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直线、平面平行的判定及其性质


直线、平面平行的判定及其性质 A 一、选择题 1.下列条件中,能判断两个平面平行的是( )

A.一个平面内的一条直线平行于另一个平面; B.一个平面内的两条直线平行于另一个平面 C.一个平面内有无数条直线平行于另一个平面 D.一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面 2.E,F,G 分别是四面体 ABCD 的棱 BC,CD,DA 的中点,则此四面体中与过 E

,F,G 的截面平行 的棱的条数是 A.0 B .1 C.2 D.3 3. 直线 a,b, c 及平面 ?,? ,使 a // b 成立的条件是( ) A. a // ? , b ? ? B. a // ? , b // ? C. a // c, b // c D. a // ? ,? ? ? ? b 4.若直线 m 不平行于平面 ? ,且 m ? ? ,则下列结论成立的 是( ) A. ? 内的所有直线与 m 异面 B. ? 内不存在与 m 平行的直线 C. ? 内存在唯一的直线与 m 平行 D. ? 内的直线与 m 都相交 5.下列命题中,假命题的个数是(
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① 一条直线平行于一个平面,这条直线就和这个平面
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内的任何直线不相交;② 过平面外一点有且只有一条直线 和这个平面平行;③ 过直线外一点有且只有一个平面和这 条直线平行;④ 平行于同一条直线的两条直线和同一平面 平行;⑤ a 和 b 异面,则经过 b 存在唯一一个平面与 ? 平行 A.4 B.3 C.2 D.1

6.已知空间四边形 ABCD 中, M , N 分别是 AB, CD 的中点,则下 列判断正确的是( A. MN ? 1 ? AC ? BC ?
2

) B. MN ? 1 ? AC ? BC ?
2 2

C. MN ? 1 ? AC ? BC ?
2

D. MN ? 1 ? AC ? BC ?

二、填空题 7. 在四面体 ABCD 中, M, N 分别是面△ ACD, △ BCD 的重心,则四面体的四个面中与 MN 平行的是________. 8.如下图所示,四个正方体中,A,B 为正方体的两个顶点,

M,N,P 分别为其所在棱的中点,能得到 AB//面 MNP 的图形
的序号的是









9.正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E 为 DD 1 中点,则 BD1 和平
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面 ACE 位置关系是 三、解答题



10.如图,正三棱柱 ABC ? A B C 的底面边长是 2,侧棱长是 3,
1 1 1

D 是 AC 的中点.求证: B1C // 平面
C1 A1 B1

A1 BD .

C D A B

11.如图,在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中,E,M,N,G 分别是 AA1,CD,CB,CC1 的中点, 求证: (1)MN//B1D1 ; (2)AC1//平面 EB1D1 ; (3)平面 EB1D1//平面 BDG. B 一、选择题 1. ? ,β 是两个不重合的平面,a,b 是两条不同直线,在下 列条件下,可判定 ? ∥β 的是( A. ? ,β 都平行于直线 a,b B. ? 内有三个不共线点到 β 的距离相等 C.a,b 是 ? 内两条直线,且 a∥β,b∥β D.a,b 是两条异面直线且 a∥ ? ,b∥ ? ,a∥β,b∥β
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2.两条直线 a,b 满足 a∥b,b ? ,则 a 与平面 ? 的关系是 ( ) A.a∥ ? 相交 D.a ? B.a 与 ? 相交 C. a 与? 不

3.设 a, b 表示直线, ? , ? 表示平面,P 是空间一点,下面命题 中正确的是( ) B. a // ? , b ? ? ,则 a // b D.P ? a, P ? ? , a // ? ,? // ? , 则a ? ?

A. a ? ? ,则 a // ? C. 则 a // b ? // ? , a ? ? , b ? ? ,

4.一条直线若同时平行于两个相交平面,那么这条直线与这 两个平面的交线的位置关系是( A.异面 不能确定 5.下列四个命题中,正确的是( ) B.相交 ) C.平行 D.

①夹在两条平行线间的平行线段相等;②夹在两条平行 线间的相等线段平行;③如果一条直线和一个平面平行,那 么夹在这条直线和平面间的平行线段相等;④如果一条直线 和一个平面平行,那么夹在这条直线和平面间的相等线段平 行 A.①③ B.①② C.②③ D.③④ 6.a,b 是两条异面直线,A 是不在 a,b 上的点,则下列结论成立的是 A.过 A 有且只有一个平面平行于 a, b B.过 A 至少有一个平面平行于 a,b
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C.过 A 有无数个平面平行于 a,b D.过 A 且平行 a,b 的平面可能不存在 二、填空题 7.a,b,c为三条不重合的直线,α,β,γ 为三个不重合的 平面,直线均不在平面内,给出六个命题:
a ∥ c? a ∥? ? ? ∥c ? ? ? a ∥ b; ② ? ? a ∥ b; ③ ? ?? ∥?; b∥c? b ∥? ? ? ∥ c? ? ∥ c? ? ∥? ? ? ∥? ? ④ ? ? a ∥? ; ⑤ ? ? ? ∥??⑥ ? ? a ∥? ? a ∥c ? ? ∥? ? a ∥? ? ①

其中正确的命题是 ________________. (将正确的序号都填 上) 8.设平面 ? ∥β,A,C∈ ? ,B,D∈β,直 线 AB 与 CD 交于 S,若 AS=18,BS=9, CD=34,则 CS=_____________. 9.如图,正四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中,E, F,G,H 分别是棱 CC1,C1D1,DD1,DC 中点,N 是 BC 中 点,点 M 在四边形 EFGH 及其内部运动,则 M 满足 时,有 MN∥平面 B1BD D1. 三、解答题 10.如图, 在正四棱锥 P ? ABCD 中, PA ? AB ? a ,点 E 在棱 PC 上. 问 点 E 在何处时, PA // 平面EBD ,并加以证明.
P E D C

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B

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11.如下图,设 P 为长方形 ABCD 所在平面外一点,M,N 分 别为 AB,PD 上的点,且 AM = DN ,求证:直线 MN∥平面
MB NP

PBC.

C 1.平面内两正方形 ABCD 与 ABEF, 点 M, N 分别在 对角线 AC,FB 上,且 AM:MC=FN:NB,沿 AB 折起, 使得∠DAF=90
0

(1)证明:折叠后 MN//平面 CBE; (2)若 AM:MC=2:3,在线段 AB 上是否存在一点 G,使 平面 MGN//平面 CBE?若存在,试确定点 G 的位置. 2.设平面 ? ∥平面 β,AB、CD 是两条异面直线,M,N 分别 是 AB,CD 的中点,且 A,C∈ ? ,B,D∈β,求证:MN∥ 平面 ? .

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A ? M E ?

C N D

B

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参考答案 A 一、选择题 1.D 【提示】当 ? ? ? ? l 时,? 内有无数多条直线与交线 l 平行,同 时这些直线也与平面 ? 平行.故 A,B,C 均是错误的 2.C 【提示】棱 AC,BD 与平面 EFG 平行,共 2 条. 3.C 【提示】a // ? , b ? ? , 则 a // b 或 a, b 异面; 所以 A 错误;a // ? , b // ? , 则
a // b 或 a, b 异面或 a, b 相交,所以
a, b 异面,所以

B 错误; a // ? ,? ? ? ? b, 则 a // b 或

D 错误; a // c, b // c ,则 a // b ,这是公理 4,所以

C 正确. 4.B 【提示】若直线 m 不平行于平面 ? ,且 m ? ? ,则直线 m 于 平面 ? 相交, ? 内不存在与 m 平行的直线. 5.B 【提示】 ②③④错误.②过平面外一点有且只有一个平面和这 个平面平行, 有无数多条直线与它平行.③过直线外一点有无 数个平面和这条直线平行④平行于同一条直线的两条直线 和同一平面平行或其中一条在平面上. 6. D
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【提示】本题可利用空间中的平行关系,构造三角形的两边 之和大于第三边. 二、填空题 7.平面 ABC,平面 ABD 【提示】连接 AM 并延长,交 CD 于 E,连结 BN 并延长交 CD 于 F,由重心性质可知,E、F 重合为一点,且该点为 CD 的中点 E,由 EM = EN = 1 得 MN∥AB.因此,MN∥平面 ABC
MA NB 2

且 MN∥平面 ABD. 8. ①③ 【提示】对于①,面 MNP//面 AB,故 AB//面 MNP.对于③, MP//AB,故 AB//面 MNP,对于②④, 过 AB 找一个平面与平面 MNP 相交,AB 与交线显然不平行,故②④不能推证 AB// 面 MNP. 9.平行 【提示】连接 BD 交 AC 于 O,连 OE,∴OE∥B D 1 ,OEC 平面 ACE,∴B D 1 ∥平面 ACE. 三、解答题 10.证明:设 AB 与 A 1 B 相交于点 P,连接 PD,则 P 为 AB1 中点,
1

?D

为 AC 中点,?PD// B1C .

又?PD ? 平面 A 1 B D,? B1C //平面 A 1 B D 11.证明: (1)? M、N 分别是 CD、CB 的中点,?MN//BD 又?BB1 // DD1,?四边形 BB1D1D 是平行四边形.
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所以 BD//B1D1.又 MN//BD,从而 MN//B1D1 (2) (法 1)连 A1C1,A1C1 交 B1D1 与 O 点
?四边形

A1B1C1D1 为平行四边形,则 O 点是 A1C1 的中点

E 是 AA1 的中点,?EO 是 ? AA1C1 的中位线,EO//AC1. AC1 ? 面 EB1D1 ,EO ? 面 EB1D1,所以 AC1//面 EB1D1 (法 2)作 BB1 中点为 H 点,连接 AH、C1H,E、H 点为 AA1、BB1 中点, 所以 EH // C1D1 ,则四边形 EHC1D1 是平行四边形,所以 ED1//HC1 又因为 EA // B1H ,则四边形 EAHB1 是平行四边形,所以 EB1//AH
?

AH ? HC1=H,?面 AHC1//面 EB1D1.而 AC1 ? 面 AHC1,

所以 AC1//面 EB1D1 (3)因为 EA // B1H,则四边形 EAHB1 是平行四边形,所以 EB1//AH 因为 AD // HG, 则四边形 ADGH 是平行四边形, 所以 DG//AH, 所以 EB1//DG 又 ? BB1 // DD1, ? 四 边 形 BB1D1D 是 平 行 四边 形 . BD//B1D1.
?BD ? DG=G,?面

所以

EB1D1//面 BDG B

一、选择题
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1.D 【提示】A 错,若 a∥b,则不能断定 ? ∥β;B 错,若 A,B, C 三点不在 β 的同一侧,则不能断定 ? ∥β;C 错,若 a∥ b, 则不能断定 ? ∥ β;D 正确. 2.C 【提示】若直线 a,b 满足 a∥b,b ? ,则 a∥ ? 或 a ? 3.D 【提示】根据面面平行的性质定理可推证之. 4.C 【提示】设 ? ∩β=l,a∥ ? ,a∥β,过直线 a 作与 α、β 都相 交的平面 γ,记 ? ∩γ=b,β∩γ=c,则 a∥b 且 a∥c,∴b∥c. 又 b ? ? , ? ∩β=l,∴b∥l.∴a∥l. 5.A 【提示】 6. D 【提示】过点 A 可作直线 a′∥a,b′∥b,则 a′∩b′=A,∴a′, b′可确定一个平面, 记为 ? .如果 a ? ? , b? ? , 则 a∥ ? , b∥ ? . 由于平面 ? 可能过直线 a、b 之一,因此,过 A 且平行于 a、 b 的平面可能不存在. 二、填空题 7.①④⑤⑥
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8.68 或 68
3

【提示】如图(1) ,由 ? ∥β 可知 BD∥AC,∴ SB = SD ,即
SA SC 9 = SC ? 34 ,∴SC=68. 18 SC
S

?

D

B

? B S D

? ?C

A

A ??C

(1)

(2)

如图(2) ,由 ? ∥β 知 AC∥BD, ∴ SA = SC =
SD ∴SC= 68 . 3 SB SC CD ? SC

,即 18 =
9

SC 34 ? SC

.

9.M ? HF 【提示】易证平面 NHF∥平面 BD D1 B1, M 为两平面的公共点,应在交线 HF 上. 三、解答题 10.解:当 E 为 PC 中点时, PA // 平面EBD . 证明:连接 AC,且 AC ? BD ? O ,由于四边 形 ABCD 为正方形, ∴O 为 AC 的中点,又 E 为中点,∴OE 为△ACP 的中位线, ∴ PA // EO ,又 PA ? 平面EBD ,∴ PA // 平面EBD . 11.证法一:过 N 作 NR∥DC 交 PC 于点 R,连接 RB,依题 意
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A F D O B C P E



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DC ? NR NR

= DN = AM = AB ? MB = DC ? MB
NP MB MB MB

? NR=MB.∵NR∥DC∥AB

,∴四边形 MNRB 是平行四边形.∴MN∥RB.又∵RB 平面 PBC,∴直线 MN∥平面 PBC. 证法二:过 N 作 NQ∥AD 交 PA 于点 Q ,连接 QM , ∵ AM = DN = AQ , ∴QM∥PB.又 NQ∥AD∥BC, ∴平面 MQN∥
MB NP
QP

平面 PBC.∴直线 MN∥平面 PBC.

C
1.(1)证明:设直线 AN 与 BE 交与点 H,连 接 CH,
? ?ANF ∽ ?HNB ,∴
FN AN . ? NB NH AM FN ,则 AN = AM ,∴MN//CH. ? MC NB NH MC



又 MN ? 平面CBE,CH ? 平面CBE ,∴MN//平面 CBE. (2)解:存在,过 M 作 MG⊥AB,垂足为 G,则 MG//BC, ∴MG// 平面 CBE, 又 MN//平面 CBE, MG ? MN ? M ,平面 MGN//平面 CBE. 即 G 在 AB 线上,且 AG:GB=AM:MC=2:3 2.证明:连接 BC,AD,取 BC 的中点 E,连接 ME、NE,则 ME 是△BAC 的中位线,故 ME∥ AC. ME ? ? ,∴ ME∥ ?. 同理可证,NE∥ BD. 又? ∥ β,设 CB 与 DC 确定的平面 BCD 与平面 ? 交于直线 CF,
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则 CF∥ BD,∴ NE∥ CF. 而 NE ? 平面 ? ,CF ? ? ,∴ NE∥ ?. 又 ME∩NE=E,∴ 平面 MNE∥ MN∥ 平面 ? . ? ,而 MN ? 平面 MNE,∴

一、选择题 1.下列条件中,能判断两个平面平行的是( )

A.一个平面内的一条直线平行于另一个平面; B.一个平面内的两条直线平行于另一个平面 C.一个平面内有无数条直线平行于另一个平面 D.一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面 2.E,F,G 分别是四面体 ABCD 的棱 BC,CD,DA 的中点,则 此四面体中与过 E,F,G 的截面平行的棱的条数是 A.0 B.1 C.2 D .3 3. 直线 a,b, c 及平面 ?,? ,使 a // b 成立的条件是( ) A . a // ? , b ? ? B . a // ? , b // ? C . a // c, b // c
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D. a // ? ,? ? ? ? b 4.若直线 m 不平行于平面 ? ,且 m ? ? ,则下列结论成立的 是( ) A. ? 内的所有直线与 m 异面 与 m 平行的直线 C. ? 内存在唯一的直线与 m 平行 与 m 都相交 5.下列命题中,假命题的个数是( ) D. ? 内的直线 B. ? 内不存在

① 一条直线平行于一个平面,这条直线就和这个平面 内的任何直线不相交;② 过平面外一点有且只有一条直线 和这个平面平行;③ 过直线外一点有且只有一个平面和这 条直线平行;④ 平行于同一条直线的两条直线和同一平面 平行;⑤ a 和 b 异面,则经过 b 存在唯一一个平面与 ? 平行 A.4 B.3 C.2 D.1

6.已知空间四边形 ABCD 中, M , N 分别是 AB, CD 的中点,则下 列判断正确的是( A. MN ? 1 ? AC ? BC ?
2

) B. MN ? 1 ? AC ? BC ?
2 2

C. MN ? 1 ? AC ? BC ?
2

D. MN ? 1 ? AC ? BC ?

二、填空题 7. 在四面体 ABCD 中, M, N 分别是面△ ACD, △ BCD 的重心,则四面体的四个面中与 MN 平行的是________. 8.如下图所示,四个正方体中,A,B 为正方体的两个顶点,
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M,N,P 分别为其所在棱的中点,能得到 AB//面 MNP 的图形
的序号的是









9.正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E 为 DD 1 中点,则 BD1 和平 面 ACE 位置关系是 三、解答题 10.如图,正三棱柱 ABC ? A B C 的底面边长是 2,侧棱长是 3,
1 1 1



D 是 AC 的中点.求证: B1C // 平面
C1 A1 B1

A1 BD .

C D A B

11.如图,在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中,E,M,N,G 分别是 AA1,CD,CB,CC1 的中点, 求证: (1)MN//B1D1 ; (2)AC1//平面 EB1D1 ; (3)平面 EB1D1//平面 BDG.
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B 一、选择题 1. ? ,β 是两个不重合的平面,a,b 是两条不同直线,在下 列条件下,可判定 ? ∥β 的是( A. ? ,β 都平行于直线 a,b B. ? 内有三个不共线点到 β 的距离相等 C.a,b 是 ? 内两条直线,且 a∥β,b∥β D.a,b 是两条异面直线且 a∥ ? ,b∥ ? ,a∥β,b∥β 2.两条直线 a,b 满足 a∥b,b ? ,则 a 与平面 ? 的关系是 ( ) A.a∥ ? 相交 D.a ? B.a 与 ? 相交 C. a 与? 不 )

3.设 a, b 表示直线, ? , ? 表示平面,P 是空间一点,下面命题 中正确的是( ) B. a // ? , b ? ? ,则 a // b D.P ? a, P ? ? , a // ? ,? // ? , 则a ? ?

A. a ? ? ,则 a // ? C. 则 a // b ? // ? , a ? ? , b ? ? ,

4.一条直线若同时平行于两个相交平面,那么这条直线与这 两个平面的交线的位置关系是( A.异面 不能确定 5.下列四个命题中,正确的是(
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) C.平行 D.

B.相交


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①夹在两条平行线间的平行线段相等;②夹在两条平行
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线间的相等线段平行;③如果一条直线和一个平面平行,那 么夹在这条直线和平面间的平行线段相等;④如果一条直线 和一个平面平行,那么夹在这条直线和平面间的相等线段平 行 A.①③ B.①② C.②③ D.③④ 6.a,b 是两条异面直线,A 是不在 a,b 上的点,则下列结论成立的是 A.过 A 有且只有一个平面平行于 a, b B.过 A 至少有一个平面平行于 a,b C.过 A 有无数个平面平行于 a,b D.过 A 且平行 a,b 的平面可能不存在 二、填空题 7.a,b,c为三条不重合的直线,α,β,γ 为三个不重合的 平面,直线均不在平面内,给出六个命题:
a ∥ c? a ∥? ? ? ∥c ? ? ? a ∥ b; ② ? ? a ∥ b; ③ ? ?? ∥?; b∥c? b ∥? ? ? ∥ c? ? ∥ c? ? ∥? ? ? ∥? ? ④ ? ? a ∥? ; ⑤ ? ? ? ∥??⑥ ? ? a ∥? ? a ∥c ? ? ∥? ? a ∥? ? ①

其中正确的命题是 ________________. (将正确的序号都填 上) 8.设平面 ? ∥β,A,C∈ ? ,B,D∈β,直 线 AB 与 CD 交于 S,若 AS=18,BS=9, CD=34,则 CS=_____________. 9.如图,正四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中,E,
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F,G,H 分别是棱 CC1,C1D1,DD1,DC 中点,N 是 BC 中 点,点 M 在四边形 EFGH 及其内部运动,则 M 满足 时,有 MN∥平面 B1BD D1. 三、解答题 10.如图, 在正四棱锥 P ? ABCD 中, PA ? AB ? a ,点 E 在棱 PC 上. 问 点 E 在何处时, PA // 平面EBD ,并加以证明.
P E D C

A

B

11.如下图,设 P 为长方形 ABCD 所在平面外一点,M,N 分 别为 AB,PD 上的点,且 AM = DN ,求证:直线 MN∥平面
MB NP

PBC.

C 1.平面内两正方形 ABCD 与 ABEF, 点 M, N 分别在 对角线 AC,FB 上,且 AM:MC=FN:NB,沿 AB 折起,
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使得∠DAF=90

0

(1)证明:折叠后 MN//平面 CBE; (2)若 AM:MC=2:3,在线段 AB 上是否存在一点 G,使 平面 MGN//平面 CBE?若存在,试确定点 G 的位置. 2.设平面 ? ∥平面 β,AB、CD 是两条异面直线,M,N 分别 是 AB,CD 的中点,且 A,C∈ ? ,B,D∈β,求证:MN∥ 平面 ? .
A ? M E ? D B C N

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参考答案 A 一、选择题 1.D 【提示】当 ? ? ? ? l 时,? 内有无数多条直线与交线 l 平行,同 时这些直线也与平面 ? 平行.故 A,B,C 均是错误的 2.C 【提示】棱 AC,BD 与平面 EFG 平行,共 2 条. 3.C 【提示】a // ? , b ? ? , 则 a // b 或 a, b 异面; 所以 A 错误;a // ? , b // ? , 则
a // b 或 a, b 异面或 a, b 相交,所以
a, b 异面,所以

B 错误; a // ? ,? ? ? ? b, 则 a // b 或

D 错误; a // c, b // c ,则 a // b ,这是公理 4,所以

C 正确. 4.B 【提示】若直线 m 不平行于平面 ? ,且 m ? ? ,则直线 m 于 平面 ? 相交, ? 内不存在与 m 平行的直线. 5.B 【提示】 ②③④错误.②过平面外一点有且只有一个平面和这 个平面平行, 有无数多条直线与它平行.③过直线外一点有无 数个平面和这条直线平行④平行于同一条直线的两条直线 和同一平面平行或其中一条在平面上. 6. D
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【提示】本题可利用空间中的平行关系,构造三角形的两边 之和大于第三边. 二、填空题 7.平面 ABC,平面 ABD 【提示】连接 AM 并延长,交 CD 于 E,连结 BN 并延长交 CD 于 F,由重心性质可知,E、F 重合为一点,且该点为 CD 的中点 E,由 EM = EN = 1 得 MN∥AB.因此,MN∥平面 ABC
MA NB 2

且 MN∥平面 ABD. 8. ①③ 【提示】对于①,面 MNP//面 AB,故 AB//面 MNP.对于③, MP//AB,故 AB//面 MNP,对于②④, 过 AB 找一个平面与平面 MNP 相交,AB 与交线显然不平行,故②④不能推证 AB// 面 MNP. 9.平行 【提示】连接 BD 交 AC 于 O,连 OE,∴OE∥B D 1 ,OEC 平面 ACE,∴B D 1 ∥平面 ACE. 三、解答题 10.证明:设 AB 与 A 1 B 相交于点 P,连接 PD,则 P 为 AB1 中点,
1

?D

为 AC 中点,?PD// B1C .

又?PD ? 平面 A 1 B D,? B1C //平面 A 1 B D 11.证明: (1)? M、N 分别是 CD、CB 的中点,?MN//BD 又?BB1 // DD1,?四边形 BB1D1D 是平行四边形.
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所以 BD//B1D1.又 MN//BD,从而 MN//B1D1 (2) (法 1)连 A1C1,A1C1 交 B1D1 与 O 点
?四边形

A1B1C1D1 为平行四边形,则 O 点是 A1C1 的中点

E 是 AA1 的中点,?EO 是 ? AA1C1 的中位线,EO//AC1. AC1 ? 面 EB1D1 ,EO ? 面 EB1D1,所以 AC1//面 EB1D1 (法 2)作 BB1 中点为 H 点,连接 AH、C1H,E、H 点为 AA1、BB1 中点, 所以 EH // C1D1 ,则四边形 EHC1D1 是平行四边形,所以 ED1//HC1 又因为 EA // B1H ,则四边形 EAHB1 是平行四边形,所以 EB1//AH
?

AH ? HC1=H,?面 AHC1//面 EB1D1.而 AC1 ? 面 AHC1,

所以 AC1//面 EB1D1 (3)因为 EA // B1H,则四边形 EAHB1 是平行四边形,所以 EB1//AH 因为 AD // HG, 则四边形 ADGH 是平行四边形, 所以 DG//AH, 所以 EB1//DG 又 ? BB1 // DD1, ? 四 边 形 BB1D1D 是 平 行 四边 形 . BD//B1D1.
?BD ? DG=G,?面

所以

EB1D1//面 BDG B

一、选择题
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1.D 【提示】A 错,若 a∥b,则不能断定 ? ∥β;B 错,若 A,B, C 三点不在 β 的同一侧,则不能断定 ? ∥β;C 错,若 a∥ b, 则不能断定 ? ∥ β;D 正确. 2.C 【提示】若直线 a,b 满足 a∥b,b ? ,则 a∥ ? 或 a ? 3.D 【提示】根据面面平行的性质定理可推证之. 4.C 【提示】设 ? ∩β=l,a∥ ? ,a∥β,过直线 a 作与 α、β 都相 交的平面 γ,记 ? ∩γ=b,β∩γ=c,则 a∥b 且 a∥c,∴b∥c. 又 b ? ? , ? ∩β=l,∴b∥l.∴a∥l. 5.A 【提示】 6. D 【提示】过点 A 可作直线 a′∥a,b′∥b,则 a′∩b′=A,∴a′, b′可确定一个平面, 记为 ? .如果 a ? ? , b? ? , 则 a∥ ? , b∥ ? . 由于平面 ? 可能过直线 a、b 之一,因此,过 A 且平行于 a、 b 的平面可能不存在. 二、填空题 7.①④⑤⑥
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8.68 或 68
3

【提示】如图(1) ,由 ? ∥β 可知 BD∥AC,∴ SB = SD ,即
SA SC 9 = SC ? 34 ,∴SC=68. 18 SC
S

?

D

B

? B S D

? ?C

A

A ??C

(1)

(2)

如图(2) ,由 ? ∥β 知 AC∥BD, ∴ SA = SC =
SD ∴SC= 68 . 3 SB SC CD ? SC

,即 18 =
9

SC 34 ? SC

.

9.M ? HF 【提示】易证平面 NHF∥平面 BD D1 B1, M 为两平面的公共点,应在交线 HF 上. 三、解答题 10.解:当 E 为 PC 中点时, PA // 平面EBD . 证明:连接 AC,且 AC ? BD ? O ,由于四边 形 ABCD 为正方形, ∴O 为 AC 的中点,又 E 为中点,∴OE 为△ACP 的中位线, ∴ PA // EO ,又 PA ? 平面EBD ,∴ PA // 平面EBD . 11.证法一:过 N 作 NR∥DC 交 PC 于点 R,连接 RB,依题 意
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DC ? NR NR

= DN = AM = AB ? MB = DC ? MB
NP MB MB MB

? NR=MB.∵NR∥DC∥AB

,∴四边形 MNRB 是平行四边形.∴MN∥RB.又∵RB 平面 PBC,∴直线 MN∥平面 PBC. 证法二:过 N 作 NQ∥AD 交 PA 于点 Q ,连接 QM , ∵ AM = DN = AQ , ∴QM∥PB.又 NQ∥AD∥BC, ∴平面 MQN∥
MB NP
QP

平面 PBC.∴直线 MN∥平面 PBC.

C
1.(1)证明:设直线 AN 与 BE 交与点 H,连 接 CH,
? ?ANF ∽ ?HNB ,∴
FN AN . ? NB NH AM FN ,则 AN = AM ,∴MN//CH. ? MC NB NH MC



又 MN ? 平面CBE,CH ? 平面CBE ,∴MN//平面 CBE. (2)解:存在,过 M 作 MG⊥AB,垂足为 G,则 MG//BC, ∴MG// 平面 CBE, 又 MN//平面 CBE, MG ? MN ? M ,平面 MGN//平面 CBE. 即 G 在 AB 线上,且 AG:GB=AM:MC=2:3 2.证明:连接 BC,AD,取 BC 的中点 E,连接 ME、NE,则 ME 是△BAC 的中位线,故 ME∥ AC. ME ? ? ,∴ ME∥ ?. 同理可证,NE∥ BD. 又? ∥ β,设 CB 与 DC 确定的平面 BCD 与平面 ? 交于直线 CF,
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则 CF∥ BD,∴ NE∥ CF. 而 NE ? 平面 ? ,CF ? ? ,∴ NE∥ ?. 又 ME∩NE=E,∴ 平面 MNE∥ MN∥ 平面 ? . ? ,而 MN ? 平面 MNE,∴

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