tceic.com
简单学习网 让学习变简单
当前位置:首页 >> 数学 >>

广西桂林中学2015届高三上学期11月月考数学试卷(理科)


广西桂林中学 2015 届高三上学期 11 月月考数学试卷(理科)
一.选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,有且只 有一项是符合题目要求的. 1. (5 分)设集合 A={x| A.充分而不必要条件 C. 充要条件 <0},B={x|0<x<3},那么“m∈A”是“m∈B”的() B. 必要而不充分条件 D.既不充分也不

必要条件

2. (5 分)已知复数 z=2﹣i,则 z? 的值为() A.5 B. C. 3

D.

3. (5 分)已知 A.(2,﹣4) 4. (5 分)若 A.第一象限

, B.(﹣2,4) ,则直线 B.第二象限
x y

,且

,则 =() D. (4,﹣8)

C.(2,﹣4)或(﹣2,4) =1 必不经过() C.第三象限

D.第四象限

5. (5 分)已知实数 x,y 满足 a <a (0<a<1) ,则下列关系式恒成立的是() 3 3 A.x >y B. sinx>siny C. ln(x +1)>ln(y +1)
2 2

D.



6. (5 分)下列几何体各自的三视图中,有且仅有两个视图相同的是()

A.①②

B.①③

C.①④

D.②④

7. (5 分)将红、黑、黄、蓝 4 个不同的小球放入 3 个不同的盒子,每个盒子至少放一个球, 且红球和蓝球不能放到同一个盒子,则不同放法的种数为() A.18 B.24 C.30 D.36

8. (5 分)已知 x,y 满足不等式组

,使目标函数 z=mx+y(m<0)取得最小

值的解(x,y)有无穷多个,则 m 的值是() A.2 B . ﹣2 C. D.﹣

9. (5 分)若点 O 和点 F 分别为椭圆 则 ? 的最小值为() B.

+y =1 的中心和右焦点,点 P 为椭圆上的任意一点,

2

A.2﹣

C.2+

D.1

10. (5 分) 设 k= () A.﹣1

(sinx﹣cosx) dx, 若 (1﹣kx) =a0+a1x+a2x +…+a8x , 则 a1+a2+a3+…+a8=

8

2

8

B. 0

C. l

D.256

11. (5 分)已知正三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的侧棱长与底面边长相等,则 AB1 与侧面 ACC1A1 所成角的正弦等于() A. B. C. D.

12. (5 分)设函数 f(x)=x +x,x∈R.若当 0<θ< 恒成立,则实数 m 的取值范围是() A.(﹣∞,1] B.[1,+∞)

3

时,不等式 f(msinθ)+f(1﹣m)>0

C.( ,1)

D.( ,1]

二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 0.7 6 13. (5 分)阅读程序框图(如图所示) ,若输入 a=6 ,b=0.7 ,c=log0.76,则输出的数是.

14. (5 分)已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,a5=5,S5=15,则数列 和为.

的前 100 项

15. (5 分)设△ ABC 的内角 A,B,C 所对边的长分别为 a,b,c,若 b+c=2a,3sinA=5sinB, 则角 C=.

16. (5 分)已知椭圆

的离心率

,A、B 是椭圆的左、右顶点,

P 是椭圆上不同于 A、B 的一点,直线 PA、PB 斜倾角分别为 α、β,则

=.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应给出文字说明、证明过程及演算步骤. 17. (10 分)在△ ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a,b,c,已知向量 =(cos =(cos ,sin ) ,且满足| + |= . ,sin ) ,

(1)求角 A 的大小; (2)若 b+c= a,试判断△ ABC 的形状. 18. (12 分)在数列{an}中,a1=3,an=2an﹣1+n﹣2(n≥2,且 n∈N ) (1)求 a2,a3 的值; (2)证明:数列{an+n}是等比数列,并求{an}的通项公式; (3)求数列{an}的前 n 项和 Sn.
*

19. (12 分)如图,三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,BC⊥侧面 AA1C1C,AC=BC=1,CC1=2, ,D、E 分别为 AA1、A1C 的中点. (Ⅰ)求证:A1C⊥平面 ABC; (Ⅱ)求平面 BDE 与平面 ABC 所成锐二面角的余弦值.

20. (12 分)如图,已知圆 G:x +y ﹣2x﹣

2

2

y=0,经过椭圆

+

=1(a>b>0)的右焦点

F 及上顶点 B,过圆外一点(m,0) (m>a)倾斜角为

的直线 l 交椭圆于 C,D 两点,

(Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)若右焦点 F 在以线段 CD 为直径的圆 E 的外部,求 m 的取值范围.

21. (12 分)某高校在 2014 年自主招生考试成绩中随机抽取 100 名学生的笔试成绩,按成绩 分组:第 1 组[75,80) ,第 2 组[80,85) ,第 3 组[85,90) ,第 4 组[90,95) ,第 5 组[95,100] 得到的频率分布直方图如图所示. (1)分别求第 3,4,5 组的频率; (2)若该校决定在笔试成绩较高的第 3,4,5 组中用分层抽样抽取 6 名学生进入第二轮面试, (ⅰ)已知学生甲和学生乙的成绩均在第三组,求学生甲和学生乙恰有一人进入第二轮面试 的概率; (ⅱ)学校决定在这已抽取到的 6 名学生中随机抽取 2 名学生接受考官 L 的面试,设第 4 组 中有 ξ 名学生被考官 L 面试,求 ξ 的分布列和数学期望.

22. (12 分)已知 f(x)=e (x +mx+1﹣2m) ,其中 m∈R. (Ⅰ)当 m=1 时,求函数 y=f(x)单调递增区间; (Ⅱ)求证:对任意 m∈R,函数 y=f(x)的图象在点(0,f(0) )处的切线恒过定点; (Ⅲ)是否存在实数 m 的值,使得 y=f(x)在(﹣∞,+∞)上有最大值或最小值,若存在, 求出实数 m 的取值范围;若不存在,请说明理由.

x

2

广西桂林中学 2015 届高三上学期 11 月月考数学试卷(理 科)
参考答案与试题解析

一.选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,有且只 有一项是符合题目要求的. 1. (5 分)设集合 A={x| A.充分而不必要条件 C. 充要条件 <0},B={x|0<x<3},那么“m∈A”是“m∈B”的() B. 必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断;集合的包含关系判断及应用. 分析: 由分式不等式的解法, 充分条件的关系,可得答案. 解答: 解:由 得 0<x<1,即 A={x|0<x<1}, ?0<x<1,分析有 A?B,由集合间的包含关系与

分析可得 A?B, 即可知“m∈A”是“m∈B”的充分而不必要条件, 故选 A. 点评: 本日考查集合间的包含关系与充分、必要条件的关系,如果 A 是 B 的子集,则 x∈A 是 x∈B 的充分条件,x∈B 是 x∈A 的必要条件.

2. (5 分)已知复数 z=2﹣i,则 z? 的值为() A.5 B. C. 3 考点: 复数代数形式的乘除运算. 专题: 数系的扩充和复数.

D.

分析: 由 z 求出 ,然后直接利用复数代数形式的乘法运算求解. 2 解答: 解:由 z=2﹣i,得 z? =(2﹣i) (2+i)=4﹣i =5. 故选:A. 点评: 本题考查了复数代数形式的乘法运算,是基础的计算题.

3. (5 分)已知 A.(2,﹣4)

, B.(﹣2,4)

,且

,则 =() D. (4,﹣8)

C.(2,﹣4)或(﹣2,4)

考点: 平面向量共线(平行)的坐标表示. 专题: 平面向量及应用. 分析: 利用向量模的平方等于向量坐标的平方和向量共线坐标交叉相乘相等列出方程组求 出 . 解答: 解:设 =(x,y) , 由题意可得 ,

解得





∴ =(2,﹣4)或(﹣2,4) . 故选:C. 点评: 本题考查向量模的求法,向量共线的充要条件:向量的坐标交叉相乘相等.

4. (5 分)若 A.第一象限

,则直线 B.第二象限

=1 必不经过() C.第三象限 D.第四象限

考点: 直线的截距式方程. 分析: 直线过不过象限,关键看直线在两坐标轴的截距,看截距的正负值,就可以确定不 过的象限. 解答: 解:令 x=0,得 y=sinα<0,令 y=0,得 x=cosα>0,直线过(0,sinα) , (cosα,0) 两点,因而直线不过第二象限. 故选 B 点评: 注意角的范围,三角函数值的符号,即注意截距的符号,是本题解题关键.

5. (5 分)已知实数 x,y 满足 a <a (0<a<1) ,则下列关系式恒成立的是() 3 3 A.x >y B. sinx>siny C. ln(x +1)>ln(y +1)
2 2

x

y

D.



考点: 指数函数的图像与性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 本题主要考查不等式的大小比较,利用函数的单调性的性质是解决本题的关键. x y 解答: 解:∵实数 x,y 满足 a <a (0<a<1) ,∴x>y, 3 3 A.当 x>y 时,x >y ,恒成立, B.当 x=π,y=
2

时,满足 x>y,但 sinx>siny 不成立.
2 2 2 2

C.若 ln(x +1)>ln(y +1) ,则等价为 x >y 成立,当 x=1,y=﹣1 时,满足 x>y,但 x 2 >y 不成立. D.若
2 2



,则等价为 x +1<y +1,即 x <y ,当 x=1,y=﹣1 时,满足 x>y,但

2

2

2

2

x <y 不成立. 故选:A. 点评: 本题主要考查函数值的大小比较,利用不等式的性质以及函数的单调性是解决本题 的关键. 6. (5 分)下列几何体各自的三视图中,有且仅有两个视图相同的是()

A.①②

B.①③

C.①④

D.②④

考点: 简单空间图形的三视图. 专题: 阅读型. 分析: 利用三视图的作图法则,对选项判断,A 的三视图相同,圆锥,四棱锥的两个三视图 相同,棱台都不相同,推出选项即可. 解答: 解:正方体的三视图都相同,而三棱台的三视图各不相同,圆锥和正四棱锥的,正 视图和侧视图相同, 所以,正确答案为 D. 故选 D 点评: 本题是基础题,考查几何体的三视图的识别能力,作图能力,三视图的投影规则是 主视、俯视 长对正;主视、左视高平齐,左视、俯视 宽相等.

7. (5 分)将红、黑、黄、蓝 4 个不同的小球放入 3 个不同的盒子,每个盒子至少放一个球, 且红球和蓝球不能放到同一个盒子,则不同放法的种数为() A.18 B.24 C.30 D.36 考点: 排列、组合及简单计数问题. 专题: 计算题. 分析: 根据题意,用间接法求解,先由分步计数原理计算个小球放入 3 个不同的盒子的放 法数目,再计算红球和蓝球放到同一个盒子的放法数目,两个相减得到结果. 解答: 解:将 4 个小球放入 3 个不同的盒子, 2 3 先在 4 个小球中任取 2 个作为 1 组,再将其与其他 2 个小球对应 3 个盒子,共有 C4 A3 =36 种情况, 若红球和蓝球放到同一个盒子,则黑、黄球放进其余的盒子里,有 A3 =6 种情况, 则红球和蓝球不放到同一个盒子的放法种数为 36﹣6=30 种; 故选 C. 点评: 本题考查排列组合及简单的计数原理的应用,是基础题,注意用间接法,可以避免 分类讨论,简化计算.
3

8. (5 分)已知 x,y 满足不等式组

,使目标函数 z=mx+y(m<0)取得最小

值的解(x,y)有无穷多个,则 m 的值是() A.2 B . ﹣2 C. D.﹣

考点: 简单线性规划. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 作出不等式对应的平面区域,利用线性规划的知识,要使目标函数的最优解有无数 个,则目标函数和其中一条直线平行,然后根据条件即可求出 m 的值. 解答: 解:作出不等式组对应的平面区域如图: (阴影部分) . 由 z=mx+y(m<0)得 y=﹣mx+z, ∵m<0,∴目标函数的斜率 k=﹣m>0. 平移直线 y=﹣mx+z, 由图象可知当直线 y=﹣mx+z 和直线 AB:3x﹣2y+1=0 平行时,此时目标函数取得最小值时最 优解有无数多个, 此时﹣m= ,即 m=﹣ . 故选:D

点评: 本题主要考查线性规划的应用,利用数形结合是解决线性规划问题中的基本方法.
2

9. (5 分)若点 O 和点 F 分别为椭圆 则 ? 的最小值为() B.

+y =1 的中心和右焦点,点 P 为椭圆上的任意一点,

A.2﹣

C.2+

D.1

考点: 椭圆的简单性质. 专题: 平面向量及应用;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 设 P(x,y) ,根据点的坐标求出 最小值即可. 解答: 解:设 P(x,y) ,F(1,0) ,∴ ∴ ? 的最小值为 . = =(x,y) , =(x﹣1,y) ; ; = ,所以求关于 x 的二次函数的

故选:B. 点评: 考查向量的坐标,椭圆的焦点,椭圆的标准方程,向量数量积的坐标运算,二次函 数的最值求法. 10. (5 分) 设 k= () A.﹣1 (sinx﹣cosx) dx, 若 (1﹣kx) =a0+a1x+a2x +…+a8x , 则 a1+a2+a3+…+a8=
8 2 8

B. 0

C. l

D.256

考点: 二项式系数的性质. 专题: 计算题;二项式定理.

分析: 利用微积分基本定理求出 k 的值,通过对二项式中的 x 赋值求出常数项, a0+a1+a2+a3+…+a8,即可得出结论. 解答: 解: = =2,

令 x=0 得,a0=1, 令 x=1 得,a0+a1+a2+a3+…+a8=1, ∴a1+a2+a3+…+a8=0. 故选:B. 点评: 求二项展开式的系数和问题常用的方法是通过观察给二项式中 x 的赋值即赋值求系 数和. 11. (5 分)已知正三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的侧棱长与底面边长相等,则 AB1 与侧面 ACC1A1 所成角的正弦等于() A. B. C. D.

考点: 空间中直线与平面之间的位置关系. 专题: 计算题;压轴题. 分析: 根据正三棱柱及线面角的定义知,取 A1C1 的中点 D1,∠B1AD1 是所求的角,再由 已知求出正弦值. 解答: 解:取 A1C1 的中点 D1,连接 B1D1,AD1, 在正三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,B1D1⊥面 ACC1A1, 则∠B1AD1 是 AB1 与侧面 ACC1A1 所成的角, ∵正三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的侧棱长与底面边长相等, ∴ ,

故选 A. 点评: 本题主要考查了线面角问题,求线面角关键由题意过线上一点作出面的垂线,再求 线面角的正弦值,是基础题. 12. (5 分)设函数 f(x)=x +x,x∈R.若当 0<θ< 恒成立,则实数 m 的取值范围是() A.(﹣∞,1] B.[1,+∞) C.( ,1) D.( ,1]
3

时,不等式 f(msinθ)+f(1﹣m)>0

考点: 其他不等式的解法. 专题: 计算题;不等式的解法及应用. 3 分析: 利用奇函数 f(x)=x +x 单调递增的性质,可将不等式 f(msinθ)+f(1﹣m)>0 恒 成立,转化为 msinθ>m﹣1 恒成立,由 0<θ<
3

,可求得实数 m 的取值范围.

解答: 解:∵f(x)=x +x, 3 3 ∴f(﹣x)=(﹣x) +(﹣x)=﹣x ﹣x=﹣f(x) ,

∴函数 f(x)=x +x 为奇函数; 2 又 f′(x)=3x +1>0, 3 ∴函数 f(x)=x +x 为 R 上的单调递增函数. ∴f(msinθ)+f(1﹣m)>0 恒成立?f(msinθ)>﹣f(1﹣m)=f(m﹣1)恒成立, ∴msinθ>m﹣1(0<θ< 由 0<θ< 由 m< )恒成立?m(1﹣sinθ)<1 恒成立, >1

3

知,0<sinθ<1,0<1﹣sinθ<1, 恒成立知:m≤1.

∴实数 m 的取值范围是(﹣∞,1]. 故选 A. 点评: 本题考查函数的奇偶性与单调性,突出考查转化思想与恒成立问题,属于中档题. 二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 0.7 6 0.7 13. (5 分)阅读程序框图(如图所示) ,若输入 a=6 ,b=0.7 ,c=log0.76,则输出的数是 6 .

考点: 专题: 分析: 解答:

程序框图. 探究型. 通过程序框图,了解程序的功能,然后比较大小即可. 解:程序框图的功能是:输出 a,b,c 中最大的数,
0.7

∵a>1,0<b<1,c<0,∴输出的数为 6 . 0.7 故答案为:6 . 点评: 本题主要考查程序框图的识别与应用,利用程序的功能是解决本题的关键. 14. (5 分)已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,a5=5,S5=15,则数列 和为 . 的前 100 项

考点: 数列的求和. 专题: 计算题;等差数列与等比数列. 分析: 等差数列{an}中, 由 a5=5, S5=15, 解得 a1=1, d=1, 故 由此利用裂项求和法能够求了数列 解答: 解:等差数列{an}中, ∵a5=5,S5=15, ∴ , 的前 100 项和. = = ,

解得 a1=1,d=1, ∴an=1+(n﹣1)=n, ∴ ∴数列 =1﹣ = . . = = , )+( )+…+( )

的前 100 项和 S100=(1﹣ )+(

故答案为:

点评: 本题考查数列的前 100 项和的求法,解题时要认真审题,仔细解答,注意等差数列 的通项公式和前 n 项和公式的求法,注意裂项求和法的合理运用. 15. (5 分)设△ ABC 的内角 A,B,C 所对边的长分别为 a,b,c,若 b+c=2a,3sinA=5sinB, 则角 C= .

考点: 专题: 分析: 解答: ∴a=

余弦定理;正弦定理. 解三角形. 由 3sinA=5sinB,根据正弦定理,可得 3a=5b,再利用余弦定理,即可求得 C. 解:∵3sinA=5sinB,∴由正弦定理,可得 3a=5b,

∵b+c=2a, ∴c=

∴cosC= ∵C∈(0,π) ∴C=

=﹣

故答案为: 点评: 本题考查正弦、余弦定理的运用,考查学生的计算能力,属于基础题.

16. (5 分)已知椭圆

的离心率

,A、B 是椭圆的左、右顶点,

P 是椭圆上不同于 A、B 的一点,直线 PA、PB 斜倾角分别为 α、β,则

= .

考点: 直线与圆锥曲线的关系. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 利用斜率公式,表示出 根据和差的余弦公式,即可求得结论. 解答: 解:由题意,A(﹣a,0) ,B(a,0) ,设 P(x,y) ,则 , , ,利用离心率化简椭圆方程,再



=

∵椭圆

的离心率



∴ ∴a =4b ∴
2 2





=﹣





=

=

=

=

故答案为:

点评: 本题考查斜率公式的运用,考查椭圆的几何性质,考查和差的余弦公式,考查学生 的计算能力,属于中档题. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应给出文字说明、证明过程及演算步骤. 17. (10 分)在△ ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a,b,c,已知向量 =(cos =(cos ,sin ) ,且满足| + |= . ,sin ) ,

(1)求角 A 的大小; (2)若 b+c= a,试判断△ ABC 的形状. 考点: 三角形的形状判断;三角函数的恒等变换及化简求值. 专题: 综合题. 分析: (1)根据所给的向量的坐标和向量模的条件,得到关于角 A 的三角函数关系,本题 要求角 A 的大小,利用整理出来的三角函数值和角是三角形的内角,得到结果. (2)本题是一个解三角形问题,应用上一问给出的结果,和 .根据正弦定理把边 之间的关系变化为角之间的关系,逆用两角和的正弦公式,得到结果. 解答: 解: (1)∵ ,∴ =2+2cosA=3,∴ ,∴

(2)∵ ﹣5bc+2c =0,∴
2

,∴

,∴

,∴2b

2

当 b=2c 时,a +c =3c +c =4c =b ,△ ABC 是以∠C 为直角的直角三角形 当 b= 时,a +b =c ,△ ABC 是以∠B 为直角的直角三角形 终上所述:△ ABC 是直角三角形 点评: 本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用.考查了学生分析问题和灵活运用所学 知识的能力. 18. (12 分)在数列{an}中,a1=3,an=2an﹣1+n﹣2(n≥2,且 n∈N ) (1)求 a2,a3 的值; (2)证明:数列{an+n}是等比数列,并求{an}的通项公式; (3)求数列{an}的前 n 项和 Sn. 考点: 数列递推式;数列的求和. 专题: 综合题. 分析: (1)由题设条件,分别取 n=2,3,能够得到 a2,a3 的值; (2)由 为 a1+1=4,公比为 2 的等比数列.由此能求出{an}的通项公式; ,知数列 an+n 是首项
* 2 2 2

2

2

2

2

2

2

(3)由 an 的通项公式为 an=2 ﹣n(n∈N ) ,知 Sn=(2 +2 +2 +…+2 从而得到数列{an}的前 n 项和 Sn. + 解答: (1)解:∵a1=3,an=2an﹣1+n﹣2(n≥2,且 n∈N ) ∴a2=2a1+2﹣2=6(2 分) a3=2a2+3﹣2=13(4 分)

n+1

+

2

3

4

n+1

)﹣(1+2+3+…+n) ,

(2)证明:∵ ∴数列 an+n 是首项为 a1+1=4, 公比为 2 的等比数列. (7 分) ∴an+n=4? 2 =2 , n+1 即 an=2 ﹣n n+1 + ∴an 的通项公式为 an=2 ﹣n(n∈N ) (9 分) (3)解:∵an 的通项公式为 an=2 ﹣n(n∈N ) 2 3 4 n+1 ∴Sn=(2 +2 +2 +…+2 )﹣(1+2+3+…+n) (11 分) = (13 分)
n+1 + n﹣1 n+1

点评: 本题考查数更的性质和应用,解题时要认真审题,注意公式的灵活运用. 19. (12 分)如图,三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,BC⊥侧面 AA1C1C,AC=BC=1,CC1=2, ,D、E 分别为 AA1、A1C 的中点. (Ⅰ)求证:A1C⊥平面 ABC; (Ⅱ)求平面 BDE 与平面 ABC 所成锐二面角的余弦值.

考点: 直线与平面垂直的判定;用空间向量求平面间的夹角. 专题: 数形结合. 分析: (Ⅰ)由线面垂直的性质可得 BC⊥A1C,由勾股定理可得 AC⊥A1C,从而证得 A1C⊥平面 ABC. (Ⅱ) 如图, 建立空间直角坐标系, 求出两个平面的法向量的坐标, 求出法向量夹角的余弦值, 再把余弦值取绝对值,即得平面 BDE 与 ABC 所成锐二面角的余弦值. 解答: 解: (Ⅰ)证明:∵BC⊥侧面 AA1C1C,A1C?面 AA1C1C,∴BC⊥A1C.

在△ AA1C 中, 由余弦定理得 所以
2 2 2

, ,

.故有 AC +A1C =AA1 ,所以,AC⊥A1C,而 AC∩BC=C,∴A1C⊥平面 ABC.

(Ⅱ)如图,以 C 为空间坐标系的原点,分别以 CA,CA1,CB 所在直线为 x,y,z 轴建立 空间直角坐标系, 则 由此可得: . , ,

设平面 BDE 的法向量为

,则有

,得



令 z=1, 则 x=0, ∴

, ∴

是平面 BDE 的一个法向量, ∵A1C⊥平面 ABC,

是平面 ABC 的一个法向量,





所以,平面 BDE 与 ABC 所成锐二面角的余弦值为



点评: 本题考查证明线线垂直、线面垂直的方法,求二面角的平面角的大小,求出二面角 的两个面的法向量的坐标是解题 的关键和难点.

20. (12 分)如图,已知圆 G:x +y ﹣2x﹣

2

2

y=0,经过椭圆

+

=1(a>b>0)的右焦点

F 及上顶点 B,过圆外一点(m,0) (m>a)倾斜角为

的直线 l 交椭圆于 C,D 两点,

(Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)若右焦点 F 在以线段 CD 为直径的圆 E 的外部,求 m 的取值范围.

考点: 直线与圆锥曲线的综合问题. 专题: 圆锥曲线中的最值与范围问题. 分析: (Ⅰ)由已知条件得 F(2,0) ,B(0,

) ,由此能求出椭圆的方程.

(Ⅱ)法一:设直线 l 的方程为

.由



得 2x ﹣2mx+(m ﹣6)=0.由此利用韦达定理结合向量知识能求出

2

2



(Ⅱ)法二:设直线 l 的方程为

.由



2x ﹣2mx+(m ﹣6)=0,由此利用韦达定理结合圆的知识能求出 解答: (本题满分 14 分) 解: (Ⅰ)∵圆 G: ∴F(2,0) ,B(0, 2 ∴a =4+2=6. 故椭圆的方程为 ) ,∴c=2, 经过点 F、B. . (2 分)

2

2



. (4 分) .

(Ⅱ)解法一:设直线 l 的方程为



消去 y,得 2x ﹣2mx+(m ﹣6)=0.

2

2

设 C(x1,y1) ,D(x2,y2) ,则 x1+x2=m, ∴ ∵ ∴ 分) ∵点 F 在圆 G 的外部,∴
2 2

, (6 分)

. , = (x1﹣2) (x2﹣2) +y1y2= , = . (10

,即



解得 m<0 或 m>3.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(12 分) 由△ =4m ﹣8(m ﹣6)>0,解得 又 , . ∴ . (14 分) (Ⅱ)解法二:设直线 l 的方程为 .





消去 y,得 2x ﹣2mx+(m ﹣6)=0.

2

2

设 C(x1,y1) ,D(x2,y2) ,则 x1+x2=m, 则 CD 的中点为 又 所以圆 G 的半径长 又右焦点 F(2,0) ,∴ , , ,

, (6 分)



因点 F 在圆 G 的外部,∴ 整理得





解得 m<0 或 m>3. (12 分) 由△ =4m ﹣8(m ﹣6)>0,解得 . 又 , .∴ . (14 分) 点评: 本题考查椭圆方程的求法,考查实数的取值范围的求法,解题时要认真审题,注意 函数与方程思想的合理运用. 21. (12 分)某高校在 2014 年自主招生考试成绩中随机抽取 100 名学生的笔试成绩,按成绩 分组:第 1 组[75,80) ,第 2 组[80,85) ,第 3 组[85,90) ,第 4 组[90,95) ,第 5 组[95,100] 得到的频率分布直方图如图所示. (1)分别求第 3,4,5 组的频率; (2)若该校决定在笔试成绩较高的第 3,4,5 组中用分层抽样抽取 6 名学生进入第二轮面试, (ⅰ)已知学生甲和学生乙的成绩均在第三组,求学生甲和学生乙恰有一人进入第二轮面试 的概率; (ⅱ)学校决定在这已抽取到的 6 名学生中随机抽取 2 名学生接受考官 L 的面试,设第 4 组 中有 ξ 名学生被考官 L 面试,求 ξ 的分布列和数学期望.
2 2

考点: 离散型随机变量的期望与方差;频率分布直方图;列举法计算基本事件数及事件发 生的概率. 专题: 概率与统计. 分析: (1)由频率分布直方图能求出第 3,4,5 组的频率. (2) (i)设“学生甲和学生乙恰有一人进入第二轮面试”为事件 A,第三组应有 3 人进入面试, 由此能求出学生甲和学生乙恰有一人进入第二轮面试的概率. (ii)第四组应有 2 人进行面试,则随机变量 ξ 可能的取值为 0,1,2,分别求出相应的概率, 由此能求出 ξ 的分布列和数学期望. 解答: 解: (1)第三组的频率为 0.06×5=0.3, 第四组的频率为 0.04×5=0.2, 第五组的频率为 0.02×5=0.1. (2) (i)设“学生甲和学生乙恰有一人进入第二轮面试”为事件 A, 第三组应有 3 人进入面试,则: P(A)= = .

(ii)第四组应有 2 人进行面试,则随机变量 ξ 可能的取值为 0,1,2,

且 P(ξ=i)=

, (i=0,1,2) ,

则随机变量 ξ 的分布列为: ξ 0 P Eξ= + = .

1

2

点评: 本题考查概率的求法,考查离散型随机变量 ξ 的分布列和数学期望的求法, 解题时要 认真审题,注意频率分布直方图的合理运用. 22. (12 分)已知 f(x)=e (x +mx+1﹣2m) ,其中 m∈R. (Ⅰ)当 m=1 时,求函数 y=f(x)单调递增区间; (Ⅱ)求证:对任意 m∈R,函数 y=f(x)的图象在点(0,f(0) )处的切线恒过定点; (Ⅲ)是否存在实数 m 的值,使得 y=f(x)在(﹣∞,+∞)上有最大值或最小值,若存在, 求出实数 m 的取值范围;若不存在,请说明理由. 考点: 导数在最大值、最小值问题中的应用;利用导数研究函数的单调性;利用导数研究 曲线上某点切线方程. 专题: 综合题;导数的综合应用. 分析: (Ⅰ)当 m=1 时,求导函数,令导数大于 0,即可求函数 y=f(x)单调递增区间; (Ⅱ)解法 1:求导函数,可得函数 y=f(x)的图象在点(0,f(0) )处的切线方程,取两个 特殊点,即可得出结论;解法 2:切线方程(m﹣1)x+y+2m﹣1=0 可化为 m(x+2)﹣(x﹣ y+1)=0,可得结论; (Ⅲ)解法 1:求导函数,构造函数,分类讨论,分别研究判别式,可得要使 y=f(x)在(﹣ ∞,+∞)上有最大值或最小值,只需满足 f(x2)≤0 即 y1≤0 有解,即可求出实数 m 的取值范 围;解法 2:要使 y=f(x)在(﹣∞,+∞)上有最大值或最小值,只需满足 f(x2)≤0,建立 不等式,即可求出实数 m 的取值范围. x 2 x 2 解答: (Ⅰ)解:当 m=1 时,f(x)=e (x +x﹣1) ,f'(x)=e (x +3x) 令 f′(x)>0,得 x>0 或 x<﹣3 ∴函数 y=f(x)的单调递增区间为(﹣∞,﹣3) , (0,+∞)…(4 分) x 2 (Ⅱ)解法 1:f'(x)=e [x +(m+2)x+(1﹣m)]f(0)=1﹣m,f'(0)=1﹣2m 函数 y=f(x)的图象在点(0,f(0) )处的切线方程为 y﹣(1﹣2m)=(1﹣m) (x﹣0) 即(m﹣1)x+y+2m﹣1=0 令 m=0,则有 x﹣y+1=0…① 令 m=1,则有 y=﹣1…② 由①②,解得 经检验,点(﹣2,﹣1)满足直线的方程(m﹣1)x+y+2m﹣1=0 ∴函数 y=f(x)的图象在点(0,f(0) )处的切线方程(m﹣1)x+y+2m﹣1=0 经过定点(﹣2, ﹣1) .…(9 分) x 2 解法 2:f'(x)=e [x +(m+2)x+(1﹣m)]f(0)=1﹣m,f'(0)=1﹣2m
x 2

∴函数 y=f(x)的图象在点(0,f(0) )处的切线方程为 y﹣(1﹣2m)=(1﹣m) (x﹣0) 即(m﹣1)x+y+2m﹣1=0 方程(m﹣1)x+y+2m﹣1=0 可化为 m(x+2)﹣(x﹣y+1)=0 当 即 时,对任意 m∈R, (m﹣1)x+y+2m﹣1=0 恒成立

∴函数 y=f(x)的图象在点(0,f(0) )处的切线方程(m﹣1)x+y+2m﹣1=0 经过定点(﹣2, ﹣1) .…(9 分) x 2 (Ⅲ)解法 1:f'(x)=e [x +(m+2)x+(1﹣m)] 令 , , ①当△ 2≤0 即﹣8≤m≤0 时,y=x +(m+2)x+(1﹣m)≥0 x 2 ∴f'(x)=e [x +(m+2)x+(1﹣m)]≥0 ∴y=f(x)在(﹣∞,+∞)上单调递增 ∴y=f(x)在(﹣∞,+∞)上不存在最大值和最小值.…(11 分) ②当△ 2>0 即 m<﹣8 或 m>0 时,设方程 x +(m+2)x+(1﹣m)=0 的两根为 x1,x2f'(x) , f(x)随 x 的变化情况如下表: x (﹣∞,x1) x1 (x1,x2) x2 (x2,+∞) f'(x) + 0 ﹣ 0 + f(x) 递增 极大值 递减 极小值 递增 当 x→﹣∞时,f(x)>0,f(x)→0;当 x→+∞时,f(x)→+∞ ∴要使 y=f(x)在(﹣∞,+∞)上有最大值或最小值,只需满足 f(x2)≤0 即 y1≤0 有解 ∴ ,解得 或
2 2



综上可得, 或 …(14 分) x 2 解法 2:f'(x)=e [x +(m+2)x+(1﹣m)] 令 , , ①当△ 2≤0 即﹣8≤m≤0 时,y=x +(m+2)x+(1﹣m)≥0 x 2 ∴f'(x)=e [x +(m+2)x+(1﹣m)]≥0 ∴y=f(x)在(﹣∞,+∞)上单调递增 ∴y=f(x)在(﹣∞,+∞)上不存在最大值和最小值.…(11 分) 2 ②当△ 2>0 即 m<﹣8 或 m>0 时,设方程 x +(m+2)x+(1﹣m)=0 的两根为 x1, x2 下表: x f'(x) f(x) f'(x) ,f(x)随 x 的变化情况如
2



(﹣∞,x1) + 递增

x1 0 极大值

(x1,x2) ﹣ 递减

x2 0 极小值

(x2,+∞) + 递增

当 x→﹣∞时,f(x)>0,f(x)→0;当 x→+∞时,f(x)→+∞ ∴要使 y=f(x)在(﹣∞,+∞)上有最大值或最小值,只需满足 f(x2) ≤0

∴ 化简,得 m +8m﹣4≥0 解得 或 综上可得, 或 …(14 分) 点评: 本题考查导数知识的综合运用,考查函数的单调性,考查函数的最值,考查导数的 几何意义,考查分类讨论的数学思想,属于难题.
2


推荐相关:

广西桂林中学2015届高三上学期11月月考数学试卷(理科)

广西桂林中学2015届高三上学期11月月考数学试卷(理科)_高中教育_教育专区。广西桂林中学 2015 届高三上学期 11 月月考数学试卷(理科)一.选择题:本大题共 12 ...


广西桂林中学2015届高三上学期11月月考数学试卷(文科)

广西桂林中学 2015 届高三上学期 11 月月考数学试卷(文科)一、选择题: (本大题共 12 小题,每题 5 分,满分 60 分) 2 1.集合 P={x∈Z|0≤x<3},M...


广西桂林中学2015届高三上学期11月月考数学试卷(文科)

广西桂林中学 2015 届高三上学期 11 月月考数学试卷(文科)一、选择题: (本大题共 12 小题,每题 5 分,满分 60 分) 2 1.集合 P={x∈Z|0≤x<3},M...


广西桂林中学2015届高三上学期12月月考数学试卷(理科)

广西桂林中学2015届高三上学期12月月考数学试卷(理科)_数学_高中教育_教育专区...属于中档 题. 11. (5 分) 设△ ABC 的三边长分别为 a、 b、 c, △ ...


广西桂林中学2015届高三上学期8月月考数学试卷(理科)

广西桂林中学2015届高三上学期8月月考数学试卷(理科)_数学_高中教育_教育专区。广西桂林中学 2015 届高三上学期 8 月月考数学试卷(理科)一.选择题:本大题共 ...


广西桂林中学2015届高三上学期10月月考数学试卷(理科)

广西桂林中学2015届高三上学期10月月考数学试卷(理科)_数学_高中教育_教育专区。广西桂林中学 2015 届高三上学期 10 月月考数学试卷(理科)一.选择题:本大题共 ...


广西省桂林中学2015届高三11月月考数学(理)试题 Word版含答案

广西省桂林中学2015届高三11月月考数学(理)试题 Word版含答案_数学_高中教育_教育专区。桂林中学 2015 届高三年级数学 11 月月考试题(理科) 说明: 1.本试卷分...


广西桂林中学2014-2015学年高三上学期11月月考数学试卷(文科)

广西桂林中学2014-2015学年高三上学期11月月考数学试卷(文科)_数学_高中教育_教育专区。2014-2015 学年广西桂林中学高三(上)11 月月考数学试卷(文科)一、选择题...


广西桂林中学2016届高三上学期12月月考数学试卷(理科) Word版含解析

广西桂林中学2016届高三上学期12月月考数学试卷(理科) Word版含解析 2015-2016 学年广西桂林中学高三(上)12 月月考数学试卷 (理科)一、选择题:本题共 12 小...

网站首页 | 网站地图
All rights reserved Powered by 简单学习网 www.tceic.com
copyright ©right 2010-2021。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com