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函数竞赛选题


函数竞赛试题选
1.(2002)函数 f ( x) ? log1 ( x 2 ? 2x ? 3) 单调增区间是________________
2

x x ? __________________ x 2 1? 2 A.是偶函数但不是奇函数 B.是奇函数但不是偶函数 C. 既是奇函数又是偶函数 D.既不是奇函数又不是偶函数 3.(2002)已知 f(x)是定义在 R 上的函数,f(1)=1,且对任意 x ? R 都 9 有

2.(2002)函数 f ( x ) ?

f ( x ? 5) ? f ( x) ? 5 f ( x ? 1) ? f ( x) ? 1

若 g(x)=f(x)+1-x,则 g(2002)=______________ 4.(2002) 若 log4 ( x ? 2 y) ? log4 ( x ? 2 y) ? 1, 则 x ? y 的 最 小 值 是 _______________ 5.(2001)已知 a 为给定的实数,那么集合 M ? {x x 2 ? 3x ? a 2 ? 2, x ? R} 的 子集个数为_________ 6(2001)函数 y= x ? x 2 ? 3x ? 2 的值域为_____________ 7.(1998)若椭圆 x 2 ? 4( y ? a) 2 ? 4 与抛物线 x 2 ? 2 y 有公共点, 则实数 a 的 取值范围_______ 8.(1992) 设 f(x) 是 定 义 在 实 数 集 R 上 的 函 数 , 且 满 足 下 列 关 系 :
f (10 ? x) ? f (10 ? x); 则 f(x)是( f (20 ? x) ? ? f (20 ? x)



A.偶函数又是周期函数 C. 奇函数又是周期函数 9.(1994)已知 x,y? [?

B.偶函数但不是周期函数 D.奇函数但不是周期函数

? ?

x 3 ? sin x ? 2a ? 0 , ], a ? R 且 3 , 4 4 4 y ? sin y cos x ? a ? 0

则 cos(x+2y)=_________ 10.(1997)设 x,y 为实数,且满足 则 x+y=_____________
1

( x ? 1) 3 ? 1997( x ? 1) ? ?1 ( y ? 1) 3 ? 1997( y ? 1) ? 1



11.(1998)若 f(x)是以 2 为周期的偶函数,当 x ? [0,1时,f ( x) ? x 则 f(

1 1998

,

98 101 104 ), f ( ), f ( ) 由小到大的排列是 _________________ 19 17 15 12.(2001) 3 若复数 z1 , z 2 满足 z1 ? 2, z 2 ? 3,3z1 ? 2 z 2 ? ? i, 则z1 ? z 2 ? ___________ 2

13.(2002)已知复数 z1 , z 2 满足 z1 ? 2, z2 ? 3, 若它们所对应向量的夹角为 60 0 ,则
z1 ? z 2 =______________ z1 ? z 2

14. (2006)若对一切 ? ? R ,复数 z ? (a ? cos? ) ? (2a ? sin ? )i 的模不超 过 2,则实数 a 的取值范围为__________________ 15(2002)已知

A ? {x x 2 ? 4x ? 3 ? 0, x ? R}, B ? {x 21?x ? a ? 0, x 2 ? 2(a ? 7) x ? 5 ? 0, x ? R}.
若 A ? B ,则实数 a 的取值范围是__________________ 16.(2004) 设 函 数 f : R ? R , 满 足 f(0)=1, 且 对 任 意 x,y ? R, 都 有

f ( xy ? 1) ? f ( x) f ( y) ? f ( y) ? x ? 2, 则f ( x) ? ________________
17.(2005) 已 知 f(x) 是 定 义 在 (0,??) 上 的 减 函 数 , 若 a 的 取 值 范 围 是

f (2a 2 ? a ? 1) ? f (3a 2 ? 4a ? 1) 成 立 , 则
_______________

18.(2006)设 logx (2x 2 ? x ? 1) ? logx 2 ? 1 ,则 x 的取值范围为(
1 1 ? x ?1 B. x ? , 且x ? 1 2 2 19.(2006)已知集合



A.

C. x>1

D 0<x<1

A ? {x 5x ? a ? 0}, B ? {x 6x ? b ? 0}, a, b ? N , 且A ? B ? N ? {2,3,4} , 则 整
数对(a,b)的个数为( ) A. 20 B. 25 C. 30 D.42
2

20. 2006) ( 设函数 f(x)= x 3 ? log2 ( x ? x 2 ? 1) ,则对任意实数 a,b,a+b ? 0 是 B. 充分而不必要条件 D 既不充分也不必要条件 1 21. (2003)设 A,B,C 分别是复数 z 0 ? ai , z1 ? ? bi , z 2 ? 1 ? ci 对应的不共线 2 的三点(a,b,c 都是实数) 。 证明: 曲线 z ? z0 cos4 t ? 2z1 cos2 t ? sin 2 t ? z2 sin 4 t (t ? R) 与三角形 ABC 中平行于 AC 的中位线只有一个公共点,并求出此点。 22.(2002)设二次函数 f(x)= ax2 ? bx ? c(a, b, c ? R, a ? 0) 满足条件: (1)当 x ? R时,f ( x ? 4) ? f (2 ? x),且f ( x) ? x
x ?1 2 ) 2 (3)f(x)在 R 上的最小值为 0

f(a)+f(b) ? 0 的( ) A. 充分必要条件 C. 必要而比充分条件

(2)当 x ? (0,2)时, f ( x) ? (

求最大的 m( m ? 1 ) ,使得存在 t ? R ,只要 x ? [1, m], 就有f ( x ? t ) ? x

3


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