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湖北省黄冈中学2012届高三第一次月考试题--数学理


黄冈中学 2012 届高三年级九月摸底考试

数 学 试 题(理)
一、选择题:(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的.) 1.已知集合 M = { y | y = x 2 ? 1, x ∈ R} , N = {x | y = A. {( ? 2 , 1) , ( 2 , 1)}
C .[ ? 1 ,

3 ? x 2 } ,则 M I N =
2 ,1 }





B .{ ? 2 D. φ

3]

2.已知幂函数 y= f ( x ) 的图象经过点 (4, ) ,则 f (2) = 1 A. 4 B. 2 2
x→0

1 2


D. 2



C. 4

3.已知函数 f ( x ) 是可导函数,且满足 lim

f (1) ? f (1 ? x ) = ? 1 ,则在曲线 y = f ( x) 上的点 x

C .1 D . ?2

A (1, f (1)) 的切线斜率是
B .2 A . ?1 4.下列说法中,正确的是
2 2







A.命题“若 am < bm ,则 a < b ”的逆命题是真命题 B.命题“ ?x ∈ R , x ? x > 0 ”的否定是:“ ?x ∈ R , x ? x ≤ 0 ”
2 2

C.命题“ p 或 q ”为真命题,则命题“ p ”和命题“ q ”均为真命题 D.已知 x ∈ R ,则“ x > 1 ”是“ x > 2 ”的充分不必要条件 5.已知函数 f ( x ) 是 ( ?∞, +∞ ) 上的偶函数,若对于 x ≥ 0 ,都有 f ( x + 1) = ? f ( x ) ,且当 x ∈ [0, 2)

时, f ( x ) = log 2 ( x + 1), 则f ( ?2010) + f (2011) 的值为
A.-2 6.已知 f ( x) = ? B.-1 C .2 D.1





?x +1
2 ?x +1

x ∈ [?1, 0] x ∈ (0,1]

,则如图中函数的图象错误的是





1

7.某企业去年销售收入 1000 万元,年成本为生产成本 500 万元与年广告成本 200 万元两部分.若 年利润必须按 p%纳税,且年广告费超出年销售收入 2%的部分也按 p%纳税,其他不纳税.已 知该企业去年共纳税 120 万元.则税率 p %为 ( ) A.10% B.12% C.25% D.40% 8.函数 y = f '( x) 是函数 y = f ( x) 的导函数,且函数 y = f ( x) 在点 P ( x0 , f ( x0 )) 处的切线为

l : y = g ( x) = f '( x0 )( x ? x0 ) + f ( x0 ), F ( x) = f ( x) ? g ( x) ,如果函数 y = f ( x) 在区间 [a, b] 上
的图象如图所示,且 a < x0 < b ,那么 A. F '( x0 ) = 0, x = x0 是 F ( x) 的极大值点 B. F '( x0 ) = 0, x = x0 是 F ( x) 的极小值点 C. F '( x0 ) ≠ 0, x = x0 不是 F ( x) 极值点 D. F '( x0 ) ≠ 0, x = x0 是 F ( x) 极值点 9.f ( x) 是定义在 (0, +∞ ) 上的非负可导函数, 且满足 xf ′( x) ? f ( x) < 0 , 对任意正数 a、 若 a < b , b, 则必有 A. af (b) < bf ( a ) C. af ( a ) > bf (b) 10 . 若 函 数 y = f ( x ) B. af (b) > bf ( a ) D. af ( a ) < bf (b) ( ) ( )

( x ∈ R) 满 足

f ( x ? 2) = f ( x) , 且 x ∈ [ ?1,1] 时 , f ( x ) = 1 ? x 2 , 函 数

?lg x ? g ( x) = ? 1 ?? x ?

( x > 0) ( x < 0)

,则函数 h ( x ) = f ( x ) ? g ( x ) 在区间 [ ?5, 6] 内的零点的个数为(



A.13 B.8 C.9 二、填空题:(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.)

D. 10

11.若函数 h( x ) = e x + ln( x + 1) ? 5 (其中 e 为自然对数的底数)的零点 x0 ∈ (n, n + 1) , n ∈ Z ,则

n 的值为__________.
?2 x ? 12.设 f ( x ) = ? 1 ?? x ? x ∈ [0,1] x ∈ (1, e]
(其中 e 为自然对数的底数),则



e

0

f ( x ) dx = ___________.

13.对于两个非空集合 M、P,定义运算: M ⊕ P = {x | x ∈ M 或x ∈ P, 且x ? M I P} .已知集合

A = {x | x 2 ? 3 x + 2 = 0} , B = { y | y = x 2 ? 2 x + 3, x ∈ A} ,则 A ⊕ B = __________.

2

14.将函数 y = f (2 x ? 1) 的图像向左平移 2 个单位后得到曲线 C,如果曲线 C 与函数 y = 2 的图像
x

关于 y = x 轴对称,则 f (7) = ___________ . 15.下列说法正确的为 .

①集合 A = x | x ? 3 x ? 10 ≤ 0 ,B ={ x | a + 1 ≤ x ≤ 2a ? 1 },若 B ? A ,则 ?3 ≤ a ≤ 3 ;
2

{

}

②函数 y = f ( x) 的图像与直线 x = 1 的交点个数为 0 或 l; ③ y = f ( x ? 2) 与 y = f (2 ? x ) 的图象关于直线 x = 2 对称; ④ a ∈ ( ,+∞)时,函数 y = lg( x 2 + x + a ) 的值域为 R; ⑤与函数 y = f ( x ) ? 2 的图像关于点 (1, ?1) 对称的图像对应的函数为 y = ? f (2 ? x ) . 三、解答题(本大题共 6 小题,共 74 分,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 16.(本小题满分 10 分)化简或求值:

1 4

16 ? 1 4 0 ( 2 2) ? ( )2 ? 2 × 80.25 ? 2005) ; 4 ( (Ⅰ)( 2 × 3) + 49
3 6

4 3

(Ⅱ)

lg 5 ? lg 8000 + (lg 2 lg 600 ? lg 0.6

3

)2



17.(本小题满分 12 分) 已知 y = f ( x) 的定义域为 R ,且恒有等式 2 f ( x ) + f ( ? x ) + 2 x = 0 对任意的实数 x 成立. (Ⅰ)试求 f ( x ) 的解析式; (Ⅱ)讨论 f ( x ) 在 R 上的单调性,并用单调性定义予以证明. ..

18.(本小题满分 12 分) 已知 x = 1 是函数 f ( x ) =

1 3 3 2 ax ? x + (a + 1) x + 5 的一个极值点. 3 2

(Ⅰ)求函数 f ( x ) 的解析式; (Ⅱ)若曲线 y = f ( x) 与直线 y = 2 x + m 有三个交点,求实数 m 的取值范围.

3

19.(本小题满分 13 分) 为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗,房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层.某幢建 筑物要建造可使用 20 年的隔热层,每厘米厚的隔热层建造成本为 6 万元.该建筑物每年的能源 消耗费用 G (单位:万元)与隔热层厚度 x(单位:cm)满足关系:G ( x ) =

k (0 ≤ x ≤ 10), 3x + 5

若不建隔热层,每年能源消耗费用为 8 万元.设 f ( x ) 为隔热层建造费用与 20 年的能源消耗费 用之和. (Ⅰ)求 k 的值及 f ( x ) 的表达式; (Ⅱ)隔热层修建多厚时,总费用 f ( x ) 达到最小,并求最小值.

20.(本小题满分 14 分) 已知命题 p :存在实数 a 使函数 f ( x) = x 2 ? 4ax + 4a 2 + 2 在区间 [ ?1,3] 上的最小值等于 2;命题 q :存在实数 a ,使函数 f(x)=loga(2-ax)在[0,1]上是关于 x 的减函数.若 “ p ∧ q 为假”且“ p ∨ q 为真”,试求实数 a 的取值范围.

21.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) = e x ( e 为自然对数的底数), g ( x) = ln( f ( x) + a ) ( a 为常数), g ( x) 是 实数集 R 上的奇函数. (Ⅰ)求证: f ( x ) ≥ x + 1( x ∈ R ) ; (Ⅱ)关于 x 的方程 2 ln[ g ( x + 1)] = x 2 ? x + m 在区间 [0, 2] 内恰有两个实根,试求实数 m 的范 围;

e ?1? ?2? ?3? ?n? (Ⅲ)设 n ∈ N ,证明:? ? + ? ? + ? ? + L + ? ? < ( e 为自然对数的底数). e ?1 ?n? ?n? ?n? ?n?
*

n

n

n

n

4



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