OQ ?

OP ? OQ ? cos? ,

? cos x ? cos x ? (1 ? cos2 x) cos? 2 cos x ? cos? ? 1 ? cos2 x 2 cos x ? ? f ( x) ? (? ? x ? ) 即 2 1 ? cos x 4 4 1 3 2 2 cos x ? ? [2, ], (2)? cos? ? , 又 1 cos x 2 cos x ? cos x 2 2 2 2 ? cos? ? [ ,1] , . ?? min ? 0 , ? max ? arccos 3 3
说明:三角函数与向量之间的联系很紧密,解题时要时刻注意。

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