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2013年高中数学解题思维一点通:绝对值不等式解法指导


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绝对值不等式解法指导

带绝对值符号的不等式叫绝对值不等式。解绝对值不等式的关键是去绝对值符号,等价 转化为不含绝对值符号的不等式, 用已有方法求解。 去绝对值符号的方法就是解不等式的方 法,有下列四种。 一. 注意绝对值的定义,用公式法 即若 a ? 0,| x| ? a ,则 ? a ? x ? a ;若 a ? 0,| x| ? a ,则 x ? a 或 x ? ? a 。 例 1. 解不等式 |2 x ? 3| ? 3x ? 1 解:由题意知 3x ? 1 ? 0 ,原不等式转化为 ? (3x ? 1) ? 2 x ? 3 ? 3x ? 1

2 ? x? , ? 5 ?2 x ? 3 ? ?3x ? 1, ? 2 ? ? ? ?2 x ? 3 ? 3x ? 1, ? ? x ? ?4, ? x ? 5 ?3x ? 1 ? 0 ? ? 1 ? ?x ? ? 3 ?

二. 注意绝对值的非负性,用平方法 题目中两边都是非负值才能用平方法, 否则不能用平方法, 在操作过程中用到 | x| ? x 。
2 2

例 2. 解不等式 | x ? 1| ?|2 x ? 3| 两边都含绝对值符号,所以都是非负,故可用平方法。 解: 原不等式 ?| x ? 1| ?|2 x ? 3| ? ( x ? 1) ? (2 x ? 3) ? (2 x ? 3) ? ( x ? 1) ? 0
2 2 2 2 2 2

解得 x ? ?2 或x ? ?

4 3 4 3

故原不等式的解集为 {x| x ? ?2 或x ? ? }

三. 注意分类讨论,用零点分段法 不等式的一侧是两个或两个以上的绝对值符号,常用零点法去绝对值并求解。
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例 3. 解不等式 | x ? 2|?| x ? 1| ? 3

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解:利用绝对值的定义,分段讨论去绝对值符号,令 x ? 1 ? 0 和 x ? 2 ? 0 得分界点

x ? 1、x ? ?2
于是,可分区间 ( ??, ? 2),[ ?2 ,1],[1,??) 讨论原不等式 ?

? x ? ?2 , ??2 ? x ? 1, ? x ? 1, 或? 或? ? ?? ( x ? 2) ? [ ? ( x ? 1)] ? 3 ? x ? 2 ? ( x ? 1) ? 3 ? x ? 2 ? ( x ? 1) ? 3
解得 x ? 1或x ? ?2 综上不等式的解为 x ? ( ??, ? 2) ? (1, ? ?)

四. 平方法+定义法 有些题目平方之后仍有一个绝对值号, 需要用定义去绝对值符号求解, 这种方法叫 “平 方法+定义法” 。 例 4. 解关于 x 的不等式 |log a ax | ?|log a x|?2
2

解 : 化 为 |1 ? 2 log a x| ?|log a x|?2 后 , 通 常 分 log a x ? ?

1 1 , ? ? log a x ? 0 , 2 2

log a x ? 0 三种情况去绝对值符号,再分 a ? 1或 0 ? a ? 1 进行讨论,这样做过程冗长,极
易出错。改变一下操作程序,思路将十分清晰,过程也简洁得多,即原不等式两边平方得

4(log a x ) 2 ? 4 log a x ? 1 ? (log a x ) 2 ? 4|log a x|?4 。
再由定义去绝对值号,有:

(1) ?

?log a x ? 0,
2 ?(log a x ) ? 1

? 0 ? log a x ? 1 ;

(2) ?

?log a x ? 0, ?3 log a x ? 8 log a x ? 3 ? 0
2

? ?3 ? log a x ? 0 。

综上知 ?3 ? log a x ? 1

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故当 a ? 1 时,解为 a
?3

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? x ? a ;当 0 ? a ? 1 时,解为 a ? x ? a ?3

练一练 1. 已知 a ? 0 ,且 a ? 1 ,解不等式 |log a (1 ? x )| ?|log a (1 ? x )| 。 2. 解不等式 || x ? 1|?| x ? 1|| ?

x ?1 2

3. 解不等式 |3 ? 1|?|9 ? 3| ? 2
x x

答案:1. 0 ? x ? 1 2. 解集为 ( ?

2 2 , ) ? (2,??) 5 3

3. 解集为 {x| x ? 0或x ? log 3 2}

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