tceic.com
简单学习网 让学习变简单
当前位置:首页 >> 数学 >>

四川省成都市石室中学2015届高考数学三诊试卷(文科)


四川省成都市石室中学 2015 届高考数学三诊试卷(文科)
一、选择题(共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分) 1. (5 分)已知集合 A={1,2, },集合 B={y|y=x ,x∈A},则 A∩B=() A.{ } B.{2} C.{1} D.?
2

2. (5 分)已知 z 是纯虚数, A.2i B. i
<

br />是实数,那么 z 等于() C . ﹣i D.﹣2i

3. (5 分)命题“?x∈R,sin2x>1”的否定是() A.?x∈R,sin2x≤1 B. ?x?R,sin2x>1 C. ?x0∈R,sin2x≤1 D.?x0?R,sin2x>1

4. (5 分)已知直线 m,l,平面 α,β,且 m⊥α,l?β,给出下列命题:①若 α∥β,则 m⊥l; ②若 α⊥β,则 m∥l; ③若 m⊥l,则 α⊥β; ④若 m∥l,则 α⊥β.其中正确的命题的 是() A.①② B.③④ C.①④ D.①③

5. (5 分)已知平面向量 =(1, A.[0,1] B.[1,3]

) ,| ﹣ |=1.则| |的取值范围是() C.[2,4] D.[3,4]

6. (5 分)将函数 y=cos(x﹣ 再向右平移 A.

)的图象上各点的横坐标缩短为原来的 倍(纵坐标不变) ,

个单位,所得函数图象的一个对称中心为() B. C. D.

7. (5 分)在△ ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a,b,c,且满足 则角 B 的大小为() A. B.
x

acosB=bcosC+ccosB,

C.

D.

8. (5 分)设函数 f(x)=e (sinx﹣cosx) (0≤x≤2015π) ,则函数 f(x)的各极小值之和为() A.﹣ B. ﹣

C. ﹣

D.﹣

9. (5 分)已知函数 f(x)=

,g(x)=x ﹣2x,设 a 为实数,若存在实

2

数 m,使 f(m)﹣2g(a)=0,则实数 a 的取值范围为() A.[﹣1,+∞) B.(﹣∞,﹣1]∪[3,+∞) ∞,3]
2

C. [﹣1,3] D. (﹣

10. (5 分)已知点 A 是抛物线 x =4y 的对称轴与准线的交点,点 B 为抛物线的焦点,P 在抛 物线上且满足|PA|=m|PB|,当 m 取最大值时,点 P 恰好在以 A,B 为焦点的双曲线上,则双曲 线的离心率为() A. B. C. +1 D. ﹣1

二、填空题(共 5 小题,每小题 5 分,满分 25 分)

11. (5 分)设变量 x,y 满足约束条件

,则

的最小值是.

12. (5 分)阅读下面的程序框图.若使输出的结果不大于 37,则输入的整数 i 的最大值为.

13. (5 分)2014 年足球世界杯赛上举行升旗仪式.如图,在坡度为 15°的观礼台上,某一列 座位所在直线 AB 与旗杆所在直线 MN 共面,在该列的第一个座位 A 和最后一个座位 B 测得 旗杆顶端 N 的仰角分别为 60°和 45°,若旗杆的高度为 30 米,则且座位 A、B 的距离为 米.

14. (5 分)直线 l 的方程为 y=x+2,在 l 上任取一点 P,若过点 P 且以双曲线 12x ﹣4y =3 的 焦点为椭圆的焦点作椭圆,那么具有最短长轴的椭圆方程为.

2

2

15. (5 分)若函数 f(x)在定义域的某子区间上满足 f(x)=

(λ 为正实数) ,

则称其为 λ﹣局部倍缩函数.若函数 f(x)在 x∈[0,2]时,f(x)=sinπx,且 x∈(2,+∞)时, f(x)为 λ=2 的局部倍缩函数.现有下列 4 个命题: ①任取 x1、x2∈[0,+∞) ,都有|f(x1)﹣f(x2)|≤2 恒成立; * ②f(x)=2kf(x+2k) (k∈N ) ,对于一切 x∈[0,+∞)恒成立;③函数 y=f(x)﹣ln(x﹣1) 有 5 个零点;④对任意 x>0,若不等式 f(x)≤ 恒成立,则 k 的最小值是 . 则其中所有真命题的序号是.

三、解答题(共 6 小题,满分 75 分) 16. (12 分)已知函数 f(x)=(sinx+cosx) + 当 x=α 时,f(x)有最大值. (1)求函数 f(x)的单调递增区间; (2)在△ ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,a=2,A=α﹣ 求△ ABC 的面积. 17. (12 分)如图所示,茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学完成某道数学题的得分情况.乙 组某个数据的个位数模糊,记为 x,已知甲、乙两组的平均成绩相同. (1)求 x 的值,并判断哪组学生成绩更稳定; (2)在甲、乙两组中各抽出一名同学,求这两名同学的得分之和低于 20 分的概率. ,且 sinBsinC=sin A,
2 2





18. (12 分)如图 1,在边长为 4 的菱形 ABCD 中,∠DAB=60°,点 E,F 分别是边 CD,CB 的中点,AC∩EF=O,沿 EF 将△ CEF 翻折到△ PEF,连接 PA,PB,PD,得到如图 2 的五棱锥 P﹣ABFED.

(1)求证:BD⊥PA; (2)当 PA= 时,求三棱锥 A﹣PBD 的体积. 19. (12 分)已知数列{an}满足:a1= ,a2= ,2an=an+1+an﹣1(n≥2,n∈N ) ,数列{bn}满足: b1<0,3bn﹣bn﹣1=n(n≥2,n∈R) ,数列{bn}的前 n 项和为 Sn. (Ⅰ)求证:数列{bn﹣an}为等比数列; (Ⅱ)求证:数列{bn}为递增数列; (Ⅲ)若当且仅当 n=3 时,Sn 取得最小值,求 b1 的取值范围.
?

20. (13 分)已知椭圆 C:

=1(a>b>0)的离心率为

,焦距为 4,定点 A(﹣4,0) .

(Ⅰ)求椭圆 C 标准方程; (Ⅱ)已知 P(x1,y1) ,Q(x2,y2)是椭圆 C 上的两点,向量 ,且 (θ∈R) ,求 x0 +3y0 的值; (Ⅲ)如图所示,直线 MN 经过椭圆 C 右焦点 F.当 M、N 两点在椭圆 C 运动时,试判断 ×tan∠MAN 是否有最大值, 若存在求出最大值, 并求出这时 M、 N 两点所在直线方程, 若不存在,给出理由.
2 2

.设 B(x0,y0) ,且

21. (14 分)已知函数 f(x)=

的图象在点(﹣1,f(﹣1) )处

的切线方程为 5x+y+3=0. (I)求实数 a,b 的值及函数 f(x)在区间[﹣1,2]上的最大值; (Ⅱ)曲线 y=f(x)上存在两点 M、N,使得△ MON 是以坐标原点 O 为直角顶点的直角三角 形,且斜边 MN 的中点在 y 轴上,求实数 c 的取值范围.

四川省成都市石室中学 2015 届高考数学三诊试卷(文科)
参考答案与试题解析

一、选择题(共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分) 1. (5 分)已知集合 A={1,2, },集合 B={y|y=x ,x∈A},则 A∩B=() A.{ } B.{2} C.{1} D.?
2

考点: 交集及其运算. 专题: 集合. 分析: 将 A 中的元素代入集合 B 中的等式中求出 y 的值,确定出 B,求出 A 与 B 的交集即 可. 解答: 解:当 x=1 时,y=1;当 x=2 时,y=4;当 x= 时,y= , ∴B={1,4, }, ∴A∩B={1}. 故选:C. 点评: 此题考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键. 2. (5 分)已知 z 是纯虚数, A.2i B. i 是实数,那么 z 等于() C . ﹣i D.﹣2i

考点: 复数的基本概念;复数代数形式的乘除运算. 专题: 计算题. 分析: 设出复数 z, 代入 , 它的分子、 分母同乘分母的共轭复数, 化简为 a+bi (a, b∈R)

的形式. 解答: 解:由题意得 z=ai. (a∈R 且 a≠0) . ∴ = = ,

则 a+2=0,∴a=﹣2.有 z=﹣2i, 故选 D 点评: 本题考查复数的基本概念,复数代数形式的乘除运算,考查计算能力,是基础题. 3. (5 分)命题“?x∈R,sin2x>1”的否定是() A.?x∈R,sin2x≤1 B. ?x?R,sin2x>1 C. ?x0∈R,sin2x≤1 D.?x0?R,sin2x>1

考点: 特称命题;命题的否定. 专题: 简易逻辑. 分析: 命题的否定,将量词与结论同时否定,按照这个规则,我们可以得出结论. 解答: 解:命题的否定,将量词与结论同时否定 命题“?x∈R,sin2x>1”的否定是“?x0∈R,sin2x0≤1” 故选:C. 点评: 命题的否定是有规律的,一般来说要将量词与结论同时否定,全称命题变为特称性 命题,特称性命题变为全称命题. 4. (5 分)已知直线 m,l,平面 α,β,且 m⊥α,l?β,给出下列命题:①若 α∥β,则 m⊥l; ②若 α⊥β,则 m∥l; ③若 m⊥l,则 α⊥β; ④若 m∥l,则 α⊥β.其中正确的命题的 是() A.①② B.③④ C.①④ D.①③ 考点: 命题的真假判断与应用. 专题: 简易逻辑. 分析: 在正方体中,找出有关的直线与平面,判断选项的正误即可. 解答: 解:对于①,在正方体中,α∥β,m⊥α 则 l⊥m,①正确; 对于②,在正方体中,若 α⊥β,m⊥α 则 l∥m,显然在②图值,②不正确; 对于③,在正方体中,若 l⊥m,m⊥α 则 α⊥β,如图④,显然③正确; 对于④,在正方体中,若 l∥m,m⊥α,则 α∥β,如图③,∴④不正确. 故选:D

点评: 本题考查空间中直线与平面、直线与直线的位置关系,考查空间想象能力,属于简 单题

5. (5 分)已知平面向量 =(1,

) ,| ﹣ |=1.则| |的取值范围是()

A.[0,1]

B.[1,3]

C.[2,4]

D.[3,4]

考点: 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角. 专题: 平面向量及应用. 分析: 由模长公式和圆的知识,可把问题转化为点(x,y)与原点的距离的取值范围,由 距离公式和圆的知识易得答案. 解答: 解:设 =(x,y) ,则由题意可得 ﹣ =(1﹣x, 由| ﹣ |=1 可得(x﹣1) +(y﹣ 即点(x,y)在以(1, 而| |=
2

﹣y) ,

) =1,

2

)为圆心 1 为半径的圆上,

表示点(x,y)与原点的距离,

又圆心(1, )与原点的距离 d=2, ∴最小值为 2﹣1=1,最大值为 2+1=3 故选:B 点评: 本题考查平面向量的数量积,涉及圆的知识及数形结合思想,属中档题.

6. (5 分)将函数 y=cos(x﹣ 再向右平移 A.

)的图象上各点的横坐标缩短为原来的 倍(纵坐标不变) ,

个单位,所得函数图象的一个对称中心为() B. C. D.

考点: 余弦函数的图象. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: 由条件利用函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,正弦函数的图象的对称性,可得 结论. 解答: 解:将函数 y=cos(x﹣ 可得函数 y=cos(2x﹣ 再向右平移 )的图象上各点的横坐标缩短为原来的 倍(纵坐标不变) ,

)的图象; )﹣ ]=cos(2x﹣ + )图象, ,k∈z,

个单位,可得函数数 y=cos[2(x﹣

故所得图象的对称中心的横坐标满足 2x﹣ 故所得图象的对称中心为(x= +

=kπ,k∈z,即 x=

,0)k∈z.

结合所给的选项, 故选:B. 点评: 本题主要考查函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,正弦函数的图象的对称性,属 于基础题.

7. (5 分)在△ ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a,b,c,且满足 则角 B 的大小为() A. B. C. D.

acosB=bcosC+ccosB,

考点: 两角和与差的正弦函数. 专题: 三角函数的求值. 分析: 由条件利用诱导公式、正弦定理,求得 cosB 的值,可得 B 的值. 解答: 解:在△ ABC 中,由 acosB=bcosC+ccosB 利用正弦定理可得 sinAcosB=sinBcosC+cosBsinC, 即 sinAcosB=sin(B+C) ,求得 cosB= ,∴B= ,

故选:B. 点评: 本题主要考查诱导公式、正弦定理的应用,属于基础题. 8. (5 分)设函数 f(x)=e (sinx﹣cosx) (0≤x≤2015π) ,则函数 f(x)的各极小值之和为() A.﹣ B. ﹣
x

C. ﹣

D.﹣

考点: 利用导数研究函数的极值. 专题: 导数的概念及应用. 分析: 先求出其导函数,利用导函数求出其单调区间,进而找到其极小值 f(2kπ+2π) 2kπ+2π =e ,再利用数列的求和方法来求函数 f(x)的各极小值之和即可. x 解答: 解:∵函数 f(x)=e (sinx﹣cosx) , x x ∴f′(x)=(e )′(sinx﹣cosx)+e (sinx﹣cosx)′ x =2e sinx, ∵x∈(2kπ+π,2kπ+2π)时,f′(x)<0,x∈(2kπ+2π,2kπ+3π)时,f′(x)>0, x ∴x∈(2kπ+π,2kπ+2π)时原函数递减,x∈(2kπ+2π,2kπ+3π)时,函数 f(x)=e (sinx﹣ cosx)递增, 故当 x=2kπ+2π 时,f(x)取极小值, 2kπ+2π 其极小值为 f(2kπ+2π)=e [sin(2kπ+2π)﹣cos(2kπ+2π)] 2kπ+2π =e ×(0﹣1) 2kπ+2π =﹣e , 又 0≤x≤2015π, 2014π 2π 4π 6π 2012π 2014π ∴e 函数 f(x)的各极小值之和 S=﹣e ﹣e ﹣e ﹣…﹣e ﹣e = 故选:D

点评: 本题主要考查利用导数研究函数的极值以及等比数列的求和.利用导数求得当 x=2kπ+2π 时,f(x)取极小值是解题的关键,利用导数研究函数的单调性与最值是教学中的 重点和难点,学生应熟练掌握,属于难题.

9. (5 分)已知函数 f(x)=

,g(x)=x ﹣2x,设 a 为实数,若存在实

2

数 m,使 f(m)﹣2g(a)=0,则实数 a 的取值范围为() A.[﹣1,+∞) B.(﹣∞,﹣1]∪[3,+∞) ∞,3]

C. [﹣1,3] D. (﹣

考点: 对数函数图象与性质的综合应用. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据函数 f(x)的图象,得出值域为[﹣2,6],利用存在实数 m,使 f(m)﹣2g(a) 2 =0,得出 2g(a)的值域满足﹣2≤2a ﹣4a≤6,即可. 2 解答: 解:∵g(x)=x ﹣2x,设 a 为实数, 2 ∴2g(a)=2a ﹣4a,a∈R, 2 ∵y=2a ﹣4a,a∈R, ∴当 a=1 时,y 最小值=﹣2, ∵函数 f(x)=
﹣2



f(﹣7)=6,f(e )=﹣2, ∴值域为[﹣2,6] ∵存在实数 m,使 f(m)﹣2g(a)=0, ∴﹣2≤2a ﹣4a≤6, 即﹣1≤a≤3, 故选;C
2

点评: 本题综合考查了函数的性质,图象,对数学问题的阅读分析转化能力,数形结合的 能力,属于中档题. 10. (5 分)已知点 A 是抛物线 x =4y 的对称轴与准线的交点,点 B 为抛物线的焦点,P 在抛 物线上且满足|PA|=m|PB|,当 m 取最大值时,点 P 恰好在以 A,B 为焦点的双曲线上,则双曲 线的离心率为() A. B. C. +1 D. ﹣1
2

考点: 双曲线的简单性质. 专题: 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 过 P 作准线的垂线,垂足为 N,则由抛物线的定义,结合|PA|=m|PB|,可得 = ,

设 PA 的倾斜角为 α,则当 m 取得最大值时,sinα 最小,此时直线 PA 与抛物线相切,求出 P 的坐标,利用双曲线的定义,即可得出结论. 解答: 解:过 P 作准线的垂线,垂足为 N, 则由抛物线的定义可得|PN|=|PB|, ∵|PA|=m|PB|, ∴|PA|=m|PN| ∴ = 设 PA 的倾斜角为 α,则 sinα= , 当 m 取得最大值时,sinα 最小,此时直线 PA 与抛物线相切, 设直线 PM 的方程为 y=kx﹣1,代入 x =4y,可得 x =4(kx﹣1) , 2 即 x ﹣4kx+4=0, 2 ∴△=16k ﹣16=0, ∴k=±1, ∴P(2,2 ) , ∴双曲线的实轴长为 PA﹣PB=2( ﹣1) ∴双曲线的离心率为 故选 C. = +1.
2 2

点评: 本题考查抛物线的性质,考查双曲线、抛物线的定义,考查学生分析解决问题的能 力,当 m 取得最大值时,sinα 最小,此时直线 PA 与抛物线相切,是解题的关键. 二、填空题(共 5 小题,每小题 5 分,满分 25 分)

11. (5 分)设变量 x,y 满足约束条件

,则

的最小值是 1.

考点: 简单线性规划. 专题: 数形结合;不等式的解法及应用. 分析: 由约束条件作出可行域,利用 的几何意义结合两点连线的斜率得答案.

解答: 解:由约束条件件

作出可行域如图,

联立

,解得 A(3,2) ,

的几何意义为可行域内的动点与定点 P(1,0)连线的斜率, 则其最小值为 .

故答案为:1. 点评: 本题考查了简单的线性规划,考查了数形结合的解题思想方法,考查了数学转化思 想方法,是中档题. 12. (5 分)阅读下面的程序框图.若使输出的结果不大于 37,则输入的整数 i 的最大值为 5.

考点: 程序框图. 专题: 常规题型. 分析: 按照程序框图的流程写出前几次循环的结果,据题目对输出 s 的要求, 求出 n 的最大 值,据判断框中 n 与 i 的关系求出 i 的最大值. 解答: 解:经过第一次循环得到 s=2,n=1, 经过第二次循环得到 s=5,n=2, 经过第三次循环得到 s=10,n=3, 经过第四次循环得到 s=19,n=4, 经过第五次循环得到 s=36,n=5, 经过第六次循环得到 s=69,n=6, ∵输出的结果不大于 37 ∴n 的最大值为 4 ∴i 的最大值为 5 故答案为:5 点评: 本题考查解决程序框图中的循环结构时,常采用写出前几次循环的结果,找规律. 13. (5 分)2014 年足球世界杯赛上举行升旗仪式.如图,在坡度为 15°的观礼台上,某一列 座位所在直线 AB 与旗杆所在直线 MN 共面,在该列的第一个座位 A 和最后一个座位 B 测得 旗杆顶端 N 的仰角分别为 60°和 45°, 若旗杆的高度为 30 米, 则且座位 A、 B 的距离为 10 ( ﹣ ) 米.

考点: 解三角形的实际应用. 专题: 解三角形. 分析: 过 B 作 BD∥AM 交 MN 与 D,由三角形的边角关系可得 AN,进而在△ ABN 中由正 弦定理可得.

解答: 解:如图过 B 作 BD∥AM 交 MN 与 D, 则由题意可得∠NAM=60°,∠NBD=45°, ∠ABD=∠CAB=15°,MN=30, ∴∠ABN=45°+15°=60°,∠ANB=45°﹣30°, 在△ AMN 中可得 AN= 在△ ABN 中 ∴AB= = = , , =10( ﹣ )

×sin(45°﹣30°)÷ ﹣ )

故答案为:10(

点评: 本题考查解三角形的实际应用,涉及正弦定理的应用和三角形的边角关系,属中档 题. 14. (5 分)直线 l 的方程为 y=x+2,在 l 上任取一点 P,若过点 P 且以双曲线 12x ﹣4y =3 的 焦点为椭圆的焦点作椭圆,那么具有最短长轴的椭圆方程为 .
2 2

考点: 双曲线的简单性质;椭圆的简单性质. 专题: 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 设出椭圆方程,P 的坐标,使椭圆与直线相切.由此入手能够求出具有最短长轴的椭 圆方程 解答: 解:设椭圆方程为: c=1,a ﹣b =c =1 设 P 的坐标为:﹙m,m+2﹚P 在椭圆上 ∴
2 2 2 2 2 2

(a>b>0)

=1,
2 2 2 2 2 2

∴﹙a ﹣1﹚m +a ﹙m +4m+4﹚=a ﹙a ﹣1﹚=﹙a ﹚ ﹣a 2 2 2 2 2 2 ﹙2a ﹣1﹚m +4a m+5a ﹣﹙a ﹚ =0 2 2 2 2 4 △ =﹙4a ﹚ ﹣﹙8a ﹣4﹚﹙5a ﹣a ﹚≥0 4 2 ∴2a ﹣11a +5≥0 2 2 ∴﹙2a ﹣1﹚﹙a ﹣5﹚≥0

∴a ≤ 或 a ≥5 ∵c =1,a >c 2 2 ∴a ≥5,长轴最短,即 a =5 2 2 b =a ﹣1=4 所以:所求椭圆方程为 .
2 2 2

2

2

故答案为:



点评: 本题考查圆锥曲线的性质和应用,解题时要认真审题,仔细求解.

15. (5 分)若函数 f(x)在定义域的某子区间上满足 f(x)=

(λ 为正实数) ,

则称其为 λ﹣局部倍缩函数.若函数 f(x)在 x∈[0,2]时,f(x)=sinπx,且 x∈(2,+∞)时, f(x)为 λ=2 的局部倍缩函数.现有下列 4 个命题: ①任取 x1、x2∈[0,+∞) ,都有|f(x1)﹣f(x2)|≤2 恒成立; * ②f(x)=2kf(x+2k) (k∈N ) ,对于一切 x∈[0,+∞)恒成立;③函数 y=f(x)﹣ln(x﹣1) 有 5 个零点;④对任意 x>0,若不等式 f(x)≤ 恒成立,则 k 的最小值是 . 则其中所有真命题的序号是①③. 考点: 命题的真假判断与应用. 专题: 简易逻辑.

分析: 作出 f(x)=

的图象,利用图象可得结论.

解答: 解:f(x)=

的图象如图所示:

①f(x)的最大值为 1,最小值为﹣1,∴任取 x1、x2∈[0,+∞) ,都有|f(x1)﹣f(x2)|≤2 恒成立,正确; ②f( )=2f( +2)=4f( +4)=8f( +6)≠8f( +8) ,故不正确; ③如图所示,函数 y=f(x)﹣ln(x﹣1)有 3 个零点;

④把( , )代入,可得 k> . 故答案为:①③. 点评: 本题考查分段函数的应用,考查数形结合的数学思想,正确作出函数的图象是关 键.属于中档题 三、解答题(共 6 小题,满分 75 分) 16. (12 分)已知函数 f(x)=(sinx+cosx) + 当 x=α 时,f(x)有最大值. (1)求函数 f(x)的单调递增区间; (2)在△ ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,a=2,A=α﹣ 求△ ABC 的面积. 考点: 三角函数中的恒等变换应用. 专题: 三角函数的求值. 分析: (1)利用三角恒等变换化简函数 f(x)的解析式为 f(x)=1+2sin(2x﹣ 利用正弦函数的增区间求得 f(x)的增区间. (2)由题意可得,当 2α﹣ 中,由于 a=2,A=α﹣ 的面积 bc?sinA 的值. 解答: 解: (1)函数 f(x)=(sinx+cosx) + cos2x=1+2sin(2x﹣ 令 2kπ﹣ ≤2x﹣ ) , ,k∈z,求得 kπ﹣ ,kπ+ ∈[ ≤x≤kπ+ ,
2 2





,且 sinBsinC=sin A,

2

) ,z 再

=

时,f(x)有最大值,求得 α 的值,可得 A 的值;在△ ABC
2 2

=

,且 sinBsinC=sin A,由正弦定理可得 bc=a =4,从而求得△ ABC

=1+sin2x﹣

≤2kπ+

故函数 f(x)的增区间为[kπ﹣ (2)∵

],k∈z, , ],再根据当 x=α 时,f(x)有最大值,

,可得 2x﹣

可得 2α﹣

=

,故 α=

. = ,且 sinBsinC=sin A= , bc?sinA= ×4× = .
2

在△ ABC 中,由于 a=2,A=α﹣
2

∴由正弦定理可得 bc=a =4,∴△ABC 的面积为

点评: 本题主要考查三角恒等变换,正弦函数的增区间和最值,正弦定理,属于中档题. 17. (12 分)如图所示,茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学完成某道数学题的得分情况.乙 组某个数据的个位数模糊,记为 x,已知甲、乙两组的平均成绩相同. (1)求 x 的值,并判断哪组学生成绩更稳定; (2)在甲、乙两组中各抽出一名同学,求这两名同学的得分之和低于 20 分的概率.

考点: 极差、方差与标准差;茎叶图. 专题: 概率与统计. 分析: (1)根据两组数据的平均数相等,可得 x 的值,进而求出两组数据的方差,比较可 得哪组学生成绩更稳定; (2)分别计算在甲、乙两组中各抽出一名同学及成绩和低于 20 分的取法种数,代入古典概型 概率公式,可得答案. 解答: 解: (1) = (9+9+11+11)=10,

= (8+9+10+x+12)=10, 解得:x=1 …(2 分) , 又 = [(9﹣10) +(9﹣10) +(11﹣10) +(11﹣10) ]=1; = [(8﹣10) +(9﹣10) +(11﹣10) +(12﹣10) ]= ,…(4 分) ∴ < ,
2 2 2 2 2 2 2 2

∴甲组成绩比乙组稳定. …(6 分) (2)记甲组 4 名同学为:A1,A2,A3,A4;乙组 4 名同学为:B1,B2,B3,B4; 分别从甲乙两组中各抽取一名同学所有可能的结果为: (A1,B1) , (A1,B2) , (A1,B3) , (A1,B4) (A2,B1) , (A2,B2) , (A2,B3) , (A2,B4) , (A3,B1) , (A3,B2) , (A3,B3) , (A3,B4) , (A4,B1) , (A4,B2) , (A4,B3) , (A4,B4) ,共 16 个基本事件, 其中得分之和低于的共 6 个基本事件,…(10 分)

∴得分之和低于的概率是:P=

= .…(12 分)

点评: 本题考查了古典概型概率计算公式,茎叶图,掌握古典概型概率公式:概率=所求情 况数与总情况数之比是解题的关键. 18. (12 分)如图 1,在边长为 4 的菱形 ABCD 中,∠DAB=60°,点 E,F 分别是边 CD,CB 的中点,AC∩EF=O,沿 EF 将△ CEF 翻折到△ PEF,连接 PA,PB,PD,得到如图 2 的五棱锥 P﹣ABFED.

(1)求证:BD⊥PA; (2)当 PA= 时,求三棱锥 A﹣PBD 的体积. 考点: 棱柱、棱锥、棱台的体积;空间中直线与直线之间的位置关系. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: (1)利用线面垂直的判定证明 BD⊥平面 POA,证明 BD⊥AO,PO⊥BD 即可;然 后证明 BD⊥PA. (2)求出底面面积与高,利用体积公式,可得结论. 解答: (1)证明:在菱形 ABCD 中,∵BD⊥AC,∴BD⊥AO. ∵EF⊥AC,∴PO⊥EF, ∵平面 PEF⊥平面 ABFED,平面 PEF∩平面 ABFED=EF,且 PO?平面 PEF, ∴PO⊥平面 ABFED, ∵BD?平面 QBFED,∴PO⊥BD. ∵AO∩PO=O,所以 BD⊥平面 POA. ∵PA?平面 POA, ∴BD⊥PA. (2)解:由题意可得:AO=3 ,PO⊥平面 ABFED,PA= , ∴PO= 底面 ABD 的面积为: 三棱锥 A﹣PBD 的体积: = . =4 . =4.

点评: 本题考查线面垂直,考查棱锥体积的计算,掌握线面垂直的判定方法,正确求体积 是关键. 19. (12 分)已知数列{an}满足:a1= ,a2= ,2an=an+1+an﹣1(n≥2,n∈N ) ,数列{bn}满足: b1<0,3bn﹣bn﹣1=n(n≥2,n∈R) ,数列{bn}的前 n 项和为 Sn.
?

(Ⅰ)求证:数列{bn﹣an}为等比数列; (Ⅱ)求证:数列{bn}为递增数列; (Ⅲ)若当且仅当 n=3 时,Sn 取得最小值,求 b1 的取值范围. 考点: 数列递推式;数列的求和. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (Ⅰ)由已知得{an}是等差数列, an+1= 公比的等比数列. (Ⅱ)由
1=

,bn+1﹣ 为首项,以 为

=

.由此能证明{bn﹣an}是以

.得当 n≥2 时,bn﹣bn﹣ .由此能证明{bn}是单调递增数列.

(Ⅲ)由已知得

,由此能求出 b1 的取值范围.
?

解答: 解: (Ⅰ)∵2an=an+1+an﹣1(n≥2,n∈N ) , ∴{an}是等差数列. 又∵a1= ,a2= , ∴ ∵ ∴bn+1﹣an+1= = = 又∵ ∴{bn﹣an}是以 = . , 为首项,以 为公比的等比数列. , , (n≥2,n∈N ) ,
*

(Ⅱ)∵bn﹣an=(b1﹣ )?( ) ∴ 当 n≥2 时,bn﹣bn﹣1= 又 b1<0,∴bn﹣bn﹣1>0.

n﹣1

, .





∴{bn}是单调递增数列. (Ⅲ)∵当且仅当 n=3 时,Sn 取最小值.



,即



∴b1∈(﹣47,﹣11) . 点评: 本题考查等比数列的证明,考查增数列的证明,考查数列的首项的取值范围的求法, 解题时要认真审题,注意构造法的合理运用.

20. (13 分)已知椭圆 C:

=1(a>b>0)的离心率为

,焦距为 4,定点 A(﹣4,0) .

(Ⅰ)求椭圆 C 标准方程; (Ⅱ)已知 P(x1,y1) ,Q(x2,y2)是椭圆 C 上的两点,向量 ,且 (θ∈R) ,求 x0 +3y0 的值; (Ⅲ)如图所示,直线 MN 经过椭圆 C 右焦点 F.当 M、N 两点在椭圆 C 运动时,试判断 ×tan∠MAN 是否有最大值, 若存在求出最大值, 并求出这时 M、 N 两点所在直线方程, 若不存在,给出理由.
2 2

.设 B(x0,y0) ,且

考点: 直线与圆锥曲线的综合问题. 专题: 函数思想;方程思想;向量与圆锥曲线;圆锥曲线的定义、性质与方程;圆锥曲线 中的最值与范围问题. 分析: (Ⅰ)根据椭圆的标准方程与几何性质,求出 c、a 与 b 的值即可; (Ⅱ)根据 (Ⅲ)由 ? ,以及点 M 满足的条件,求出 +3 的表达式并化简即可;

×tan∠MAN=2S△ AMN=|AF||yM﹣yN|,利用直线 MN 的方程 y=k(x﹣2)与椭

圆方程联立, 求出|yM﹣yN|的表达式与最大值,以及对应的直线 MN 的方程. 解答: 解: (Ⅰ)∵椭圆 C: + =1(a>b>0) ,

且离心率 e= =

,焦距 2c=4,

∴c=2,a= ; 2 2 2 ∴b =a ﹣c =6﹣4=2, 椭圆 C 的标准方程为 (Ⅱ)∵ ∴ ? =x1x2+3y1y2=0; 又 +3 =6, +3 =6,点 M(x0,y0) , + =1; , ,

∴(x0,y0)=(x1cosθ,y1cosθ)+(x2sinθ,y2sinθ) =(x1cosθ+x2sinθ,y1cosθ+y2sinθ) , ∴ =( +3 +3
2 2

= )cos θ+(
2

+3 +3 )sin θ+2sinθcosθ(x1x2+3y1y2)
2

=6(sin θ+cos θ)=6; (Ⅲ)∵ ? ×tan∠MAN=2S△ AMN=|AF||yM﹣yN|,

设直线 MN 的方程为 y=k(x﹣2) , (k≠0) ;
2 2 2

联立

,消去 x 得(1+3k )y +4ky﹣2k =0,

∴|yM﹣yN|=



设 t=

,s=1+3k ,

2

则 t= ∴t≤ ,当 s=4,即 k=±1 时取等号. ?

=

?

并且,当 k=0 时

×tan∠MAN=0, < , ,

当 k 不存在时|yM﹣yN|= 综上, ?

×tan∠MAN 有最大值,最大值为 6

此时,直线 MN 方程为 x﹣y﹣2=0,或 x+y﹣2=0. 点评: 本题考查了直线与椭圆的综合应用问题,也考查了平面向量的应用问题,考查了构 造函数以及求函数的最值问题,是综合性题目.

21. (14 分)已知函数 f(x)=

的图象在点(﹣1,f(﹣1) )处

的切线方程为 5x+y+3=0. (I)求实数 a,b 的值及函数 f(x)在区间[﹣1,2]上的最大值; (Ⅱ)曲线 y=f(x)上存在两点 M、N,使得△ MON 是以坐标原点 O 为直角顶点的直角三角 形,且斜边 MN 的中点在 y 轴上,求实数 c 的取值范围. 考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程;分段函数的应用. 专题: 分类讨论;导数的概念及应用;导数的综合应用. 分析: (I)求出当 x<1 时的 f(x)的导数,由切线方程可得斜率和切点,即有 f(﹣1) =2,且 f′(﹣1)=﹣5,解方程即可得到 a,b;再由导数,求得单调区间,对 c 讨论,即可得 到最大值; 3 2 (Ⅱ)根据条件可得,M,N 的横坐标互为相反数,不妨设 M(﹣t,t +t ) ,N(t,f(t) ) , (t>0) .讨论 t,运用向量垂直的条件:数量积为 0,即可求得 c 的范围. 解答: 解: (I)当 x<1 时,f(x)的导数 f′(x)=﹣3x +2ax+b, 由 f(x)在点(﹣1,f(﹣1) )处的切线方程为 5x+y+3=0, 可得 f(﹣1)=2,且 f′(﹣1)=﹣5,即有 1+a﹣b=2,且﹣3﹣2a+b=﹣5, 解得 a=1,b=0; 当 x<1 时,f(x)=﹣x +x , 令 f′(x)=﹣3x +2x=0 可得 x=0 或 x= , f(x)在(﹣1,0)和( ,1)上单调递减,在(0, )上单调递减, 此时 f(x)在[﹣1,1)上的最大值为 f(﹣1)=2; 当 c<0 时, 令 所以当 当 当 c≥0 时, ,则 在[1,2]上单调递增,且 , ; .
2 3 2 2

时,f(x)在[﹣1,2]上的最大值为 时,f(x)在[﹣1,2]上的最大值为 f(﹣1)=2. 在[1,2]上单调递减,且 f(1)=0,

所以 f(x)在[﹣1,2]上的最大值为 f(﹣1)=2. 综上可知,当 时,f(x)在[﹣1,2]上的最大值为 2;



时,f(x)在[﹣1,2]上的最大值为



(Ⅱ)函数 f(x)=



根据条件可得,M,N 的横坐标互为相反数, 不妨设 M(﹣t,t +t ) ,N(t,f(t) ) , (t>0) . 3 2 若 t<1,则 f(t)=﹣t +t , 由∠MON 是直角得, 即 t ﹣t +1=0.此时无解; 若 t≥1,则 .
4 2 3 2

=0,即﹣t +(t +t ) (﹣t +t )=0,

2

3

2

3

2

由于 MN 的中点在 y 轴上,且∠MON=90°,所以 N 点不可能在 x 轴上,即 t≠0. 同理有 由于函数 =0,即 , (t>1)的值域是(﹣∞,0) , .

实数 c 的取值范围是(﹣∞,0)即为所求. 点评: 本题考查导数的运用:求切线方程和单调区间及极值、最值,考查分类讨论的思想 方法,运用向量垂直的条件即数量积为 0 是解题的关键.


推荐相关:

四川省成都市石室中学2015届高考数学三诊试卷(文科)

四川省成都市石室中学 2015 届高考数学三诊试卷(文科)一、选择题(共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分) 1. (5 分)已知集合 A={1,2, },集合 B={y...


四川省成都市石室中学2015届高考数学三诊试卷(理科)

四川省成都市石室中学 2015 届高考数学三诊试卷(理科)一、选择题(共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分) 1. (5 分)已知集合 A={1,2, },集合 B={y...


2015年四川省成都市石室中学高考数学三诊试卷(理科)

2015 年四川省成都市石室中学高考数学三诊试卷(理科)一、选择题(共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分) 1. (5 分) (2014?海淀区一模)已知集合 A={1,...


2015年四川省成都市石室中学高考数学三诊试卷(理科)

2015 年四川省成都市石室中学高考数学三诊试卷(理科)一、选择题(共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分) 1. (5 分) (2014?海淀区一模)已知集合 A={1,...


四川省成都市石室中学高2015届一诊模拟考试数学理科含答案

四川省成都市石室中学2015届一诊模拟考试数学理科含答案_高三数学_数学_高中教育_教育专区。石室中学高 2015 届“一诊 ”模拟考试数学试题(理科)考试时间:120 分...


综13四川省成都市石室中学2014届高三数学上学期“一诊模拟”考试(二)试题 理 新人教A版

石室中学高 2014 届 2013-2014 学年度上期“一”模拟考试(二) 数学(理科)试题一.选择题:本大题共有 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分.每小题给出的...


【名师解析】四川省成都市石室中学2015届高三“一诊”模拟考试物理

2015 年四川省成都市石室中学高考物理一诊试卷一、选择题(本题共 7 小题,每小题 6 分.在每小题给出的四个选项中,有的只有一项符合题 目要求,有的有多项...


四川省成都市石室中学2014届高三上学期“一诊模拟”考试(二)试题 数学(理) Word版含答案

四川省成都市石室中学2014届高三上学期“一模拟”考试(二)试题 数学(理) Word...3 B. 9. 已知 a , b ? R ? ,若向量 m ? (2,12 ? 2a ) 与向量...


四川省成都石室中学2013届高三下学期三诊模拟考试数学(理)试题

四川省成都石室中学2013届高三下学期三诊模拟考试数学()试题_数学_高中教育_教育...ln(2n ? 1) (n ? N * ) . ?1 三诊模拟参改答案(理科) 中国校长网...


四川成都石室中学2010高考三诊模拟考试--文综

2014年高考语文北京卷真... 2014年高考理科数学新课...四川省绵阳市高中2011级... 14页 免费 2011成都三...成都石室中学高 2010 级"三诊"模拟考试 文科综合...

网站首页 | 网站地图
All rights reserved Powered by 简单学习网 www.tceic.com
copyright ©right 2010-2021。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com