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2015年高考数学真题分类汇编


2015 年高考数学真题分类汇编三角函数与解三角形 文
5 ,且 ? 为第四象限角,则 tan ? 的值等于( ) 13 12 12 5 5 A. B. ? C. D. ? 5 5 12 12 5 12 【答案】 D 【解析】由 sin ? ? ? ,且 ? 为第四象限角,则 cos ? ? 1 ? sin 2 ? ? ,则 13 13 sin ? 5 tan ? ?

? ? ,故选 D. cos ? 12 1 1 2.【2015 高考重庆,文 6】若 tan a = , tan(a + b ) = ,则 tan b = ( ) 3 2 1 1 5 5 (A) (B) (C) (D) 7 6 7 6 1 1 ? tan(? ? ? ) ? tan ? 1 【答案】A【解析】 tan ? ? tan[(? ? ? ) ? ? ] ? ? 2 3 ? ,故选 A. 1 1 1 ? tan(? ? ? ) tan ? 1 ? ? 7 2 3
1.【2015 高考福建,文 6】若 sin ? ? ?

【答案】 A 【解析】 cos 2? ? 0 ? cos 2 ? ? sin 2 ? ? 0 ? (cos ? ? sin ? )(cos ? ? sin ? ) ? 0 , 所以 sin ? ? cos ? 或 sin ? ? ? cos ? ,故答案选 A . 【2015 高考上海, 文 17】 已知点 A 的坐标为 (4 3 ,1) , 将 OA 绕坐标原点 O 逆时针旋转 则点 B 的纵坐标为( A. ). B.

?
3

至 OB ,

3 3 2

5 3 2

C.

11 2

D.

13 2

【答案】 D【解析】设直线 OA 的倾斜角为 ? , B (m, n)(m ? 0, n ? 0) ,则直线 OB 的倾斜角为

?
3

? ? ,因为 A(4 3 ,1) ,所以 tan ? ?

1 4 3

, tan(

?
3

??) ?

n n 4 3 ? 13 ,即 , ? m m 1? 3 ? 1 3 3 4 3

3?

1

3.【2015 高考山东,文 4】要得到函数 y ? sin (4 x ? 象( ) (A)向左平移

? ) 的图象,只需要将函数 y ? sin 4 x 的图 3

27 2 27 2 13 13 因为 m 2 ? n 2 ? (4 3 ) 2 ? 12 ? 49 , 所以 n 2 ? 所以 n ? 或n ? ? n , n ? 49 , 169 169 2 2 13 (舍去) ,所以点 B 的纵坐标为 . 2 m2 ?

c. C 的对边分别为 a , b, c?2 3, 5. 【2015 高考广东, 文 5】 设 ???C 的内角 ? , 若a ? 2, ?,
cos ? ? 3 ,且 b ? c ,则 b ? ( 2
B. 2 )

?
12

个单位

(B)向右平移

?
12

个单位 A. 3

C. 2 2

D. 3

(C)向左平移

? 个单位 3

(D)向右平移

? 个单位 3
?
12 ) ,所以,只需要将函数 y ? sin 4 x 的图

【答案】B【解析】由余弦定理得: a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos ? ,所以

【答案】 B 【解析】因为 y ? sin(4 x ?

?
3

) ? sin 4( x ?

22 ? b 2 ? 2 3

?

?

2

? 2?b? 2 3 ?

3 ,即 b 2 ? 6b ? 8 ? 0 ,解得: b ? 2 或 b ? 4 ,因为 b ? c , 2

象向右平移

?
12

个单位,故选 B . )

所以 b ? 2 ,故选 B. 6.【2015 高考浙江,文 11】函数 f ? x ? ? sin 2 x ? sin x cos x ? 1 的最小正周期是 小值是 . ,最

4.【2015 高考陕西,文 6】 “ sin ? ? cos ? ”是“ cos 2? ? 0 ”的(

A 充分不必要条件

B 必要不充分条件

C 充分必要条件

D 既不充分也不必要
-1-

3? 2 【答案】 ? , 2
1 1 ? cos 2 x 1 1 3 【解析】 f ? x ? ? sin 2 x ? sin x cos x ? 1 ? sin 2 x ? ? 1 ? sin 2 x ? cos 2 x ? 2 2 2 2 2

当 sin(

?
6

x ? ? ) ? 1 时, ymax ? 3 ?1 ? 5 ? 8 ,故答案为 8.
.

【2015 高考上海,文 1】函数 f ( x) ? 1 ? 3 sin 2 x 的最小正周期为 【答案】 ? 【解析】因为 2 sin 2 x ? 1 ? cos 2 x ,所以 f ( x) ? 1 ? 所以函数 f ( x) 的最小正周期为

?

2 ? 3 3 2 2? . sin(2 x ? ) ? ,所以 T ? ? ? ; f ( x) min ? ? 2 4 2 2 2 2

2? ?? . 2

3 1 3 (1 ? cos 2 x) ? ? ? cos 2 x , 2 2 2

7.【2015 高考福建,文 14】若 ?ABC 中, AC ? 【 答案】

3 , A ? 450 , C ? 750 ,则 BC ? _______.
AC BC ,则 ? sin B sin A

10.【2015 高考湖南,文 15】已知 ? >0,在函数 y=2sin ? x 与 y=2cos ? x 的图像的交点中,距离 最短的两个交点的距离为 2 3 ,则 ? =_____. 【答案】 ? ?

2 【 解析】 由题意 得 B ? 1800 ? A ? C ? 600 .由正 弦定理 得

?
2

2 3? AC sin A 2 ? 2. ,所以 BC ? BC ? sin B 3 2
8. 【 2015 高 考 重 庆 , 文 13 】 设 ?ABC 的 内 角 A , B , C 的 对 边 分 别 为 a, b, c , 且

【解析】由题根据三角函数图像与性质可得交点坐标为

1 ? 1 5? ( (k1? ? , 2),( (k2? ? , ? 2),k1,k2 ? Z ? , 距离最短的两个交点一定在同一个 ? 4 ? 4 2 1 5? ? 2 ? 2 周期内,? 2 3 ? 2 . ( ? )? ( ? 2 ? 2) , ?? ? ? 4 4 2

?

?

11.【2015 高考天津,文 14】已知函数 f ? x ? ? sin ? x ? cos ? x ?? ? 0 ? , x ? R ,若函数 f ? x ? 在 区间 ? ?? , ? ? 内单调递增,且函数 f ? x ? 的图像关于直线 x ? ? 对称,则 ? 的值为 .

1 , 3sin A = 2sin B ,则 c=________. 4 【答案】4【解析】由 3sin A = 2sin B 及正弦定理知: 3a ? 2b ,又因为 a ? 2 ,所以 b ? 2 , a = 2, cos C = 1 由余弦定理得: c ? a ? b ? 2ab cos C ? 4 ? 9 ? 2 ? 2 ? 3 ? (? ) ? 16 ,所以 c ? 4 ;故填:4. 4
2 2 2

【答案】

π 【解析】 由 f ? x ? 在区间 ? ?? , ? ? 内单调递增,且 f ? x ? 的图像关于直线 x ? ? 对称, 2
2? ? π

9.【2015 高考陕西,文 14】如图,某港口一天 6 时到 18 时的谁深变化曲线近似满足函数 y= 3sin(





?
6

?

,



x+Φ )+k,据此函数可知,这段时间水深(单位:m)的最大值为____________.

π? ? f ?? ? ? sin ? 2 ? cos ? 2 ? 2 ? sin ? ? 2 ? ? ? 1 4? ?

,





?2 ?

π π π ? ?? ? . 4 2 2
2

12. 【 2015 高 考 四 川 , 文 13 】 已 知 sinα + 2cosα = 0 , 则 2sinα cosα - cos α ______________. 【答案】-1【解析】由已知可得,sinα =-2cosα ,即 tanα =-2

的值是

【答案】8【解析】由图像得,当 sin(

?
6

x ? ? ) ? ?1 时 ymin ? 2 ,求得 k ? 5 ,

2sinα cosα -cos α =

2

2sin ? cos ? ? cos 2 ? 2 tan ? ? 1 ?4 ? 1 ? ? ? ?1 sin 2 ? ? cos 2 ? tan 2 ? ? 1 4 ? 1
-2-

13. 【 2015 高 考 安 徽 , 文 12 】 在 ?ABC 中 , AB ?

6 , ?A ? 75? , ?B ? 45? , 则

| f ( xi ) ? f ( x j ) |? f ( x) max ? f ( x) min ? 2 ,
欲 使 m 取 得 最 小 值 , 尽 可 能 多 的 让 xi (i ? 1,2,3,? ? ?, m) 取 得 最 高 点 , 考 虑

AC ?

.

答案 2 解析由正弦定理可知:

AB AC 6 AC ? ? ? ? AC ? 2 ? ? ? ? sin[180 ? (75 ? 45 )] sin 45 sin 60 sin 45?
?

0 ? x1 ? x2 ? ? ? ? ? xm ? 6?

| f ( x1 ) ? f ( x2 ) | ? | f ( x2 ) ? f ( x3 ) | ? ? ? ? ? | f ( xm ?1 ) ? f ( xm ) |? 12

14.【2015 高考湖北,文 15】如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到 A 处时测得公 路北侧一山 顶 D 在西偏北 30? 的方向上, 行驶 600m 后到达 B 处, 测得此山顶在西偏北 75? 的方向上, 仰角为 30? , 则此 山的高度 CD ? _________m.
D

(m ? 2, m ? N ? ) 按下图取值满足条件,所以 m 的最小值为 8.

C B A

15.【2015 高考北京,文 11】在 ???C 中, a ? 3 , b ?

6 , ?? ?

2? ,则 ?? ? 3



【答案】 100 6 . 【解析】在 ?ABC 中, ?CAB ? 300 , ?ACB ? 750 ? 300 ? 450 ,根据正弦定理知,
BC AB AB 600 1 ,即 BC ? ? ? sin ?BAC ? ? ? 300 2 ,所 sin ?BAC sin ?ACB sin ?ACB 2 2 2

【答案】

3 6 2 ? a b 【解析】由正弦定理,得 ,即 ,所以 sin B ? ,所以 ? ? 2 4 sin A sin B 3 sin B 2

?B ?

?
4

.

CD ? BC ? tan ?DBC ? 300 2 ?

3 ? 100 6 ,故应填 100 6 . 3

16.【2015 高考北京,文 15】 (本小题满分 13 分)已知函数 f ? x ? ? sin x ? 2 3 sin 2 (I)求 f ? x ? 的最小正周期; (II)求 f ? x ? 在区间 ? 0,

x . 2

【 2015 高 考 上 海 , 文 14 】 已 知 函 数 f ( x) ? sin x . 若 存 在 x1 , x2 , ? ? ? , xm 满 足

0 ? x1 ? x2 ? ? ? ? ? xm ? 6?





? 2? ? 上的最小值. ? 3 ? ?

| f ( x1 ) ? f ( x2 ) | ? | f ( x2 ) ? f ( x3 ) | ? ? ? ? ? | f ( xm ?1 ) ? f ( xm ) |? 12 (m ? 2, m ? N ? ) ,则 m 的最小
值为 【答案】8 【 解 析 】 因 为 函 数 .

【答案】 (I) 2? ; (II) ? 3 .

f ( x) ? sin x 对 任 意 xi , x j

(i, j ? 1,2,3,? ? ?, m) ,

2? ? ? ,∴ ? x ? ? ? . 3 3 3 ? 2? 当 x ? ? ? ,即 x ? 时, f ( x) 取得最小值. 3 3 2? 2? ∴ f ( x) 在区间 [0, ] 上的最小值为 f ( ) ? ? 3 . 3 3
(Ⅱ)∵ 0 ? x ?
-3-

17.【2015 高考安徽,文 16】已知函数 f ( x) ? (sin x ? cos x) 2 ? cos 2 x (Ⅰ)求 f ( x) 最小正周期; (Ⅱ)求 f ( x) 在区间 [0,

所以函数 f ? x ? 的最小正周期 ? ? 2? . (II) (i)将 f ? x ? 的图象向右平移

?
6

个单位长度后得到 y ? 10sin x ? 5 的图象,再向下平移 a

?
2

] 上的最大值和最小值.

( a ? 0 )个单位长度后得到 g ? x ? ? 10sin x ? 5 ? a 的图象.又已知函数 g ? x ? 的最大值为 2 ,所 以 10 ? 5 ? a ? 2 ,解得 a ? 13 .所以 g ? x ? ? 10sin x ? 8 . (ii)要证明存在无穷多个互不相同的正整数 x0 ,使得 g ? x0 ? ? 0 ,就是要证明存在无穷多个互

【答案】 (Ⅰ) ? ; (Ⅱ)最大值为 1 ? 2 ,最小值为 0 【解析】 (Ⅰ)f ( x) ? sin x ? cos x ? 2 sin x cos x ? cos 2 x ? 1 ? sin 2 x ? cos 2 x ?
2 2

2 sin( 2 x ?

?
4

) ?1
不相同的正整数 x0 ,使得 10sin x0 ? 8 ? 0 ,即 sin x0 ? 得 sin ? 0 ?

所以函数 f ( x) 的最小正周期为 T=

2? =? . 2
2 sin( 2 x ?

4 3 4 ? .由 ? 知,存在 0 ? ? 0 ? ,使 5 2 5 3

(Ⅱ)由(Ⅰ)得计算结果, f ( x) ? 当 x ? [0,

?
4

) ?1

4 4 .由正弦函数的性质可知,当 x ? ?? 0 , ? ? ? 0 ? 时,均有 sin x ? . 5 5 4 . 5

? 5? ? 5? ? [ , ] 由正弦函数 y ? sin x 在 [ , ] 上的图象知, 2 4 4 4 4 4 ? ? ? ? 5? ? 当 2 x ? ? ,即 x ? 时, f ( x) 取最大值 2 ? 1 ;当 2 x ? ? ,即 x ? 时, f ( x) 取 4 2 8 4 4 4

?

] 时, 2 x ?

?

因为 y ? sin x 的周期为 2? , 所以当 x ? ? 2k? ? ? 0 , 2k? ? ? ? ? 0 ?( k ? ? ) 时, 均有 sin x ? 因为对任意的整数 k ,? 2k? ? ? ? ? 0 ? ? ? 2k? ? ? 0 ? ? ? ? 2? 0 ? 都存在正整数 xk ? ? 2k? ? ? 0 , 2k? ? ? ? ? 0 ? , 使得 sin xk ? 整数 x0 ,使得 g ? x0 ? ? 0 . 19.【2015 高考广东,文 16】 (本小题满分 12 分)已知 tan ? ? 2 . (1)求 tan ? ? ?

?
3

所以对任意的正整数 k , ? 1,

最小值 0 .综上, f ( x) 在 [0,

?

2

] 上的最大值为 2 ? 1 ,最小值为 0 . x x x cos ? 10 cos 2 . 2 2 2

4 . 亦即存在无穷多个互不相同的正 5

18.【2015 高考福建,文 21】已知函数 f ? x ? ? 10 3 sin (Ⅰ)求函数 f ? x ? 的最小正周期; (Ⅱ)将函数 f ? x ? 的图象向右平移

?
6

个单位长度,再向下平移 a ( a ? 0 )个单位长度后得到 (2)求

? ?

??

? 的值; 4?

函数 g ? x ? 的图象,且函数 g ? x ? 的最大值为 2. (ⅰ)求函数 g ? x ? 的解析式; (ⅱ)证明:存在无穷多个互不相同的正整数 x0 ,使得 g ? x0 ? ? 0 . 【答案】 (Ⅰ) 2? ; (Ⅱ) (ⅰ) g ? x ? ? 10sin x ? 8 ; (ⅱ)详见解析. (I)因为 f ? x ? ? 10 3 sin

sin 2? 的值. sin ? ? sin ? cos ? ? cos 2? ? 1
2

【答案】 (1) ?3 ; (2) 1 .

x x x ?? ? cos ? 10 cos 2 ? 5 3 sin x ? 5cos x ? 5 ? 10sin ? x ? ? ? 5 . 2 2 2 6? ?

? ? tan ? ? tan 4 tan ? ? 1 2 ? 1 ? ? ? ? ?3 试题解析: (1) tan ? ? ? ? ? 4 ? 1 ? tan ? tan ? 1 ? tan ? 1 ? 2 ? 4 sin 2? (2) 2 sin ? ? sin ? cos ? ? cos 2? ? 1

?

-4-

?

2sin ? cos ? 2 sin ? ? sin ? cos ? ? ? 2 cos 2 ? ? 1? ? 1

? ? 5? 3? π 【解析】 (Ⅰ) 根据表中已知数据可得:A ? 5 , ? ? ? ? , ? ? ? ? , 解得 ? ? 2, ? ? ? . 3 2 6 2 6
数据补全如下表:
π 2 π 3
5

2sin ? cos ? ? 2 sin ? ? sin ? cos ? ? 2 cos 2 ? 2 tan ? ? 2 tan ? ? tan ? ? 2 2? 2 ? 2 2 ?2?2
?1
π 20.【2015 高考湖北,文 18】某同学用“五点法”画函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ) (? ? 0, | ? |? ) 在某 2

?x ? ?
x

0

π

3π 2 5π 6
?5



π 12
0

7π 12
0

13 π 12
0

A sin(? x ? ? )

π 且函数表达式为 f ( x) ? 5sin(2 x ? ) . 6 π π π π (Ⅱ)由(Ⅰ)知 f ( x) ? 5sin(2 x ? ) ,因此 g ( x) ? 5sin[2( x ? ) ? ] ? 5sin(2 x ? ) . 因为 6 6 6 6

一个周期内的图象时,列表并填入了部分数据,如下表:

?x ? ?
x

0

π 2

π

3π 2



y ? sin x 的对称中心为 (kπ, 0) , k ? Z . 令 2 x ?

π kπ π ? kπ ,解得 x ? ? , k ? Z .即 y ? g ( x) 图象 6 2 12

π 3

5π 6
?5

kπ π π 的对称中心为 ( ? ,) 0 , k ? Z ,其中离原点 O 最近的对称中心为 (? , 0) . 2 12 12

A sin(? x ? ? )

0

5

0

21. 【 2015 高考湖南,文 17 】 (本小题满分 12 分)设 ?ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为

(Ⅰ)请将上表数据补充完整,填写在答题卡上相应位置 ,并直接写出函数 f ( x) 的解 ........... 析式;
π (Ⅱ)将 y ? f ( x) 图象上所有点向左平行移动 个单位长度,得到 y ? g ( x) 图象,求 6

a, b, c, a ? b tan A .
(I)证明: sin B ? cos A ; (II) 若 sin C ? sin A cos B ?

3 ,且 B 为钝角,求 A, B, C . 4
? ? ?

y ? g ( x) 的图象离原点 O 最近的对称中心.
π 【答案】 (Ⅰ)根据表中已知数据,解得 A ? 5, ? ? 2, ? ? ? .数据补全如下表: 6

【答案】 (I)略;(II) A ? 30 , B ? 120 , C ? 30 .

?x ? ?
x

0

π 2 π 3
5

π

3π 2 5π 6
?5



π 12
0

7π 12
0

13 π 12
0

A sin(? x ? ? )

π π 且函数表达式为 f ( x) ? 5sin(2 x ? ) ; (Ⅱ)离原点 O 最近的对称中心为 (? , 0) . 6 12

-5-

(II)若 a ?

7, b ? 2 求 ?ABC 的面积.

【答案】(I) A ?

?
3

;(II)

?? ? 3 3 .试题解析:(I)因为 m // n ,所以 a sin B ? 3b cos A ? 0 2
3,

由正弦定理,得 sin A sin B ? 3 sin B cos A ? 0 ,又 sin B ? 0 ,从而 tan A ? 由于 0 ? A ? ? 所以 A ?

?
3

(II)解法一:由余弦定理,得 a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A ,而 a ?

7, b ? 2 , A ?

?
3



得 7 ? 4 ? c 2 ? 2c , 即 c 2 ? 2c ? 3 ? 0 因 为 c ? 0 , 所 以 c ? 3 , 故 ?ABC 面 积 为

22.【2015 高考山东,文 17】 ?ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a, b, c .已知

1 3 3 21 7 2 . 解法二:由正弦定理,得 , 从而 sin B ? , 又由 a ? b 知 bc sin A ? ? ? 2 2 7 sin B sin 3
A ? B cos B ?

cos B ?

3 6 ,sin ( A ? B) ? , ac ? 2 3 求 sin A 和 c 的值. 3 9 2 2 3 6 ,得 sin B ? .因为 A ? B ? C ? ? , ,1. 【解析】在 ?ABC 中,由 cos B ? 3 3 3 6 5 3 ,因为 sin C ? sin B ,所以 C ? B , C 为锐角, cos C ? , 9 9 6 5 3 3 6 2 2 .由 ? ? ? ? 3 9 3 9 3

2 7 ? ? 3 21 ? 故 sin C ? sin( A ? B ) ? sin( B ? ) ? sin B cos ? cos B sin ? , 7 3 3 14 3 1 3 3 . ab sin C ? 2 2
2

【答案】

所以 ?ABC 面积为

所以 sin C ? sin( A ? B) ?

24.【2015 高考四川,文 19】已知 A、B、C 为△ABC 的内角,tanA、tanB 是关于方程 x + 3 px -p+1=0(p∈R)两个实根. (Ⅰ)求 C 的大小 (Ⅱ)若 AB=1,AC= 6 ,求 p 的值 【解析】(Ⅰ)由已知,方程 x + 3 px-p+1=0 的判别式
2

因此 sin A ? sin( B ? C ) ? sin B cos C ? cos B sin C ?

c sin A a c ? ? , 可得 a ? sin C sin A sin C

2 2 c 3 ? 2 3c ,又 ac ? 2 3 ,所以 c ? 1 . 6 9

?? 23.【2015 高考陕西,文 17】?ABC 的内角 A, B, C 所对的边分别为 a , b, c ,向量 m ? ( a , 3b) 与 ? n ? (cos A,sin B ) 平行.
(I)求 A ;

△=( 3 p) -4(-p+1)=3p +4p-4≥0
2 2

所以 p≤-2 或 p≥

2 3

由韦达定理,有 tanA+tanB=- 3 p,tanAtanB=1-p 于是 1-tanAtanB=1-(1-p)=p≠0 从
-6-

而 tan(A+B)= 所以 C=60°

tan A ? tan B ? 3 p ? ? ? 3 所以 tanC=-tan(A+B)= 3 1 ? tan A tan B p

II cos ? 2 A ?

? ?

π? π π 3 15 ? 7 3 2 cos 2 A ? 1? ? sin A cos A , ? ? ? ? cos 2 A cos ? sin 2 A sin ? 16 6? 6 6 2

26.【2015 高考新课标 1,文 17】 (本小题满分 12 分)已知 a, b, c 分别是 ?ABC 内角 A, B, C 的对

(Ⅱ)由正弦定理,得 sinB= 于 是

AC sin C 6 sin 600 2 ? ? 解得 B=45°或 B=135°(舍去) AB 3 2
tanA = tan75° = tan(45° + 30°) =

边, sin 2 B ? 2sin A sin C . (I)若 a ? b ,求 cos B; (II)若 B ? 90? ,且 a ? 【答案】 (I)

A = 180° - B - C = 75° 则

3 1? tan 450 ? tan 300 3 ? 2 ? 3 所以 p=- 1 (tanA+tanB)=- 1 (2+ 3 +1)=-1 ? 0 0 1 ? tan 45 tan 30 3 3 3 1? 3
- 3 25.【2015 高考天津,文 16】 (本小题满分 13 分)△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c, 已知△ABC 的面积为 3 15 , b ? c ? 2, cos A ? ? (I)求 a 和 sinC 的值; (II)求 cos ? 2 A ?

2, 求 ?ABC 的面积.

1 ( II ) 1, 试题解析: ( I )由题设及正弦定理可得 b 2 = 2ac . 又 a = b ,可得 4

b = 2c , a = 2c ,由余弦定理可得 cos B =

a 2 + c2 - b2 1 = . 2ac 4

( II ) 由 (1) 知 b 2 = 2ac . 因 为 B = 90 ° , 由 勾 股 定 理 得 a 2 + c 2 = b 2 . 故 a 2 + c 2 = 2ac , 得

1 , 4

c = a = 2 .所以 DABC 的面积为 1.
27. 【2015 高考浙江, 文 16】 (本题满分 14 分) 在 ?ABC 中, 内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c . 已知 tan(

? ?

π? ? 的值. 6?

?
4

? A) ? 2 .

15 15 ? 7 3 【答案】 (I)a=8, sin C ? ;(II) . 8 16
(I)由面积公式可得 bc ? 24, 结合 b ? c ? 2, 可求得解得 b ? 6, c ? 4. 再由余弦定理求得 a=8.最 后由正弦定理求 sinC 的值;(II)直接展开求值. 试题解析:(I)△ABC 中,由 cos A ? ?

(1)求

sin 2 A 的值; sin 2 A + cos 2 A

15 1 1 , 由 bc sin A ? 3 15 ,得 bc ? 24, 又 , 得 sin A ? 4 4 2

, a ? 3 ,求 ?ABC 的面积. 4 2 ? 1 【答案】(1) ;(2) 9 试题解析:(1)由 tan( ? A) ? 2 ,得 tan A ? , 5 4 3 sin 2 A 2sin A cos A 2 tan A 2 1 所 以 ? ? ? .(2) 由 tan A ? 可 得 , 2 2 sin 2 A ? cos A 2sin A cos A ? cos A 2 tan A ? 1 5 3

(2)若 B ?

?

a c 由 b ? c ? 2, 解 得 b ? 6, c ? 4. 由 a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A , 可 得 a=8. 由 ,得 ? sin A sin C

sin A ?

10 3 10 ? . a ? 3, B ? ,由正弦定理知: b ? 3 5 . , cos A ? 10 10 4 2 5 , 5
-7-

15 . sin C ? 8

又 sin C ? sin( A ? B) ? sin A cos B ? cos A sin B ?

所以 S ?ABC

1 1 2 5 ? ab sin C ? ? 3 ? 3 5 ? ?9. 2 2 5

已知△ABC 的面积为 3 15 , b ? c ? 2, cos A ? ? (I)求 a 和 sinC 的值; (II)求 cos ? 2 A ?

1 , 4

1 28.【2015 高考重庆,文 18】已知函数 f(x)= sin2x- 3 cos 2 x . 2
(Ⅰ)求 f(x)的最小周期和最小值, (Ⅱ)将函数 f(x)的图像上每一点的横坐标伸长到原来的两倍,纵坐标不变,得到函数 g(x)的 图像.当 x ? ?

? ?

π? ? 的值. 6? 15 15 ? 7 3 ;(II) . 8 16

?? ? , ? 时,求 g(x)的值域. ?2 ? ? 2+ 3 1- 3 2 - 3 , (Ⅱ) [ , ]. 2 2 2

【答案】 (I)a=8, sin C ?

(I)由面积公式可得 bc ? 24, 结合 b ? c ? 2, 可求得解得 b ? 6, c ? 4. 再由余弦定理求得 a=8.最 后由正弦定理求 sinC 的值;(II)直接展开求值. 试题解析:(I)△ABC 中,由 cos A ? ?

【答案】 (Ⅰ) f ( x) 的最小正周期为 p ,最小值为 -

1 试题解析: (1) f ( x) = sin 2 x 2

1 3 3 cos 2 x = sin 2 x (1 + cos 2 x) 2 2

15 1 1 , 由 bc sin A ? 3 15 ,得 bc ? 24, 又 , 得 sin A ? 4 4 2
a c ,得 ? sin A sin C

由 b ? c ? 2, 解 得 b ? 6, c ? 4. 由 a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A , 可 得 a=8. 由

1 3 3 p 3 , = sin 2 x cos 2 x = sin(2 x - ) 2 2 2 3 2
因此 f ( x) 的最小正周期为 p ,最小值为 -

sin C ?


15 . 8
II )

2+ 3 . 2

p 3 (2)由条件可知: g( x) = sin( x - ) . 3 2
p p p 2p , p ] 时,有 x - ? [ , ] , 2 3 6 3 p 1 从而 sin( x - ) 的值域为 [ ,1] , 3 2
当 x? [ 那么 sin( x -

π? π π 3 15 ? 7 3 ? cos ? 2 A ? ? ? cos 2 A cos ? sin 2 A sin ? 2 cos 2 A ? 1? ? sin A cos A , ? ? 16 6? 6 6 2 ?

p 3 1- 3 2 - 3 的值域为 [ ), ]. 3 2 2 2 1- 3 2 - 3 p , ]. , p ] 上的值域是 [ 2 2 2

故 g( x) 在区间 [

28.【2015 高考天津,文 16】 (本小题满分 13 分)△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,

-8-


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