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深圳外国语学校高二数学周测题(10.8)


深圳外国语学校高二数学周测题(10.8)
新学号:
一项是符合题目要求的) 1. 数列 3,33,333,3333,…前 n 项的和为 ( )

班级:

姓名:

一、选择题: (本题共 12 小题,每小题 4 分,共 48 分,在每小题给出的四个选项中,只有

1 (10 n

?1 ? 9n) 27 1 (10 n ? 9n ? 10) C. 27
A.

1 (10 n ?1 ? 19) 27 1 (10 n ?1 ? 9n ? 10) D. 27
B.

2.已知?ABC中,AB= m2 ? n2 , AC= m2 ? t 2 , BC= t 2 ? n2 , 其中m, n, t ? (0, ??), 则?ABC是:
A、直角三角形 C、锐角三角形 B、钝角三角形 D、以上三种情况都有可能

3 3.在?ABC中,a,b,c分别为角A,B,C的对边;a,b,c边成等差数列,B=300 , S?ABC ? , 则b=( 2 1+ 3 2+ 3 A. B.1+ 3 C. D.2+ 3 2 2 2 2 2 4.在△ ABC 中,若 sin A ? sin B ? sin C ,则△ ABC 的形状是( )

)

A、钝角三角形
5. 数列

B、直角三角形
的一个通项公式是

C、锐角三角形

D、不能确定
( )

6. 在△ ABC 中,若 ?A ? 60 , ?B ? 45 , BC ? 3 2 ,则 AC ? A. 4 3 B. 2 3 C.

n3 ? n 2n ? 1 2 n ( n ? 1) ? 1 C. a n ? (?1) 2n ? 1
n A. a n ? (?1)

8 15 24 ? 1, ,? , , ? 5 7 9

n( n ? 3) 2n ? 1 n(n ? 2) a n ? (?1) n D. 2n ? 1 a n ? (?1) n B.

3

D.

3 2
D.S20

.7. 在等差数列{an}中,a10<0,a11>0,且 a11>|a10|,则{an}的前 n 项和 Sn 中最大的负数为( )
A.S17 B.S18 C.S19

8.已知?ABC中,AB=6, AC=5, BC=3, S?ABC =( A. 14 B.2 14 C. 7 D.2 7

)

9. 设 ?an ? 为 公 差 为 - 2 的 等 差 数 列 , 如 果 a1 ?a4 ? a7 ? ? ? a97 ? 50 , 那 么

a 3 ?a6 ? a9 ? ? ? a99 的值为
A. -82 B. -78 C. -148





D. -182

10.设△ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若三边的长为连续的 三个正整数,且 A>B>C,3b=20acosA,则 sinA∶sinB∶sinC 为 A.4∶3∶2 B.5∶6∶7 C.5∶4∶3 D.6∶5∶4

11. 在△ABC 中,AC= 7 ,BC=2,B =60°,则 BC 边上的高等于

A.

3 2
A.

B.

3 3 2

C.

3? 6 2
1 70

D.

3 ? 39 4
) C.

12. 将 1,2, …,9 这 9 个数平均分成三组,则每组的三个数都成等差数列的概率为 (

1 56

B.

1 336

D.

1 420
.

二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分,把答案填在题中的横线上)
13.在?ABC中,a=xcm,b=2cm,B=45 ,若利用正弦定理解三角形时有两解,则x的取值范围是

14.数列{ an }中,a1 ? 7 , a2 ? 24 ,对所有自然数 n, 都有 an?1 ? an ? an?2 ,则 a2005 = 15. 在△ABC 中,若 a=3,b= 3 ,∠A=

.

? ,则∠C 的大小为_________。 3
1 2 3 1 3 2 2 1 3 2 3 1 3 1 2 3 2 1
n

16. 用 n 个不同的实数 a1,a2,┄ an 可得 n!个不同的排列,每个排列为一行写成 一个 n!行的数阵.对第 i 行 ai1,ai2,┄ ,ain,记 bi=- ai1+2ai2-3 ai3+┄ +(-1) nain, i=1,2,3, ┄ ,n!.用 1,2,3 可你数阵如右,由于此数阵中每一列各数之和都 是 12,所以,b1+b2+┄ +b6=-12+2 ? 12-3 ? 12=-24.那么,在用 1,2,3,4,5 形成 的数阵中, b1+b2+┄ +b120= .

答题卡
一、选择题: (本题共 12 小题,每小题 4 分,共 48 分)

题号 1 答案

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分)

题号 答案

13

14

15

16

三、解答题(本大题共 6 小题,共 56 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17、 (10 分) 在△ABC 中, 内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c, 且 bsinA= 3 acosB。

(1)求角 B 的大小; (2)若 b=3,sinC=2sinA,求 a,c 的值.

18、 (10 分)如图,作边长为 a 的正三角形的内切圆,在这个圆内作内接正三角形,然后, 再作新三角形的内切圆.如此下去,求前 n 个内切圆的面积和.

.

19、 (10 分) 已 知 数 列 f ? n? 中 , f ?1? ? 1, f ? 2? ? 2, f ? n ? ? f ? n ? 2? ? 2n?1 (n ? 2, n ? N

?

?

*

), 求

f ? n ? 的表达式.

20、 (10 分)观察下面的数阵, 容易看出, 第 n 行最右边的数是 n , 那么第 20 行最左边 的数是几?第 20 行所有数的和是多少? 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 … … … … … …

2

21、 (8 分)在△ABC 中,已知 AB ? 的值.

4 6 6 , cos B ? , AC 边上的中线 BD= 5 ,求 sinA 3 6

22、 (8 分)已知数列{an}满足 a1=a, an+1=1+ 列,如当 a=1 时,得到无穷数列: 1,2, (Ⅰ)求当 a 为何值时 a4=0; (Ⅱ)设数列{bn}满足 b1=-1, bn+1= 可以得到一个有穷数列{an}; (Ⅲ)若

1 我们知道当 a 取不同的值时,得到不同的数 an

3 5 1 1 , , ?;当a ? ? 时, 得到有穷数列 : ? ,?1,0. 2 3 2 2

1 (n ? N ? ) ,求证 a 取数列{bn}中的任一个数,都 bn ? 1

3 ? a n ? 2( n ? 4) ,求 a 的取值范围. 2

深圳外国语学校高二数学周测题(10.8) 参考答案
一、选择题: (本题共 12 小题,每小题 4 分,共 48 分)

题号 1 答案 D

2 C

3 B

4 A

5 D

6 B

7 C

8 B

9 A

10 D

11 B

12 A

二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分)

题号 答案
三、解答题 17. 【解析】 (1)

13
2? x?2 2

14 7

15

16 —1080

90 ?

bsinA= 3 acosB,由正弦定理可得 sin B sin A ? 3 sin A cos B ,

即得 tan B ? 3 ,? B ?

?
3

.

(2) sinC=2sinA,由正弦定理得 c ? 2a ,由余弦定理 b2 ? a2 ? c2 ? 2ac cos B ,
9 ? a 2 ? 4a 2 ? 2a ? 2a cos

?
3

,解得 a ? 3 ,?c ? 2a ? 2 3 .

18、解:设第 n 个正三角形的内切圆的半径为 an ,因为从第 2 个正三角形开始,每一个正 三角形的边长是前一个正三角形边长的

1 ,每一个正三角形内切圆的半径也是前一个正三 2

角形内切圆半径的 积和为

1 1 1 3 ? .由题意知 a1 ? a tan 30 ? a , an ? an ?1 .故前 n 个内切圆的面 2 2 2 6

n ?1 ? 1 ? 1 ?2 ?1? ? ? ? a ? a ? ? a ? ? ? a ?1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?4? ? ? ? 4 ?4? ? n ?1? 1? ? ? 2 ?a ? a2 1 4 ? ? ? ? ? (1 ? n ) . 1 12 9 4 1? 4 2 1 2 2 2 n 2 1

19 . 解 :

当 n 为 偶 数 时 ,

f ? n? ? f ? n ? 2? ? 2n?1 ? f ? n ? 4? ? 2n?1 ? 2n?3
1 n ?1 ? 2 ? 2? . 3

? ? f ? 2? ? 2n?1 ? 2n?3 ? ?23 ? 2n ?1 ? 2n ?3 ? 2n ?5 ? ?23 ? 2 ?
当 n 为 奇 数 时 , f ? n ? ? f ? n ? 2? ? 2
n?1

? f ? n ? 4? ? 2n?1 ? 2n?3

? ? f ?1? ? 2n?1 ? 2n?3 ? ?22
? 2n?1 ? 2n?3 ? 2n?5 ? ?22 ? 1 ? 1 ? 2n?1 1 n?1 ? ? 2 ? 1? . 3 1 ? 22

? 1 n ?1 ? 2 ? 2 ? , (n为偶数时) ? ?3 ? f ?n? ? ? ? 1 ? 2n ?1 ? 1? , (n为奇数时) ? ?3
20、解:第 20 行最左边的数为 19 ? 1 ? 362 ,第 20 行共有 2 ? 20 ? 1 ? 39 个连续的自然数,
2

它们的和是

39 ? ? 362 ? 400 ? ? 14859 . 2
1 2 6 AB ? , 设BE ? x, 2 3

21、解:设 E 为 BC 的中点,连接 DE,则 DE//AB,且 DE=
2 2 2

在△BDE 中利用余弦定理可得:BD =BE +ED -2BE·EDcosBED,

8 2 6 6 5 ? x2 ? ? 2 ? ? x, 3 3 6
7 28 解得x ? 1, x ? ? (舍去), 故BC ? 2, 从而AC 2 ? AB 2 ? BC 2 ? 2 AB ? BC cos B ? , 3 3
2 21 2 21 30 2 70 即AC ? , 又 sin B ? ,故 ? 3 ,sin A ? . 3 6 sin A 14 30 6
22、解: (I)? a1 ? a, a n ?1 ? 1 ?

1 , an

? a2 ? 1 ?

1 1 a ?1 1 2a ? 1 1 3a ? 2 2 ? 1? ? , a 3? 1? ? , a 4? 1 ? ? .故当a ? ? 时a ? 4 0. a1 a a a 2 a ?1 a 3 2a ? 1 3 b 1 ,? bn ? ? 1. bn ? 1 bn ?1

( II ) b1 ? ?1, bn ?1 ?

a取数列{bn }中的任一个数不妨设a ? bn . a ? bn ,? a2 ? 1 ? ? an ? 1 ? 1 1 1 1 ? 1 ? ? bn ?1.? a3 ? 1 ? ? 1 ? ? bn ? 2 . a1 bn a2 bn ?1

1 1 ? 1 ? ? b1 ? ?1. an ?1 b2

? an ?1 ? 0.
故 a 取数列{bn}中的任一个数,都可以得到一个有穷数列{an} (III)
3 3 1 3 要使 ? an ? 2(n ? 4),即 ? 1 ? ? 2,?1 ? an ?1 ? 2.? 要使 ? an ? 2, 当且仅当它的前一项an ?1满足1 ? an ?1 ? 2. 2 2 an ?1 2 3 3 3 3a ? 2 3 3a ? 2 ( , 2) ? (1, 2),?只需当a4 ? ( , 2)时, 都有an ? ( , 2)(n ? 5).由a4 ? ,得 ? ? 2. 2 2 2 2a ? 1 2 2a ? 1 1 ? 3 3a ? 2 ? ? , ?a ? ? ? ? 2 2a ? 1 ? 2 解不等式 ? 得? , 故a ? 0. ? 3a ? 2 ? 2 ?a ? 0, a ? ? 1 ? ? 2a ? 1 ? 2 ?


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