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吉林省东北师范大学附属中学2016届高考数学第一轮复习 函数模型及其综合应用学案 理


函数模型及其综合应用
一、 知识梳理: (阅读教材必修 1 第 95 页—第 106 页) 1、 常见函数模型 (1) 一次函数模型:=kx+b(k,b 为常数,且 k); (2) 二次函数模型:=a ; (3) 指数函数模型:=a,,b (4) 对数函数模型:=mlo,,,a (5) 幂函数模型:= a,,n 2、 几类函数模型增长的差异 在区间(0,+)上,尽管函数=(a>1) ,=lo,= 都是增函数,但是它们的增长的速度不同, 而且不在同一“档次”上,随着 x 的增大,=(a>1)的增长速度 越来越快,会超过并远远大 于= 的增长速度,而=lo 增长速度会越来越慢,因此,总会存在一个,当时,lo<< 3、 函数模型的应用: 一方面是利用已知的模型解决问题; 另一方面是恰当建立函数模型, 并利用所得函数模 型解释有关现象,对某些发展趋势进行预测,解函数应用题的一般步骤: (1) 、阅读,审题;深入理解关键字句,为便于数据的处理可用表格(或图形)外理数据, 便于寻数据关系。 (2) 、建模:将问题简单化、符号化,尽量借鉴标准形式,建立数学关系式。 (3) 、合理求解纯数学问题:根据建立的数学模型,选择合适的数学方法,设计合理的运算 途径,求出问题的解,要特别注意变量范围的限制及其他约束条件。 (4) 、 解释关回答实际问题: 将数学的问题的答案还原为实际问题的答案, 在这以前要检验, 既要检验所求得的结果是否适合数学模型,又要评判所得结果是否符合实际问题的要求。 二、 题型探究

【探究一】 :利用已知函数模型解决函数应用题 例 1:函数 可以用来描述学习某学科知识的掌握程度,其中 x 表示某学科知识的学习次数 (x) ,表示对该学科知识的掌握程度,正实数 a 与学科知识有关。 (1) 、证明:当时,掌握程度的增加量总是下降 ; (2) 、 根据经验, 学科甲、 乙、 丙对应的 a 的取值区间分别为(115,121],(121,127](121,133] 当学习某学科 6 次时,掌握程度为 80%,请确定相应的学科()参考数据 【探究二】 :构造函数模型解决函数应用问题
1

例 2:某集团公司在 2000 年斥巨资分三期兴建垃圾资源化处理厂,如下表: 一期 2000 年投入 1 亿元 二期 2002 年投入 4 亿元 三期 2004 年投入 2 亿元 兴建垃圾焚烧发电 一厂 兴建垃圾焚烧发电 二厂 兴建垃圾堆肥厂 年处理有机肥十多 万吨 年发电量 1.3 亿 kw/h 年发电量 1.3 亿 kw/h 年综合收益 2 千万元 年综合收益 4 千万元 年综合收益 4 千万元

如果每期的投入从第二年开始见效,且不考虑存贷款利息,设 2000 年以后的 x 年的总收益 为 f(x)(单位:千万元) ,试求 f(x)的表达式,并预测到哪一年能收回全部投资款。

三、

方法提升

1、 根据根的存在定性定理,判断方程的根的取值范围是在高考题中易考的问题,这类问题 只需将区间的两个端点的值 代入计算即可判断出来。 2、 判断函数零点的个数问题常用形结合的方法,一般将题转化为两个函数图象的交点问 题。 3、 在导数问题中,经常在高考题中出现两个函数图象的交点的个数问题,要确定函数具体 的零点的个数需逐个判断,在符合根的存在性定理的条件下,还需辅以函数的单调性才 能准确判断出零点的个数。 四、 反思感悟:

。 五、课时作业: 1. 【2015 高考天津, 理 8】 已知函数 f ? x ? ? ?

? ?2 ? x , x ? 2, ? ?? x ? 2 ? , x ? 2,
2

函数 g ? x ? ? b ? f ? 2 ? x ? , )

其中 b ? R ,若函数 y ? f ? x ? ? g ? x ? 恰有 4 个零点,则 b 的取值范围是( (A) ?

?7 ? , ?? ? ?4 ?

(B) ? ??,

? ?

7? ? 4?

(C) ? 0, ?

? ?

7? 4?

(D) ?

?7 ? ,2? ?4 ?

【答案】D
2

由图象可知, 【考点定位】函数与方程、数形结合思想。 2.若函数 y ? ax ? 1 在 (0,1) 内恰有一解,则实数 a 的取值范围是( B ). A. a ? ?1 B. a ? ?1 C. a ? 1 D. a ? 1 3.函数 f ( x) ? 2x ? 3 的零点所在区间为( C ) A. ( ? 1,0) B. (0,1) C. (1,2) D. (2,3) 4.方程 lgx+x=0 在下列的哪个区间内有实数解( B ). A. [-10,-0.1] B. [0.1,1] C. [1,10] D. (??,0] 5.函数 y ? f ( x) 的图象是在 R 上连续不断的曲线,且 f (1)?f (2) ? 0 ,则 y ? f ( x) 在区间 [1, 2] 上( D ). A. 没有零点 B. 有 2 个零点 C. 零点个数偶数个 D. 零点个数为 k, k ? N

? ? x 2 ? 2 x, x ? 0 6. (2013 年高考新课标 1 (理) ) 已知函数 f ( x) ? ? ,若| f ( x) |≥ ax ,则 a ?ln( x ? 1), x ? 0
的取值范围是 A. (??, 0] 【答案】D 7.函数 y ? a ? a(a ? 0, a ? 1) 的图象可能是(
x

B. (??,1]

C. [?2,1]

D. [?2, 0]



3

【答案】C

8.函数 y ?

cos6x 的图象大致为【答案】D 2x ? 2? x

9.设定义在 R 上的函数 f(x)是最小正周期为 2π 的偶函数, f ?( x ) 是 f(x)的导函数,当

x ??0, ? ? 时,0<f(x)<1;当 x∈(0,π ) 且 x≠
y=f(x)-sinx 在[-2π ,2π ] 上的零点个数为 A .2 B .4 C.5 D. 8 【答案】B
1

?
2

时 , (x ?

?
2

) f ?( x) ? 0 ,则函数

10.【2102 高考北京文 5】函数 f ( x) ? x 2 ? ( ) 的零点个数为
x

1 2

(A)0 【答案】B 11.已知 a=2 ,b=
1.2

(B)1

(C)2

(D)3

??
1 2

-0.2

,c=2log52,则 a,b,c 的大小关系为 (B)c<a<b 2或3 C)b<a<c . (D)b<c<a

(A)c<b<a 【答案】A

12.函数 f ( x) ? x2 ? 5x ? 6 的零点是

x x ?1 13.【2012 高考上海文 6】方程 4 ? 2 ? 3 ? 0 的解是

【答案】 log2 3 。 14.已知函数 y ?

x2 ?1 x ?1

的图像与函数 y ? kx 的图像恰有两个交点,则实数 k 的取值范围

4

是 . 【答案】 0 ? k ? 1 或 1 ? k ? 2 。 15.已知函数 f ( x) 图象是连续的,有如下表格,判断函数在哪几个区间上有零点.

x

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

f - 1.02 2.37 1.56 - 1.23 2.77 3.45 4.89 (x) 3.51 0.38 解: 在(-2,-1.5) 、 (-0.5,0) 、 (0,0.5)内有零点. 16 .已知二次方程 (m ? 2) x2 ? 3mx ? 1 ? 0 的两个根分别属于 (-1,0)和 (0,2), 求 m 的取值范 围. 解:设 f ( x) = (m ? 2) x2 ? 3mx ? 1 ,则 f ( x) =0 的两个根分别属于(-1,0)和(1,2). 1 7 所以 f (?1) ? f (0) ? 0 ,即 (?2m ? 1) ?1 ? 0 , ∴ ? ?m? . f (2) ? f (0) ? 0 (10m ? 7) ?1 ? 0 2 10 2 17.已知 f ( x) ? 2(m ? 1) x ? 4mx ? 2m ? 1 : (1) m 为何值时,函数的图象与 x 轴有两个零点; 2( m ? 1) ? 0 解: (1) ,解得 m ? 1 且 m ? ?1 . (4m) 2 ? 4 ? 2( m ? 1)(2m ? 1) ? 0

?

?

?

(2)如果函数两个零点在原点左右两侧,求实数 m 的取值范围. 1 (2) 2(m ? 1) ? 0 或 2(m ? 1) ? 0 . 解得 ?1 ? m ? . f (0) ? 2m ? 1 ? 0 f (0) ? 2m ? 1 ? 0 2 18.【2012 高考江苏 17】 )如图,建立平面直角坐标系 xoy , x 轴在地平面上, y 轴垂直于地

?

?

平面,单位长度为 1 千米.某炮位于坐标原点.已知炮弹发射后的轨迹在方程

y ? kx ?

1 (1 ? k 2 ) x2 (k ? 0) 表示的曲线上,其中 k 与发射方向有关.炮的射程是指炮弹落地 20

点的横坐标. (1)求炮的最大射程; (2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小) ,其飞行高度为 3.2 千米,试问它的横坐标 a 不 超过多少时, 炮弹可以击中它?请说明理由.

【答案】解: (1)在 y ? kx ?

1 1 (1 ? k 2 ) x2 (k ? 0) 中,令 y ? 0 ,得 kx ? (1 ? k 2 ) x2 =0 。 20 20

由实际意义和题设条件知 x > 0,k > 0 。 ∴ x=

20k 20 20 = ? =10 ,当且仅当 k =1 时取等号。 2 1 1? k ?k 2 k
5

∴炮的最大射程是 10 千米。 (2) ∵a > 0 , ∴炮弹可以击中目标等价于存在 k ? 0 , 使 ka ? 成立, 即关于 k 的方程 a 2 k 2 ? 20ak ? a 2 ? 64=0 有正根。 由 ?= ? ?20a ? ? 4a 2 a 2 ? 64 ? 0 得 a ? 6 。
2

1 (1 ? k 2 )a2 =3.2 20

?

?

此时, k =

20a ?

? ?20a ?

2

? 4a2 ? a2 ? 64?

2a2

。 > 0 (不考虑另一根)

∴当 a 不超过 6 千米时,炮弹可以击中目标。 【考点】函数、方程和基本不等式的应用。 【解析】 (1)求炮的最大射程即求 y ? kx ? 基本不等式求解。 (2)求炮弹击中目标时的横坐标的最大值,由一元二次方程根的判别式求解。 19.海事救援船对一艘失事船进行定位:以失事船的当前位置为原点,以正北方向为 y 轴正 方向建立平面直角坐标系 (以 1 海里为单位长度) , 则救援船恰好在失事船正南方向 12 海里

1 (1 ? k 2 ) x2 (k ? 0) 与 x 轴的横坐标,求出后应用 20

A 处,如图,现假设:①失事船的移动路径可视为抛物线 y ?

12 2 x ;②定位后救援船即刻 49

沿直线匀速前往救援;③救援船出发 t 小时后,失事船所在位置的横坐标为 7t (1)当 t ? 0.5 时,写出失事船所在位置 P 的纵坐标,若此时两船恰好会合,求救援船速度 的大小和方向 (2) 问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船?

【答案】

6

7


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