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吉林省长白山2013学年高中数学 第一章同步检测1-1-2 新人教A版必修5


1-1-2 同步检测基础巩固强化
一、选择题 1.在△ABC 中,a=3,b= 7,c=2,那么 B 等于( ) A.30° B.45° C.60° D.120° 2.在△ABC 中,a=12,b=13,C=60°,此三角形的解的情况是( ) A.无解 B.一解 C.两解 D.不能确定 2 2 2 3.在△ABC 中,若 a<b<c,且 c <a +b

,则△ABC 为( ) A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.不存在 4.在钝角三角形 ABC 中,若 sinA<sinB<sinC,则( ) A.cosA?cosC>0 B.cosB?cosC>0 C.cosA?cosB>0 D.cosA?cosB?cosC>0 2 2 2 5.(2010~2011?醴陵二中、四中期中)在△ABC 中,已知 a =b +c +bc,则角 A 等于 ( ) π π A. B. 3 6 2π π 2π C. D. 或 3 3 3 6. 钝角三角形的三边为 a、+1、+2, a a 其最大角不超过 120°, a 的取值范围是( 则 ) 3 A.0<a<3 B. ≤a<3 2 5 C.2<a≤3 D.1≤a< 2 二、填空题 7.(2011?德州高二检测)在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若(a+b +c)(b+c-a)=3bc,则 A=________. 8.在△ABC 中,已知 sinA=2cosB?sinC,则三角形的形状为__________. 3 9.在△ABC 中,a=b+2,b=c+2,又最大角的正弦等于 ,则三边长为__________. 2 三、解答题 2 10.在△ABC 中,BC=a,AC=b,a、b 是方程 x -2 3x+2=0 的两个根,且 2cos(A +B)=1.求: (1)角 C 的度数; (2)AB 的长度. 能力拓展提升 一、选择题 11.如果等腰三角形的周长是底边边长的 5 倍,那么它的顶角的余弦值为( ) 5 3 A. B. 18 4 3 7 D. 2 8 12.(2010~2011?福建福州高二期中)在△ABC 中,内角 A、B、C 的对边分别是 a、b、 C.

c,若

= = ,则△ABC 是( cosA cosB cosC A.正三角形 C.直角三角形

a

b

c

) B.等腰三角形 D.等腰直角三角形
1

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13.在△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,若(a +c -b )tanB= 3ac,则 角 B 的值为( ) π π A. B. 6 3 π 5π π 2π C. 或 D. 或 6 6 3 3 14.在△ABC 中,若(a+b+c)(a+b-c)=3ab 且 sinC=2sinAcosB,则△ABC 是( ) A.等边三角形 B.等腰三角形,但不是等边三角形 C.等腰直角三角形 D.直角三角形,但不是等腰三角形 二、填空题 15.(2012?陕西文,13)在△ABC 中,角 A,B,C 所对边的长分别为 a,b,c.若 a=2, π B= ,c=2 3,则 b=________. 6 16.在△ABC 中,三个角 A,B,C 的对边边长分别为 a=3,b=4,c=6,则 bccosA+ cacosB+abcosC 的值为________. 三、解答题 20 17.在△ABC 中,已知 AB=10 2,A=45°,在 BC 边的长分别为 20, 3,5 的情况 3 下,求相应角 C. *18.在四边形 ABCD 中, 已知 BC=a, =2a, DC 四个内角 A、、、 的度数之比为 3:7:4:10, B C D 求 AB 的长. 备选题库 1.在△ABC 中,C=60°,a,b,c 分别为角 A,B,C 的对边,则

2

2

2

a

b+c c+a 2.在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c.若( 3b-c)cosA=acosC,则 cosA
=________. 3.在△ABC 中,已知 A>B>C,且 A=2C,b=4,a+c=8,则 a、c 的长分别为________. 4.(2011?营口高二检测)在△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,且 2b?cosA =c?cosA+a?cosC. (1)求角 A 的大小; (2)若 a= 7,b+c=4,求 bc 的值. 详解答案 1[答案] C [解析] cosB=



b

=________.

a2+c2-b2 9+4-7 1 = = , 2ac 12 2

∴B=60°. 2[答案] B [解析] 已知两边和夹角,三角形唯一确定. 3[答案] B 2 2 2 [解析] ∵c <a +b ,∴∠C 为锐角. ∵a<b<c,∴∠C 为最大角,∴△ABC 为锐角三角形. 4[答案] C [解析] 由正弦定理得,a<b<c,∴角 C 是最大角, ∴角 C 为钝角,∴cosC<0,cosA>0,cosB>0. 5[答案] C b2+c2-a2 1 2 2 2 [解析] a =b +c +bc 变形为 =- , 2bc 2
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1 2π ∴cosA=- ,∴A= . 2 3 6[答案] B 1 [分析] 钝角三角形最大角 α 不超过 120°,则 90°<α ≤120°,∴- ≤cosα <0. 2 [解析] ∵三角形为钝角三角形,最大边长为 a+2,则

?a+? a+1? >a+2 ? ? 1 a2+? a+1? 2-? a+2? ?-2≤ 2a? a+1? ?

2

<0



3 解得: ≤a<3,故选 B. 2 7[答案] 60° [解析] ∵(a+b+c)(b+c-a)=3bc, 2 2 2 2 2 ∴(b+c) -a =3bc,∴b +c -a =bc, 2 2 2 b +c -a 1 ∴cosA= = ,∴A=60°. 2bc 2 8[答案] 等腰三角形 [解析] 由正弦定理得 sinA= ,sinC= ;由余弦定理得 cosB= 2R 2R 2 2 2 a +c -b 2 2 所以 a=2? ?c,即 b =c . 2ac 所以 b=c.因此三角形为等腰三角形. 9[答案] 3,5,7 [解析] ∵a-b=2,b-c=2,∴a>b>c, 3 1 ∴最大角为 A.sinA= ,∴cosA=± , 2 2 设 c=x,则 b=x+2,a=x+4, x2+? x+2? 2-? x+4? 2 1 ∴ =± , 2x? x+2? 2 ∵x>0,∴x=3,故三边长为 3,5,7. 10[解析] (1)cosC=cos[π -(A+B)] 1 =-cos(A+B)=- , 2 ∴C=120°. (2)由题设:?
2 2

a

c

a2+c2-b2 . 2ac

?a+b=2 3 ?ab=2
2



∴AB =AC +BC -2AC?BCcosC 2 2 =b +a -2abcos120° 2 2 2 2 =a +b +ab=(a+b) -ab=(2 3) -2=10, ∴AB= 10. 11[答案] D

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3

[解析] 设等腰三角形的底边边长为 x,则两腰长为 2x(如图), 由余弦定理得 2 2 2 4x +4x -x 7 cosA= = , 2?2x?2x 8 故选 D. 12[答案] A sinA sinB sinC [解析] 由正弦定理及条件式可得 = = (*) cosA cosB cosC sinA sinB 由 = 得,sin(A-B)=0, cosA cosB ∵0<A<π ,0<B<π ,∴-π <A-B<π , ∴A-B=0,同理 B-C=0,∴A=B=C. [点评] (*)式即 tanA=tanB=tanC,∵0<A,B,C<π ,∴A=B=C. 13[答案] D a2+c2-b2 3 [解析] 依题意得, ?tanB= , 2ac 2 3 π 2π ,∴B= 或 B= ,选 D. 2 3 3 14[答案] A [解析] ∵(a+b+c)(a+b-c)=3ab, 2 2 2 即 a +b -c =ab, a2+b2-c2 1 ∴cosC= = , 2ab 2 ∴C=60°. 又 sinC=2sinAcosB, ∴sin(A+B)=sin(A+B)+sin(A-B), 即 sin(A-B)=0,∴A=B,∴A=B=C=60°. ∴△ABC 为等边三角形. 15[答案] 2 [解析] 本题考查了余弦定理的应用 ∴sinB= 3 =4,可得 b=2. 2 [点评] 在解三角形时,一般具备两边及其夹角这一条件时,应用余弦定理来解决. 61 16[答案] 2 b2+c2-a2 c2+a2-b2 a2+b2-c2 a2+b2+c2 [解析] ∵bccosA+cacosB+abcosC= + + = 2 2 2 2 61 = . 2 由 b =a +c -2accosB=4+12-2?2?2 3?
2 2 2

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4

17[解析] 由正弦定理得 sinC=

ABsinA 10 = , BC BC

1 (1)当 BC=20 时,sinC= , 2 ∵BC>AB,∴A>C,∴C=30°. 20 3 (2)当 BC= 3时,sinC= , 3 2 ∵AB?sin45°<BC<AB, ∴C 有两解,∴C=60°或 120°, (3)当 BC=5 时,sinC=2>1,∴C 不存在. 18[解析] 设四个角 A、B、C、D 的度数依次为 3x,7x,4x,10x 则 3x+7x+4x+10x=360°,∴x=15°, ∴A=45°,B=105°,C=60°,D=150°. 在△BCD 中,由余弦定理: BD2=a2+(2a)2-2?a?2acos60°=3a2, ∴BD= 3a. 2 2 2 此时有 DC =BD +BC ,∴△BCD 为直角三角形,∠CDB=30°,∴∠ADB=120°. BD?sin∠ADB 3asin120° 3 2a 在△ABD 中,由正弦定理:AB= = = . sinA sin45° 2 备选题库 1[答案] 1 2 2 2 [解析] ∵C=60°,∴a +b -c =ab, 2 2 2 ∴a +b =ab+c , 等式两边都加上 ac+bc,整理得 2 2 (a +ac)+(b +bc)=(b+c)(a+c), 2 2 a b ? ac+a ? ? b +bc? ∴ + = =1. b+c c+a ? b+c? ? c+a? 2[答案] 3 3

[解析] 由正弦定理得( 3sinB-sinC)cosA=sinAcosC,即 3sinBcosA=sinAcosC+ sinCcosA, 3 即 3sinBcosA=sin(A+C)=sinB,故 cosA= . 3 24 16 3[答案] , 5 5 [解析] 由正弦定理得:

a

sinA sinC



c a c

∵A=2C,∴ = ,即 = , sin2C sinC 2sinCcosC sinC ∴cosC= .① 2c 又由已知 a+c=8=2b 及余弦定理知: a+c 2 2 a2+? ? -c 2 a2+b2-c2 cosC= = 2ba a? a+c? ? 5a-3c? ? a+c? 5a-3c = = ,② 4a? a+c? 4a a 5a-3c 由①②可知: = ,整理得: 2c 4a
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a

c

a

(2a-3c)(a-c)=0, ∵A>B>C,∴a≠c,∴2a=3c. 24 16 又∵a+c=8,∴a= ,c= . 5 5 4[解析] (1)根据正弦定理 2b?cosA=c?cosA+a?cosC 可化为 2cosAsinB=sinCcosA+sinAcosC=sin(A+C)=sinB, 1 ∵sinB≠0,∴cosA= , 2 ∵0°<A<180°,∴A=60°. (2)由余弦定理得: 2 2 2 2 2 2 7=a =b +c -2bc?cos60°=b +c -bc=(b+c) -3bc, 把 b+c=4 代入得 bc=3.

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