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2013届高三数学一轮复习讲义 平面向量的数量积及其应用教案 新人教A版


平面向量的数量积及其应用
自主梳理 1.向量数量积的定义 (1)向量数量积的定义: 已知两个非零向量 a 和 b,它们的夹角为 θ ,则数量___.|a||b|cos θ _____叫做 a 和

b 的数量积(或内积),记作__ a?b =|a||b|cos θ _____,其中向量的投影:︱ b ︱

?

>? ? ? ? a ?b cos ? = ? ∈R,称为向量 b 在 a 方向上的投影。投影的绝对值称为射影; |a|
注意 在两向量的夹角定义,两向量必须是同起点的,范围 0?≤?≤180?。

? ? 规定:零向量与任一向量的数量积为___ 0_____. 即 0 ? a ? 0
(2)平面向量数量积的几何意义

C

数量积 a?b 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 的方向上的投影____|b|cos θ _____的乘积. (3) 平面向量数量积的重要性质: ①如果 e 是单位向量,则 a?e=e?a=__ |a|cos θ ________; ②非零向量 a,b,a⊥b?____a?b=0____________; ③当 a 与 b 同向时,a?b=__|a||b|___; (两个非零向量 a 与 b 垂直的充要条件是__ a?b =0__) 当 a 与 b 反向时,a?b=__-|a||b|______,a?a=__ a ___=_|a| ___,|a|=___ a?a ____; (两个非零向量 a 与 b 平行的充要条件是__ a?b=±|a||b|___)
2 2

a?b ________; |a||b| ⑤|a?b|_≤___|a||b|.
④cos θ =__ 2.向量数量积的运算律 (1)交换律:a?b=__ b?a ______; (2)分配律:(a+b)?c=___________ a?c+b?c _____; (3)数乘向量结合律:(λ a)?b=__λ (a?b)______________. 3.向量数量积的坐标运算与度量公式 (1)两个向量的数量积等于它们对应坐标乘积的和,即若 a=(x1,y1),b=(x2,y2), 则 a?b= x1x2+y1y (2) 设两个非零向量 a,b,a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 a⊥b? x1x2+y1y2=0 . (3) 设两个非零向量 a,b,a=(x1,y1),b=(x2,y2),则
用心 爱心 专心 1

cos θ =_____

x1 x2 ? y1 y2 x12 ? y12 ? x22 ? y22
2

_____.

(4)若 a=(x,y),则|a| =

x2 ? y 2

或|a|=

x2+y2

.

→ (5)若 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,则 AB=______(x2-x1,y2-y1) ___, → 2 2 ( 所以|AB|=______ (x 2 - x1 ) + y 2 - y1 ) _____. 点评: 1.向量的数量积是一个实数 两个向量的数量积是一个数量,这个数量的大小与两个向量的长度及其夹角的余弦值有关, 在运用向量的数量积解题时,一定要注意两向量夹角的范围. 2.a?b=0 不能推出 a=0 或 b=0,因为 a?b=0 时,有可能 a⊥b. 3.一般地,(a?b)c≠(b?c)a 即乘法的结合律不成立.因 a?b 是一个数量,所以(a?b)c 表示一个与 c 共线的向量,同理右边(b?c)a 表示一个与 a 共线的向量,而 a 与 c 不一定共 线,故一般情况下(a?b)c≠(b?c)a. 4.a?b=a?c(a≠0)不能推出 b=c,即消去律不成立. → → 5.向量夹角的概念要领会,比如正三角形 ABC 中, AB,BC〉应为 120°,而不是 60°. 〈 自我检测 1.已知向量 a 和向量 b 的夹角为 135°, a|=2, |b|=3, | 则向量 a 和向量 b 的数量积 a?b =___-3 2 _____. ( ) D.16

→ → 2.在 Rt△ABC 中,∠C=90°,AC=4,则AB?AC等于 A.-16 B.-8 C.8

3.已知向量 a,b 满足 a?b=0,|a|=1,|b|=2,则|2a-b|= A.0 B.2 2 C.4 D.8 B

(

)

?2 ?? ? ? 2 ? ? ? ? ? 2a ? b ? (2a ? b)2 = 4a ? 4a ?b ? b = 8=2 2.

3 4.已知 a⊥b,|a|=2,|b|=3,且 3a+2b 与 λ a-b 垂直,则实数 λ 的值为___ _____. 2 5.已知 a=(2,3),b=(-4,7),则 a 在 b 方向上的投影为___ 65 ___. 5

6.设 a,b,c 是任意的非零向量,且相互不共线,则下列命题正确的有____②④____ ①(a?b)c-(c?a)b=0;②|a|-|b|<|a-b|; ③(b?c)a-(a?c)b 不与 c 垂直;④(3a+4b)?(3a-4b)=9|a| -16|b| .
2 2

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2

7.平面上有三个点 A(-2,y) ,B(0,

y → → ) ,C(x,y) A B⊥BC,则动点 C 的轨迹方程为 ,若 2

________________. y? → ? y? → ? → → → → 解析 由题意得AB=?2,- ?, BC=?x, ?,又AB⊥BC,∴AB?BC=0, 2? ? ? 2? 即?2,- ???x, ?=0,化简得 y =8x(x≠0). 2? ? 2? ?
2

?

y? ?

y?

→ 1→ 2→ → → 8.若等边△ABC 的边长为 2 3 ,平面内一点 M 满足CM= CB+ CA,则MA?MB=________. 6 3 解析 合理建立直角坐标系,因为三角形是正三角形,故设 C(0,0),A(2 3,0),B( 3, 1? → ? 3 1? → ? 3 5? → ? 3 → → 3), 这样利用向量关系式, MA=? ,- ?, =? ,- ?, =?- , ?, MA?MB 求得 MB MB 所以 2? 2? ?2 ?2 ? 2 2? =-2. 题型一 平面向量的数量积的运算 例 1 (1)已知 a,b 是平面内两个互相垂直的单位向量,若向量 c 满足(a-c)?(b-c)= 0,则|c|的最大值是________. 2 → → (2)如图,在△ABC 中,AD⊥AB,BC= 3 BD, → → → |AD|=1,则AC?AD等于 A.2 3 B. 3 2 C. ( 3 3 ) D. 3

→ → → → → → → → → → 解法 1 基底法: ∵BC= 3BD,∴AC=BC-BA= 3BD-BA= 3(AD-AB)+AB → → = 3→+(1- 3)AB. 又 AD⊥AB,|AD|=1. AD → → → → → ∴AC?AD= 3AD2+(1- 3)AB?AD= 3. 法 2 定义法设 BD=a,则 BC= 3a,作 CE⊥BA 交的延长线于 E,可知∠DAC=∠ACE, 在 Rt△ABD 与 Rt△BEC 中, Rt△ABD∽Rt△BEC 中, ∴cos∠DAC=cos∠ACE= 3 .

BD AD ? ,CE= 3, BC EC

AC

→ → → → ∴AD?AC=|AD|?|AC|cos∠DAC → → =|AD|?|AC| cos∠ACE= 3. 法 3 坐标法

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3

变式训练 1 (1)若向量 a 的方向是正南方向,向量 b 的方向是正东方向,且|a|=|b|=1, 则 (-3a)?(a+b)=___-3___.

(2)如下图,在△ ABC中, AB ? BC ? 3 , ?ABC ? 30? , AD 是边 BC 上的高,则 AD? AC 的值 等于 A.0 ( B.
9 4

) C.4 D. ?
9 4

【思路点拨】充分利用已知条件的 AB ? BC ? 3 , ?ABC ? 30? ,借助数量积的定义求出. 【答案】B【解析】因为 AB ? AC ? 3 , ?ABC ? 30? , AD 是边 BC 上的 高, AD ?
3 2

??? ???? ??? ???? ? ? ??? 2 9 ? AD ? AC ? AD ? AC cos ?CAD ? AD ? . 4

1 (3)设向量 a,b,c 满足|a|=|b|=1,a?b=- , 〈a-c,b-c〉=60°,则|c|的最大 2 值等于( A.2 ) B. 3 C. 2 D.1

1 【解析】 ∵a?b=- ,且|a|=|b|=1, 2
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4

a?b 1 ∴cos〈a,b〉= =- . |a|?|b| 2 ∴〈a,b〉=120°. 如图所示,将 a,b,c 的起点平移至同一点 O, → → 则 a-c=CA,b-c=CB,∠ACB=60°,于是四 点 A,O,B,C 共圆,即点 C 在△AOB 的外接圆上,故当 OC 为直径时,|c|取最大值.由余弦定理,得 AB= AB 2 2 OA +OB -2?OA?OB?cos〈a,b〉= 3,由正弦定理,得 2R= =2,即|c| sin 120° 的最大值为 2.

题型二 向量的夹角与向量的模 例 2 已知|a|=4,|b|=3,(2a-3b)?(2a+b)=61, → → (1)求 a 与 b 的夹角 θ ; (2)求|a+b|; (3)若AB=a,BC=b,求△ABC 的面积. 例 2 解 (1)∵(2a-3b)?(2a+b)=61,∴4|a| -4a?b-3|b| =61. 又|a|=4,|b|=3,∴64-4a?b-27=61,∴a?b=-6. ∴cos θ =
2 2

a?b -6 1 2π = =- .又 0≤θ ≤π ,∴θ = . |a||b| 4?3 2 3

(2)可先平方转化为向量的数量积. |a+b| =(a+b) =|a| +2a?b+|b| =4 +2?(-6)+3 =13, ∴|a+b|= 13. 2π 2π π → → (3)∵AB与BC的夹角 θ = ,∴∠ABC=π - = . 3 3 3 → → 又|AB|=|a|=4,|BC|=|b|=3, 1 → → 1 3 ∴S△ABC= |AB||BC|sin∠ABC= ?4?3? =3 3. 2 2 2
2 2 2 2 2 2

变式训练 2 (1)已知平面向量 α ,β ,|α |=1,β =(2,0),α ⊥(α -2β ),求|2α +β | 的值; (2)已知三个向量 a、b、c 两两所夹的角都为 120°,|a|=1,|b|=2,|c|=3,求向量 a +b+c 与向量 a 的夹角. 解 (1)∵β =(2,0),∴|β |=2,又 α ⊥(α -2β ),

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5

1 2 ∴α ?(α -2β )=α -2α ?β =1-2α ?β =0.∴α ?β = . 2 ∴(2α +β ) =4α +β +4α ?β =4+4+2=10. ∴|2α +β |= 10. (2)由已知得(a+b+c)?a=a +a?b+a?c 3 =1+2cos 120°+3cos 120°=- , 2 |a+b+c|= ?
2 2 2 2

a+b+c?

2

= a +b +c +2a?b+2a?c+2b?c

2

2

2

= 1+4+9+4cos 120°+6cos 120°+12cos 120°= 3. 设向量 a+b+c 与向量 a 的夹角为 θ , 3 - 2 ? a+b+c? ?a 3 则 cos θ = = =- ,即 θ =150°, |a+b+c||a| 2 3 故向量 a+b+c 与向量 a 的夹角为 150°. (3)已知 i,j 为互相垂直的单位向量,a=i-2j,b=i+λ j,且 a 与 b 的夹角为锐角,实 数 λ 的取值范围为________. π 解析 ∵〈a,b〉∈(0, ),∴a?b>0 且 a?b 不同向. 2 1 2 2 即|i| -2λ |j| >0,∴λ < . 2 1 当 a?b 同向时,由 a=kb(k>0)得 λ =-2.∴λ < 且 λ ≠-2. 2 (4)已知直角梯形 ABCD 中,AD∥BC,∠ADC=90°,AD=2,BC=1,P 是腰 DC 上的动点, → → 则|PA+3PB|的最小值为________ 解 以 D 为原点,分别以 DA、DC 所在直线为 x、y 轴建立如图所示的平面直角坐标系,设 DC=a,DP=y. ∴D(0,0),A(2,0),C(0,a),B(1,a),P(0,y), → → PA=(2,-y),PB=(1,a-y), → → ∴PA+3PB=(5,3a-4y), → → 2 2 |PA+3PB| =25+(3a-4y) , ∵点 P 是腰 DC 上的动点,∴0≤y≤a, 3 → → 2 因此当 y= a 时,|PA+3PB| 的最小值为 25, 4 → → ∴|PA+3PB|的最小值为 5.

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6

题型三 平面向量的垂直问题 例 3 已知 a=(cos α ,sin α ),b=(cos β ,sin β )(0<α <β <π ). (1)求证:a+b 与 a-b 互相垂直; (2)若 ka+b 与 a-kb 的模相等,求 β -α .(其中 k 为非零实数) (1)证明 ∵(a+b)?(a-b)=a -b =|a| -|b| =(cos α +sin α )-(cos β +sin β )=0, ∴a+b 与 a-b 互相垂直. (2)解 ka+b=(kcos α +cos β ,ksin α +sin β ),
2 2 2 2 2 2 2 2

a-kb=(cos α -kcos β ,sin α -ksin β ),
2 2 2 |ka+b|= ( k cos ? ? cos ? ) ? ( k s in? ? s in? ) = k ? 2k cos( ? ? ? ) ? 1 , 2 |a-kb|= 1 ? 2k cos( ? ? ? ) ? k .

∵|ka+b|=|a-kb|,∴2kcos(β -α )=-2kcos(β -α ). 又 k≠0,∴cos(β -α )=0. π 而 0<α <β <π ,∴0<β -α <π ,∴β -α = . 2 3? ?1 变式训练 3 (1) 已知平面向量 a=( 3,-1),b=? , ?. 2 2? ? ①证明:a⊥b; ② 若存在不同时为零的实数 k 和 t,使 c=a+(t -3)b,d=-ka+tb,且 c⊥d,试求函数 关系式 k=f(t). 1 3 ① 证明 ∵a?b= 3? -1? =0,∴a⊥b. 2 2 ②解 ∵c=a+(t -3)b,d=-ka+tb,且 c⊥d, ∴c?d=[a+(t -3)b]?(-ka+tb)=-ka +t(t -3)b +[t-k(t -3)]a?b=0, 又 a =|a| =4,b =|b| =1,a?b=0, ∴c?d=-4k+t -3t=0,∴k=f(t)=
3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

t3-3t
4

(t≠0).

(2) 已知 a=(cos α ,sin α ),b=(cos β ,sin β ),且 ka+b 的长度是 a-kb 的长 度的 3倍(k>0). ① 求证:a+b 与 a-b 垂直; ②用 k 表示 a?b; ③ 求 a?b 的最小值以及此时 a 与 b 的夹角 θ . 点拨: 1.非零向量 a⊥b?a?b=0?x1x2+y1y2=0. 2.当向量 a 与 b 是非坐标形式时,要把 a、b 用已知的不共线的向量表示.但要注意运算技 巧,有时把向量都用坐标表示,并不一定都能够简化运算,要因题而异.

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7

解 ①由题意得,|a|=|b|=1,∴(a+b)?(a-b)=a -b =0, ∴a+b 与 a-b 垂直. 2 2 2 2 2 ②|ka+b| =k a +2ka?b+b =k +2ka?b+1, 2 2 ( 3|a-kb|) =3(1+k )-6ka?b. 2 2 由条件知,k +2ka?b+1=3(1+k )-6ka?b, 2 1+k 从而有,a?b= (k>0). 4k 2 1+k 1 1 1 ③由(2)知 a?b= = (k+ )≥ , 4k 4 k 2 1 当 k= 时,等号成立,即 k=±1.

2

2

k

∵k>0,∴k=1.

a?b 1 π 此时 cos θ = = ,而 θ ∈[0,π ],∴θ = . |a||b| 2 3 1 π 故 a?b 的最小值为 ,此时 θ = . 2 3
(3)设向量 a=(4cos α ,sin α ),b=(sin β ,4cos β ),c=(cos β ,-4sin β ). ① 若 a 与 b-2c 垂直,求 tan(α +β )的值; ②求|b+c|的最大值; ③ 若 tan α tan β =16,求证:a∥b. ① 解 因为 a 与 b-2c 垂直, 所以 a?(b-2c)=4cos α sin β -8cos α cos β +4sin α cos β +8sin α sin β =4sin(α +β )-8cos(α +β )=0. 因此 tan(α +β )=2. ②解 由 b+c=(sin β +cos β ,4cos β -4sin β ),
2 2 得|b+c|= (sin ? ? cos ? ) ? (4cos ? ? 4sin ? )

= 17-15sin 2β ≤4 2. π 又当 β =- 时,等号成立,所以|b+c|的最大值为 4 2. 4 ③证明 由 tan α tan β =16 得 所以 a∥b. (4)如图 4-4-1 所示,在等腰直角三角形 ABC 中,∠ACB=90°,CA=CB,D 为 BC 的中 点,E 是 AB 上的一点,且 AE=2EB.求证:AD⊥CE. → → → 1→ → 2→ 解 AD?CE=(AC+ CB)?(CA+ AB) 2 3 → 2 1→ → 2→ → 1→ → =-|AC| + CB?CA+ AB?AC+ AB?CB 2 3 3 2 2 → 2 2 → 2 → 2 1 → → =-|AC| + |CB||CA|cos 90°+ |AC| cos 45°+ |AC| cos 45° 2 3 3 → 2 → 2 =-|AC| +|AC| =0, → → ∴AD⊥CE,即 AD⊥CE., (5) 在△ABC 中, AB =(2, 3), AC =(1, k),且△ABC 的一个内角为直角,

sin ? sin ? ? 16 即 16cos ? cos ? ? sin ? sin ? ? 0 cos ? cos ?

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8

求k值 解:当 A = 90?时, AB ? AC = 0,∴2?1 +3?k = 0 ∴k = ?

3 2

当 B = 90?时, AB ? BC = 0, BC = AC ? AB = (1?2, k?3) = (?1, k?3) ∴2?(?1) +3?(k?3) = 0 ∴k =

11 3
∴k =

当 C= 90?时, AC ? BC = 0,∴?1 + k(k?3) = 0

3 ? 13 2

题型四

向量的数量积在三角函数中的应用 3 3 ? ? 例 4 已知向量 a=?cos x,sin x?, 2 2 ? ? x x? ? ? π π? b=?cos ,-sin ?,且 x∈?- , ?. 2 2? ? ? 3 4? (1)求 a?b 及|a+b|; (2)若 f(x)=a?b-|a+b|,求 f(x)的最大值和最小值. 3 x 3 x 解 (1)a?b=cos xcos -sin xsin =cos 2x, 2 2 2 2 |a+b|=

?cos 3x+cos ? 2 ?

x?2 ? 3 x? ? +?sin x-sin ?2
2?

?

2

2?

= 2+2cos 2x=2|cos x|, ? π π? ∵x∈?- , ?,∴cos x>0, ? 3 4? ∴|a+b|=2cos x. 2 (2)f(x)=cos 2x-2cos x=2cos x-2cos x-1 1?2 3 ? =2?cos x- ? - . 2? 2 ? π π? 1 ? ∵x∈?- , ?,∴ ≤cos x≤1, 2 ? 3 4? 1 3 ∴当 cos x= 时,f(x)取得最小值- ; 2 2 当 cos x=1 时,f(x)取得最大值-1. 变式迁移 4 (1)已知△ABC 的面积 S,

1→ → 3 AB?AC=3S,且 cos B= ,求 cos C. 5 2

解 由题意,设△ABC 的角 B、C 的对边分别为 b、c, 1 则 S= bcsin A 2

3 1→ → 1 AB?AC= bccos A=3S= bcsin A >0, 2 2 2
? π? ∴A∈?0, ?,cos A=3sin A. 2? ? 2 2 又 sin A+cos A=1, 10 3 10 ∴sin A= ,cos A= . 10 10
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9

3 4 由题意 cos B= ,得 sin B= . 5 5 ∴cos(A+B)=cos Acos B-sin Asin B= ∴cos C=cos[π -(A+B)]=- 10 . 10 10 . 10

(2) .已知△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,G 是△ABC 的重 心,且 56sin A? GA +40sin B? GB +35sin C? GC =0. (1)求角 B 的大小; (2)设 m=(sin A,cos 2A),n=(4k,1)(k>1),m?n 的最大值为 5,求实数 k 的值. 解:(1)由 G 是△ABC 的重心,得 GA + GB + GC =0, ∴ GC = -(GA + GB) ,由正弦定理,可将已知等式转化为

56 a? GA + 40b ? GB+35c ? (-GA - GB) = 0

??? ? ??? ??? ? ? ??? ? ??? ?

??? ??? ? ?

?

整理,得(56a-35c)? GA +(40b-35c)? GB =0.

??? ?

??? ?

??? ??? ? ? ?56a-35c=0, ? ∵ GA , GB 不共线,∴? ? ?40b-35c=0.
得 a∶b∶c=5∶7∶8. 不妨设 a=5,b=7,c=8,由余弦定理, 得 cos B=

由此,

a2+c2-b2 52+82-72 1 = = . 2ac 2?5?8 2

π ∵0<B<π ,∴B= . 3 (2)m?n=4ksin A+cos 2A=-2sin A+4ksin A+1, π 2 ? 2π ? 由(1)得 B= ,所以 A+C= π ,故得 A∈?0, ?. 3 ? 3 3 ? 设 sin A=t∈(0,1],则 m?n=-2t +4kt+1,t∈(0,1]. 令 f(t)=-2t +4kt+1,则可知当 t∈(0,1],且 k>1 时,f(t)在(0,1]上为增函数,所 以,当
2 2 2

t=1 时,m?n 取得最大值 5.于是有:-2+4k+1=5,解得 k= ,符合题意,所以,k= .

3 2

3 2

(3)已知等边三角形 ABC 的边长为 2,⊙A 的半径为 1,PQ 为⊙A 的任意一条直径,

①判断 BP ?CQ ? AP ?CB 的值是否会随点 P 的变化而变化,请说明理由;

???? ??? ???? ??? ? ? ? ?

②求 BP ? CQ 的最大值。

??? ??? ? ?

用心 爱心 专心

10

1.一些常见的错误结论: 2 2 (1)若|a|=|b|,则 a=b;(2)若 a =b ,则 a=b;(3)若 a∥b,b∥c,则 a∥c;(4)若 a?b =0,则 a=0 或 b=0;(5)|a?b|=|a|?|b|;(6)(a?b)c=a(b?c);(7)若 a?b=a?c, 则 b=c.以上结论都是错误的,应用时要注意. 2.平面向量的坐标表示与向量表示的比较: 已知 a=(x1,y1),b=(x2,y2),θ 是向量 a 与 b 的夹角. 向量表示 坐标表示 2 2 2 向量 a 的模 |a|= a?a= a |a|= x1+y1 a 与 b 的数量积 a?b=|a||b|cos θ a?b=x1x2+y1y2 a 与 b 共线的充要条件 A∥b(b≠0)?a=λ b a∥b?x1y2-x2y1=0 非零向量 a, 垂直的充要条件 b a⊥b?a?b=0 a⊥b?x1x2+y1y2=0 x1x2+y1y2 a?b cos θ = 2 2 向量 a 与 b 的夹角 cos θ = |a||b| x1+y1 x2+y2 2 2 3.证明直线平行、垂直、线段相等等问题的基本方法有: →2 →2 → → (1)要证 AB=CD,可转化证明AB =CD 或|AB|=|CD|. → → (2)要证两线段 AB∥CD,只要证存在唯一实数 ? ≠0,使等式AB=λ CD成立即可. → → (3)要证两线段 AB⊥CD,只需证AB?CD=0.

平面向量的数量积及其应用练习一 一、选择题 1.若向量 a=(3,m),b=(2,-1),a?b=0,则实数 m 的值为 ( ) 3 3 A.- B. C.2 D.6 2 2 1.D [因为 a?b=6-m=0,所以 m=6.] 2.已知非零向量 a,b,若|a|=|b|=1,且 a⊥b,又知(2a+3b)⊥(ka-4b),则实数 k 的 值 为 ( ) A.-6 B.-3 C.3 D.6 2.D [由(2a+3b)?(ka-4b)=0 得 2k-12=0,∴k=6.] 15 → → 3.已知△ABC 中,AB=a,AC=b,a?b<0,S△ABC= ,|a|=3,|b|=5,则∠BAC 等于 ( ) 4 A.30° B.-150° C.150° D.30°或 150° 1 15 3.C [∵S△ABC= |a||b|sin∠BAC= , 2 4 1 ∴sin∠BAC= .又 a?b<0, 2 ∴∠BAC 为钝角.∴∠BAC=150°.]
用心 爱心 专心 11

4.若非零向量 a,b 满足|a|=|b|,(2a+b)?b=0,则 a 与 b 的夹角为 A.30° B.60° C.120° D.150° 2 4.C [由(2a+b)?b=0,得 2a?b=-|b| . 1 2 - |b| 2 a?b 1 cos〈a,b〉= = 2 =- . |a||b| |b| 2 ∵〈a,b〉∈[0°,180°],∴〈a,b〉=120°.] 1 5.设向量 a,b 满足|a|=|b|=1,a?b=- ,则|a+2b|等于 ( 2 A. 2 B. 3 C. 5 D. 7

(

)

)

6.已知向量 a=(1,2),b=(2,-3).若向量 c 满足(c+a)∥b,c⊥(a+b),则 c 等于(

)

?7 7? A.? , ? ?9 3?

7? ? 7 B.?- ,- ? 3 9? ?

?7 7? C.? , ? ?3 9?

7? ? 7 D.?- ,- ? 9 3? ? ( )

→ → 7.在△ABC 中,AB=3,AC=2,BC= 10,则AB?AC等于 3 A.- 2 2 B.- 3 2 C. 3 D. 3 2

8.若 a, , 均为单位向量, a?b=0, a-c)?(b-c)≤0, a+b-c|的最大值为( b c 且 ( 则| A. 2-1 B.1 C. 2 D.2

)

9.已知|a|=6,|b|=3,a?b=-12,则向量 a 在向量 b 方向上的投影是 ( A.-4 ) B.4 C.-2 D.2

10.已知 a、b、c 是同一平面内的三个单位向量,它们两两之间的夹角均为 120°,且|ka+

b+c|>1,则实数 k 的取值范围是
A.(-∞,0) C.(-∞,0)∪(2,+∞) 二、填空题 11.设 a=(cos 2α ,sin α ),b=(1,2sin α -1),α ∈? α =________. B.(2,+∞) D.(0,2)

(

)

?π ,π ?,若 a?b=2,则 sin ? 5 ?2 ?

2 2 解析 ∵a?b=cos 2α +2sin α -sin α = , 5 2 3 2 2 ∴1-2sin α +2sin α -sin α = ,∴sin α = 5 5 12.若|a|=1,|b|=2,c=a+b,且 c⊥a,则向量 a 与 b 的夹角为________. 解析 设 a 与 b 的夹角为 θ ,∵c=a+b,c⊥a, 2 ∴c?a=0,即(a+b)?a=0.∴a +a?b=0. 又|a|=1,|b|=2,∴1+2cos θ =0. 1 ∴cos θ =- ,θ ∈[0°,180°]即 θ =120°. 2 3π 13.已知向量 m =(1,1),向量 n 与向量 m 夹角为 ,且 m?n =-1,则向量 n = 4 __________________.
用心 爱心 专心 12

解析 设 n=(x,y),由 m?n=-1,有 x+y=-1.① 3π 3π 由 m 与 n 夹角为 ,有 m?n=|m|?|n|cos , 4 4 ∴|n|=1,则 x +y =1.②由①②解得? ∴n=(-1,0)或 n=(0,-1). π 14.已知两个单位向量 e1, 2 的夹角为 , e 若向量 b1=e1-2e2, 2=3e1+4e2, b1?b2=____ b 则 3 -6____. 三、解答题 15.设两向量 e1、e2 满足|e1|=2,|e2|=1,e1、e2 的夹角为 60°,若向量 2te1+7e2 与向量
2 2

?x=-1 ? ? ?y=0

或?

?x=0 ? ? ?y=-1



e1+te2 的夹角为钝角,求实数 t 的取值范围.
解 e1=4,e2=1, e1?e2=2?1?cos 60°=1, ∴(2te1+7e2)?(e1+te2)=2te1+(2t +7)e1?e2+7te2=2t +15t+7. 1 2 ∵向量 2te1+7e2 与向量 e1+te2 的夹角为钝角,∴2t +15t+7<0.∴-7<t<- . 2 假设 2te1+7e2=λ (e1+te2) (λ <0)? ? 14 ,λ =- 14. 2
? ?2t=λ ? ?7=tλ
2 2 2 2 2 2

? 2t =7? t=- ∴当 t=-

2

14 时,2te1+7e2 与 e1+te2 的夹角为 π ,不符合题意. 2

∴t 的取值范围是?-7,-

? ?

14? ? 14 1? ?∪?- ,- ?. 2 ? ? 2 2?

16.在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 A(-1,-2),B(2,3),C(-2,-1). (1)求以线段 AB、AC 为邻边的平行四边形的两条对角线的长; → → → (2)设实数 t 满足(AB-tOC)?OC=0,求 t 的值. → → → → → → 解 (1)由题设知AB=(3,5),AC=(-1,1),则AB+AC=(2,6),AB-AC=(4,4). → → → → 所以|AB+AC|=2 10,|AB-AC|=4 2. 故所求的两条对角线长分别为 4 2,2 10. → → → (2)由题设知OC=(-2,-1), AB-tOC=(3+2t,5+t). → → → 由(AB-tOC)?OC=0,得(3+2t,5+t)?(-2,-1)=0, 从而 5t=-11,所以 t=- 11 . 5

→ → → → → 17.已知OA=(2,5),OB=(3,1),OC=(6,3),在线段 OC 上是否存在点 M,使MA⊥MB,若存
用心 爱心 专心 13

在,求出点 M 的坐标;若不存在,请说明理由. → → 解 设存在点 M,且OM=λ OC=(6λ ,3λ ) (0≤λ ≤1), → → MA=(2-6λ ,5-3λ ),MB=(3-6λ ,1-3λ ).∴(2-6λ )(3-6λ )+(5-3λ )(1-3λ ) =0, 1 11 ?22 11? 2 即 45λ -48λ +11=0,解得 λ = 或 λ = ∴M 点坐标为(2,1)或? , ?. 3 15 ?5 5? 22 11 → → 故在线段 OC 上存在点 M,使MA⊥MB,且点 M 的坐标为(2,1)或( , ). 5 5

平面向量的数量积及其应用练习二 一、选择题 1.设 x , y ? R,向量 a ? ?x,1?, b ? ?1, y ?, c ? ?2,?4? ,且 a ? c, b // c ,则 a ? b ? ( ) _______ A. 5 B. 10 C. 2 5 D.10

【 解 析 】 由 a ? c ? a ? c ? 0 ? 2 x ? 4 ? 0 ? x ? 2 , 由 b / / c ? ?4 ? 2 y ? y ? ?2 , 故

?

?

? ?

?

?

? ? | a ? b |? (2 ? 1) 2 ? (1 ? 2) 2 ? 10 .
2、 定义: a ? b = a ? b ? sin? , 其中 ? 为向量 a 与 b 的夹角, a ? 2 , b ? 5 ,a ? b ? ?6 , 若 则 a ? b 等于( A. ? 8 B. 8

? ?

? ?

?

?

?

?

? ?

? ?

) C. ? 8 或 8 D. 6

s n 【 解 析 】 由 a ? 2 , b ? 5 , a ? b ? ?6 , 得 c o ? ? ? , s i ? ?
? ? a ? b= ? a? ? 4 b? ? n 2 ? 5 ? ? 8 s i = 5

?

?

? ?

3 5

4 , 所 以 5

3.若向量 a 与 b 不共线,a?b≠0,且 c=a-? 解析:由于 a?c=a??a-
2

?a?a?b,则向量 a 与 c 的夹角为________. ? ?a?b?

? ?

a?a ? a?a b?=a?a- a?b, a?b ? a?b
2

又 a?b≠0,∴a?c=|a| -|a| =0,所以 a⊥c. 答案:90° 4.如图,非零向量 OA ? a, OB ? b且BC ? OA, C为垂足 若OC ? ? a, 则? ? , A. ( )

a ?b |a|
2

B.

a ?b | a || b |

C.

a ?b |b|
2

D.

| a || b | a ?b

??? ? ??? ? ???? ??? ? 5.在 ?OAB 中, OA ? a , OB ? b , OD 是 AB 边上的高,若 AD ? ? AB ,则实数 ? 等
用心 爱心 专心 14

于(


a ?b
2

A. a ? (b ? a)

B. a ? (a ? b) 2 a ?b

C. a ? (b ? a) a ?b

D. a ? (a ? b) a ?b

6.已知 | a |? 2 | b |? 0 ,且关于 x 的方程 x2 ? | a | x ? a ? b ? 0 有实根,则 a 与 b 的夹角的取值 范围是

?

?

?

? ?

?

?

? ,? ] 3 3 6 ? ? ? 解:| a |? 2 | b |? 0, 且关于 x 的方程 x 2 ? | a | x ? a ? b ? 0 有实根,则 | a |2 ?4a ? b ≥0 ,设
A. [0,

? ] 6

B. [

? ,? ] 3

C. [

? 2?
,

]

D. [

向量

1 ? 2 ? ? |a| ? ? ? 1 a ?b 4 a, b 的夹角为 θ ,cosθ = ? ? ≤ ? ? ,∴θ ∈ [ , ? ] ,选 B. 3 | a | ? | b | 1 | a |2 2 2
7.设非零向量 a 、 b 、 c 满足 | a |?| b |?| c |,a ? b ? c ,则 ? a, b ?? ( A.150° B.120° C.60° D.30° ( ) )

8、(2012 湖南理)在△ABC 中,AB=2,AC=3, AB?BC = 1 则 BC ? ___ . A. 3 B. 7 C. 2 2 D. 23

??? ??? ? ?

【解析】由下图知 AB?BC = AB BC cos(? ? B) ? 2 ? BC ? (? cos B) ? 1 .

??? ??? ? ?

??? ??? ? ?

??? ?

? cos B ?

1 .又由余弦定理知 ?2 BC

cos B ?

AB 2 ? BC 2 ? AC 2 ,解得 BC ? 3 . 2 AB ? BC

9. 在平面直角坐标系中, O(0,0), P(6,8) ,将向量 OP 按逆时 针旋转

??? ?

???? 3? 后,得向量 OQ ,则点 Q 的坐标是( 4
B. (?7 2, 2)

) D. (?4 6, 2)

A. (?7 2, ? 2) 二、填空题

C. (?4 6, ?2)

10.若平面向量 α ,β 满足|α |=1,|β |≤1,且以向量 α ,β 为邻边的平行四边形的面 1 ?π 5π ? 积为 ,则 α 与 β 的夹角 θ 的取值范围是__? , ?______. 6 ? 2 ?6 11.已知向量 a,b,c 满足 a+b+c=0,(a-b)⊥c,a⊥b,若|a|=1,则|a| +|b| +|c|
用心 爱心 专心
2 2 2

15

的值是_____4 ___. 12.已知在平面直角坐标系中,O(0,0),M(1,1),N(0,1),Q(2,3),动点 P(x,y)满足不等 → → → → → → 式 0≤OP?OM≤1,0≤OP?ON≤1,则 z=OQ?OP的最大值为__3______. 三、解答题 3? ? 1 13.设平面上有两个向量 a=(cos α ,sin α ) (0°≤α <360°),b=?- , ?. ? 2 2? (1)求证:向量 a+b 与 a-b 垂直; (2)当向量 3a+b 与 a- 3b 的模相等时,求 α 的大小. 证明 ∵(a+b)?(a-b)=a -b =|a| -|b|
2 2 2 2

?1 3? 2 2 =(cos α +sin α )-? + ?=0,故 a+b 与 a-b 垂直. ?4 4?
(2)解 由| 3a+b|=|a- 3b|,两边平方得 3|a| +2 3a?b+|b| =|a| -2 3a?b+3|b| ,所以 2(|a| -|b| )+4 3a?b=0, 3 ? 1? 而|a|=|b|,所以 a?b=0,则?- ??cos α + ?sin α =0, 2 ? 2? 即 cos(α +60°)=0,∴α +60°=k?180°+90°, 即 α =k?180°+30°,k∈Z, 又 0°≤α <360°,则 α =30°或 α =210°.
2 2 2 2 2 2

?π ? ?π ? 14.已知向量 a=(cos(-θ ),sin(-θ )),b=(cos? -θ ?,sin? -θ ?). 2 2 ? ? ? ? (1)求证:a⊥b; 2 (2)若存在不等于 0 的实数 k 和 t,使 x=a+(t +3)b,y=-ka+tb,满足 x⊥y,试求此时 2 k+t 的最小值.
t

?π ? ?π ? (1)证明 ∵a?b=cos(-θ )?cos? -θ ?+sin(-θ )?sin? -θ ? ?2 ? ?2 ? =sin θ cos θ -sin θ cos θ =0.∴a⊥b. 2 (2)解 由 x⊥y 得,x?y=0,即[a+(t +3)b]?(-ka+tb)=0, 2 3 2 2 2 3 2 ∴-ka +(t +3t)b +[t-k(t +3)]a?b=0,∴-k|a| +(t +3t)|b| =0. 2 2 3 3 又|a| =1,|b| =1,∴-k+t +3t=0,∴k=t +3t. 2 3 2 k+t t +t +3t 2 1 k+t2 11 ? 1?2 11 ∴ = =t +t+3=?t+ ? + .故当 t=- 时, 有最小值 . t t 2 t 4 ? 2? 4 ? ? π? ? 15.已知 a=(1,2sin x),b=?2cos?x+ ?,1?,函数 f(x)=a?b (x∈R). 6? ? ? ? (1)求函数 f(x)的单调递减区间; π? 8 ? (2)若 f(x)= ,求 cos?2x- ?的值. 3? 5 ? π π ? π? 解 (1)f(x)=a?b=2cos?x+ ?+2sin x=2cos xcos -2sin xsin +2sin x 6? 6 6 ? ? π? = 3cos x+sin x=2sin?x+ ?. 3? ?
用心 爱心 专心 16

π π 3π π 7π 由 +2kπ ≤x+ ≤ +2kπ ,k∈Z,得 +2kπ ≤x≤ +2kπ ,k∈Z. 2 3 2 6 6 π 7π ? ? 所以 f(x)的单调递减区间是? +2kπ , +2kπ ? (k∈Z). 6 ?6 ? π? π? 8 ? ? (2)由(1)知 f(x)=2sin?x+ ?.又因为 2sin?x+ ?= , 3? 3? 5 ? ? π? 4 π? π ? ? ? ? ? π? 4 所以 sin?x+ ?= ,即 sin?x+ ?=cos? -x?=cos?x- ?= . 3? 5 3? 6? 5 ? ? ?6 ? ? π? π? 7 ? 2? 所以 cos?2x- ?=2cos ?x- ?-1= . 3? 6? 25 ? ?

平面向量的数量积及其应用练习三 1.在直角 ?ABC 中, CD 是斜边 AB 上的高,则下列等式不成立的是( A. AC ? AC ? AB



??? 2 ?

??? ??? ? ?

B. AB ? AC ? CD

??? 2 ?

???? ??? ?

??? 2 ??? ??? ? ? ? C. BC ? BA ? BC

???? ??? ? ??? ??? ? ? ??? 2 ( AC ? AB) ? ( BA ? BC ) ? D. CD ? ??? 2 ? AB
)

→ → 2.平面上 O,A,B 三点不共线,设OA=a,OB=b,则△OAB 的面积等于( A.

? 2 ? 2 ? ?? a b ? (a?b )2

B. 1 D. 2

? 2 ? 2 ? ?? a b ? ( a ?b ) 2
? 2 ? 2 ? ?? a b ? ( a ?b ) 2

C.

1 2

? 2 ? 2 ? ?? a b ? (a?b)2

【解析】 ∵cos〈a,b〉= ∴sin〈a,b〉= 1 → → 2
2

a?b , |a||b|
1-?

1-cos 〈a,b〉= → →
2

a?b ? |a||b|

2



|a| |b| -? a?b? |a||b|

2

2

2



S△OAB= |OA||OB|sin〈OA,OB〉= |a||b|sin〈a,b〉
1 2 2 = |a| |b| -? a?b? 2 .

1 2

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ? AB AC ??? AC BC 1 ? ? ? ? 3.已知非零向量 AB, AC 和 BC 满足 ( ??? ? ??? ) ? BC ? 0 ,且 ??? ? ??? ? ,则△ | AB | | AC | | AC | | BC | 2
ABC 为( ) A.等边三角形 B. 等腰非直角三角形 C.非等腰三角形 D.等腰直角三角形

s 4. 己 知 向 量 a ? ( c o?

, s i n ?) , ? b

? ( c o? , sai n b) 的 夹 角 为 60 ° , 直 线 s , 与
1 的位置关系是 ( 2


x c o ? ? y s ?n? 与圆 ( x ? cos ? ) 2 ? ( y ? sin ? ) 2 ? s i 0

用心 爱心 专心

17

A.相切

B.相交

C.相离

D.随 ? , ? 的值而定

解析: a 与 b 的夹角为 60°所以
0

? ? a? b cos ? cos ? ? sin ? sin ? 1 cos 60 ? ? ? ? ? 1 2 | a |? b | |
cos ? cos ? ? sin ? sin ? 1 ? 1 2

圆心 (cos ? , ? sin ? ) 到直线 x cos ? ? y sin ? ? 0 距离为 故选 C

二、填空题

5.已知 a 与 b 为两个不共线的单位向量,k 为实数,若向量 a+b 与向量 ka-b 垂直,则 k =___1_____.

6.已知 a=(2,-1),b=(λ ,3),若 a 与 b 的夹角为钝角,则 λ 的取值范围是__(-∞, 3? ? -6)∪?-6, ?__________. 2? ?

? 4 3? 7.已知平面上直线 l 的方向向量 e=?- , ?,点 O(0,0)和 A(1,-2)在 l 上的射影分别 ? 5 5?
是 O1 和 A1,则 O1A1 =λ e,其中 λ =________. 解析:由向量在已知向量上的射影定义知: 4 6 - - 5 5 4 6 λ =||?cos〈e, 〉= 5? = 5? =- - =-2. 5 5 1? 5 |e|| OA |

e? OA

答案:-2 三、解答题 8.已知 a=(1,2),b=(-2,n),a 与 b 的夹角是 45°. (1)求 b; (2)若 c 与 b 同向,且 a 与 c-a 垂直,求 c. 解 (1)a?b=2n-2,|a|= 5, |b|= n +4,∴cos 45°=
2

2 = , 2 5? n +4
2

2n-2

2 2 ∴3n -16n-12=0 (n>1),∴n=6 或 n=- (舍),∴b=(-2,6). 3 (2)由(1)知,a?b=10,|a| =5. 又 c 与 b 同向,故可设 c=λ b (λ >0), (c-a)?a=0,
用心 爱心 专心
2

18

∴λ b?a-|a| =0,∴λ =

2

5 1 1 = = ,∴c= b=(-1,3). b?a 10 2 2

|a|

2

用心 爱心 专心

19


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