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四川省成都市都江堰市2016届高三11月调研考试数学(理)试题


都江堰市高 16 届 11 月调研试题 理科数学
注意事项: 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。 2.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置。 3.全部答案在答题卡上完成,答在本试题上无效。 4. 考试结束后,将本试题和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷
一.选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的。 1.已知集合 A ? { x | ?3 ? x ? 5, x ? Z } , B ? { x | x 2 ? x ? 2 ? 0} ,则 A ? B ? ( A. {0,1} 2. 复数 B. {?1,0} C. {?2,3,4} ) C.第三象限 ) C. ? D.第四象限 D. {2,3,4} )

i 在复平面上对应的点位于( 3?i
B.第二象限

A.第一象限

3. sin 20? cos 10? ? cos 160? sin 10? ? ( A. ?

3 ? 2
x2 a2 ? y2 b2

B.

3 2

1 2

?

D.

1 2

4. 已知双曲线

? 1(a ? 0, b ? 0) 的一个焦点与抛物线 y 2 ? 12 x 的焦点重合, 且双曲线的离心

率等于 3 ,则该双曲线的标准方程为( A.

) C.

x2 y2 ? ?1 27 18

B.

y2 x2 ? ?1 18 27

x2 y2 ? ?1 12 24

D.

x2 y2 ? ?1 3 6

5. 已 知 随 机 变 量 X 服 从 正 态 分 布 N ( 3,1) , 且 P ( 2 ? X ? 4) ? 0.6826 , 则

P ( X ? 4) ? (
A.0.1588

) B.0.1587 C.0.1586 D.0.1585 )

6. 等比数列 {a n } 的前 n 项和为 S n , 已知 S 3 ? a 2 ? 10a1 ,a 5 ? 9 , 则 a1 ?(
·1·

A.

1 3

B. ?

1 3

C.

1 9

D. ?

1 9
)

7.执行如右图的程序框图,若输出的 S ? 48 ,则输入 k 的值可以为( A. 6 B. 10 C. 4 D. 8

8. 在 ? ABC 中,内角 A, B , C 的对边分别是 a , b , c ,若 a 2 ? b 2 ? 3bc ,sin C ? 2 3 sin B ,则 A ? ( ) A. 30 ? 9.二项式 ( A. 8 B. 60 ? C. 120? D. 150? ( )

1 ? x x ) n 展开式中含有 x 2 项,则 n 可能的取值是 x
B. 7 C. 6 D. 5 )

10.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为( A. 2 3

3 B. 2
D.

1

1 1

C.

2 3 3

2 3
AB | AB | ? AC | AC | ) ? BC ? 0 ,且 AB

正视图

侧视图

俯视图

11.若非零向量 AB 与 AC 满足 ( A.等腰直角三角形

| AB | | AC |

?

AC

?

1 ,则 ? ABC 为( ) 2
D.直角三角形

B.非等边的等腰三角形

C.等边三角形

12. 已知函数 g( x ) ? a ? x 2 ( ? x ? e ,e 为自然对数的底数 ) 与 h( x ) ? 2 ln x 的图象上存在关于 x 轴 对称的点,则实数 a 的取值范围是( A. [1, ) C. [

1 e

1 e
2

? 2]

B. [1, e 2 ? 2]

1 ? 2, e 2 ? 2 ] e2

D. [e 2 ? 2,??)

第Ⅱ卷
二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分

?x ? 0 y ? 13.若 x , y 满足约束条件 ? x ? 2 y ? 3 ,则 的取值范围为; x ?2 x ? y ? 3 ?
14. 一 个 圆 经 过 椭 圆 为 ;
·2·

y2 x2 ? ? 1 的上顶点、下顶点及右顶点三个顶点,则该圆的标准方程 16 4

15.设集合 A ? {1,2} , B ? {1,2,3} ,分别从集合 A 和 B 中随机取一个数 a 和 b ,确定平面上的一个 点 P (a , b ) ,记“点 P (a , b ) 落在直线 x ? y ? n 上”为事件 C n ( 2 ? n ? 5, n ? N ) ,若事件 C n 的概率 最大,则最大值为 ;

16.抛物线 y 2 ? 8 x 的焦点为 F ,点 ( x , y ) 为该抛物线上的动点, ,又已知点 A( ?2,0) ,则 值范围是 .[来源:Zxxk.Com

| PA | 的取 | PF |

三.解答题:本大题共 5 个小题,每小题 12 分,共 60 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算 步骤。 17.(本小题满分 12 分)已知数列 {a n } 满足 a1 ? 1 , (n ? 1)a n?1 ? nan , n ? N * . (Ⅰ)求数列 {a n } 的通项公式; (Ⅱ)设 bn ?

2n ,数列 {bn } 的前 n 项和为 Tn ,求 Tn .. an

???????????????????????????????????????? 18. (本小题满分 12 分)一次考试中, 5 名同学的语文、英语成绩如下表所示: 学生 语文( x 分) 英语( y 分)

S1
87 86

S2
90 89

S3
91
89

S4
92 92

S5
95 94

(1)根据表中数据,求英语分 y 对语文分 x 的线性回归方程; (2)要从 4 名语文成绩在 90 分(含 90 分)以上的同学中选出 2 名参加一项活动,以 ? 表示选 中的同学的英语成绩高于 90 分的人数,求随机变量 ? 的分布列及数学期望 E ? .

?? ?x ? a ? ?b ? 中,b (线性回归方程 y

?(x
i ?1 n

n

i

? x )( y i ? y )
i

?(x
i ?1

? ? y ? bx ,其中 x , y 为样本平均值, ,a

? x)

2

? ,a ? 的值的结果保留二位小数.) b
????????????????????????????????????????

·3·

19. (本小题满分 12 分) 在四棱锥 P ? ABCD 中, 侧面 PCD ? 底面 ABCD ,PD ? CD , 底面 ABCD 是直角梯形, AB // DC , ?ADC ? 90 ? ,
P E

AB ? AD ? PD ? 1 , CD ? 2 ,
(Ⅰ)求证: BC ? 平面 PBD ; (Ⅱ)设 E 为侧棱 PC 上异于端点的一点, PE ? ? PC ,试确定
D

C

A

B

? 的值,使得二面角 E ? BD ? P 的大小为 45 ? .
????????????????????????????????????????

20. (本题满分 12 分)已知椭圆 E 的方程为 (Ⅰ)求椭圆 E 形状最圆时的方程。

y2 x2 ? ? ? 1 ,其中 ? ? (0, ) 。 2 tan ? tan ? ? 1 2

(Ⅱ)若椭圆 E 最圆时任意两条互相垂直的切线相较于点 P ,证明:点 P 在一个定圆上 ???????????????????????????????????????? 21. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x ) ? ln(x ? 1) ? ax 2 ? x ( a ? R ) . (Ⅰ)当 a ?

1 时,求函数 y ? f ( x ) 的单调区间; 4

(Ⅱ)若对任意实数 b ? (1,2) ,当 x ? ( ?1, b] 时,函数 f ( x ) 的最大值为 f ( b ) ,求 a 的取值范围. ????????????????????????????????????????

请考生在 22 题、23 题、24 题中,任选一题作答.注意:只能做所选定的题目.如果多做,则 按所做的第一题目计分,做答时,请写清题号. 22. (本小题满分 10 分) 【选修 4—1:几何证明选讲】 如图, PA 是圆的切线, A 为切点, PBC 是圆的割线,且

P

B

C

BC ? 3 PB ,求

AB 的值。 AC

A

??????????????????????????????????????????? 23. (本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程。
·4·

? x ? a ? 4t ? 直线 l : ? ( t 为参数) ,圆 C : ? ? 2 2 cos(? ? ) (极轴与 x 轴的非负半轴重合, 4 ? y ? ?1 ? 2 t
且单位长度相同) . (Ⅰ)求圆心 C 到直线 l 的距离; (Ⅱ)若直线 l 被圆 C 截的弦长为

6 5 ,求 a 的值。 5

??????????????????????????????????????????? 24。 (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲。 已知函数 f ( x ) ?| x ? 3 | ? | x ? a | .

1 ; 2 (Ⅱ)若存在实数 x ,使得不等式 f ( x ) ? a 成立,求实数 a 的取值范围.
(Ⅰ)当 a ? 2 时,解不等式 f ( x ) ? ?

高 16 届 11 月月考理科数学
参考答案
一.选择题: 题 1 号 选 项 二.填空题: 13. [1,??) ; 14. ( x ? ) 2 ? y 2 ?
C

1 2 3 4 5 6
C

1 1 2
C

1

7

8

9 0

B

D

D

B

D

A

A

A

B

3 2

25 ; 4

15.

1 ; 3

16. [1, 2 ] 。

17.解: (1)由 (n ? 1)a n?1 ? nan ,得 当 n ? 2 时, 即 an ?

a n?1 n ? ????????(2 分) an n?1

a a2 a3 a4 1 2 3 n?1 ? ? ??? n ? ? ? ??? ??????????(3 分) a1 a 2 a 3 a n ?1 2 3 4 n
(4 分)

1 1 ( n ? 2) ; a1 ? n n

·5·

因为 a1 ? 1 ,所以 a n ?

1 ?????????? n

(5 分)

(2)由 bn ?

2n ? n ? 2 n ?????????? (6分) an
① ??????????(7分) (8分)

?Tn ? 1 ? 2 ? 2 ? 2 2 ? 3 ? 2 3 ? ? ? n ? 2 n 2Tn ? 1 ? 2 2 ? 2 ? 2 3 ? 3 ? 2 4 ? ? ? n ? 2 n?1

②??????????

以上两式相减,得 ? Tn ? 2 ? 2 2 ? 2 3 ? ?2 n ? n ? 2 n?1 ????????????(11分)

?Tn ? (n ? 1) ? 2 n?1 ? 2 ?????????????????? (12分)
18.解析: (Ⅰ) x ?

87 ? 90 ? 91 ? 92 ? 95 ? 91 ????????????(1 分) 5 86 ? 89 ? 89 ? 92 ? 94 y? ? 90 ????????????????(2 分) 5

i ?1 5

? ( x i ? x ) 2 ? ( ?4) 2 ? ( ?1) 2 ? 0 2 ? 1 2 ? 4 2 ? 34 ? ( x i ? x )( y i ? y ) ? ( ?4) ? ( ?4) ? ( ?1) ? ( ?1) ? 0 ? ( ?1) ? 1 ? 2 ? 4 ? 4 ? 35
(4 分) (5 分) (6 分) (7 分)

5

i ?1

? ? 35 ? 1.03 ???????????? b 34

? x ? 90 ? 1.03 ? 91 ? ?3.73 ???????????? ? ? y?b a
? ? 1.03 x ? 3.73 ???????????? 故回归直线方程为 y
(Ⅱ)随机变量 ? 的可能取值为 0 , 1 , 2 ??????????

P (? ? 0) ?

2 C2 2 C4

?

C 1C 1 2 C2 1 1 , P (? ? 1) ? 2 2 2 ? , P (? ? 2) ? 2 ? ??????(9 分) 2 6 3 6 C4 C4

故 ? 的分布列为

?

0

1
2 3

2
1 6
(10 分)

P

1 6

所以 E? ? 0 ?

1 2 1 ? 1 ? ? 2 ? ? 1 ???????????????? 6 3 6

(12 分)

19.解析: (Ⅰ)证明:? 侧面 PCD ? 底面 ABCD 于 CD , PD ? 面 PCD , PD ? CD ,
·6·

? PD ? 底面 ABCD ,

?AD ? 面 ABCD
? PD ? AD
又? ?ADC ? 90 ? ,即 AD ? CD , 以 D 为原点建立空间直角坐标系,则 A(1,0,0) , B(1,1,0) , C (0,2,0) , P (0,0,1) , 所以 DB ? (1,1,0) , BC ? (?1,1,0) 所以 DB ? BC ? 0 ,所以 BC ? BD 由 PD ? 底面 ABCD ,可得 PD ? BC , 又因为 PD ? DB ? D ,所以 BC ? 平面 PBD . ??5 分

(Ⅱ)由(Ⅰ)知平面 PBD 的一个法向量为 BC ? (?1,1,0) ,且 P (0,0,1) , C (0,2,0) 故 PC ? (0,2,?1) ,又 PE ? ? PC ,所以 DE ? DP ? PE ? (0,2? ,1 ? ? ) ??????7 分 设平面 EBD的法向量为 n ? ( x, y, z ) , DB ? (1,1,0)

? ?x ? y ? 0 ? n ? DB ? 0 由? ,得 ? ,取 n ? (1 ? ? , ? ? 1,2? ) ?2?y ? (1 ? ? ) z ? 0 ? ? n ? DE ? 0
所以 cos

?
4

?

| n ? BC | | n | ? | BC |

,????????????10 分

解得 ? ? ?1 ? 2

? ? ? (0,1) ,故 ? ? 2 ? 1 ??????????12 分
20.解析: (Ⅰ)由已知条件有 tan ? ? 0 ,且 tan 2 ? ? 1 ? tan ? ,故椭圆 E 的长轴在 y 轴上。

e ? 1?

tan ? 1 1 2 ? ? 1 ? sin 2? ? 1 ? ? ,当且仅当 ? ? 时取等号。 2 2 2 2 4 tan ? ? 1
y2 ? 1 ????4 分 2

因为椭圆 E 的离心率 e 最小时其形状最圆,故最圆的椭圆方程为: x 2 ? (Ⅱ)设交点 P ( x 0 , y 0 ) ,过交点 P 的直线 l 与椭圆 x 2 ?

y2 ? 1 相切. 2

(1)当斜率不存在或等于零时,易得 P 点的坐标为 P(?1,? 2 ) ??????5 分 (2)当斜率存在且非零时,则 x 0 ? ?1 。设斜率为 k ,则直线 l : y ? k ( x ? x 0 ) ? y 0 ,
·7·

与椭圆方程联立,消 y 得

(2 ? k 2 ) x 2 ? 2k( y0 ? kx0 ) x ? ( y0 ? kx0 ) 2 ? 2 ? 0
由 l 与椭圆相切,可得 ? ? [2k ( y0 ? kx0 )]2 ? 4(2 ? k 2 )[( kx0 ? y0 ) 2 ? 2 ? 0
2 2 化简,得 (1 ? x 0 )k 2 ? 2 x0 y0 k ? 2 ? y0 ?0



因椭圆外一点有两条直线与椭圆相切,由已知两切线垂直,故 k1 k 2 ? ?1 ,而 k1 , k 2 为方程①的两 根,故
2 2 ? y0 2 1 ? x0

2 2 ? ?1 ,整理,得 x0 ? y0 ?3

又 (?1,? 2 ) 也满足上式,故点 P 的轨迹方程为 x 2 ? y 2 ? 3 , 即点 P 在定圆 x 2 ? y 2 ? 3 上。 21.解析: (Ⅰ)当 a ? ???????????12分

1 1 时, f ( x ) ? ln(x ? 1) ? x 2 ? x 4 4 x ( x ? 1) 1 1 ? x ?1? ( x ? ?1) 则 f ?( x ) ? x?1 2 2( x ? 1)
令 f ?( x ) ? 0 ,得 ? 1 ? x ? 0 或 x ? 1 ;令 f ?( x ) ? 0 ,得 0 ? x ? 1 ,

????????1 分

? 函数 f ( x ) 的单调递增区间为 ( ?1,0) 和 (1,??) ,单调递减区间为 (0,1) ????????4 分
(Ⅱ)由题意 f ?( x ) ?

x[2ax ? (1 ? 2a)] ( x ? ?1) x ?1

(1)当 a ? 0 时,函数 f ( x ) 在 ( ?1,0) 上单调递增,在 (0,??) 上单调递减, 此时,不存在实数 b ? (1,2) ,使得当 x ? ( ?1, b] 时,函数 f ( x ) 的最大值为 f ( b ) ???6 分 (2)当 a ? 0 时,令 f ?( x ) ? 0 ,有 x1 ? 0 , x 2 ? ①当 a ?

1 ? 1, 2a

1 时,函数 f ( x ) 在 ( ?1,??) 上单调递增,显然符合题意。???????7 分 2 1 1 ②当 ? 1 ? 0 即 0 ? a ? 时, 2 2a 1 1 函数 f ( x ) 在 ( ?1,0) 和 ( ? 1,??) 上单调递增,在 (0, ? 1) 上单调递减, 2a 2a
f ( x ) 在 x ? 0 处取得极大值,且 f (0) ? 0 ,
要使对任意实数 b ? (1,2) ,当 x ? ( ?1, b] 时,函数 f ( x ) 的最大值为 f ( b ) , 只需 f (1) ? 0 ,解得 a ? 1 ? ln 2 ,又 0 ? a ?
·8·

1 , 2

所以此时实数 a 的取值范围是 1 ? ln 2 ? a ? ③当

1 。???????9 分 2

1 1 ? 1 ? 0 即 a ? 时, 2a 2 1 1 函数 f ( x ) 在 (?1, ? 1) 和 (0,??) 上单调递增,在 ( ? 1,0) 上单调递减, 2a 2a
要使对任意实数 b ? (1,2) ,当 x ? ( ?1, b] 时,函数 f ( x ) 的最大值为 f ( b ) ,

1 ? 1) ? f (1) , 2a 1 代入化简得 ln(2a ) ? ( *) ? ln 2 ? 1 ? 0 , 4a 1 1 令 g(a) ? ln(2a) ? ? ln 2 ? 1 (a ? ) , 4a 2 1 1 因为 g ?(a ) ? (1 ? ) ? 0 恒成立, a 4a 1 1 1 故恒有 g(a ) ? g( ) ? ln 2 ? ? 0 ,所以 a ? 时, (*)式恒成立, 2 2 2
只需 f ( 综上,实数 a 的取值范围是 [1 ? ln 2,??) ???????12 分 22.解析:∵ PA 是圆的切线, A 为切点, PBC 是圆的割线, 由切割线定理知, PA2 ? PB ? PC ? PB ? ( PB ? BC) ,又 BC ? 3 PB ∴ PA 2 ? 4 PB 2 ,即 PA ? 2PB 由 ?PAB∽ ?PCA ,∴ ??????????? 5 分 ??????????? 10 分

AB PB 1 ? ? AC PA 2

? x ? a ? 4t 23.解: (Ⅰ)把 ? 化为普通方程为 x ? 2 y ? 2 ? a ? 0 ? y ? ?1 ? 2 t
把 ? ? 2 2 cos(? ?

????(2 分)

?
4

) 化为直角坐标系中的方程为 x 2 ? y 2 ? 2 x ? 2 y ? 0
5 |1 ? a | 5

??? (4 分)

?

圆心 C (1,?1) 到直线的距离为

????? (5 分)

(Ⅱ)由已知圆的半径为 2 ,弦长的一半为

3 5

?????? (7 分)

所以

(

3 5

)2 ? (

| a ? 1| 5

)2 ? 2

??????????? (8 分)

·9·

2 即 a ? 2a ? 0 ,解得 a ? 0 或 a ? 2

??????????? (10 分)

?1 ( x ? 2) ? ? 24.解: (Ⅰ)∵ a ? 2 ,∴ f ( x ) ?| x ? 3 | ? | x ? 2 |? ?5 ? 2 x ( 2 ? x ? 3) ? ?1 ( x ? 3) ? ?
1 ?x ? 3 ? ?x ? 2 1 ?5 ? 2 x ? ? ? ? ∴ f ( x ) ? ? 等价于 ? 2 或? 1 或? 1 1? ? 1? ? 2 ? ? ? 2 ?2 ? x ? 3 2 ? ?
解得

??????(1 分)

????????(3 分)

11 11 ??????????? (5 分) ? x ? 3 或 x ? 3 ,所以不等式的解集为 [ ,??) 4 4 (Ⅱ)由不等式性质可知 f ( x ) ?| x ? 3 | ? | x ? a |?| ( x ? 3) ? ( x ? a ) |?| a ? 3 | ?????(8 分)
∴若存在实数 x ,使得不等式 f ( x ) ? a 成立,则 | a ? 3 |? a ,解得 a ? ∴实数 a 的取值范围 ( ??, ]

3 2

3 2

??????????? (10 分)

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·10·



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