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(新课标)2017春高中数学第3章不等式综合检测新人教A版必修5资料


2017 春高中数学 第 3 章 不等式综合检测 新人教 A 版必修 5
一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的) 1.设 M=2a(a-2)+7,N=(a-2)(a-3),则有 导学号 54742907 ( A A.M>N C.M<N
2 2

)

B.M≥N D.M≤N

[解析] M-N=(2a -4a+7)-(a -5a+6) 1 2 3 2 =a +a+1=(a+ ) + >0,∴M>N.故选 A. 2 4 2.(2016·浙江文,5)已知 a,b>0,且 a≠1,b≠1,若 logab>1,则 导学号 54742908 ( D ) A.(a-1)(b-1)<0 C.(b-1)(b-a)<0 [解析] 根据题意,logab>1?logab>logaa
? ?0<a<1 ?? ?0<b<a ? ?0<a<1 ? 当? ? ?0<b<a

B.(a-1)(a-b)>0 D.(b-1)(b-a)>0

或?

? ?a>1 ?b>a ?

.

时,0<b<a<1,∴b-1<0,b-a<0;

当?

? ?a>1 ?b>a ?

时,b>a>1,∴b-1>0,b-a>0.

∴(b-1)(b-a)>0,故选 D. 3.(2016·哈三中一模)已知数列{bn}是等比数列,b9 是 1 和 3 的等差中项,则 b2b16= 导学号 54742909 ( A.16 C.2 D ) B.8 D.4
2

[解析] 由题意,得 2b9=1+3,b9=2.因为{bn}是等比数列,所以 b2b16=b9=4.故选 D. 4.(2016·北京文,7)已知 A(2,5),B(4,1).若点 P(x,y)在线段 AB 上,则 2x-y 的 最大值为 导学号 54742910 ( A.-1 C.7 C ) B.3 D.8

5-1 [解析] 依题意得 kAB= =-2,∴线段 lAB:y-1=-2(x-4),x∈[2,4],即 y= 2-4

1

-2x+9,x∈[2,4], 故 2x-y=2x-(-2x+9)=4x-9,x∈[2,4],设 h(x)=4x-9,易知 h(x)=4x-9 在 [2,4]上单调递增, 故当 x=4 时,h(x)max=4×4-9=7.故选 C. 3 3 5.若点(x,y)在第一象限,且在直线 2x+3y=6 上移动,则 log x+log y 的最大值是 2 2 导学号 54742911 ( A.1 C.2 [解析] 由题意 x>0,y>0,2x+3y=6, 3 3 3 3 1 ∴u=log x+log y=log (x·y)=log [ (2x·3y)] 2 2 2 2 6 3 1 2x+3y 2 ≤log [ ( ) ]=1, 2 6 2 3 等号在 2x=3y=3,即 x= ,y=1 时成立.故选 A. 2 6.若关于 x 的不等式 2x -8x-4-a≥0 在 1≤x≤4 内有解,则实数 a 的取值范围是 导学号 54742912 ( A.a≤-4 C.a≥-12
2 2

A ) B.-1 D.-2

A ) B.a≥-4 D.a≤-12
2

[解析] ∵y=2x -8x-4(1≤x≤4)在 x=4 时,取最大值-4,当 a≤-4 时,2x -8x -4≥a 存在解.故选 A. 1 7.若 x∈(0, )时总有 loga2-1(1-2x)>0,则实数 a 的取值范围是 导学号 54742913 2 ( D ) A.|a|<1 C.|a|> 2 1 [解析] ∵x∈(0, ),∴0<1-2x<1. 2 又∵此时总有 loga2-1(1-2x)>0, ∴0<a -1<1,∴1<|a|< 2.故选 D.
?2x-y≤0 ? 8.(2015·河南六市联考)已知正数 x,y 满足? ?x-3y+5≥0 ?
2

B.|a|< 2 D.1<|a|< 2

?1?y -x ,则 z=4 ·? ? 的最 ?2?

小值为 导学号 54742914 ( C )

2

A.1 1 C. 16

13 B. 2 4 1 D. 32

?1?y -2x-y,又不等式组表示的平面区域如图所示. -x [解析] 由于 z=4 ·? ? =2 ?2?

易知 m=-2x-y 经过点 A 时取得最小值,
? ?2x-y=0, 由? ?x-3y+5=0, ?

得 A(1,2),所以 zmin=2

-2×1-2

1 = ,选 C. 16

9.(2016·重庆巴蜀中学一诊)在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边长分别为 a,b,c,已 知 a -c =b,且 sin(A-C)=2cosAsinC,则 b= 导学号 54742915 ( C A.6 C.2 B.4 D.1
2 2

)

[解析] 由 sin(A-C)=2cosAsinC, 得 sinAcosC-cosAsinC=2cosAsinC, 即 sinAcosC =3cosAsinC.由正余弦定理,得

a2+b2-c2 b2+c2-a2 2 2 2 a· =3c· ,整理得 2(a -c )=b .① 2ab 2bc
又 a -c =b,② 联立①②得 b=2,故选 C. 10.下列函数中,最小值是 4 的函数是 导学号 54742916 ( 4 A.y=x+ C )
2 2

x

4 B.y=sinx+ (0<x<π ) sinx C.y=e +4e
x
-x

D.y=log3x+logx81 4 [解析] 当 x<0 时,y=x+ ≤-4,排除 A;

x

∵0<x<π ,∴0<sinx<1.y=sinx+

4 4 x ≥4.但 sinx= 无解,排除 B;e >0,y sinx sinx

4 x -x x x =e +4e ≥4.等号在 e = x即 e =2 时成立.∴x=ln2,D 中,x>0 且 x≠1,若 0<x<1,

e

3

则 log3x<0,logx81<0,∴排除 D. 11.(2016·全国卷Ⅰ理,8)若 a>b>1,0<c<1,则 导学号 54742917 ( C A.a <b
c c

)

B.ab <ba

c

c

C.alogbc<blogac
c

D.logac<logbc
c

[解析] 对于选项 A,考虑幂函数 y=x ,因为 c>0,所以 y=x 为增函数,又 a>b>1, 所以 a >b ,A 错.对于选项 B,ab <ba ?( ) < ,又 y=( ) 是减函数,所以 B 错.对于选 项 D,由对数函数的性质可知 D 错,故选 C.
??x-y??x+y-2?≥0, ? 12.(2015·合肥第二次质检)已知实数 x,y 满足? ? ?1≤x≤4,
c c c c

b a

c

b a

b a

x

则x

+2y 的取值范围为 导学号 54742918 ( A.[12,+∞) C.[0,12]

C ) B.[0,3] D.[3,12]

[解析] 作出不等式组表示的平面区域如图,作直线 l0:x+2y=0,平移 l0 可见当经 过可行域内的点 A、B 时,z=x+2y 分别取得最大值与最小值,∴zmax=12,zmin=0,故选 C.

二、 填空题(本大题共 4 个小题, 每个小题 4 分, 共 16 分. 将正确答案填在题中横线上) 13.若关于 x 的不等式 ax -6x+a <0 的解集是(1,m),则 m=2. 导学号 54742919 [解析] 由题意知 a>0 且 1 是方程 ax -6x+a =0 的一个根,∴a=2, ∴不等式为 2x -6x+4<0,即 x -3x+2<0, ∴1<x<2,∴m=2. 14.(2015·东北三校模拟)△ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且 a,b,
2 2 2 2 2 2

c 成等比数列,若 sinB= ,cosB= ,则 a+c 的值为 3 7. 导学号 54742920 13 ac
12 2 [解析] 由已知得:b =ac 且 B 为锐角,∴cosB= , 13

5

12

4

12 ∵cosB= ,∴ac=13,

ac

由余弦定理得:cosB=

a2+c2-b2 12 = ,得: 2ac 13

a2+c2=37,∴(a+c)2=a2+c2+2ac=63,
∴a+c=3 7. 15.(2015·山东文,14)定义运算“?”:x?y=

x2-y2 (x,y∈R,xy≠0).当 x>0,y xy

>0 时,x?y+(2y)?x 的最小值为 2. 导学号 54742921 [分析] 先按新定义将待求最小值的表达式化简,再用基本不等式求最小值. [解析] 由新定义运算知,x?y=
2 2 2

x2-y2 , xy
2

?2y? -x 4y -x 所以(2y)?x= = ,因为,x>0,y>0, ?2y?x 2xy 所以,x?y+(2y)?x=

x2-y2 4y2-x2 x2+2y2 2 2xy + = ≥ = 2,当且仅当 x= 2y 时,x xy 2xy 2xy 2xy

?y+(2y)?x 的最小值是 2. 16.(2015·云南省检测)某校今年计划招聘女教师 a 名,男教师 b 名,若 a、b 满足不 2a-b≥5, ? ? 等 式 组 ?a-b≤2, ? ?a<7. 13. 导学号 54742922 [解析] 由题意得 x=a+b,如图所示,画出约束条件所表示的可行域,作直线 l:b +a=0,平移直线 l,再由 a,b∈N,可知当 a=6,b=7 时,x 取最大值,∴x=a+b=13.

设这所学校今年计划招聘教师最多 x 名,则 x=

三、 解答题(本大题共 6 个小题, 共 74 分, 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤) 17.(本题满分 12 分)不等式(m -2m-3)x -(m-3)x-1<0 对一切 x∈R 恒成立,求实 数 m 的取值范围. 导学号 54742923 [解析] 由 m -2m-3=0,得 m=-1 或 m=3.
5
2 2 2

当 m=3 时,原不等式化为-1<0 恒成立; 当 m=-1 时,原不等式化为 4x-1<0, 1 ∴x< ,故 m=-1 不满足题意. 4 当 m -2m-3≠0 时,由题意,得
?m -2m-3<0 ? ? 2 2 ?Δ =[-?m-3?] +4?m -2m-3?<0 ?
2 2



-1<m<3 ? ? 即? 1 - <m<3 ? ? 5 1 ∴- <m<3. 5



1 综上可知,实数 m 的取值范围是- <m≤3. 5 1 2 2 18.(本题满分 12 分)已知正数 a,b 满足 a+b=1,求证 a +b ≥ . 导学号 54742924 2 [证明] a +b =(a+b) -2ab=1-2ab≥1-2×(
2 2 2 2

a+b
2

1 1 2 ) =1- = . 2 2

19.(本题满分 12 分)若直线 y=kx+1 与圆 x +y +kx+my-4=0 相交于 P,Q 两点,

2

kx-y+1≥0, ? ? 且 P,Q 关于直线 x+y=0 对称,则不等式组?kx-my≤0, ? ?y≥0
少? 导学号 54742925 [解析] ∵P,Q 关于直线 x+y=0 对称, ∴PQ 与直线 x+y=0 垂直,且直线 x+y=0 经过圆心, ∴k=1,且(- )+(- )=0, 2 2 ∴k=1,m=-1,

表示平面区域的面积是多

k

m

x-y+1≥0, ? ? ∴不等式组化为?x+y≤0, ? ?y≥0,
1 1 1 1 1 它表示的平面区域如图所示,易知 A(-1,0),B(- , ),故面积为 S△OAB= ×1× = . 2 2 2 2 4

6

20.(本题满分 12 分)某摩托车生产企业,上年度生产摩托车的投入成本为 1 万元/辆, 出厂价为 1.2 万元/辆,年销售量为 1 000 辆.本年度为适应市场需求,计划提高产品档次, 适度增加投入成本.若每辆车投入成本增加的比例为 x(0<x<1),则出厂价相应的提高比例 为 0.75x,同时预计年销售量增加的比例为 0.6x. 导学号 54742926 已知年利润=(出厂价-投入成本)×年销售量. (1)写出本年度预计的年利润 y 与投入成本增加的比例 x 的关系式; (2)为使本年度的年利润比上年度有所增加,问投入成本增加的比例 x 应在什么范围 内? [解析] 0.6x)(0<x<1). 整理,得:y=-60x +20x+200(0<x<1). ∴本年度年利润与投入成本增加的比例的关系式为
2

(1) 依 题 意 得 y = [1.2×(1 + 0.75x) - 1×(1 + x)]×1 000×(1 +

y=-60x2+20x+200(0<x<1).
(2)要保证本年度的年利润比上年度有所增加,
? ?y-?1.2-1?×1 000>0 当且仅当? ?0<x<1 ? ? ?-60x +20x>0 即? ?0<x<1 ?
2





1 解得:0<x< , 3 1 所以为保证本年度的年利润比上年度有所增加,投入成本增加的比例 x 应满足 0<x< . 3 21.(本题满分 12 分)若 a<1,解关于 x 的不等式 [解析] a=0 时,不等式的解集为?

ax >1 . 导学号 54742927 x-2

ax ?a-1?x+2 >1? >0 x-2 x-2
?[(a-1)x+2](x-2)>0. ∵a<1,∴a-1<0. ∴化为(x- 2 )(x-2)<0, 1-a
7

2 当 0<a<1 时, >2, 1-a 2 ∴不等式的解为 2<x< ; 1-a 当 a<0 时,1-a>1, ∴ 2 <2, 1-a

2 ∴不等式解为 <x<2, 1-a
? 2 ? ?;当 a<0 时,不等式解集为 ∴ 当 0 < a < 1 时 , 不 等 式 解 集 为 ?x|2<x< 1-a? ? ? ? 2 ?x| <x<2?;当 a=0 时,解集为?. ? 1-a ?

22.(本题满分 14 分)已知关于 x 的方程(m+1)x +2(2m+1)x+1-3m=0 的两根为 x1、

2

x2,若 x1<1<x2<3,求实数 m 的取值范围. 导学号 54742928
[解析] 设 f(x)=(m+1)x +2(2m+1)x+1-3m,显然 m+1≠0. (1)当 m+1>0 时,可画简图:
2

m+1>0 ? ? 则?f?1?<0 ? ?f?3?>0

m>-1 ? ?m<-2 ,即? 8 ? ?m>-9

,不等式组无解.

(2)当 m+1<0 时,可画简图:

m+1<0 ? ? 则?f?1?>0 ? ?f?3?<0

m<-1 ? ?m>-2 ,即? 8 ? ?m<-9

.得-2<m<-1.

由(1)、(2)知 m 的取值范围是(-2,-1).

8


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