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2014年湖北省预赛试题参考答案(高二年级)


2014 年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题参考答案 (高二年级)
一、填空题(本题满分 90 分,每小题 9 分。直接将答案写在横线上。 ) 1. 已知正整数数列 {an } 满足 an?2 ? an?1 ? an , n ? N .若 a11 ? 157,则 a1 =
*

3 .

2. 函数 y ? sin 2

x ? sin x cos x ? 2 cos2 x 的值域为
2

1 10 1 10 [? ? ,? ? ] 2 2 2 2

.

3. 在△ ABC 中, A ? 30? , 2 AB ? AC ? 3BC ,则△ ABC 的最大角的余弦值为 4.在直角坐标平面内,曲线 | x ? 1 | ? | x ? 1 | ? | y |? 3 围成的图形的面积是 5.若 3 ? a ? a ? 1 ? 5 .

?

1 2



1 恒成立,则 a 的取值范围是 2
*

[?1,1 ?

31 ) 8

.

6. 去掉集合 A ? {n | n ? 10000, n ? N } 中所有的完全平方数和完全立方数后,将剩下的元素按从小 到大的顺序排成一个数列,这个数列的第 2014 项为 2068 . 7. 在四面体 ABCD 中, AB ? AC ? 3 , BD ? BC ? 4 , BD ? 面 ABC ,则四面体 ABCD 的外接 球的半径为

805 10

.

8.

三对夫妻排成一排照相,仅有一对夫妻相邻的概率为

2 5

.

9. 若 a ? A 且 a ? 1 ? A, a ? 1 ? A ,则称 a 为集合 A 的孤立元素.那么,集合 M ? { 1,2,3,4,5, 6,7,8,9 } 的无孤立元素的 4 元子集有 21 个.

10. 共焦点的椭圆与双曲线的离心率分别为 e1 , e2 ,若椭圆的短轴长为双曲线的虚轴长的 2 倍,则

1 1 ? 的最大值为 e1 e2

5 2

.

二、解答题(本题满分 60 分,每小题 20 分。 )
2 11. 当 | x |? 1 时,不等式 2 px ? qx ? p ? 1 ? 0 恒成立,试求 p ? q 的最大值.

解法 1

令 f ( x) ? 2 px ? qx ? p ? 1, x ? [?1,1] .
2

(1)先考虑 p ? 0 时的情况,

①若 ?1 ? ?

q q ? 1 ,即 ?4 p ? q ? 4 p ,则由题意知 f (? ) ? 0 ,即 4p 4p

2 p ? (?

1 q 2 q ) ? q ? (? ) ? p ? 1 ? 0 ,整理得 q 2 ? 8( p ? ) 2 ? 2 . 2 4p 4p

设 q ? r cos ? ,p ? 设 ? ? (0,

1 r sin ? 1 1 , 其中 0 ? r ? 2 , 则 p ? q ? r( ? ? [0, 2? ] , ? ? sin ? ? cos ? ) ? . 2 2 2 2 2 2

?
2

) ,且 tan ? ? 2 2 ,则

p?q ? r?

3 2 2

? (sin ? cos ? ? cos ? sin ? ) ?

1 3 1 3 1 ? r? ? sin(? ? ? ) ? ? ? 2 ?1 ? ? 2 , 2 2 2 2 2 2 2

等号成立的条件是: r ?

1 2 4 2 2 ,即 p ? , q ? . …………………10 分 2 , sin ? ? , cos ? ? 3 3 3 3

②若 ? 得p?

q ? ?1 ,即 q ? 4 p ,则由 f (?1) ? p ? q ? 1 ? 0 得 q ? p ? 1 ,所以 4 p ? q ? p ? 1 ,从而可 4p

1 5 ,此时 p ? q ? 2 p ? 1 ? ? 2 ; 3 3

③若 ?

q ? 1 ,即 q ? ?4 p ,则 p ? q ? ?3 p ? 0 ? 2 ; 4p

…………………15 分

(2)当 p ? 0 时,由 f (?1) ? 2 p ? q ? p ? 1 ? p ? q ? 1 ? 0 得 q ? p ? 1 ,故 p ? q ? 2 p ? 1 ? 2 . 综合可知: p ? q 的最大值为 2. 解法二 特殊值法.
2 在不等式 2 px ? qx ? p ? 1 ? 0 中取特殊值 x ? ?

…………………20 分

1 ,得 p ? q ? 2 . …………………10 分 2 2 4 4 2 4 1 4 1 2 2 当且仅当 p ? , q ? 时, 2 px ? qx ? p ? 1 ? x ? x ? ? ( x ? ) ? 0 . 3 3 3 3 3 3 2 所以, p ? q 的最大值为 2. …………………20 分

12. 设 A, B 是双曲线 x ? 双曲线于 C , D 两点. (1)确定 ? 的取值范围;

2

y2 ? ? 上的两点,点 N (1,2) 是线段 AB 的中点,线段 AB 的垂直平分线交 2

(2)试判断 A, B, C , D 四点是否共圆?并说明理由. 解 (1)依题意,可设直线 AB 的方程为 y ? k ( x ? 1) ? 2 ,代入双曲线方程并整理得

(2 ? k 2 ) x2 ? 2k (k ? 2) x ? [(k ? 2)2 ? 2? ] ? 0



设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则 x1 , x2 是方程①的两个不同实根,于是可知

? ? 4k 2 (k ? 2)2 ? 4(2 ? k 2 )[(k ? 2)2 ? 2? ] ? 0
且 x1 ? x2 ?



2k ( 2 ? k ) 2?k2



又 N (1,2) 是线段 AB 的中点,故 即 y ? x ? 1.

k (2 ? k ) ? 1 ,解得 k ? 1 ,故直线 AB 的方程为 y ? 1? ( x ? 1) ? 2 , 2?k2

将 k ? 1 代入②,得 4 ? 4(1 ? 2? ) ? 0 ,解得 ? ? ?1 . 又 CD 是线段 AB 的垂直平分线,故 CD 所在直线的方程是 y ? 2 ? ?( x ? 1) ,即 y ? ? x ? 3 ,将其代 入双曲线方程,整理得

x 2 ? 6x ? 2? ? 9 ? 0



由题意,方程③也有两个不同实根,所以 ?1 ? 62 ? 4(?2? ? 9) ? 0 ,解得 ? ? ?9 . 又 ? ? 0 ,于是可得: ? 的取值范围为 (?1, 0)

(0, ??) .

…………………10 分

( 2 )设 C( x3 , y3 ), D( x4 , y4 ) ,线段 CD 的中点为 M ( x0 , y0 ) ,则 x3 , x4 是方程③的两根,所以

x3 ? x4 ? ?6 , x3 x4 ? ?2? ? 9 ,于是 x0 ?
于是,由弦长公式可得

x3 ? x 4 ? ?3 , y0 ? ? x0 ? 3 ? 6 . 2

| CD |? 1 ? (?1) 2 | x3 ? x4 |? 2 ? ( x3 ? x4 ) 2 ? 4 x3 x4 ? 2 ? 62 ? 4(?2? ? 9) ? 4 9 ? ? .
2 又方程①即 x ? 2x ? 2? ? 1 ? 0 ,同理可得 | AB |? 1 ? 1 ? ( x1 ? x2 ) ? 4 x1 x2 ? 4 1 ? ? .
2 2

显然 | AB |?| CD | , 又 CD 是线段 AB 的垂直平分线, 假设存在 ? ? (?1,0) 点共圆,则 CD 必为该圆的直径,点 M 为圆心. 又点 M 到直线 AB 的距离为 d ?

(0, ??) 使得 A, B, C , D 四

| x0 ? y0 ? 1| 2

?

| ?3 ? 6 ? 1| ? 4 2 ,由勾股定理得 2

| MA |2 ?| MB |2 ? d 2 ? (
又 (

| AB | 2 ) ? (4 2) 2 ? (2 1 ? ? ) 2 ? 36 ? 4? . 2

| CD | 2 ) ? (2 9 ? ? ) 2 ? 36 ? 4? ,所以 | MA |2 ?| MB |2 ?| MC |2 ?| MD |2 . 2

故当 ? ? (?1,0)

(0, ??) 时, A, B, C , D 四点均在以 M (?3,6) 为圆心、 2 9 ? ? 为半径的圆上.
…………………20 分

13. 在单调递增数列 {an } 中, a1 ? 2 , a2 ? 4 ,且 a2n?1 , a2n , a2n?1 成等差数列, a2n , a2n?1 , a2n?2 成等比数列, n ? 1 , 2 , 3 , ?. (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)设数列 {

4n 1 * ,n?N . } 的前 n 项和为 S n ,证明: Sn ? 3(n ? 3) an
*



(1)因为数列 ?an ? 为单调递增数列, a1 ? 2 ? 0 ,所以 an ? 0 ( n ? N ).

2 由 题 意 得 2a2n ? a2n? 1? a 2n , a2 ? 1 n?1 ? a2n a2n?2 , 于 是 2a 2 n ?

a2 n?2 a2 n ?

a2n a2n?2 , 化 简 得
2 a3 ? 9 ,所以数列 a2

2 a2 n ? a2 n?2 ?

a 2 n ? 2 ,所以数列 { a2 n } 为等差数列.又 a3 ? 2a2 ? a1 ? 6 , a4 ?

{ a2 n } 的首项为 a2 ? 2 ,公差为 d ? a4 ? a2 ? 1 ,所以 a2 n ? n ? 1 ,从而 a2n ? (n ? 1)2 .
2 结合 a2 n?1 ? a2n?2 a2 n 可得 a2 n?1 ? n(n ? 1) .

因此,当 n 为偶数时 an ?

1 (n ? 1)(n ? 3) (n ? 2) 2 ,当 n 为奇数时 an ? . 4 4

所以数列 {an } 的通项公式为

1 (n ? 1)(n ? 3) 1 (n ? 2) 2 1 2 7 ? (?1) n an ? [1 ? (?1)n?1 ] ? ? [1 ? (?1) n ] ? ? n ?n? . 2 4 2 4 4 8
…………………10 分

1 2 7 ? (?1)n 1 2 (n ? 2)2 1 ? n ? n ?1 ? ? (n ? 2)(n ? 3) ,所以 (2)因为 an ? n ? n ? 4 8 4 4 4

1 4 1 1 ? ? 4( ? ), an (n ? 2)(n ? 3) n?2 n?3 Sn ?
1 1 1 1 1 1 1 1 ? 4[( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ?? ? 3 4 4 5 a1 a 2 a 3 an ?( 1 1 1 1 ? )?( ? )] n ?1 n ? 2 n?2 n?3

1 1 4n ? 4( ? )? , 3 n ? 3 3(n ? 3)
所以 Sn ?

4n * , n?N . 3(n ? 3)

…………………20 分


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