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2005年江苏高中数学竞赛预赛试题及答案


2005 年全国高中数学联赛江苏赛区初赛 试题参考答案及评分标准
说明:
1. 评阅试卷时, 请依据本评分标准. 选择题、填空题只设 6 分和 0 分两档. 其他各题 的评阅, 请严格按照本评分标准规定的评分档次给分, 不要再增加其他中间档次. 2. 如果考生的解答方法和本解答不同, 只要思路合理, 步骤正确, 在评卷时可参照本 评分标准适当划分评分档次, 3

分为一个档次, 不要再增加其他中间档次.

一.选择题 (本题满分 36 分, 每小题 6 分) ? 1. 函数 y ? f ( x) 的图像按向量 a ? ( , 2) 平移后, 得到的图像的解析式为 4 ? y ? sin( x ? ) ? 2 . 那么 y ? f ( x) 的解析式为 4 A. y ? sin x B. y ? cos x C. y ? sin x ? 2 D. y ? cos x ? 4
答: [ B ] 解: y ? sin[( x ?

?
4

)? ], 即 4

?

y ?cos x . 故选 B.

2. 如果二次方程 x2 ? px ? q ? 0 ( p, q ? N*) 的正根小于 3, 那么这样的二次方程


A. 5 个

B. 6 个

C. 7 个

D. 8 个
答: [ C ]

解:由 ? ? p2 ? 4q ? 0, ?q ? 0 , 知方程的根为一正一负.
2 2 设 f ( x) ? x ? px ? q ,则 f (3) ? 3 ? 3 p ? q ? 0 , 即 3 p ? q ? 9 .

由于 p, q ? N*, 所以 p ? 1, q ? 5 或 p ? 2, q ? 2 . 于是共有 7 组 ( p, q) 符合 题意. 故选 C.

3. 设 a ? b ? 0 , 那么 a 2 ? A. 2 B. 3

1 的最小值是 b( a ? b )

C. 4

D. 5
答: [ C ]

解:由 a ? b ? 0 , 可知

a2 a 1 0 ? b(a ? b) ? ? (b ? ) 2 ? a 2 , 4 2 4

1

所以, a ?
2

1 4 ? a 2 ? 2 ? 4 . 故选 C. b( a ? b) a

4. 设四棱锥 P ? ABCD 的底面不是平行四边形, 用平面 ? 去截此四棱锥, 使得
截面四边形是平行四边形, 则这样的平面

?

A. 不存在

B. 只有 1 个

C. 恰有 4 个

D. 有无数多个
答: [ D ]
P

解:设四棱锥的两组不相邻的侧面的交线 为 m 、 n , 直线 m 、 n 确定了一个平面 ? . 作与 ? 平行的平面

? , 与四棱锥的各个侧面
A

A1 D

D1

B1

C1

相截,则截得的四边形必为平行四边形.而这样 的平面 ? 有无数多个.故选 D.

C B

5. 设数列 {an } : a0 ? 2, a1 ? 16, an?2 ? 16an?1 ? 63an , n ?N*, 则 a2005 被
64 除的余数为

A. 0

B. 2

C. 16

D. 48
答: [ C ]

解:数列 {an } 模 64 周期地为 2,16,-2,-16,……. 又 2005 被 4 除余 1, 故 选 C.

6. 一条走廊宽 2 m, 长 8 m, 用 6 种颜色的 1 ? 1 m 2 的整块地砖来铺设(每块地砖
都是单色的, 每种颜色的地砖都足够多), 要求相邻的两块地砖颜色不同, 那么所有的不同 拼色方法有

A. 308 个

B. 30 ? 257 个

C. 30 ? 207 个

D. 30 ? 217 个

答: [ D ] 解:铺第一列(两块地砖)有 30 种方法;其次铺第二列.设第一列的两格铺了 A 、 B 两色(如图),那么,第二列的上格不能铺 A 色.若铺 B 色,则有 (6 ? 1) 种铺法;若不
2 铺 B 色, 则有 (6 ? 2) 种方法. 于是第二列上共有 21 种铺法. 同理, 若
7 前一列铺好,则其后一列都有 21 种铺法.因此,共有 30 ? 21 种铺法. 故

A B

选 D.

二.填空题 (本题满分 36 分, 每小题 6 分) ? 7. 设向量 OA 绕点 O 逆时针旋转 得向量 OB , 且 2OA ? OB ? (7,9) , 则 2
2

向量 OB ? (-

11 23 5,5) .

解:设 OA ? (m, n) , 则 OB ? (?n, m) , 所以

2OA ? OB ? (2m ? n, 2n ? m) ? (7,9) .
? 2m ? n ? 7 , 解得 ? ? m ? 2n ? 9 .
(? 11 23 , ) . 5 5



23 ? m? , ? ? 5 ? ? n ? 11 . ? 5 ?

因此, OA ? (

23 11 11 23 , ), OB ? (? , ) . 5 5 5 5

故填

8. 设无穷数列 {an } 的各项都是正数, Sn 是它的前 n 项之和, 对于任意正整数

n , an 与 2 的等差中项等于 Sn 与 2 的等比中项, 则该数列的通项公式为 an= 4n-2
(n∈N*) .
an ? 2 (an ? 2) 2 ? 2Sn , 即 Sn ? 解:由题意知 . 2 8
由 a1 ? S1 得 又由 ① 式得 ……… ①

a1 ? 2 ? 2a1 , 从而 a1 ? 2 . 2

Sn ?1 ?

(an ?1 ? 2)2 (n ? 2) , 8
(an ? 2)2 (an ?1 ? 2) 2 ? (n ? 2) , 8 8

……… ②

于是有

an ? Sn ? Sn?1 ?

整理得 (an ? an?1 )(an ? an?1 ? 4) ? 0 . 因 an ? 0, an?1 ? 0 , 故

an ? an?1 ? 4 (n ? 2), a1 ? 2 .
所以数列 {an } 是以 2 为首项、4 为公差的等差数列, 其通项公式为 an ? 2 ? 4(n ? 1) , 即 an ? 4n ? 2 . 故填 N*). an ? 4 n ? 2 (n ? 2 . 2

9. 函数 y ?| cos x | ? | cos2 x | ( x ? R) 的最小值是
2 解:令 t ?| cos x |? [0,1] ,则 y ? t ? | 2t ?1| .



1 9 2 ? t ? 1 时, y ? 2t 2 ? t ? 1 ? 2(t ? ) 2 ? ,得 4 8 2

2 ? y ? 2; 2

3

当 0?t ?

1 2 9 2 2 时, y ? ?2t ? t ? 1 ? ?2(t ? ) ? ,得 4 8 2

2 9 ? y? . 2 8

又 y 可取到

2 2

, 故填

2 2



10. 在长方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, AB ? 2, AA1 ? AD ? 1 , 点 E 、 F 、 G
分别是棱 AA1 、 C1 D1 与 BC 的中点, 那么四面体 B1 ? EFG 的体积是 VB1-EFG

3 = 8

.
解:在 D1 A1 的延长线上取一点 H ,使 A1 H ?

B1FG . 故 VB1 ?EFG ? VE ?B1FG ? VH ?B1FG
距离为 1 . 故填

1 . 易证, HE || B1G , HE || 平面 4 9 ? VG?B1FH .而 S ?B1FH ? ,G 到平面 B1FH 的 8

3 VB1 ? E F G ? . 8

11. 由三个数字 1 、 2 、 3 组成的 5 位数中, 1 、 2 、 3 都至少出现 1 次, 这样 5 的 位数共有 150 个.
1 1 2 3 解:在 5 位数中, 若 1 只出现 1 次,有 C5 (C4 ? C4 ? C4 ) ? 70 个; 2 1 2 若 1 只出现 2 次,有 C5 (C3 ? C3 ) ? 60 个; 3 1 若 1 只出现 3 次,有 C5 C2 ? 20 个. 则这样的五位数共有 150 个. 故填 150

个.

12. 已知平面上两个点集 M ? {( x, y ) | | x ? y ? 1| ? 2( x 2 ? y 2 ), x, y ? R},

N ? {( x, y) | | x ? a | ? | y ?1| ? 1, x, y ?R}. 若 M
[1- 6,3+ 10] .

N ? ? , 则 a 的取值范围是

解:由题意知 M 是以原点为焦点、直线 x ? y ? 1 ? 0 为准线的抛物线上及其凹口 内侧的点集, N 是以 (a,1) 为中心的正方形及其 内部的点集(如图). 考察 M N ? ? 时, a 的取值范围: 令 y ? 1 , 代入方程
y
3 2 1

| x ? y ? 1|? 2( x 2 ? y 2 ) ,

-3

-2

-1

O
-1

1

2

3

4

5

6

7

x

4

得 x ? 4 x ? 2 ? 0 ,解出得 x ? 2 ? 6 . 所以,
2

当 a ? 2 ? 6 ? 1 ? 1 ? 6 时, 令 y ? 2 ,代入方程

M

N ??.

………… ③

| x ? y ? 1|? 2( x 2 ? y 2 ) , 得 x 2 ? 6 x ? 1 ? 0 . 解出得

x ? 3 ? 10 .所以,
当 a ? 3 ? 10 时,

M

N ??.

………… ④

因此, 综合 ③ 与 ④ 可知,当 1 ? 6 ? a ? 3 ? 10 ,即 a ?[1 ? 6, 3 ? 10] 时,

M

N ? ? .故填 [1 ? 6,3 ? 10] .

三.解答题 (第一题、第二题各 15 分;第三题、第四题各 24 分) 13. 已知点 M 是 ?ABC 的中线 AD 上的一点, 直线 BM 交边 AC 于点 BC BM N , 且 AB 是 ?NBC 的外接圆的切线, 设 ? ? , 试求 (用 ? 表示). BN MN 证明:在 ?BCN 中,由 Menelaus 定理得 A BM NA CD ? ? ?1. MN AC DB 因为 BD ? DC ,所以 N BM AC ? . ……………… 6 分 M MN AN
B

由 ?ABN ? ?ACB ,知

?ABN ∽ ?ACB ,则 AB AC CB ? ? . AN AB BN
2

D

C

所以,

AB AC ? CB ? ? ?? ? , 即 AN AB ? BN ?
2

AC ? BC ? ?? ? . AN ? BN ?

2

…………………… 12 分

BC BM ? BC ? ??, 故 因此, ?? ? . 又 BN MN ? BN ?

BM ? ?2 . MN

…………………… 15 分

14. 求所有使得下列命题成立的正整数 n (n ? 2) : 对于任意实数 x1 , x2 ,


, xn ,

? xi ? 0 时, 总有
i ?1

n

?x x
i ?1

n

i i ?1

? 0 ( 其中 xn?1 ? x1 ).
5

2 解: 当 n ? 2 时,由 x1 ? x2 ? 0 ,得 x1x2 ? x2 x1 ? ?2x1 ? 0.

所以 n ? 2 时命题成立. 当 n ? 3 时,由 x1 ? x2 ? x3 ? 0 ,得

…………………… 3 分

x1 x2 ? x2 x3 ? x3 x1 ?

2 2 2 2 ( x1 ? x2 ? x3 )2 ? ( x12 ? x2 ? x3 ) ?( x12 ? x2 ? x3 ) ? ? 0. 2 2

所以 n ? 3 时命题成立. 当 n ? 4 时,由 x1 ? x2 ? x3 ? x4 ? 0 ,得

………………… 6 分

x1x2 ? x2 x3 ? x3 x4 ? x4 x1 ? ( x1 ? x3 )( x2 ? x4 ) ? ?( x2 ? x4 )2 ? 0 .
所以 n ? 4 时命题成立. 当 n ? 5 时,令 x1 ? x2 ? 1, x4 ? ?2 , x3 ? x5 ?
n

………………

9分
i

? xn ? 0 , 则

?x
i ?1

n

? 0.

但是,

?x x
n ?1

i i ?1

? 1 ? 0 ,故对于 n ? 5 命题不成立.

综上可知,使命题成立的自然数是 n ? 2, 3, 4 .

…………… 15 分

15. 设椭圆的方程为

x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) , 线段 PQ 是过左焦点 F 且不与 a 2 b2

x 轴垂直的焦点弦. 若在左准线上存在点 R ,
使 ?PQR 为正三角形, 求椭圆的离心率 e
R

y
Q'

Q

的取值范围, 并用 e 表示直线 PQ 的斜率. 解: 如图, 设线段 PQ 的中点为 M . 过点 P 、 M 、 Q 分别作准线的垂线, 垂足 分别为 P ' 、 M ' 、 Q ' , 则

M‘ P’ P F

M O

x

| MM ' |?

1 1 | PF | | QF | | PQ | (| PP ' | ? | QQ ' |) ? ( ? )? . …………… 6 分 2 2 e e 2e

假设存在点 R ,则 | RM |?

3 | PQ | , 且 | MM ' | ? | RM | , 即 2

| PQ | 3 ? | PQ | , 2e 2

6

所以, e ?

3 . 3

………………………… 12 分

于是, cos?RMM ' ?

| MM ' | | PQ | 2 1 , 故 ? ? ? | RM | 2e 3 | PQ | 3e
cot ?RMM ' ? 1 3e2 ? 1


若 | PF | ? | QF | (如图),则

k PQ ? tan?QFx ? tan?FMM ' ? cot ?RMM ' ?
3 时, 过点 F 作斜率为 3 1 3e 2 ? 1

1 3e 2 ? 1

.

…………… 18 分

当 e?

的焦点弦 PQ , 它的中垂线交左准线

于 R , 由上述运算知, | RM |?

3 | PQ | . 故 ?PQR 为正三角形. 2

………… 21 分

若 | PF | ? | QF | ,则由对称性得

kPQ ? ?

1 3e2 ? 1



……………… 24 分

又 e ? 1 , 所以,椭圆

x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的离心率 e 的取值范围是 a 2 b2

e?(

1 3 . ,1) , 直线 PQ 的斜率为 ? 3 3e 2 ? 1
16. (1) 若 n (n ? N*) 个棱长为正整数的正方体的体积之和等于 2005, 求 n 的

最小值, 并说明理由; (2) 若 n (n ? N*) 个棱长为正整数的正方体的体积之和等于 2002 最小值, 并说明理由. 解: (1) 因为 103 ? 1000, 113 ? 1331, 123 ? 1728, 133 ? 2197 , 12 ? 2005 ? 13 ,
3 3
2005

, 求 n 的

故 n ? 1.
3 3 3 3 因为 2005 ? 1728 ? 125 ? 125 ? 27 ? 12 ? 5 ? 5 ? 3 ,所以存在 n ? 4 , 使

nmin ? 4 .
7

……………… 6 分

3 3 若 n ? 2 ,因 10 ? 10 ? 2005 , 则最大的正方体边长只能为 11 或 12 ,计算

2005 ?113 ? 674, 2005 ?123 ? 277 ,而 674 与 277 均不是完全立方数, 所以
n ? 2 不可能是 n 的最小值.
……………… 9 分

2 3 若 n ? 3 ,设此三个正方体中最大一个的棱长为 x , 由 3x ? 2005? 3 ? 8 , 知

最大的正方体棱长只能为 9 、 10 、 11 或 12 .
3 3 3 3 由于 2005? 3 ? 9 , 2005? 2 ? 9 ? 547, 2005? 9 ? 2 ? 8 ? 0 , 所以 x ? 9 .

由于 2005? 2 ? 10 ? 5 , 2005 ? 10 ? 9 ? 276 , 2005 ? 10 ? 8 ? 493 ,
3
3 3 3 3

2005? 103 ? 2 ? 7 3 ? 0 , 所以
3 3

x ? 10 .
3 3

由于 2005 ? 11 ? 8 ? 162 , 2005 ? 11 ? 7 ? 331, 2005? 11 ? 2 ? 6 ? 0 ,
3 3

所以 x ? 11 .
3 3 3 3 3 由于 2005 ? 12 ? 6 ? 61, 2005 ? 12 ? 5 ? 152 ? 5 , 所以 x ? 12 .

因此 n ? 3 不可能是 n 的最小值. 综上所述, n ? 4 才是 n 的最小值. (2) 设 n 个正方体的棱长分别是 x1 , x2 ,
3 3 x1 ? x2 ?

……………… 12 分

, xn , 则

3 ? xn ? 20022005 .…………… ⑤

3 由 2002 ? 4(mod9) , 4 ? 1(mod9) ,得

20022005 ? 42005 ? 4668?3?1 ? (43 )668 ? 4 ? 4(mod9) .…… ⑥
又当 x ?N* 时, x3 ? 0, ?1 (mod9) ,所以

…… 15 分

3 3 3 3 3 ≡ 4(mod 9) , x1 ≡ ∕ 4 (mod9) , x1 ∕ ≡ 4 (mod9) . … ⑦ x13 ∕ ? x2 ? x2 ? x3

…………… 21 分 ⑤ 式模 9 , 由 ⑥、⑦ 可知, n ? 4 . 而 2002 ? 10 ? 10 ? 1 ? 1 ,则
3 3 3 3

20022005 ? 20022004 ? (103 ? 103 ? 13 ? 13 ) ? (2002668 )3 ? (103 ? 103 ? 13 ? 13 ) ? (2002668 ?10)3 ? (2002668 ?10)3 ? (2002668 )3 ? (2002668 )3 .…… 24 分
因此 n ? 4 为所求的最小值.
8


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