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初等数论论文


初等数论论文
素数及其应用

摘要:质数又称素数。指在一个大于 1 的自然数中,除了 1 和此整数自身外,不能被其
他自然数整除的数。因为合数是由若干个质数相乘而得来的,所以,没有质数就没有合数, 由此可见素数在数论中有着很重要的地位。比 1 大但不是素数的数称为合数。1 和 0 既非素 数也非合数。质数是与合数相对立的两个概念,二者构成了数论当中最基础的定义之一。基 于质数定义的基础之上而建立的问题有很多世界级的难题, 如哥德巴赫猜想等。 算术基本定 理每一个比 1 大的数(即每个比 1 大的正整数)要么本身是一个素数,要么可以写成一系列 素数的乘积,如果不考虑这些素数的在乘积中的顺序,那么写出来的形式是唯一的。这个定 理的重要一点是,将 1 排斥在素数集合以外。

关键词:素数,无穷性,著名问题,应用 素数的概念概念
只有 1 和它本身两个正因数的自然数,叫素数(Prime Number),又称质素。(如:由 2÷1=2,2÷2=1,可知 2 的因数只有 1 和它本身 2 这两个约数,所以 2 就是质数。与之相对 立的是合数:“除了 1 和它本身两个因数外,还有其它因数的数,叫合数。”如:4÷1=4, 4÷2=2,4÷4=1,很显然,4 的因数除了 1 和它本身 4 这两个因数以外,还有因数 2,所以 4 是合数。) 100 以内的质数有 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53, 59,61,67,71,73,79,83,89,97,在 100 内共有 25 个质数。 注:(1)2 和 3 是所有素数中唯一两个连着的数。 (2)2 是唯一一个为偶数(双数)的质数。 (3)质数的平方数只有三个因数.

素数无穷性的证明
素数的个数是无穷的。
最经典的证明由欧几里得证得,在他的《几何原本》中就有记载。它使用了证明常用 的方法:反证法。具体的证明如下: 假设质数只有有限的 n 个, 从小到大依次排列为 p1, p2, ……, pn, 设 N = p1 × p2 × …… × pn,那么,N+1 是素数或者不是素数。 如果 N+1 为素数,则 N+1 要大于 p1,p2,……,pn,所以它不在那些假设的素数集 合中。 如果 N+1 为合数,因为任何一个合数都可以分解为几个素数的积;而 N 和 N+1 的最大 公约数是 1,所以 N+1 不可能被 p1,p2,……,pn 整除,所以该合数分解得到的素因数肯 定不在假设的素数集合中。 因此无论该数是素数还是合数,都意味着在假设的有限个素数之外还存在着其他素数。 对任何有限个素数的集合来说, 用上述的方法永远可以得到有一个素数不在假设的素数集合 中的结论。 所以原先的假设不成立。也就是说,素数有无穷多个。

其他数学家也给出了他们自己的证明。 欧拉利用黎曼函数证明了全部素数的倒数之和是 发散的,恩斯特· 库默的证明更为简洁,Hillel Furstenberg 则用拓扑学加以证明。

素数计算
尽管整个素数是无穷的,仍然有人会问“100,000 以下有多少个素数?”,“一个随机 的 100 位数多大可能是素数?”。素数定理可以回答此问题。 素数、即质数,是在大于 1 的整数中只能被 1 和其自身整除的数。梅森素数以法国数学 家马兰.梅森命名,指的是形如 2 的 P 次幂减一的素数,而 P 本身也是素数。迄今为止,数 学界共计发现 48 个梅森素数。中央密苏里大学在 2013 年 1 月 25 日协调世界时 23:30:26 发现的那一素数 2 的 57,885,161 次幂减一为迄今发现的最大素数。

素数检验
检查一个正整数 n 是否为素数,最简单的方法就是试除法,将该数 n 用小于等于根号 n 的所有素数去试除,若均无法整除,则 n 为素数,参见素数判定法则。 2002 年,印度人 M. Agrawal、N. Kayal 以及 N. Saxena 提出了 AKS 质数测试算法,证明了 可以在多项式时间内检验是否为素数。

著名问题
哥德巴赫猜想
在 1742 年给欧拉的信中哥德巴赫提出了以下猜想:任一大于 2 的整数都可写成三个质 数之和。因现今数学界已经不使用“1 也是素数”这个约定,原初猜想的现代陈述为:任一 大于 5 的整数都可写成三个质数之和。欧拉在回信中也提出另一等价版本,即任一大于 2 的偶数想陈述为欧拉的版本。把命题"任一充分大的偶数都可以表示成为一个素因子个数不 超过 a 个的数与另一个素因子不超过 b 个的数之和"记作"a+b"。1966 年陈景润证明了"1+2" 成立, 即"任一充分大的偶数都可以表示成二个素数的和, 或是一个素数和一个半素数的和"。 今日常见的猜想陈述为欧拉的版本,即任一大于 2 的偶数都可写成两个素数之和,亦称为 “强哥德巴赫猜想”或“关于偶数的哥德巴赫猜想”。 从关于偶数的哥德巴赫猜想,可推出任一大于 7 的奇数都可写成三个质数之和的猜想。 后者称为“弱哥德巴赫猜想”或“关于奇数的哥德巴赫猜想”。 若关于偶数的哥德巴赫猜想是对的, 则关于奇数的哥德巴赫猜想也会是对的。 若哥德巴 赫猜想尚未完全解决,但 1937 年时前苏联数学家维诺格拉多夫已经证明充分大的奇质数都 能写成三个质数的和,也称为“哥德巴赫-维诺格拉朵夫定理”或“三素数定理”,数学家认为 弱哥德巴赫猜想已基本解决。

黎曼猜想
黎曼猜想是关于黎曼 ζ 函数 ζ(s)的零点分布的猜想,由数学家波恩哈德· 黎曼 (1826--1866)于 1859 年提出。德国数学家希尔伯特列出 23 个数学问题.其中第 8 问题中 便有黎曼假设。 素数在自然数中的分布并没有简单的规律。 黎曼发现素数出现的频率与黎曼 ζ 函数紧密相关。 黎曼猜想提出: 黎曼 ζ 函数 ζ(s)非平凡零点 (在此情况下是指 s 不为-2、 -4、

-6 等点的值) 的实数部份是 1/2。 即所有非平凡零点都应该位于直线 1/2 + ti (“临界线( ” critical line) )上。t 为一实数,而 i 为虚数的基本单位。至今尚无人给出一个令人信服的关于黎曼 猜想的合理证明。 在黎曼猜想的研究中,数学家们把复平面上 Re(s)=1/2 的直线称为 critical line。 运用 这一术语,黎曼猜想也可以表述为:黎曼 ζ 函数的所有非平凡零点都位于 critical line 上。 黎曼猜想是黎曼在 1859 年提出的。在证明素数定理的过程中,黎曼提出了一个论断: Zeta 函数的零点都在直线 Res(s) = 1/2 上。他在作了一番努力而未能证明后便放弃了,因为 这对他证明素数定理影响不大。 但这一问题至今仍然未能解决, 甚至于比此假设简单的猜想 也未能获证。 而函数论和解析数论中的很多问题都依赖于黎曼假设。 在代数数论中的广义黎 曼假设更是影响深远。若能证明黎曼假设,则可带动许多问题的解决。

孪生素数猜想
1849 年,波林那克提出孪生质数猜想(the conjecture of twin primes) ,即猜测存 在无穷多对孪生质数。 猜想中的“孪生质数”是指一对质数,它们之间相差 2。例如 3 和 5,5 和 7,11 和 13, 10,016,957 和 10,016,959 等等都是孪生质数。

费马数
被称为“17 世纪最伟大的法国数学家”的费马,也研究过质数的性质。他发现,设 Fn=2^(2^n)+1,则当 n 分别等于 0、1、2、3、4 时,Fn 分别给出 3、5、17、257、65,537, 都是质数,由于 F5 太大(F5=4,294,967,297) ,他没有再往下检测就直接猜测:对于一切自 然数,Fn 都是质数。这便是费马数。费马死后 67 年,25 岁的瑞士数学家欧拉证明: F5=641× 6,700,417 是一个合数。 以后的 Fn 值,数学家再也没有找到哪个 Fn 值是质数,全部都是合数。由于平方开得 较大,因而能够证明的也很少。现在数学家们取得 Fn 的最大值为:n=1,495,其位数多达 10^10584 位,当然它尽管非常之大,但也不是个质数。 高斯已经证明,一个正多边形能用直尺和圆规作出当且仅当边数为质数的 Fn 或若干个 为质数的 Fn 的乘积。

梅森素数
17 世纪还有位法国数学家叫梅森,他曾经做过一个猜想:当 2^p-1 中的 p 是质数时, 2^p-1 是质数。他验算出:当 p=2、3、5、7、17、19 时,所得代数式的值都是质数,后来, 欧拉证明 p=31 时,2^p-1 是质数。 p=2,3,5,7 时,2^p-1 都是素数,但 p=11 时,所得 2,047=23×89 却不是素数。 梅森去世 250 年后,美国数学家科勒证明,2^67-1=193,707,721×761,838,257,287, 是一个合数。这是第九个梅森数。20 世纪,人们先后证明:第 10 个梅森数是质数,第 11 个梅森数是合数。质数排列得杂乱无章,也给人们寻找质数规律造成了困难。 目前最大的已知质数是梅森质数 2^57,885,161-1。迄今为止,人类仅发现 48 个梅森质数。 由于这种质数珍奇而迷人,它被人们称为“数学珍宝”。 中国数学家和语言学家周海中根据已知的梅森质数及其排列, 巧妙地运用联系观察法和 不完全归纳法,于 1992 年正式提出了梅森素质分布的猜想(即周氏猜测)。

相关定理

素数定理
素数定理描述素数的大致分布情况。 素数的出现规律一直困惑著数学家。 一个个地看, 素数在正整数中的出现没有什么规律。可是总体地看,素数的个数竟然有规可循。对正实数 x,定义 π (x)为不大于 x 的素数个数。数学家找到了一些函数来估计 π (x)的增长。以下是 第一个这样的估计。 π (x)≈x/ln x 其中 ln x 为 x 的自然对数。 上式的意思是当 x 趋近∞, π (x) 和 x/ln x 的比趋 近 1(注:该结果为高斯所发现) 。但这不表示它们的数值随着 x 增大而接近。 下面是对 π (x)更好的估计: π (x)=Li (x) + O (x e^(-(ln x)^(1/2)/15), 当 x 趋近∞。 其中 Li(x) = ∫(dt/ln x2,x),而关系式右边第二项是误差估计。 素数定理可以给出第 n 个素数 p(n)的渐近估计:p(n)~n/ln n. 它也给出从整数中抽 到素数的概率。从不大于 n 的自然数随机选一个,它是素数的概率大约是 1/ln n。 这定理 的式子於 1798 年法国数学家勒让德提出。1896 年法国数学家哈达玛(Jacques Hadamard)和 比利时数学家普森(Charles Jean de la Vallée-Poussin)先後独立给出证明。证明用到了 复分析,尤其是黎曼 ζ 函数。 因为黎曼 ζ 函数与 π (x)关系密切,关于黎曼 ζ 函数的黎 曼猜想对数论很重要。一旦猜想获证,便能大大改进素数定理误差的估计。1901 年瑞典数 学家 Helge von Koch 证明出,假设黎曼猜想成立,以上关系式误差项的估计可改进 为 :π (x)=Li (x) + O (x^(1/2) ln x) 至於大 O 项的常数则还未知道。 素数定理有些初等证明只需用数论的方法。第一个初等证明于 1949 年由匈牙利数学家 保罗·艾狄胥(“爱尔多斯”,或“爱尔多希”)和挪威数学家阿特利· 西尔伯格合作得出。 在 此之前一些数学家不相信能找出不需借助艰深数学的初等证明。 像英国数学家哈代便说过素 数定理必须以复分析证明,显出定理结果的「深度」 。他认为只用到实数不足以解决某些问 题,必须引进复数来解决。这是凭感觉说出来的,觉得一些方法比别的更高等也更厉害,而 素数定理的初等证明动摇了这论调。 Selberg-艾狄胥的证明正好表示, 看似初等的组合数学, 威力也可以很大。 但是,有必要指出的是,虽然该初等证明只用到初等的办法,其难度甚 至要比用到复分析的证明远为困难。

算术基本定理
任何一个大于 1 的自然数 N,都可以唯一分解成有限个质数的乘积 N=(P_1^a1)*(P_2^a2)......(P_n^an) , 这里 P_1<P_2<...<P_n 是质数,其诸方幂 ai 是正 整数。这样的分解称为 N 的标准分解式。 算术基本定理的内容由两部分构成:分解的存在性、分解的唯一性(即若不考虑排列的 顺序,正整数分解为素数乘积的方式是唯一的) 。 算术基本定理是初等数论中一个基本的定理,也是许多其他定理的逻辑支撑点和出发 点。 此定理可推广至更一般的交换代数和代数数论。 高斯证明复整数环 Z[i]也有唯一分解定 理。它也诱导了诸如唯一分解整环,欧几里得整环等等概念。 更一般的还有戴德金理想分 解定理。

素数等差数列
等差数列是数列的一种。在等差数列中,任何相邻两项的差相等。该差值称为公差。类 似 7、37、67、97、107、137、167、197。这样由素数组成的数列叫做等差素数数列。2004 年,格林和陶哲轩证明存在任意长的素数等差数列。2004 年 4 月 18 日,两人宣布:他们证 明了“存在任意长度的素数等差数列”,也就是说,对于任意值 K,存在 K 个成等差级数的 素数。 例如 K=3, 有素数序列 3, 5, 7 (每两个差 2) ??K=10, 有素数序列 199, 409, 619,

829, 1039, 1249, 1459, 1669, 1879, 2089 (每两个差 210) 。

未解之谜
哥德巴赫猜想:是否每个大于 2 的偶数都可写成两个素数之和? 孪生素数猜想:孪生素数就是差为 2 的素数对,例如 11 和 13。是否存在无穷多的孪生 素数? 斐波那契数列内是否存在无穷多的素数? 是否有无穷多个的梅森素数? 在 n2 与(n+1)2 之间是否每隔 n 就有一个素数? 是否存在无穷个形式如 X2+1 素数? 黎曼猜想

素数的应用
质数被利用在密码学上, 所谓的公钥就是将想要传递的信息在编码时加入质数, 编码之 后传送给收信人, 任何人收到此信息后, 若没有此收信人所拥有的密钥, 则解密的过程中 (实 为寻找素数的过程) ,将会因为找质数的过程(分解质因数)过久,使即使取得信息也会无 意义。 在汽车变速箱齿轮的设计上, 相邻的两个大小齿轮齿数最好设计成质数, 以增加两齿轮 内两个相同的齿相遇啮合次数的最小公倍数,可增强耐用度减少故障。 在害虫的生物生长周期与杀虫剂使用之间的关系上,杀虫剂的质数次数的使用也得到了证 明。实验表明,质数次数地使用杀虫剂是最合理的:都是使用在害虫繁殖的高潮期,而且害 虫很难产生抗药性。 以质数形式无规律变化的导弹和鱼雷可以使敌人不易拦截。 多数生物的生命周期也是质数 (单位为年) , 这样可以最大程度地减少碰见天敌的机会。

素数的最新成果
数论是纯粹数学的分支之一,主要研究整数的性质。而整数的基本元素是素数(也称质 数) ,所以数论的本质是对素数性质的研究。数论被高斯誉为“数学中的皇冠”。因此,数 学家都喜欢把数论中一些悬而未决的疑难问题, 叫做“皇冠上的明珠”, 以鼓励人们去“摘 取”。 发现已知的最大素数 美国中央密苏里大学数学家柯蒂斯· 库珀领导的研究小组通过参加一个名为“互联网梅 森素数大索”(GIMPS)的国际合作项目,于 2013 年 1 月 25 日发现了目前已知的最大素数 ——2^57885161-1 (即 2 的 57885161 次方减 1) 。该素数是第 48 个梅森素数,有 17425170 位; 如果用普通字号将它连续打印下来, 其长度可超过 65 公里! 美国数学学会发言人迈克· 布 林宣称:这是数论研究的一项重大突破。 研究小组在大约 1000 台大学里的计算机上运行 GIMPS 的软件,每台计算机都不间断 地用了 39 天时间证明 2^57885161-1 是个素数。之后其他研究者也独立验证了这一结果。库 珀通过参加 GIMPS 项目一共发现了 3 个梅森素数。

寻找梅森素数已成为发现已知最大素数的最有效途径。 如今世界上有 180 多个国家和地 区近 28 万人参加了 GIMPS 项目,并动用超过 79 万台计算机联网来寻找新的梅森素数。梅 森素数是否有无穷多个?这是一个尚未破解的著名数学谜题。 证明“弱孪生素数猜想” 美国新罕布什尔大学数学家张益唐经过多年努力, 在不依赖未经证明推论的前提下, 率 先证明了一个“弱孪生素数猜想”,即“存在无穷多个之差小于 7000 万的素数对”。4 月 17 日,他将论文投稿给世界顶级期刊《数学年刊》 。美国数学家、审稿人之一亨里克·艾温 尼科评价说: “这是一流的数学工作。 ”他相信不久会有很多人把“7000 万”这个数字“变 小”。 尽管从证明弱孪生素数猜想到证明孪生素数猜想还有相当的距离,英国《自然》杂志在 线报道还是称张益唐的证明为一个“重要的里程碑”。 由于孪生素数猜想与哥德巴赫猜想密 切相关(姐妹问题) ,很多数学家希望通过解决这个猜想,进而攻克哥德巴赫猜想。 值得一提的是, 英国数学家戈弗雷·哈代和约翰·李特尔伍德曾提出一个“强孪生素数 猜想”。这一猜想不仅提出孪生素数有无穷多对,而且还给出其渐近分布形式。中国数学家 周海中指出:要证明强孪生素数猜想,人们仍要面对许多巨大的困难。 解开“弱哥德巴赫猜想” 2013 年 5 月 13 日,秘鲁数学家哈拉尔德·赫尔弗戈特在巴黎高等师范学院宣称:证明 了一个“弱哥德巴赫猜想”,即“任何一个大于 7 的奇数都能被表示成 3 个奇素数之和”。 他将论文投稿给全球最大的预印本网站 (arXiv) ; 有专家认为这是哥德巴赫猜想研究的一项 重大成果。不过,其证明是否成立,还有待进一步考证。 赫尔弗戈特在论证技术上主要使用了哈代-李特尔伍德-维诺格拉多夫圆法。 在这一圆法 中,数学家创建了一个周期函数,其范围包括所有素数。1923 年,哈代和李特尔伍德证明, 假设广义黎曼猜想成立,三元哥德巴赫猜想对充分大的奇数是正确的;1937 年,苏联数学 家伊万·维诺格拉多夫更进一步, 在无须广义黎曼猜想的情形下, 直接证明了充分大的奇数 可以表示为 3 个素数之和。 英国数学家安德鲁·格兰维尔称,不幸的是,由于技术原因,赫尔弗戈特的方法很难证 明“强哥德巴赫猜想”,即“关于偶数的哥德巴赫猜想”。如今数学界的主流意见认为:要 证明强哥德巴赫猜想,还需要新的思路和工具,或者在现有的方法上进行重大的改进。

初等证明
素数定理有些初等证明只需用数论的方法。第一个初等证明於 1949 年由匈牙利数学家 保罗·艾狄胥 (“爱尔多斯”, 或“爱尔多希”) 和挪威数学家阿特利·西尔伯格合作得出。 在此之前 一些数学家不相信能找出不需借助艰深数学的初等证明。像英国数学家哈代便说 过素数定理必须以复分析证明,显出定理结果的「深度」。他认为只用到实数不足以解决某 些问题, 必须引进复数来解决。 这是凭感觉说出来的, 觉得一些方法比别的更高等也更厉害, 而素数定理的初等证明动摇了这论调。Selberg-艾狄胥的证明正好表示,看似初等的组合 数学,威力也可以很大。 但是,有必要指出的是,虽然该初等证明只用到初等的办法,其 难度甚至要比用到复分析的证明远为困难。

质数趣谈
孪生素数和广义孪生素数
众所周知,孪生素数指的是恰好相差 2 的两个质数。为什么是相差 2,不是相差 1 呢? 相差 1 的质数只有 2 和 3 一对(偶质数只有一个) ,太平凡;而相差 2 的有无穷多对,而且 规律难以捉摸,这就成为了数学家们乐此不疲的研究课题。不少人相信,孪生素数有无穷多 对,不过这个猜想至少未证明,却成为了数学界上最著名的未解问题之一[6]。 而“广义”的“孪生”素数则是指相差不超过 k 的一对素数。有人说,这种素数不是很常见 吗?比如 k 等于 10 的时候,在 1000 以内这种“广义”的孪生素数俯拾即是,不是很平凡吗? 非也。众所周知,离原点越远,质数越稀疏,故数字大的时候这种广义孪生质数没有想象中 这么容易找到。同时,既然孪生素数猜想这么难证明,我们可以退求其次,证明“广义孪生 素数”有无穷多对, 哥德巴赫猜想就是这么一步一步发展的——从 (9+9) 到 (1+5) 再到 (1+4) (1+3) (1+2) ,至今距离哥德巴赫猜想本身——(1+1)只剩一步之遥了。数论一般都是如 此,用最普通的数学归纳基本上是不可能做成大事的,必须另辟蹊径。 在玛雅传说中“世界新纪元”后的第一年——2013 年,华人数学家张益唐证明了,当 k 为 70,000,000 时,广义孪生素数有无穷多对。

梅森质数
形如 2^p-1 的数(二进制中每一位都是 1) ,如果是质数,则称为梅森质数,可以注意 到,当 p=1 时 2^p-1=1 不是质数,当 p=m*n(m,n>1)时 2^p-1 能被 2^m-1 整除不是质数, 故梅森质数必须满足 p 为质数。当 p=2,3,5,7 时,2^p-1=3,7,31,127,都是质数,似乎其逆 命题,p 为质数是 2^p-1 一定是质数,也成立。实则不然,第一个反例出现在 p=11 时, 2^p-1=2047=23*89 是合数。这样一来 2^p-1 是否质数便变得不可捉摸,这成了数学界上又 一个方兴未艾的研究主题。 大家有没有发现,各种“人类发现的最大质数”这类新闻,里面所发现的质数,都是梅 森质数——说明梅森质数比起一般的质数具有更好的性质。 而信息时代发现的越来越大的质 数,都是依赖于一个叫做 GIMPS 的网络系统,它从因特网免费下载开放源代码的 Prime95 [8] 和 MPrime 软件来搜索梅森素数。 俗话说“众人拾柴火焰高”利用“每个志愿者的小米加 步枪” ,人类便可以更快地发现更大的梅森质数。 梅森质数还有另一个意义:如果 2^p-1 是素数,则 2^(p-1)(2^p-1)是完美数。并且所有的 偶完美数都有这种形式。也就是说,每个梅森质数对应一个偶完美数,发现了多少个梅森质 数就发现了多少个偶完美数。 完美数的极其美妙的性质也吸引了众多数学爱好者投入梅森质 数的研究中。

费马质数
与梅森质数相对,形如 2^m+1 的数,如果是质数,则称为费马质数。可以证明,m 一 定是 2 的幂——若 m=ab, 其中 1<a,b<n 且 b 为奇数, 则 2^m+1 ≡ (2^a)^b+1 ≡ (?1)^b+1 ≡ 0 (mod 2^a+1)。故费马质数可以写成 2^(2^n)+1 的形式。费马曾错误地猜想,当 n 为任意自 然数时,2^(2^n)+1 都是质数。但是,命运给费马开了个大玩笑。费马死后,大家找到了很 多 2^(2^n)+1 形式的合数,却至今仍未发现当 n≥5 的费马质数。也就是说,至今发现的费马 质数只有 3,5,17,257,65537 五个。至于费马质数是否只有这五个,或者是否是有限个, 至今还是一个未解之谜。 费马质数的一个意义在于,一个正 k 边形能用尺规作出,当且仅当 k 为费马质数(或者

互不相同的费马质数的乘积)乘以 2 的任意自然数次幂。这样,就已发现的费马质数而言, 能用尺规作出的最大正奇数边形为正 4294967295 边形,它等于 2^32-1,正好是五个费马质 数的乘积。有趣的是,4294967295 也是无符号 32 位整型的最大值。

参考文献:
陈景润,(初等数论)科学出版社,1978 年。 华罗庚,数论导引,北京科学出版社,1957 年。 潘承洞、潘承彪,解析数论基础 ,北京科学出版社,1991 年。 潘承洞,数论基础,北京高等教育出版社,2012 年。



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