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江苏省扬中市第二高级中学2015-2016学年高一上学期第一次月考数学试卷


扬中市第二高级中学高一数学第一次月考试卷
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分.请把答案填写在答题卡 ... 相应位置上 .....
1.设集合 A ? {1,2, a}, B ? {1, a 2 }, 若A ? B ? A, 则实数 a 允许取的值有 2.若函数 f (x) = ▲ 。 个

3.若 f ? 2

x ? 1? ? 4 x2 ? 4 x ,则 f ? x ? 的 解析式为 ▲ . x+5 4.函数 y= 在(-1,+∞)上单调递减,则实数 a 的取值范围是_____ ▲____ x-a 5.不等式 ( x ? a)(ax ? 1) ? 0 的解集是 ( ??, ) ? ( a, ?? ) ,则实数 a 的取值范围是 6.函数 f ( x ) ?

1 x ? 2 x ? 3 ,则 f ( )的定义域是 x ?1 2



2x ? 1 在区间 ?1, 4? 上的最大值为 x ?1

1 a



. .



最小值为 ▲ , ② .



7.已知函数 f ( x) ? ax3 ? bx ? 1 ,且 f (?a) =6,则 f ( a ) = 8.下面有四组函数, ①

f ( x) ? ( x ? 1) 2 , g ( x) ? x ? 1

f ( x) ? x 2 ? 1
x2 ?1 , x?2



g ( x) ? x ? 1 x ?1 ,③ f ( x) ? ( x ? 1) 2 , g ( x) ? ( x ? 1) 2 ,④ f ( x) ?

g ( x) ?

x2 ?1 ,其中为相同函数的是 x?2



组。 ▲ .

9.已知函数 y ?

ax2 ? 2ax ? 1 的值域为 [0,??) ,则实数 a 的取值范围是

x 10.设 f ( x ) 为定义在 R 上的奇函数, g ( x) 为定义在 R 上的偶函数,若 f ( x) ? g ( x) ? ( ) ,

1 2

则 f (1) ? g (?2) ? ______ ▲___. 11. 已知偶函数 f ( x ) 在区间 ?0, ??) 单调增, 则满足 f (2 x ? 1) < f ( ) 的 x 取值范围是 ▲ .

1 3

x2 ? x ? 2 12.函数 f ( x) ? 在 x ? [?t , t ] 上的最大值与最小值之和为 x2 ? 2
13.定义在 R 上的奇函数 f ( x ) 在 [0,??) 上的图象如右图所示,则 不等式 x ? f ( x) ? 0 的解集是 _____ ▲
2 ? ??( x ? 1) 14. 函数 f ( x) ? ? ? ?(3 ? a) x ? 4a





__.

? x ? 1? 满足对任意 x1 ? x2 都有 ? x ? 1?
▲ .

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0成 x1 ? x2

立,则 a 的取值范围是

二、解答题:本大题共6小题, 共计90 分. 请在答题卡指定区域内 作答, 解答时应 ........ 写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. (本题 14 分)设全集 U=R,集合 A ? ?x x ? 3或x ? 6?, B ? ?x ? 2 ? x ? 9?. (1)求 A ? B ,(?UA) ? B; (2)已知 C ? ?x a ? x ? a ? 1?,若 B ? C ? C ,求实数 a 的取值范围.

16. (满分 14 分)已知 A ? {a 2 , a ? 1,?3}, B ? {a ? 3,3a ? 1, a 2 ? 1 }, C ? x mx ? 1 , 若 A ? B ? ?? 3? . (1)求 a 的值; (2)若 C ? ? A ? B ?,求 m 的值.

?

?

17.(本小题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? 1 ?

5x ? a , x ? ?b ? 3, 2b ? 是奇函数. 5x ? 1

(1)求 a , b 的值; (2)证明: f ? x ? 是区间 (b ? 3, 2b) 上的减函数; (3)若 f ? m ?1? ? f (2m ? 1) ? 0 ,求实数 m 的取值范围.

18. (本题 16 分)已知函数 f ( x) 是定义在 R 上的偶函数,当 x ≥0 时, f ( x) ? x2 ? 2 x ? 1。 (1)求 f ( x) 的函数解析式; (2)作出函数 f ( x) 的简图,写出函数 f ( x) 的单调区间及最值; (3)当 x 的方程 f(x)=m 有四个不同的解时,求 m 的取值范围。

19. (满分 16 分) 某上市股票在 30 天内每股的交易价格 P (元)与时间 t (天)组成有序数 对 (t , p ) , 点 (t , p ) 落在下图中的两条线段上, 该股票在30天内 (包括30天) 的日交易量 Q (万股)与时间 t (天)的部分数据如下表所示. 第t 天 4 36 10 30 16 24 22 18

Q (万股)

(1) 根据提供的图像,写出该种股票每股交易价格 P (元)与时间 t (天)所满足的函数 关系式; (2) t , Q 满足一次函数关系,根据表中数据确定日交易量 Q (万股)与时间 t (天)的函 数关系式; (3) 在(2)的结论下,用 y (万元)表示该股票日交易额,写出 y 关于 t 的函数关系式, 并求出这30天中第几日交易额最大,最大值为多少?

P(元)
6 y 5 4

2

O

10

20

30

t (天)
x

20.(满分 16 分)已知二次函数 f ( x) 满足 f ( x ? 1) ? f ( x) ? 2 x 且 f (0) ? 1 . (1)求 f ( x) 的解析式; (2)当 x ? [?1,1] 时, 不等式: f ( x) ? 2 x ? m 恒成立,求实数 m 的范围. (3)设 g (t ) ? f (2t ? a), t ???1,1? ,求 g (t ) 的最大值;

参考答案: 1.3; 4. ??1, ?5? ; 7. ?4 ; 10. ? 2 . [?2,2) ? (2,??) ; 5. [?1, 0) ; 8. ④; 11. ( , ) ; 14. [?1,3) ; 3 . f ( x) ? x2 ?1 ; 6.

9 3 , ; 5 2

9 . a ? 4 _; 12.2;

29 ; 8


1 2 3 3

13. 15.(1) A ? B =R

………………………3 分 …………5 分

∴ (?UA) ? B ? ?x 3 ? x ? 6? …………7 分 (2)∵ B ? C ? C ,∴ C ? B …………9 分 ∵ C ? ?x |a ? x ? a ? 1 ?, ∴ ?

又?UA = {x 3 ? x ? 6} ,

?a ? ?2 …………12 分 ?a ? 1 ? 9
…………14 分

16.(1)解:由 A ? B ? ?? 3? 得: a ? 3 ? ?3或3a ? 1 ? ?3 , 即: a ? 0或a ? ? 检验:

∴所求实数 a 的取值范围是 ?2 ? a ? 8

2 3

-----------------(3 分)

当a ? 0时A ? {0,1,?3} B ? {?3,?1,1} A ? B ? {?3,1}矛盾,∴ a ? 0

-------------(5 分)

2 4 1 11 13 2 当a ? ? 时A ? { , ,?3} B ? {? ,?3, } A ? B ? {?3} ? a ? ? ·-------------(7 分) 3 9 3 3 9 3 (2)若 C= ? ,则 m ? 0 , -------------(10 分) 1 若 C ? ? ,则 m ? ? . -------------(13 分) 3 1 综上可得 m ? 0, 或 ? ? ------------(14 分) 3
17. 解: (1)因为函数 f ( x) ? 1 ?

a ? 5x , x ? ?b ? 3, 2b ? 是奇函数, 5x ? 1

所以 即

f (0) ? 1 ?

a ?0 , b ? 3 ? 2b ? 0 2



a ? 2, b ? 1
(2)由(I)得 f ( x) ? 1 ?

2 ? 5x 1 ? 5 x ? , x ? ? ?2, 2? 5x ? 1 5 x ? 1

设:任意 x1 , x2 ? (?2, 2) 且 x1 ? x2 ?

? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ?

1 ? 5x1 1 ? 5x2 2(5x2 ? 5x1 ) ? ? 5x1 ? 1 5x2 ? 1 (5x1 ? 1)(5x2 ? 1)

? x1 ? x2 ? 5x1 ? 5x2 ? 5x2 ? 5x1 ? 0
x1 x2 又? 5 ? 1 ? 0,5 ? 1 ? 0 ?

2(5x2 ? 5x1 ) ?0 (5x1 ? 1)(5x2 ? 1)

? f ( x1 ) ? f ( x2 ) .? 结论成 立.
(3)? f ? m ?1? ? f (2m ? 1) ? 0

? f ? m ?1? ? ? f (2m ? 1) ? f ? x ? 奇函数 ? f ? m ?1? ? f (?2m ?1)

? f ? x ? 是区间 (?2, 2) 上的减函数

? m ? 1 ? ?2 m ? 1 ? ? ?2 ? m ? 1 ? 2 ?? ??2 ? 2m ? 1 ? 2
? ?1 ? m ? 0 上
18.(1)当 x ? 0 时, ? x ? 0 , 则 f (? x) ? (? x) ? 2(? x) ? 1 ? x ? 2x ? 1
2 2

………………1 分 ………………3 分

? f ( x) 是偶函数,? f ( x) ? f (? x) ? x 2 ? 2x ? 1 ………………5 分


? x 2 ? 2 x ? 1, x ? 0 ? f ( x) ? ? 2 . ? ? x ? 2 x ? 1, x ? 0

…………………6 分

(如果通过图象直接给对解析式得 2 分) (2)函数 f ( x) 的简图:

…………………9 分 单调增区间为 ?? 1, 0? 和 ?1, ? ? ? 单调减区间为 ?? ?, ? 1? 和 ?0,1? …………………11 分 …………………13 分 …………………16 分

当 x ? 1 或 ? 1 时, f ( x) 有最小值-2 . (3)由图像可知,m 的取值范围是(―2,―1).

19.解: (1)当 0 ? t ? 20 时,设 p ? at ? b ,由图像可知过点 (0,2), (20,6) 代入得

?b ? 2 ?2 ? b 1 ? 解得 ? ? 1 ,即 p ? t ? 2 5 a? ?6 ? 20a ? b ? 5 ?
同理可得当 20 ? t ? 30 时 p ? ?

. ……………2 分

1 t ?8, 10

. ……………5 分

?1 ? 5 t ? 2 0 ? t ? 20 ? 综上可得 p ? ? ?? 1 t ? 8 20 ? t ? 30 ? ? 10
(2)由题意设 Q ? kt ? m ,过点 (4,36), (10,30) 可得 ?

. ……………7 分

?36 ? 4k ? m ?k ? ?1 解得 ? ?30 ? 10k ? m ?m ? 40
. ……………8 分

即 Q ? ?t ? 40

?1 ( t ? 2)(?t ? 40) ? ? 5 (3)由题意可得 y ? P ? Q ? ? ?(? 1 t ? 8)(?t ? 40) ? ? 10

0 ? t ? 20 20 ? t ? 30

? 1 2 ? t ? 6t ? 80 ? ? 5 =? ? 1 t 2 ? 12t ? 320 ? ?10
当 0 ? t ? 20 时, t ? 15 时, y max ? 125万元 当 20 ? t ? 30 时, t ? 20 时, y max ? 120万元, 综上可得第 15 日的交易额最大为 125 万元 20.解析:(1)令 f ( x) ? ax ? bx ? c (a ? 0) 代入:
2

0 ? t ? 20
. ………10 分

20 ? t ? 30
. ……………13 分 . ……………15 分 . . ……………16 分

得: a( x ? 1)2 ? b( x ? 1) ? c ? (ax2 ? bx ? c) ? 2 x,2ax ? a ? b ? 2 x 恒成立



? a ?1 ? ? b ? ?1 ? c ?1 ?

∴ f ( x) ? x2 ? x ? 1 ……………8 分 时, f ( x) ? 2 x ? m 恒成立即:x 2 ? 3x ? 1 ? m 恒成立;

1 , 1 ] (2) 当 x ? [?

令 g ( x) ? x2 ? 3x ? 1 ? ( x ? )2 ?

3 2

5 3 , x ? [?1,1] ,则对称轴: x ? 在区间 ? ?1,1? 的右边, 2 4

g ( x)min ? g (1) ? ?1 ∴ m ? ?1 .
(3) g (t ) ? f (2t ? a) ? 4t 2 ? (4a ? 2)t ? a2 ? a ? 1, t ???1,1? 对称轴为: t ? ① 当

1 ? 2a 4

1 ? 2a 1 ? 0 时,即: a ? ;如图 1: 4 2

g (t )max ? g (?1) ? 4 ? (4a ? 2) ? a2 ? a ? 1 ? a2 ? 5a ? 7
②当

1 ? 2a 1 ? 0 时,即: a ? ;如图 2: 4 2

g (t )max ? g (1) ? 4 ? (4a ? 2) ? a2 ? a ? 1 ? a2 ? 3a ? 3
1 a? ?a 2 ? 5a ? 7 2 . ……………16 分 ?? 2 1 a ? 3 a ? 3 ? a? 2

综上所述: g (t ) max

w.w.w.k.s.5.u.c.o.m


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