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平面向量的线性运算课件[1]


2.2平面向量的线性运算
2.2.1向量加法运算及其几何意义

例1.判断下列命题是否正确: (1)共线向量都相等

(2)单位向量都相等
(3)平行向量不一定是共线向量 (4)零向量与任一向量平行 (5)长度相等的向量叫做相等向量. (6)方向相反的向量就是相反向量 (7)两向量相等充要条件是起点和终点都相同

/>
(8)若 a ? b , 则a ? b或a ? ?b 

向量加法运算及其几何意义

复习回顾:
1、向量:
既有大小又有方向的量叫做向量

2、平行向量: 方向相同或相反的非零向量叫做平行向量 3、相等向量: 长度相等且方向相同的向量叫做相等向量

节引言:
数能进行运算,因为有了运算而使数的威力无穷。 与数的运算类比,向量是否也能进行运算呢?人们从 向量的物理背景和数的运算中得到启发,引进了向量 的运算。 下面我们学习向量的线性运算。

向量加法运算及其几何意义

日常生活中遇到的向量加法问题:
例如:某对象从A点走到B点. 然后从B点走到C点. 思考:这个人所走过的位移是多少?
C

分析 :由物理知识可以知道: 从A点到B点然后到C点的 合位移,就是从A点到C点 的位移.

A

B

AB

+

BC

=

AC

向量加法运算及其几何意义

探究:橡皮条在力F1与F2的作用下,从E点伸长到了O点. 同时橡皮条在力F的作用下也从E点伸长到了O点.
E
O

E
O

F

F1+F2=F

力F对橡皮条产生的效果,与力F1和F2共同作用 产生的效果相同,物理学中把力F叫做F1和F2的合力.

向量加法运算及其几何意义

思考:合力F与力F1、F2有怎样的关系?
E
O

E
O

F

四边形的对角线上,并且大小等于平 行四边形对角线的长.

力F在以F1、F2为邻边的平行

向量加法运算及其几何意义

? 向量加法的定义:我们把求两个向量

? ? 和的运算,叫做向量的加法, a ? b 叫做 a, b
的和. 两个向量的和仍然是一个向量.

? ? a?b? ,

向量加法运算及其几何意义

向量加法的三角形法则
已知非零向量a与b.如何求a+ b.
a b

首尾相接,首尾连 a+b=AB+BC=AC

C

B A

位移的合成可以看作向量 加法三角形法则的物理模型

向量加法运算及其几何意义

向量加法的平行四边形法则
a b

起点相同,连对角 力的合成可以看作向量加 法平行四边形法则的物理模型

C B

? 对于零向量与任一向量a, 我们规定 ? ? ? ? ? A a?0?0?a ? a

O

向量加法运算及其几何意义

例题讲解:

? ? ? ? 例1.如图,已知向量 a, b ,求作向量 a ? b 。
? ? ??? ? ??? ? 则 ??? ? ? ? 作法1:在平面内任取一点O, OA ? a ,AB ? b , OB ? a ? b 作 ? ??? ? ??? ? ? OB 作 以 作法2:在平面内任取一点O, OA ? a , ? b , OA、OB为

邻边作

???? ??? ??? ? ? ? ? 连结OC,则 OC ? OA ? OB ? a ? b. OACB ,

b a



? a
a?b

A

? b
B


b

a
a?b

A

B

C

向量加法运算及其几何意义

思考:

如图,当在数轴上表示两个共线向量时, 它们的加法与数的加法有什么关系?

? a
b
A
(1) B

? a
b
(2)

? ? a?b

C

C ?

?A a?b

B

?? ? ? ? ? 若a, b方向相同,则 | a ? b |?| a | ? | b | ?? ? ? ? ? ? ? 若a, b方向相反,则 | a ? b |?| a | ? | b(或 | b | ? | a | ) |

向量加法运算及其几何意义

? ? ? ? 当向量 a?、不共线时,和向量的长度 | a ? b | 与向量 b ? ? ? ? a?、的长度和 | a | ? | b |之间的大小关系如何? b
? ? a?b

? b

三角形的两边之和大于第三边
? ? ? ? ? ? 当向量a?、不共线时有 | a ? b |?| a | ? | b | ?b
综合以上探究我们可得结论:

? a?

? ? ? ? | a ? b |?| a | ? | b |

向量加法运算及其几何意义

课堂练习:
一、用三角形法则求向量的和
(2)
b

a?b b
a

(4)

a?b

a

b b

二、用平行四边形法则求向量的和
(1)
b

(2)

a?b b a

b a

a?b

a

向量加法运算及其几何意义

探究:
数的加法满足交换律与结合律,即对任意a,b∈R, 有a+b=b+a, (a+b)+c=a+(b+c)

?? 任意向量 a、 的加法是否也满足交换律与结合律? b

? b
A

D

? a
? a

B

因为 AC = AB + BC = a + b ???? ???? ???? ? ? ? ? C AC = AD + DC = b ? a. ? b r r ? ? 所以 a + b = b ? a.

向量加法运算及其几何意义

? ? ? ? (a ? ) ? c b ? ? ?c ? ? (b ) a ? ? c b ?c ? ? C a ?b ? b ? A B a

D

? ? ? ? ? ? (a ? b) ? c ? a ? (b ? c).
向量的加法满足 交换律和结合律.

? ? ? ? a+ b = b+ a ? ? ? ? ? ? (a + b) + c = a + (b + c )

向量加法运算及其几何意义

学以致用:
?

例2.长江两岸之间没有大桥的地方,常常通过轮渡

进行运输.一艘船从长江南岸A点出发,以5km/h的
速度向垂直于对岸的方向行驶,同时江水的速度为 向东2km/h. (1)试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行 的速度(保留两个有效数字);

(2)求船实际航行的速度的大小和方向(用与江水
速度间的夹角表示,精确到度).

向量加法运算及其几何意义

分析:

向量加法在实际生活中的应用,本例应解 决的问题是向量模的大小及向量的方向

解: 如图,设 AB表示水流的
速度, 表示渡船的速度, AD AC表示渡船实际过 江的速度.(由平行四边形 法则可以得到) 由AB ? AD得Rt ?ABC , ???? 得 AC ? 22 ? 52 ? 29 ≈5.4 D 5 C

A

2

B

5 tan ?CAB ? , 查计算器可得?CAB ? 68?. 2 答:船实际航行速度的大小约为5.4km/h,方向与水的流 速间的夹角约为680

向量加法运算及其几何意义

变式:
?

在静水中船速为20m/min,水流速度为10m/min,

若船从岸边出发,垂直于水流航线到达对岸的,问
方向与水的流速间的夹角为120 船行进的方向是___________________________. C
o

D

A

B

AD 向量 AB 表示静水流速, 表示船行进方向,AC 表示 船实际行走路线,垂直于水 流方向,所以∠DAC即为所 求

向量加法运算及其几何意义

课堂练习:
(1)根据图示填空:
E D

C A

B

??? ??? ? ? ???? AC AB ? BC ? _____ ? ??? ??? ? ? ??? BC ? CD ? _____ BD ??? ??? ??? ? ? ? ???? AD AB ? BC ? CD ? _____ ? ??? ??? ??? ???? ??? ? ? ? AB ? BC ? CD ? DE ? _____ AE

r r r r 14 (2)已知 | a |? 8, | b |? 6, 则 | a ? b | 的最大值是 _____

向量加法运算及其几何意义

归纳小结:
知识方面: 1、一个概念: 向量的加法 2、两个法则: 向量加法的三角形法则和平行四边形法则 3、两条运算律: 向量加法的交换律 a +b = b+ a
? ? + 结合律 a +0= 0 a = a

数学思想方法方面: 1、具体与抽象的数学思维方法, 2、类比的思想方法

? ? (a + b + c= a +( b+ c ) )

作业: 课本91页习题2.2A组2、3、4.(1)(2)(3)

4.化简以下各式:
(1) (2) (3) ; ; .

结果为零向量的个数是________. 解析:(1) (2) (3) 答案:3 =0; =0; =0.

1.(2009· 山东高考)设P是△ABC所在平面内的一点, +
则 ( )

2.已知O为△ABC内一点,且

OA ? OC ? 2OB =0,

则△AOC与△ABC的面积之比是(
A.1∶2 B.1∶3 C.2∶3

A



D.1∶1

练习. 已知三角形ABC中, ? a, AC ? b, AB ( )若D是BC的中点,用a, b表示 AD; 1 (2)若G是三角形ABC重心,证明:     ? GB ? GC ? 0 。 GA
? ? ? ?

解析:法一:由向量加法的平行四边形法则易知, 与

的和向量过AC边中点,长度是AC边中线长的二倍,
结合已知条件可知P为AC边中点,故 =0.

法二:∵
∴ 即 =0.

答案:B

向量加法运算及其几何意义

再见


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