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2013届高三数学一轮复习讲义 平面向量的数量积及其应用教案 新人教A版


平面向量的数量积及其应用
自主梳理 1.向量数量积的定义 (1)向量数量积的定义: 已知两个非零向量 a 和 b,它们的夹角为 θ ,则数量___.|a||b|cos θ _____叫做 a 和

b 的数量积(或内积),记作__ a?b =|a||b|cos θ _____,其中向量的投影:︱ b ︱

?

>? ? ? ? a ?b cos ? = ? ∈R,称为向量 b 在 a 方向上的投影。投影的绝对值称为射影; |a|
注意 在两向量的夹角定义,两向量必须是同起点的,范围 0?≤?≤180?。

? ? 规定:零向量与任一向量的数量积为___ 0_____. 即 0 ? a ? 0
(2)平面向量数量积的几何意义

C

数量积 a?b 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 的方向上的投影____|b|cos θ _____的乘积. (3) 平面向量数量积的重要性质: ①如果 e 是单位向量,则 a?e=e?a=__ |a|cos θ ________; ②非零向量 a,b,a⊥b?____a?b=0____________; ③当 a 与 b 同向时,a?b=__|a||b|___; (两个非零向量 a 与 b 垂直的充要条件是__ a?b =0__) 当 a 与 b 反向时,a?b=__-|a||b|______,a?a=__ a ___=_|a| ___,|a|=___ a?a ____; (两个非零向量 a 与 b 平行的充要条件是__ a?b=±|a||b|___)
2 2

a?b ________; |a||b| ⑤|a?b|_≤___|a||b|.
④cos θ =__ 2.向量数量积的运算律 (1)交换律:a?b=__ b?a ______; (2)分配律:(a+b)?c=___________ a?c+b?c _____; (3)数乘向量结合律:(λ a)?b=__λ (a?b)______________. 3.向量数量积的坐标运算与度量公式 (1)两个向量的数量积等于它们对应坐标乘积的和,即若 a=(x1,y1),b=(x2,y2), 则 a?b= x1x2+y1y (2) 设两个非零向量 a,b,a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 a⊥b? x1x2+y1y2=0 . (3) 设两个非零向量 a,b,a=(x1,y1),b=(x2,y2),则
用心 爱心 专心 1

cos θ =_____

x1 x2 ? y1 y2 x12 ? y12 ? x22 ? y22
2

_____.

(4)若 a=(x,y),则|a| =

x2 ? y 2

或|a|=

x2+y2

.

→ (5)若 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,则 AB=______(x2-x1,y2-y1) ___, → 2 2 ( 所以|AB|=______ (x 2 - x1 ) + y 2 - y1 ) _____. 点评: 1.向量的数量积是一个实数 两个向量的数量积是一个数量,这个数量的大小与两个向量的长度及其夹角的余弦值有关, 在运用向量的数量积解题时,一定要注意两向量夹角的范围. 2.a?b=0 不能推出 a=0 或 b=0,因为 a?b=0 时,有可能 a⊥b. 3.一般地,(a?b)c≠(b?c)a 即乘法的结合律不成立.因 a?b 是一个数量,所以(a?b)c 表示一个与 c 共线的向量,同理右边(b?c)a 表示一个与 a 共线的向量,而 a 与 c 不一定共 线,故一般情况下(a?b)c≠(b?c)a. 4.a?b=a?c(a≠0)不能推出 b=c,即消去律不成立. → → 5.向量夹角的概念要领会,比如正三角形 ABC 中, AB,BC〉应为 120°,而不是 60°. 〈 自我检测 1.已知向量 a 和向量 b 的夹角为 135°, a|=2, |b|=3, | 则向量 a 和向量 b 的数量积 a?b =___-3 2 _____. ( ) D.16

→ → 2.在 Rt△ABC 中,∠C=90°,AC=4,则AB?AC等于 A.-16 B.-8 C.8

3.已知向量 a,b 满足 a?b=0,|a|=1,|b|=2,则|2a-b|= A.0 B.2 2 C.4 D.8 B

(

)

?2 ?? ? ? 2 ? ? ? ? ? 2a ? b ? (2a ? b)2 = 4a ? 4a ?b ? b = 8=2 2.

3 4.已知 a⊥b,|a|=2,|b|=3,且 3a+2b 与 λ a-b 垂直,则实数 λ 的值为___ _____. 2 5.已知 a=(2,3),b=(-4,7),则 a 在 b 方向上的投影为___ 65 ___. 5

6.设 a,b,c 是任意的非零向量,且相互不共线,则下列命题正确的有____②④____ ①(a?b)c-(c?a)b=0;②|a|-|b|<|a-b|; ③(b?c)a-(a?c)b 不与 c 垂直;④(3a+4b)?(3a-4b)=9|a| -16|b| .
2 2

用心 爱心 专心

2

7.平面上有三个点 A(-2,y) ,B(0,

y → → ) ,C(x,y) A B⊥BC,则动点 C 的轨迹方程为 ,若 2

________________. y? → ? y? → ? → → → → 解析 由题意得AB=?2,- ?, BC=?x, ?,又AB⊥BC,∴AB?BC=0, 2? ? ? 2? 即?2,- ???x, ?=0,化简得 y =8x(x≠0). 2? ? 2? ?
2

?

y? ?

y?

→ 1→ 2→ → → 8.若等边△ABC 的边长为 2 3 ,平面内一点 M 满足CM= CB+ CA,则MA?MB=________. 6 3 解析 合理建立直角坐标系,因为三角形是正三角形,故设 C(0,0),A(2 3,0),B( 3, 1? → ? 3 1? → ? 3 5? → ? 3 → → 3), 这样利用向量关系式, MA=? ,- ?, =? ,- ?, =?- , ?, MA?MB 求得 MB MB 所以 2? 2? ?2 ?2 ? 2 2? =-2. 题型一 平面向量的数量积的运算 例 1 (1)已知 a,b 是平面内两个互相垂直的单位向量,若向量 c 满足(a-c)?(b-c)= 0,则|c|的最大值是________. 2 → → (2)如图,在△ABC 中,AD⊥AB,BC= 3 BD, → → → |AD|=1,则AC?AD等于 A.2 3 B. 3 2 C. ( 3 3 ) D. 3

→ → → → → → → → → → 解法 1 基底法: ∵BC= 3BD,∴AC=BC-BA= 3BD-BA= 3(AD-AB)+AB → → = 3→+(1- 3)AB. 又 AD⊥AB,|AD|=1. AD → → → → → ∴AC?AD= 3AD2+(1- 3)AB?AD= 3. 法 2 定义法设 BD=a,则 BC= 3a,作 CE⊥BA 交的延长线于 E,可知∠DAC=∠ACE, 在 Rt△ABD 与 Rt△BEC 中, Rt△ABD∽Rt△BEC 中, ∴cos∠DAC=cos∠ACE= 3 .

BD AD ? ,CE= 3, BC EC