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2013全国中学生高中数学竞赛二试模拟训练题(36)


加试模拟训练题(36) (附详细答案) 1、 设凸四边形 ABCD 的对角线 AC、BD 互相垂直,垂足为 E,证明:点 E 关于 AB、BC、 CD、DA 的对称点共圆. 2、 对一切非负整数 x、y,函数 f(x,y)满足 (1)f(0,y)=y+1;(2)f(x+1,0)=f(x,1); (3)(x+1,y+1)=f(x,f(x+1, y)) 试确定 f(4,1981). 3、 在第一行中写有 19 个不超过 88 的自然数,第二行写有 88 个不超过 19 的自然数,我 们将一行中的一个或数个相连的数称为一段.证明:可以从上述两行数中各选出一段来,使 得这两段数的和相等. 4、证明:不定方程 x2+y2+z2+3(x+y+z)+5=0 没有有理数解。 加试模拟训练题(36) 1、 设凸四边形 ABCD 的对角线 AC、BD 互相垂直,垂足为 E,证明:点 E 关于 AB、BC、CD、DA 的对称点共圆. 【题说】 第 22 届(1993 年)美国数学奥林匹克题 2. 【证】 以 E 为相似中心作相似变换,相似比为 1/2,此变换把 E 关于 AB、BC、 CD、DA 的对称点变为 E 在 AB、BC、CD、DA 上的射影 P、Q、R、S(如图),只 须证明 PQRS 是圆内接四边形. 由于四边形 ESAP、EPBQ、EQCR 及 ERDS 都是圆内接四边形(每个四边形都有一 组对角为直角), 由 E、 P、 B、 Q 共圆, ∠EPQ=∠EBQ, 由 EQCR 共圆, 有∠ERQ=∠ECQ, 于是 ∠EPQ+∠ERQ=∠EBQ+∠ECQ=90? 同理可得 ∠EPS+∠ERS=90? 从而,有∠SPQ+∠QRS=180?,故 PQRS 是圆内接四边形. 2、 对一切非负整数 x、y,函数 f(x,y)满足 (1)f(0,y)=y+1; (2)f(x+1,0)=f(x,1); (3)(x+1,y+1)=f(x,f(x+1,y)). 试确定 f(4,1981). 【题说】第二十二届(1981 年)国际数学奥林匹克题 6. 【解】 令 x=0,由(2)与(1)得 f(1,0)=f(0,1)=2. 在(3)中令 x=0, y=n-1, 并利用(1)及前式, 有 f(1, n)=f(0, f(1, n-1))=f(1, n-1)+1 =n+f(1,0)=n+2 (4) (1) (2) (3) 由(3)、(4)得 f(2,n)=f(1,f(2,n-1))=f(2,n-1)+2=2n+f(2,0) 又 所以 f(2,0)=f(1,1)=1+2=3 f(2,n)=2n+3 (5) 由(3)、(5)得 f(3,n)+3=f(2,f(3,n-1))+3=2f(3,n-1)+6 =2[f(3,n-1)+3]=…=2n+3 所以 f(3,n)=2n+3-3 (6) 由(3)、(6)得 f(4,n)+3=f(3,f(4,n-1))+3 =2f(4,n-1)+3=…= 由于 (共有 n 个 2) f(4,0)+3=f(3,1)+3=24 所以 f(4,n)=3+ (n+3 个 2) 故 f(4,1981)=-3+ (1984 个 2) 3、 在第一行中写有 19 个不超过 88 的自然数,第二行写有 88 个不超过 19 的自然数,我 们将一行中的一个或数个相连的数称为一段.证明:可以从上述两行数中各选出一段来,使 得这两段数的和相等. 【题说】 第二十二届(1988 年)全苏数学奥林匹克八年级题 4. 【证】 设 a1,a2

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