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浙江省严州中学2015届高三1月份阶段测试数学(理)


浙江省严州中学 2015 届高三 1 月份阶段测试数学试卷 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. 1、若 P= x x ? 1 ,Q= y y ? ?1 ,则 A. C R P ? Q B. P ? Q 2、下列选项一定正确的是 A、若 a ? b ,则 ac ? bc C、若 a 2 ? b 2 ,

则 a ? b C. P ? Q ? ?

?

?

?

?





D. P ? (C R Q ) ? R ( )

B、若 a ? b ,则 a ? b D、若

1 1 ? ,则 a ? b a b
( )

3、 设 b 、 c 表示两条直线, ? 、 ? 表示两个平面,下列命题中正确的是 A.若 c // ? , ? ?

? , 则c // ? .

B.若 b ? ? , b // c, 则c // ? . D.若 b// ? , c ? ? , b ? c, 则? ? ? )

C.若 b// ? , c ? ? , b / / c, 则? ? ? 4、已知函数 f ? x ? ? A.

3 sin x ? cos x , x ? R ,若 f ? x ? ? 1 ,则 x 的取值范围为(
B. ? x 2k? ?

? ? ? ? x k? ? ? x ? k? ? ? , k ? Z ? 3 ? ? ? ?

? ?

?

? ? x ? 2k? ? ? , k ? Z ? 3 ?

C. ? x k? ?

?
6

? x ? k? ?

? 5? ,k ? Z? 6 ?

D. ? x 2k? ?

? ?

?
6

? x ? 2k? ?

? 5? ,k ? Z? 6 ?

5、已知数列 {a n } 是等差数列,若 a9 ? a12 ? 0 , a10 ? a11 ? 0 ,且数列{an}的前 n 项和 Sn 有最大 值,那么当 Sn 取得最小正值时,n 等于 A.17 B.19 6、若 0 ? x ? ( C.20 D.21 (
2 2



?
2

,则 x tan x ? 1 是 x sin x ? 1 的

)

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 7、已知点 P ( x, y ) 是直线 kx ? y ? 4 ? 0(k ? 0) 上一动点, PA, PB 是圆 C : x ? y ? 2 y ? 0 的两条切线, A, B 为切点,若四边形 PACB 的最小面积是 2,则 k 的值为( A.4
2 2



B. 2 2

C.2

D. 2

x y 8、已知椭圆 C: + =1. 设 F 为椭圆 C 的左焦点,T 为直线 x=-3 上任意一点,过 F 作 6 2 |TF| TF 的垂线交椭圆 C 于点 P,Q.则 最小值为( |PQ| 4 3 A. 3 B. 2 3 3 3 C. 3 ) D.

3

二、填空题:本大题共 7 小题,每空 3 分,共 36 分.
第 - 1 - 页 共 11 页

1 ( x >-4)的值域是________ x ? 1 10、设 ? 为第二象限角,若 tan(? ? ) ? ,则 sin ? ? cos ? ? 4 2
9、函数 y ? 11、已知某个多面体的三视图(单位 cm)如下图所示,则此多 面体的体积是 12、

cm3 .
(正视图)

2 2
(侧视图)

?1 ? lg x ? lg y ? 0 ? (1) 设正实数 x, y 满足条件 ?lg x ? lg y ? 1 ? 0 , 则 2lg x ? lg y ?lg y ? 0 ?
的最大值为___________

1 1
(俯视图)

x2 (2)设P,Q分别为圆x2+(y-6)2=2和椭圆10+y2=1上的点,则P,Q两点间的最大距离是 _________

13、设数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n .已知, a1 ? 0 , an ?1 ? S n ? 3n , n ? N* . (1) S n =___ _________ (2)若

100n - 2 ≥ k 2 ? 3 | k | ,对 n ? N* 恒成立,则 k 的取值范围是_________. n ?1 an ?1 ? 3 ? 2

14、 在△ ABC中, (1)若点P在△ ABC所在平面上,且满足 CP ?

uuv

| PA | 1 uuv 2 uuv ? _________ CA ? CB ,则 3 3 | PB |

(2) 若点G为△ ABC重心, 且 (56sin A)GA ? (40sin B)GB ? (35sin C )GC ? 0 ,则 ?B =____ (3)若点O为△ ABC的外心, AB ? 2m, AC ?

2 (m ? 0), ?BAC ? 120o ,且 m AO ? x AB ? y AC ( x , y 为实数),则 x ? y 的最小值是__________
l A D B

15、如图,直线 l ? 平面 ? ,垂足为 O ,正四面体 ABCD 的棱长为 4, C 在平面 ? 内, B 是直线 l 上的动点, (1)线段 BC 、 AD 两中点连线的长度是________ (2)当 O 到 AD 的距离为最大时,正四面体在平面 ? 上的射影面积为 ________

?
O C

三、解答题:本大题共 5 小题,共 74 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步

骤。
16、 (本题 14 分) 已知 a,b,c 分别为 ?ABC 三个内角 A,B,C 的对边, b cos A ? 3b sin A ? c ? a ? 0 . (1)求 B (2) 求 sin A cos C 的取值范围.

第 - 2 - 页 共 11 页

N 17、 (本题 15 分)如图,在菱形 ABCD 中,

?DAB ? 60 , E 是 AB 的中点, MA ⊥平面

M

ABCD ,且在矩形 ADNM 中, AD ? 2 , 3 7 . AM ? 7 (1)求证: AC ⊥ BN ;
(2)求二面角 M ? EC ? D 的大小. A E

D

C B

18、 (本题 15 分)已知数列 {an } ,对任何正整数 n 都有:

a1 ?1 ? a2 ? 2 ? a3 ? 22 ? L ? an ? 2n ?1 ? (n ? 1) ? 2n ? 1 .
(1)求数列 {an } 的通项公式; (2) ①若 ? ?

7 an ? 2 (n ? N ? ) 恒成立,求实数 ? 的范围; an 2
a

②若数列 {bn } 满足 bn ?| (?1) n ? 2 n ? 7 ? 2an | ,求数列 {bn } 的前项和 S n .

19、 (本题 15 分)已知点 A(0,1) 、B(0,-1) ,P 为一个动点,且直线 PA、PB 的斜率之积 为?

1 . 2

(1)求动点 P 的轨迹 C 的方程; (2)设 Q(2,0) ,过点(-1,0)的直线 l 交 C 于 M、N 两点, ?QMN 的面积记为 S,若对 满足条件的任意直线 l ,不等式 S ? ? tan ?MQN 恒成立, 求? 的最小值.

20、 (本题 15 分)已知函数 f ( x) ? ax ? 2 x ? b
2

(1)若 b ? 1 ,函数 h( x) ? ln

f ( x) ( x ? 0) 在 [2, ??) 上递增,求实数 a 的范围; x

(2)若 a ? ?1 , b ? 0 ,定义域为 R 的函数 g (x) ? ?

? lg x (x ? 0) ,当 g (x) ? 1 时,讨论关于 f (x)(x ? 0) ?

x 的方程 2 g 2 (x) ? 2 m g (x) ? 1 ? 0 的根的个数.

第 - 3 - 页 共 11 页

一.填空题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分. )

题号 答案

1 A

2 B

3 C

4 B

5 C

6 B

7 C

8 C

二.填空题(本大题共 7 小题,每空 4 分,满分 36 分. )
1 4

9. (0, ??) U ( ??, ? )

10.

?

10 5

;

11.

4 3

;

12.(1)

2

;

(2)

6 2
[1, 2] U[?2, ?1]
60
0

;

13. (1)__ S n ? 3n ? 3 ? 2n ?1 __;

(2)

14.(1)

2

;

(2)

(3)

2

15. (1)_____ 2 2 _____;

(2)

4?2 2

三.解答题(本大题共 5 个小题,满分 74 分.解答应写出必要的文字说明、证明

过程及演算步骤,书写时不要超出答题框。 )
16、 (本题 14 分) (1)由 b cos A ? 3b sin A ? c ? a ? 0 及正弦定理得

sin B cos A ? 3 sin B sin A ? sin C ? sin A ? 0 -------------3 分

? 1 sin( B ? ) ? ,-----------------------------------------6 分 6 2 ? 又因为0 ? B ? ? , 故B ? -----------------------7 分 3

因为 C ? ? ? A ? B ,所以 3 sin B sin A ? cos B sin A ? sin A ? 0 ,由于 sin A ? 0 ,所以

(2) sin A cos C ? ? sin A cos( A ? B ) ? ? sin A cos( A ? 由于

?
3

) ---------9 分

? 1 3 1 ? 3 ----1 ? sin A cos( A ? ) ? ? sin A( cos A ? sin A) ? ? sin(2 A ? ) ? 3 2 2 2 3 4
第 - 4 - 页 共 11 页

2分 又因为 0 ? A ?

2? ? ? 5? , 所以 ? 2 A ? ? , 3 3 3 3

? 1 3 1 3 ? ------------------------------14 分 sin A cos C ? ? ? ? , ? ? 4 2 4 ? ? 2

17、 (本题 15 分) 解: (1)连结 BD ,则 AC ? BD . 由已知 DN ? 平面 ABCD , 因为 DN

DB ? D ,

所以 AC ? 平面 NDB .……………………3 分 又因为 BN ? 平面 NDB , 所以 AC ? BN .……………………6 (2)由于四边形 ABCD 是菱形, E 是 AB 的中点,可得 DE ? AB .如图建立空间直角 坐标系 D ? xyz ,则 D (0, 0, 0) , E ( 3, 0, 0) , C (0, 2, 0) ,

M ( 3, ?1,

3 7 3 7 ) , CE ? ( 3, ?2.0) , EM ? (0, ?1, ) .………………………7 分 7 7

设平面 MEC 的法向量为 n ? ( x, y, z ) .则 ?

? ?CE ? n ? 0, ? ? EM ? n ? 0.

? 3 x ? 2 y ? 0, ? 所以 ? ……………………………………9 分 3 7 z ? 0. ?y ? 7 ?
令x ? 2. 所以 n ? (2, 3,

21 ) .………………………………………………12 分 3

又平面 ADE 的法向量 m ? (0, 0,1) ,………………………………13 分 所以 cos ? m , n ??

m?n 1 ? . m n 2

所以二面角 M ? EC ? D 的大小是 60°. ………………………………………15 分

18、 (本题 15 分)

第 - 5 - 页 共 11 页

解: (1)依题意,数列 {bn } 的通项公式为 bn ? 2n ?1 , 由 a1b1 ? a2b2 ? a3b3 ?

? an ?1bn ?1 ? anbn ? (n ? 1) ? 2n ? 1 ,

可 得 a1b1 ? a2b2 ? a3b3 ?

? an ?1bn ?1 ? (n ? 2) ? 2n ?1 ? 1 ? n ? 2 ? , 两 式 相 减 可 得
所 ——5 分(未验证 n ? 1时,a1 ? 1 扣 1 分)

即 an ? n . 当 n ? 1时,a1 ? 1 , 从而对一切 n ? N ? , 都有 an ? n . an ? bn ? n ? 2n ?1 , 以数列 {an } 的通项公式是 an ? n .

(2) 1).记f (n) ? 7n ? 2 (n ? N ? ), n 2 f (n ? 1) 1 7 n ? 5 1 5 ? ? ? (1 ? ) f (n) 2 7n ? 2 2 7n ? 2 f (n ? 1) n ? 1, ? 1, f (2) ? f (1) f (n) f (n ? 1) 1 5 n ? 2, ? (1 ? ) ? 1, f (n) 2 12

? f (n)先增后减,在n=2时取到最大值

? ? f (2) ? (直接罗列,未证明扣 3 1分)......10分
2).bn ?| (?1) n ? 2n ? 7 ? 2n |?| (?1) n (7 ? 2 n) ? 2 n | S n ? (5 ? 2) ? (3 ? 22 ) ? (?1 ? 23 ) ? (?1 ? 2 4 ) ? (3 ? 25 ) ? (?5 ? 26 ) ? ...... ? [(?1) n (7 ? 2 n) ? 2 n ] ? 5 ? 2 ? 3 ? 1 ? (22 ? 23 ? 2 4 ? ... ? 2 n ) ? [?1 ? 3 ? 5 ? 7 ? 9.... ? (?1) n (7 ? 2 n)] ? 3 ? (2 ? 22 ? 23 ? 24 ? ... ? 2n ) ? [?1 ? 3 ? 5 ? 7 ? 9.... ? (?1) n (7 ? 2 n)] ? 2(1 ? 2n ) n?3 3 ? ? 2? (n 为奇) ? ? 1? 2 2 ?? n ?3 ? 2(1 ? 2 ) ? 2 ? n ? 4 ? (7 ? 2 n)(n 为偶) ? ? 1? 2 2 ?2n ?1 ? n ? 2(n 为奇) = ? n ?1 ......15分 2 ? n ? 4(n 为偶 ) ?
19、 (本题 15 分)

第 - 6 - 页 共 11 页

20、 (本题 15 分) 解答

第 - 7 - 页 共 11 页

(1) 记函数 y ? ax ?

1 ? 2(x ? 0) x

1 ? y ? ax ? ? 2 ? 0对任意x ? 2恒成立 ? ? x ? ? y ? ax ? 1 ? 2在[2,+?)上递增 ? x ? 1 ( y 2) =2a ? ? 2 ? 0 2 则 ? [2,+?) ? [ a , ??) a?0 3 a ? [ , 4] 4
——6分

(2)t ? g (x)....... (1) , 2 t 2 ? 2mt ? 1 ? 0......(2) 1.t ? 0时, 方程(2)无解,所以原方程无解;....7分 1 t ? 0时,t 2 ? 2mt ? 1 ? 0 ? m ? ?t ? ......(3) 2t 1 2 2.t ? 0时, m ? ?t ? ? [ 2, ??)(t ? ? 时取等) 2t 2 ? m ? 2,方程(3)一解,原方程一解 ? ? ?m ? 2,方程(3)两解,原方程两解 ....10分 ? ? ? m ? 2,方程(3)无解,原方程无解 1 3.t ? (0,1)时,m ? ?t ? ? (??, ? 2], 2t 2 1 2 1 t ? (0, )时,m ? ?t ? 递增,t ? ( ,1)时,m ? ?t ? 递减 2 2t 2 2t 3 且m(1) ? ? 2 ? ? m ? ? 2时,无解 ? 3 ? ?m ? ? 2或m ? ? ,方程(3)一解,原方程4解 ....14分 2 ? 3 ? ? ? m ? ? 2,方程(3)两解,原方程8解 ? ? 2
综上………………………………………15 分

第 - 8 - 页 共 11 页

13. S n ?1 ? S n ? an ?1 ? S n ? 3n ,即 S n ?1 ? 2 S n ? 3n , 由此得 S n ?1 ? 3n ?1 ? 2( S n ? 3n )

S n ? 3n ? 3 ? 2n ?1 , n ? N* ,
于是,当 n ≥ 2 时,

an ? S n ? S n ?1 ? 3n ? 3 ? 2n ?1 ? 3n ?1 ? (?3) ? 2n ? 2 ? 2 ? 3n ?1 ? 3g2n ? 2 ,
易知 n ≥ 2 时数列 { 14、 在△ ABC中, . (1)若点P在△ ABC所在平面内,且满足 CP ?

100n } 的值趋近于 0. k 2 ? 3 | k | ?2 ? 0 ? [1, 2] U[?2, ?1] n ?1 an ?1 ? 3 ? 2

uuv

| PA | 1 uuv 2 uuv ? _________ CA ? CB ,则 3 3 | PB |

(2) 若点O为△ ABC重心, 且 (56sin A)GA ? (40sin B)GB ? (35sin C )GC ? 0 ,则 ?B =____ 60度,由正弦定理、重心性质、平面向量基本定理得56a=40b=35c,由余弦定理的B=60度。 (3)若点O为△ ABC的外心, AB ? 2m, AC ?

2 (m ? 0), ?BAC ? 120o ,且 m AO ? x AB ? y AC ( x , y 为实数),则 x ? y 的最小值是__________

解法一:以A为原点,AB为x轴正方向建系

B(2m, 0), C( ?

? 3 2 3 ? m? ) ? 3 1 3 ? O(m, 3 3m (x ? )? ?y ? 3 2m 2m ? 2 1 ? x? ? 2 ? ? 3 3m ?? ? x ? y ? 2(m ? 1) 2 ? y? 2?m ? 3 3 ?
解法二:

1 3 , ) m m x?m

第 - 9 - 页 共 11 页

uuu r uuu r uuu r AO ? x AB ? y AC uuu r uuu r uur uuu r uur ? AO ? x(OB ? OA) ? y (OC ? OA) uur uuu r uuu r ? (x ? y ? 1)OA ? xOB ? yOC ) 2 ? (x ? y ? 1) 2 ? x 2 ? y 2 ? xy x? y 2 ? 2(x ? y) ? 3 xy ? 1 ? 3( ) ? 1(x ? y) 2 2 ? x? y ? 或 x? y ? 2 3 uuu r uuu r uuu r ? ? AD ? AB ? AC (D 为 BC中点) 注意到点O在三角形外, uuu r uuu r uuu r ? AO ? A D ? DO ? ? ? x ? y ? 1, ? x? y ? 2 (
15、如图,直线 l ? 平面 ? ,垂足为 O ,正四面体 ABCD 的棱长为 4, C 在平面 ? 内, B 是直线 l 上的动点, (1)线段 BC 、 AD 两中点连线的长度是________ 2 2 (2)当 O 到 AD 的距离为最大时,正四面体在平面 ? 上的射影面积为________ 4 ? 2

2

(点 O 在以 BC 为直径的球上旋转,当 O 与(1)中两中点共线时距离最大=2+ 2 2 ,此直线

2 ? 2 ? 2 ,所以面积= 4 ? 2 在平面上的投影长为 (2 ? 2 2) ? 2

2)

x2 y2 8.已知椭圆 C: + =1. 设 F 为椭圆 C 的左焦点,T 为直线 x=-3 上任意一点,过 F 作 TF 6 2 |TF| 的垂线交椭圆 C 于点 P,Q.则 最小值为( |PQ| m-0 则直线 TF 的斜率 kTF= =-m. -3-(-2) 1 当 m≠0 时,直线 PQ 的斜率 kPQ= .直线 PQ 的方程是 x=my-2. m 当 m=0 时,直线 PQ 的方程是 x=-2,也符合 x=my-2 的形式. x=my-2, ? ?2 2 设 P(x1,y1),Q(x2,y2),将直线 PQ 的方程与椭圆 C 的方程联立,得?x y ? 6 + 2 =1. ? 消去 x,得(m2+3)y2-4my-2=0, 其判别式 Δ=16m2+8(m2+3)>0. -2 4m 所以 y1+y2= 2 ,y1y2= 2 , m +3 m +3 )

(2)①证明:由(1)可得,F 的坐标是(-2,0),设 T 点的坐标为(-3,m),

第 - 10 - 页 共 11 页

-12 x1+x2=m(y1+y2)-4= 2 . m +3 |TF|= m2+1, |PQ|= (x1-x2)2+(y1-y2)2 = (m2+1)[(y1+y2)2-4y1y2] 2 -2 ? ? ? 4m ? = (m2+1)? m2+3 -4· 2 ? ? m +3? ?? = 24(m2+1) . m2+3 1 (m +3) · = 24 m2+1
2 2

|TF| 所以 = |PQ|

4 1? 2 ? ?m +1+m2+1+4?≥ 24? ?

1 3 (4+4)= 24 3

第 - 11 - 页 共 11 页


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