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湖北省大悟县楚才高级中学高中物理 1.1库仑定律和电场强度竞赛试题


湖北省大悟县楚才高级中学高中物理 1.1 库仑定律和电场强 度竞赛试题

我们熟知的摩擦起电就是电荷在不同物体间的转移,静电感应现象是电荷在同一物体上、 不同部位间的转移。 此外, 液体和气体的电离以及电中和等实 验现象都遵循电荷守恒定律。 1.1.2、库仑定律 真空中,两个静止的点电荷 q1 和 q2 之间的相互作用力的大小和两 点电荷电量的乘积 成正比,和它们之间距离 r 的平方成正比;作用力的方向沿它们的连线,同号相斥,异号 相吸

F ?k

q1 q 2 r2

式中 k 是比例常数,依赖于各量所用的单位,在国际单位制( SI )中的数值为:

k ? 9 ?10 N ? m / C ( 常 将 k 写 成
9 2 2

k?

1 4?? 0 的 形 式 , ? 0 是 真 空 介 电 常 数 ,

? 0 ? 8.85?10?12 C 2 / N ? m2 )
库仑定律成立的条件,归纳起来有三条: (1)电荷是点电荷; (2)两点电荷是静止或 相对静止的; (3)只适用真空。 条件(1)很容易理解,但我们可以把任何连续分布的电荷看成无限多 个电荷元(可 视作点电荷)的集合,再利用叠加 原理,求得非点电荷情况下,库仑力的大小。由于库 仑
1

定律给出的是一种静电场分布,因此在应用库仑定律时,可以把条件(2)放宽到静止源 电荷对运动电荷的作用,但不能 推广到运动源电荷对静止电荷的作用,因为有推迟效应。 关于条件(3) ,其实库仑定律不仅适用于真空,也适用于导体和介质。当空间有了导体或 介质时,无非是出现一些新电荷——感应电荷和极化电荷,此时必须考虑它们对源电场的 影响,但它们也遵循库仑定律。 1.1.3、电场强度 电场强度是从力的角度描述电场的物理量,其定义式为

E?

F q

式中 q 是引入电场中的检验电荷的电量,F 是 q 受到的电场力。 借助于库仑定律,可以计算出在真空中点电荷所产生的电场中各点的电场强度为

Qq 2 F Q E? ?k r ?k 2 q q r
式中 r 为该点到场源电荷的距离,Q 为场源电荷的电量。

1.1.4、场强的叠加原理 在若干场源电荷所激发的电场中任一点的总场强, 等于每个场源电荷单独存在时在该 点所激发的场强的矢量和。 原则上讲,有库仑定律和叠加原理就可解决静电学中的全部问题。 例 1、如图 1-1-1(a)所示,在半径为 R、体电荷密度为 ? 的均匀带电球体内部挖去 半径为 R? 的一个小球,小球球心 O? 与大球球心 O 相距为 a,试求 O? 的电场强度,并证明 空腔内电场均匀。

2

分析: 把挖去空腔的带电球看作由带电大球 ?R, ? ? 与带异号电 的小球 ?R?,? ? ? 构成。由公式求出它们各自在 O? 的电场强度,再叠 加即得
O

R

O? R?

E0? 。这是利用不具有对称性的带电体的特点,把它凑成由若

干具有对称性的带电体组成,使问题得以简化。 在小球内任取一点 P,用同样的方法求出 E P ,比较 E P 和 是均匀的。采用矢量表述,可使证明简单明确。 解: 由公式可得均匀带电大球(无空腔)在 O? 点的 O 电场强度

图 1-1-1(a)
E0? , 即可证明空腔内电场

a

O?

E大球

B

r

E

大球 , o ?

kQa 4 ? ? ?k?a R 3 ,方向为 O 指向 O? 。
3

P

图 1-1-1 ( b ) (b)

同理,均匀带异号电荷的小球 的电场强度

?R?,? ? ? 在球心 O? 点

E

大球, o ?

?0 ?E
4 o? ? ?k?a 3 ,
?

所以

Eo? ? E

大球, o ?

小球

如图 1-1-1 (b) 所示, 在小球内任取一点 P, 设从 O 点到 O? 点的矢量为 a ,O?P 为 b ,

?

? OP 为 r 。则 P 点的电场强度 E P 为

? ? ? EP ? E大球 , p ? E小球p
?? 4 ? ? 4 ? ?k?r ? ? ? ?k?b ? 3 ? 3 ?
4 4 ? ? ? ? ?k? (r ? b ) ? ?k?a 3 3 ? ? 可见: EP ? E0
因 P 点任取,故球形空腔内的电场是均匀的。 1.1.5、 电通量、高斯定理、

(1) 磁通量是指穿过某一截面的磁感应线的总条数, 其大小为 ? ? BS sin ? , 其中 ?
3

为截面与磁感线的夹角。与此相似,电通量是指穿过某一截面的电场线的条数,其大小为

? ? ES sin ?
? 为截面与电场线的夹角。
高斯定量:在任意场源所激发的电场中,对任一闭合曲面的总通量可以表示为

? ? 4?k ? qi
数 式中 k 是静电常量,

k?


1 4?? 0 )

? 0 ? 8.85 ?10?12 C 2 / Nm为真空介电常

? q 为闭合曲面所围的所有电荷电量的代数和。由于高中缺少
i

高等数学知识,因此选取的高斯面即闭合曲面,往往和电场线垂直或平行,这样便于电通 量的计算。尽管高中教学对高斯定律不作要求,但笔者认为简单了解高斯定律的内容,并 利用高斯定律推导几种特殊电场,这对掌握几种特殊电场的分布是很有帮助的。 (2)利用高斯定理求几种常见带电体的场强 ①无限长均匀带电直线的电场 一无限长直线均匀带电,电荷线密度为

? ,如图 1-1-2(a)所示。考察点 P 到直线
的距离为 r。由于带电直线无限长且均匀带 电,因此直线周围的电场在竖直方向分量为 零,即径向分布,且关于直线对称。取以长 直线为主轴, 半径为 r,长为 l 的圆柱面为 高斯面,如图 1-1-2(b) ,上下表面与电场 平行,侧面与电场垂直,因此电通量

? ? ? ? ? ?

r

P

l

? ? ? ? ? ?

r

P

图 1-1-2 (a)

图 1-1-2 (b )

? ? E ? 2?r ? l ? 4?k ?qi ? 4?kl ??

4

E?

2 k? r

②无限大均匀带电平面的电场 根据无限大均匀带电平面的对称性,可以 判定 整个带电平面上的电荷产生的电场的场强与带电平 面垂直并指向两侧,在离平面等距离的各点场强应 相等。因此可作一柱形高斯面,使其侧面与带电平 面垂直,两底分别与带电平面平行,并位于离带电 平面等距离的两侧如图 1-1-3 由高斯定律:

E

图 1-1-3

? ? 2E ? S ? 4?k ? qi
? 4?k ? ?S

E ? 2?k?

? ?

Q S

式中 ? 为电荷的面密度,由公式可知,无限大均匀带电平面两侧是匀强电场。 平行板电容器可认为由两块无限带电均匀导体板构成,其间场强为 E ? ,则由场强叠 加原理可知

E ? ? 4?k?
③均匀带电球壳的场强 有一半径为 R,电量为 Q 的均匀带电球壳,如图 1-1-4。由于电荷 分布的对称性,故不难理解球壳内外电场的分布应具有球对称性,因此 可在球壳内外取同心球面为高斯面。对高斯面 1 而言:
2 1

? ? E ? 4?r 2 ? 4?k ? qi ? 0, E ? 0 ;
对高斯面 2:

图 1-1-4

? ? E ? 4?r 2 ? 4?k ? qi ? 4?kQ , E ?

kQ r 。
5

? ? o E ? ? kQ ? ? r2

r?R r?R

④球对称分布的带电球体的场强 推导方法同上,如图 1-1-4, 对高斯面 1,

? ? E ? 4?r 2 ? 4?k ? qi ? 4?k
对高斯面 2,

r3 kQr Q, E ? 3 3 R R ;

? ? E ? 4?r 2 ? 4?k ? qi ? 4?kQ , E ?

kQ r2 。

? kQr ? E?? R kQ ? ? r
3 2

r?R r?R

⑤电偶极子产生的电场 真空中一对相距为 l 的带等量异号电荷的点电荷系统 ?? q,?q ? , 且 l 远小于讨论中所 涉及的距离, 这样的电荷体系称为电偶极子, 并且把连接两电荷的直线称为电偶 极子的轴 线,将电量 q 与两点电荷间距 l 的乘积定义为电偶极矩。 a.设两电荷连线中垂面上有一点 P,该点到两电荷连线的距离为 r,则 P 点的场强如 图 1-1-5 所示,其中

E? ? E? ? k

q r2 ? l2 4
E

E?

?

E ? 2 E? cos? ? 2k

q r2 ? l2 4

?

l 2 r2 ? l2 4
?q

E?

r
? l/2 q

l/2

图 1-1-5
6

?k

ql ql ?k 3 2 3 r l (r 2 ? ) 2 4

b.若 P? 为两电荷延长线上的一点, P? 到两电荷连线中点的距离为 r,如图 1-1-6 所 示,则

E? ? k

q l? ? ?r ? ? 2? ?
2

, E? ? k

q l? ? ?r ? ? 2? ?
2

,

? ? ? ? 1 1 ? ? E ? E? ? E? ? kq ? 2 2 ?? l? ? l? ? ?? r ? ? ? r ? ? ? 2? ? 2? ? ??

?q

?q l/2 l/2

P?

E?

E?

r

q ?k 2 r
?k

?2 ?2 ?? l ? l ? ? ? ??1 ? ? ? ?1 ? ? ? ? 2r ? ? ?? 2r ? ? ?

图 1-1-6

q? l l? 1 ? ?1 ? ? 2 ? r ? r r?
2ql r3

?k

c.若 T 为空间任意一点, 它到两电荷连线的中点的距离为 r, 如图 1-1-7 所示, 则 ql? 在 T 点产生的场强分量为

ql 2ql sin ? E? ? k 3? ? k r r3 ,

ET E?

?

E//

ql 由 // 在 T 点产生的场强分量为
E// ? k


T

2ql // 2ql cos ? ?k 3 r r3

?q

?q

ql ET ? E ? E ? k 3 3 cos 2 ? ? 1, r
2 ? 2 //

图 1-1-7

tan? ?

E? sin ? 1 ? ? tan? E// 2 cos? 2

例 2、如图所示,在-d≤x≤d 的空间区域内(y,z 方向无限延伸)均匀分布着密度
7

为ρ 的正电荷,此外均为真空 (1 )试求

x

≤d 处的场强分布;

(2)若将一质量为 m,电量为 ? ? 的带点质点,从 x=d 处由静止释放,试问该带电 质点经过过多长时间第一次到达 x=0 处。 解: 根据给定区域电荷分布均匀且对称,在 y、z 方向无限伸展的特点,我们想象 存在这样一个圆柱体,底面积为 S,高为 2x, 左、右底面在 x 轴上的坐标分别是-x 和 x,如
?d

P
O
S

E
d

x

图 1-1-8 所示。可以判断圆柱体左、右底面处 的场强必定相等,且方向分别是逆 x 轴方向和 顺 x 轴方向。再根据高斯定理,便可求出坐标 为 x 处的电场强度。

2x

图 1-1-8

(1)根据高斯定律 E ? 2S ? 4?k ? ? ? S ? 2 x 。坐标为 x 处的场强:

E ? 4?k?x ( x ≤d) ,x>0 时,场强与 x 轴同向,x<0 时,场强与 x 轴反向。
(2)若将一质量为 m、电量为 ? q 的带电质点置于此电场中,质点所 受的电场力为:

F ? ?qE ? ?4?k?qx ( x ≤d)
显然质点所受的电场力总是与位移 x 成正比,且与位移方向相反,符合准弹性力的特 点。质点在电场力的运动是简谐振动,振动的周期为

T ? 2?

m ?m ? 4?k?q k?q

当质点从 x=d 处静止释放,第一次达到 x=0 处所用的时间为

t?

T T ?m ? 4 4 k?q

8


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