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2.2.2对数函数及其性质(一)第一课时定义图像


复习指数函数的图象和性质
y ? a x (a ? 0且a ? 1) 的图象和性质:

a>1
6 5

0<a<1
6 5 4

4

3

图 象 性 质

3

2

2

1

1

1

1

-4

-2

0
-1

2

4

6

-4

-2

0
-1

2

4

6

1.定义域: (??,??) 2.值域:(0,??) 3.过点 (0,1) ,即x= 0 时,y= 1 4.在 R上是 增 函数 在R上是 减 函数

生活中的数学及背景介绍
马王堆女尸千年不腐之 谜:1972年,马王堆考古发 现震惊世界,专家发掘西汉 辛追遗尸时,发现其形体完 整,全身润泽,皮肤仍有弹 性,关节还可以活动,骨质 比现在60岁的正常人还好, 是世界上发现的首例历史 悠久的湿尸。
古长沙国丞相夫人辛追

湖南长沙马王堆汉墓女 尸出土时碳14的残余量约 占原始含量的76.7%. 试推算马王堆古墓的 年代.

考古学家一般通过提取附着在出土文物、古遗 址上死亡的残留物,利用 t ? log
5730

出土文物或古遗址的年代.
t 能不能看成是 P 的函数?

1 2

P 估计

根据问题的实际意义可知,对于每一个碳14 含量P,通过对应关系 t ? log P ,都有唯一
5730

1 2

确定的年代 t 与它对应,所以,t 是P的函数.

对数函数: 一般地,我们把函数 y +∞). 叫做对数函数,其中x是自变量,函数的定义域是(0,

? log a x (a ? 0且a ? 1)

注意:①对数函数的定义与指数函数类似,都是形式定义, x 注意辨别.如: , y ? 2 log2 x y ? log5 5 都不是对数函数,而只能称其为对数型函数. ②对数函数对底数的限制:a>0且a≠1

学点一

求定义域
(2)y ? loga (4 ? x)

例 求下列函数的定义域:

y ? loga x 2 (1)

(3) y ? log0.5 (4 x ? 3)

探索研究:在同一坐标系中画出下列对数函数的图象

?1?y ? log2 x
作图步骤:

?2?y ? log1 x
2

①列表, ②描点, ③用平滑曲线连接。

作y=log2x图象

列 表 描 点
连 线

x y=log2x

1/4 1/2 -2 -1

1 0

2 1

4 2

… …

y 2
1
0
11 42

1 2 3

4

x

-1 -2

列 y ? log2 x … -2 表 y ? log1 x
2

x



1/4 1/2
-1 1

1
0 0

2 4
1 -1



2 … -2 …



2

描 点 连 线

y 2 1
0
11 42

1 2 3

4

x

-1

-2

这两个函 数的图象 有什么关 系呢?

关于x轴对称

y

探索发现:认真观察 函数y=log2x 的图象填写下表

2 1 0 -1 -2

1 1 4 2

1 2 3

4

x

图象特征

函数性质

图象位于y轴右方

定义域 : ( 0,+∞)

图象向上、向下无限延伸 值 域 :

R

自左向右看图象逐渐上升 在(0,+∞)上是:增函数

探索发现:认真观察 函数 y ? log 1 x
2

y 2 1 11
42

的图象填写下表
图象特征

0 -1 -2

1 2 3 4

x

函数性质

图象位于y轴右方
图象向上、向下无限延伸

定义域 : ( 0,+∞) 值 域 :
R

自左向右看图象逐渐下降 在(0,+∞)上是: 减函数

返回

再来一遍

探究:对数函数:y = loga x (a>0,且a≠ 1) 图象与性质

猜猜: 对数函数 y 2

y ? log3 x和y ? log1 x 的图象。
3

y ? log2 x

1
0

y ? log3 x
11 42

1 2 3

4

x
y ? log1 x
y ? l og1 x
2

-1 -2

3

函数图象的应用

y ? loga x y ? logb x

y ? logc x

的图象如图所示,那么a, b, c的大小关系是

对数函数y=logax (a>0,且a≠1) 的图象与性质
3

a>1
1
1

3

0<a<1
1

2.5

2.5


-1

2

2

1.5

1.5

1 0

1

1

0.5

0.5

-0.5

1

2

3

4

5

6

7

8

-1

0

-0 .5

1

2

3

4

5

6

7

8

-1

-1



-1.5

-1 .5

-2

-2

-2.5

-2 .5

性 质

(0,+∞) 定义域 : 值 域 : R (1 ,0) 即当x =1时,y=0 过定点 在(0,+∞)上是 增函数 在(0,+∞)上是 减函数 当x>1时, y>0 当x>1时, y<0 当x=1时, y=0 当x=1时, y=0 y<0 当0<x<1时, 当0<x<1时, y>0

学点二 比较大小
例 比较下列各组中,两个值的大小: (1)log23.4与 log28.5 (2)log 0.3 1.8与 log 0.3 2.7
比较两个同底对数值的大小时: 1、观察底数是大于1还是小于1;
( a>1时为增函数0<a<1时为减函数) 2、比较真数值的大小; 3、根据单调性得出结果。

(3) loga5.1与 loga5.9
注意: 若底数不确定,那就要对底数进行分类讨论

即0<a<1 和 a > 1

练习: 比较下列各题中两个值 的大小

?1? lg 6, lg 8 ?2? log0.5 6, log0.5 4 ?3? log 2 0.5, log 2 0.6
3 3

?4? log1.5 1.6, log1.5 1.4

例2 求下列函数的值域
(1) y ? log2 ( x ? 4)
2

(2) y ? log 1 (3 ? 2 x ? x )
2 2

(1)解:y ? log2 ( x2 ? 4) 的定义域为R

? x ? 4 ? 4, log2 ( x ? 4) ? log2 4 ? 2 ?
2 2

{y|y ? 2} y ? log2 ( x2 ? 4) 的值域是

例 比较下列各组中两个值的大小: ⑴log 67 , log 7 6 ; ⑵ log 3π , log 2 0.8 .
注意: 利用对数函数的增减性比较两个对数的大小. 当不能直接进行比较时,可在两个对数中间插 入一个已知数(如1或0等),间接比较上述两个对 数的大小 小技巧:判断对数 logab 与0的大小是 只要比较(a-1)(b-1)与0的大小 或者 同正异负

对 数 值 比 较 大 的 常 用 方 法

同底数的利用单调性 不同底的考虑化同底 同真数的利用图象或作商法 底数和真数都不同,找中间量

课堂小结
(1)怎样的函数称为对数函数? (2)对数函数有怎样的性质?

比较两个对数值的大小.
㈠ 若底数为同一常数,则可由对数

函数的单调性直接进行判断. ㈡ 若底数为同一字母,则按对数函
数的单调性对底数进行分类讨论. ㈢ 若底数、真数都不相同,则常借 助1、0、-1等中间量进行比较

指 数 函 数 、 对 数 函 数 性 质 比 较 一 览 表

名称 一般形式 a>1 图像
0<a<1

指数函数 y = ax

对数函数 y = Log a x

定义域 值 域 a>1 0<a<1 单调性

R (0,+∞) 增函数 减函数

(0,+∞) R 增函数 减函数

函数的 a>1 变化情 况 0<a<1

x<0时,0<y<1, 0<x<1时,y<0 x>0时 , y>1 x>1时,y>0 x<0时,y>1 0<x<1时,y>0 x>0时 ,0<y<1 x>1时,y<0


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