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河南省洛阳市2015—2016学年高三年级第二次统一考试——数学(理)


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洛阳市 2015——2016 学年高三年级第二次统一考试

数学试卷(理)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.共 150 分.考试时间 120 分 钟.

第Ⅰ卷

(选择题,共 60 分)
注意事项: 1.答卷前,考生务必将自己的姓名,考号填写在答题卡上. 2.考试结束,将答题卡交回. 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分.共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.设复数 z 满足(z-1) (1+i)=2(i 为虚数单位) ,则|z|= A.1 B.5 C. 5 D. 13

2 2.若命题 p: ?x ∈(0,+∞) , log 2 ( x+ ) ≥1,命题 q: ?x0 ∈R, x0 - x0 +1≤0,

1 x

则下列命题为真命题的是 A.p∨q B.p∧q 3.若 f(x)= ae
-x x

C. ( ? p )∨q

D. ( ? p )∧( ? q )

- e 为奇函数,则 f(x-1)<e-

1 的解集为 e

A. (-∞,0) B. (-∞,2) C. (2,+∞) D. (0,+∞) 4.执行如图所示的程序框图,则输出 i 的值为 A.4 B.5 C.6 D.55 5.已知 f(x)sin(ω x+ ? ) (ω >0,| ? |< 满足 f(x)=-f(x+

? 1 ) ,f(0)= ,则 g(x) 2 2 ? =2cos(ω x+ ? )在区间[0, ]上的最大值为 2
A.2 C.1 B. 3 D.-2

? ) 2

1

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6.在矩形 ABCD 中,AB=3,BC= 3 , BE =2 EC ,点 F 在边 CD 上,若 AB · AF =3, 则 AE · BF 的值为 A.4 B.

uur

uuu r

uuu r

uuu r

uuu r

uuu r

8 3 3

C .0

D.-4

? x≥0, ? 7.设 D 为不等式组 ? x-y≤0, 表示的平面区域,圆 C: ( x-5)2+y 2=1 上的点与区域 ?2 x+y-3≤0, ?
D 上的点之间的距离的取值范围是 A.[

5 2 -1, 34 +1) 2

B.[ 17 -1, 34 +1] D.[ 17 -1, 34 -1]

C.[ 17 , 34 ]

8.如图所示是某几何体的三视图,则该几何体的表面积 为 A.57+24π B.57+15π C.48+15π D.48+24π 9.已知双曲线 C: x -
2

y2 =1的左右焦点分别为 8

F1,F2,过 F2 的直线 l 与 C 的左右两支分别交于 A,B 两点,且|AF1|=|BF1|,则|AB|= A.2 2 B.3 C.4 D.2 2 +1

10.设等比数列{ an }的公比为 q,其前 n 项之积为 Tn ,并且满足条件:a1>1,a2015a2016>1,

a2015 ? 1 <0.给出下列结论: (1)0<q<1; (2)a20l5a2017-1>0; (3)T2016 的值是 Tn 中 a2016 ? 1
最大的; (4)使 Tn >1 成立的最大自然数 n 等于 4030.其中正确的结论为 A. (1) , (3) B. (2) , (3) C. (1) , (4)
2

D. (2) , (4)

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11.已知正四面体 S-ABC 的外接球 O 的半径为 6 ,过 AB 中点 E 作球 O 的截面,则截面 面积的最小值为 A.4π
x

B.6π
2

C.

16? 3

D.

4? 3

12.若函数 f(x)= e · ( x +ax+b)有极值点 x1,x2(x1<x2) ,且 f(x1)=x1,则关于 x 的方程 f 2 ( x) +(2+a)f(x)+a+b=0 的不同实根个数为 A.0 B.3 C.4 D.5

第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分)
二、填空题:本题共 4 个小题。每小题 5 分.共 20 分.

+x+ ) 的展开式中常数项为__________________. 13. (1
14.已知 F 为抛物线 y =4x 的焦点,P(x,y)是该 抛物线上的动点,点 A 是抛物线的准线与 x 轴的 交点, 当
2

1 x

6

PF PA

最小时, 点 P 的坐标为__________.

15.如图所示,若在边长为 e(e 为自然对数的底数) 的正方形中随机撒一粒黄豆,则它落在阴影部分 的概率为____________. 16.对于数列{ an },若 ?m ,n∈N ﹡(m≠n) ,都有

an-am ≥t (t 为常数)成立,则称 n-m a 2 数列{ an }具有性质 P (t) . 若数列{ an }的通项公式为 an = n - , 且具有性质 P(10) , n

则实数 a 的取值范围是___________. 三、解答题:本大题共 6 个小题,共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分) 在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,cosBsinC+(a-sinB)cos(A+B) =0,c= 3 . (1)求角 C 的大小; (2)求 sinA·sinB 的最大值.

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18. (本小题满分 12 分) 如图 1,在边长为 4 的正方形 ABCD 中,E, F 分别为 AB, CD 的中点, 沿 EF 将矩形 ADFE 折起使得二面角 A-EF-C 的大小为 90° (如图 2) ,点 G 是 CD 的中点. (1)若 M 为棱 AD 上一点,且 AD =4 MD , 求证:DE 上平面 MFC; (2)求二面角 E-FG-B 的余弦值. 19. (本小题满分 12 分) 已知某水库近 50 年来年入流量 X(单位:亿立方米)的频数分布如下表: 年入流量 年数 40<X<80 10 80≤X≤120 35 X>120 5

uuu r

uuu r

将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率,并假设各年的年入流量相互独立.现 计划在该水库建一座至多安装 3 台发电机组的水电站,已知每年发电机组最多可运行台 数 Y 受当年年入流量 X 的限制,并有如下关系:

(1)求随机变量 Y 的数学期望; (2)若某台发电机组正常运行,则该台发电机组年利润为 5000 万元;若某台发电机组 未运行,则该台发电机组年亏损 800 万元.为使水电站年总利润的期望达到最大, 应安装发电机组多少台? 20. (本小题满分 12 分) 已知椭圆 C:

x2 y 2 + =1 (a>b>0)的左、右顶点分别为 A,B,右焦点为 F,离心率 a 2 b2

e=

1 ,点 P 是椭圆 C 上异于 A,B 两点的动点,△APB 的面积最大值为 2 3 . 2

(1)求椭圆 C 的方程; (2) 若直线 AP 与直线 x=2 交于 D 点, 试判断以 BD 为直径的圆与直线 PF 的位置关系, 并作出证明.

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21. (本小题满分 12 分) 设函数 f(x)=alnx+

1 2 x -bx(a,b∈R,a≠0) ,x=1 为函数 f(x)的极值点. 2

(1)若 x=1 为函数 f(x)的极大值点,求 f(x)的单调区间(用 a 表示) ; (2)若函数 f(x)恰有一个零点,求实数 a 的取值范围. 请考生在第 22、23、24 题中任选一题做答。如果多做.则按所做的第一题记分.做答 时.用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑. 22. (本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 如图所示, 已知圆 O 外有一点 P, 作圆 O 的切线 PM, M 为切点,过 PM 的中点 N,作割线 NAB,交圆于 A,B 两点,连接 PA 并延长,交圆 O 于点 C,连接 PB 交圆 O 于点 D,若 MC=BC. (1)求证:△APM∽△ABP; (2)求证:四边形 PMCD 是平行四边形. 23. (本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 已知曲线 C 的极坐标方程是ρ =2cosθ ,以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为 x 轴

? 3 x= t+m ? ? 2 的正半轴,建立平面直角坐标系,直线 l 的参数方程是 ? (t 为参数) . 1 ? y= t ? ? 2
(1)求曲线 C 的直角坐标方程与直线 l 的普通方程; (2)设点 P(m,0) ,若直线 l 与曲线 C 交于 A,B 两点,且|PA|·|PB|=1,求实 数 m 的值. 24. (本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 设函数 f(x)=|2x-1 |-|x+2|. (1)解不等式 f(x)>0; (2)若 ?x0 ∈R,使得 f( x0 )+2m2<4m,求实数 m 的取值范围.

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