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高中数学全部知识点整理 超经典


高中高一数学必修 1 各章知识点总结 第一章 集合与函数概念 一、集合有关概念 1、集合的含义:某些指定的对象集在一起就成为一个集合,其中每一个对象叫元素。 2、集合的中元素的三个特性:1.元素的确定性; 2.元素的互异性; 3.元素的无序性. 3、集合的表示:(1){ ? } 如{我校的篮球队员},{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋} (2). 用拉丁字母表示集合:A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5} 4.集合的表示方法:列举法与描述法。 常用数集及其记法:非负整数集(即自然数集) 记作:N 正整数集 N*或 N+ 整数集 Z 有理数集 Q 实数集 R 5.关于“属于”的概念 集合的元素通常用小写的拉丁字母表示,如:a 是集合 A 的元素,就说 a 属于集合 A 记作 a∈A ,相 反,a 不属于集合 A 记作 a?A 列举法:把集合中的元素一一列举出来,然后用一个大括号括上。 描述法:将集合中的元素的公共属性描述出来,写在大括号内表示集合的方法。用确定的条件表 示某些对象是否属于这个集合的方法。 6、集合的分类: (1).有限集 含有有限个元素的集合 (2).无限集 含有无限个元素的集合 2 (3).空集 不含任何元素的集合 例:{x|x =-5}=Φ 二、集合间的基本关系 1.“包含”关系—子集注意: A ? B 有两种可能(1)A 是 B 的一部分,(2)A 与 B 是同一集合。反之: 集 ;
? ? 合 A 不包含于集合 B,或集合 B 不包含集合 A,记作 A ? B 或 B ? A

2. “相等”关系:对于两个集合 A 与 B,如果集合 A 的任何一个元素都是集合 B 的元素,同时,集合 B 的任 何一个元素都是集合 A 的元素,我们就说集合 A 等于集合 B,即:A=B ① 任何一个集合是它本身的子集。即 A?A ②如果 A?B,且 A? B 那就说集合 A 是集合 B 的真子集,记作 A B(或 B A)

③如果 A?B, B?C ,那么 A?C ④ 如果 A?B 同时 B?A 那么 A=B 3. 不含任何元素的集合叫做空集,记为Φ 规定: 空集是任何集合的子集, 空集是任何非空集合的真子集。 三、集合的运算 1.交集的定义:一般地,由所有属于 A 且属于 B 的元素所组成的集合,叫做 A,B 的交集. 记作 A∩B(读作"A 交 B"),即 A∩B={x|x∈A,且 x∈B}. 2、并集的定义:一般地,由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素所组成的集合,叫做 A,B 的并集。记作: A∪B(读作"A 并 B"),即 A∪B={x|x∈A,或 x∈B}. 3、交集与并集的性质:A∩A = A, A∩φ = φ , A∩B = B∩A,A∪A = A, A∪φ = A ,A∪B = B∪A. 4、全集与补集(1)补集:设 S 是一个集合,A 是 S 的一个子集(即 A ? S ) ,由 S 中所有不属于 A 的元 素组成的集合,叫做 S 中子集 A 的补集(或余集)记作: CSA 即 CSA ={x ? x?S 且 x?A} (2)全集:如果集合 S 含有我们所要研究的各个集合的全部元素, 看作一个全集。通常用 U 来表示。 (3)性质:⑴CU(C UA)=A ⑵(C UA)∩A=Φ ⑶(CUA)∪A=U 二、函数的有关概念 1.函数的概念:设 A、B 是非空的数集,如果按照某个确定的对应关
1

这个集合就可以 S CsA A 系 f,使对于集

合 A 中的任意一个数 x,在集合 B 中都有唯一确定的数 f(x)和它对应,那么就称 f:A→B 为从集合 A 到集 合 B 的一个函数.记作: y=f(x),x∈A.其中,x 叫做自变量,x 的取值范围 A 叫做函数的定义域;与 x 的值相对应的 y 值叫做函数值,函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域. 能使函数式有意义的实数 x 的集合称为函数的定义域,求函数的定义域时列不等式组的主要依据是: (1)分式的分母不等于零; (2)偶次方根的被开方数不小于零; (3)对数式的真数必须大于零;(4)指数、 对数式的底必须大于零且不等于 1. (5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么, 它的 定义域是使各部分都有意义的 x 的值组成的集合.(6)指数为零底不可以等于零 (7)实际问题中的函数的 定义域还要保证实际问题有意义. 2.构成函数的三要素:定义域、对应关系和值域 再注意: (1)由于值域是由定义域和对应关系决定的,所以,如果两个函数的定义域和对应关系 完全一致,即称这两个函数相等(或为同一函数) (2)两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关 系完全一致,而与表示自变量和函数值的字母无关。相同函数的判断方法:①表达式相同;②定义域 一致 (两点必须同时具备) 3.区间的概念(1)区间的分类:开区间、闭区间、半开半闭区间; (2)无穷区间; (3)区间的数轴表示. 4.映射 一般地,设 A、B 是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应法则 f,使对于集合 A 中的任意 一个元素 x,在集合 B 中都有唯一确定的元素 y 与之对应,那么就称对应 f:A ? B 为从集合 A 到集合 B 的 一个映射。记作“f:A ? B” 给定一个集合 A 到 B 的映射,如果 a∈A,b∈B.且元素 a 和元素 b 对应,那么,我们把元素 b 叫做元素 a 的 象,元素 a 叫做元素 b 的原象 说明:函数是一种特殊的映射,映射是一种特殊的对应,①集合 A、B 及对应法则 f 是确定的;②对 应法则有“方向性” ,即强调从集合 A 到集合 B 的对应,它与从 B 到 A 的对应关系一般是不同的;③对于 映射 f:A→B 来说,则应满足: (Ⅰ)集合 A 中的每一个元素,在集合 B 中都有象,并且象是唯一的; (Ⅱ) 集合 A 中不同的元素,在集合 B 中对应的象可以是同一个; (Ⅲ)不要求集合 B 中的每一个元素在集合 A 中都有原象。 5.常用的函数表示法:解析法: 图象法: 列表法: 6.分段函数 在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。 (1)分段函数是一个函数,不要把它误认为是几个函数; (2)分段函数的定义域是各段定义域的并集,值域是各段值域的并集. 7.函数单调性(1) .设函数 y=f(x)的定义域为 I,如果对于定义域 I 内的某个区间 D 内的任意两个自变 量 x1,x2,当 x1<x2 时,都有 f(x1)<f(x2),那么就说 f(x)在区间 D 上是增函数。区间 D 称为 y=f(x)的单调 增区间 如果对于区间 D 上的任意两个自变量的值 x1,x2,当 x1<x2 时,都有 f(x1)>f(x2),那么就说 f(x)在 这个区间上是减函数.区间 D 称为 y=f(x)的单调减区间. 注意: 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质,是函数的局部性质; (2) 图象的特点 如果函数 y=f(x)在某个区间是增函数或减函数,那么说函数 y=f(x)在这一区间 上具有(严格的)单调性, 在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的, 减函数的图象从左到右是下降的. (3).函数单调区间与单调性的判定方法 (A) 定义法:○任取 x1,x2∈D,且 x1<x2;○ 作差 f(x1)-f(x2);○ 变形(通常是因式分解 1 2 3 和配方) ○ 定号(即判断差 f(x1)-f(x2)的正负) ○ 下结论(指出函数 f(x)在给定的区间 D 上 ; 4 ; 5 的单调性) (B)图象法(从图象上看升降)_ . 注意: 函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集. 8.函数的奇偶性 (1)一般地,对于函数 f(x)的定义域内的任意一个 x,都有 f(-x)=f(x),那么 f(x)就叫做偶函 数. (2) .一般地,对于函数 f(x)的定义域内的任意一个 x,都有 f(-x)=—f(x),那么 f(x)就叫做 奇函数.
2

注意:○ 函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性,函数的奇偶性是函数的整体性质;函数 1 可能没有奇偶性,也可能既是奇函数又是偶函数。 2 ○ 由函数的奇偶性定义可知,函数具有奇偶性的一个必要条件是,对于定义域内的任意一个 x,

则-x 也一定是定义域内的一个自变量(即定义域关于原点对称) . (3)具有奇偶性的函数的图象的特征 偶函数的图象关于 y 轴对称;奇函数的图象关于原点对称. 总结:利用定义判断函数奇偶性的格式步骤:○ 首先确定函数的定义域,并判断其定义域是否 1 关于原点对称;○ 确定 f(-x)与 f(x)的关系;○ 作出相应结论:若 f(-x) = f(x) 或 f(-x)- 2 3 f(x) = 0,则 f(x)是偶函数;若 f(-x) =-f(x) 或 f(-x)+f(x) = 0,则 f(x)是奇函数. 9、函数的解析表达式 (1).函数的解析式是函数的一种表示方法,要求两个变量之间的函数关系时,一是要求出它们 之间的对应法则,二是要求出函数的定义域. (2).求函数的解析式的主要方法有:待定系数法、换元法、消参法等,如果已知函数解析式的 构造时,可用待定系数法;已知复合函数 f[g(x)]的表达式时,可用换元法,这时要注意元的取值范 围;当已知表达式较简单时,也可用凑配法;若已知抽象函数表达式,则常用解方程组消参的方法求 出 f(x)。 补充不等式的解法与二次函数(方程)的性质 1、a>0 时, | x |? a ? x ? ? a 或 x ? a , | x |? a ? ? a ? x ? a
b 2a
2

2、配方: a x ? b x ? c ? a ( x ?
2

) ?
2

4ac ? b 4a

2

3、△>0 时, a x ? b x ? c ? 0 ( a ? 0 )的两个根为 x1 、 x 2 ( x1 ? x 2 ),则
x1 ?

?b ?

b ? 4ac
2

2a

, x2 ?

?b ?

b ? 4ac
2



2a
2

a x ? b x ? c ? 0 ? x ? x1或 x ? x 2 , a x ? b x ? c ? 0 ? x 1 ? x ? x 2
2

2 4、△=0 时, a x ? b x ? c ? 0 ( a ? 0 )的两个等根为 x 0 ? ?

b 2a

,则

a x ? b x ? c ? 0 ? x ? x 0 , a x ? b x ? c ? 0 无解
2 2

ax ? bx ? c ? 0 ? x ? R , ax ? bx ? c ? 0 ? x ? x0
2 2

5、△<0 时, a x ? b x ? c ? 0 ( a ? 0 )无解,则
2

a x ? b x ? c ? 0 ? x ? R , a x ? b x ? c ? 0 无解
2 2

6.根与系数的关系 若 a x ? b x ? c ? 0 ( a ? 0 )的两个根为 x 1 , x 2 则
2

3

x1 ? x 2 ? ?

b a

, x1 ? x 2 ?

c a

高中数学必修 2 知识点 一、直线与方程 (1)直线的倾斜角 定义:x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地,当直线与 x 轴平行或重合时,我们 规定它的倾斜角为 0 度。因此,倾斜角的取值范围是 0°≤α <180° (2)直线的斜率 ①定义:倾斜角不是 90°的直线,它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜率常用 k 表示。即 k ? tan ? 。斜率反映直线与轴的倾斜程度。 当 ? ? ?0 , 90
? ?

? 时, k

? 0;

当 ? ? ?90 ,180
?

?

? 时, k

? 0;

当 ? ? 90 时, k 不存在。
?

②过两点的直线的斜率公式: k ?

y 2 ? y1 x 2 ? x1

( x1 ? x 2 )

注意下面四点:(1)当 x 1 ? x 2 时,公式右边无意义,直线的斜率不存在,倾斜角为 90°; (2)k 与 P1、P2 的顺序无关;(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得; (4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。 (3)直线方程 ①点斜式: y ? y 1 ? k ( x ? x 1 ) 直线斜率 k,且过点 ? x1 , y 1 ? 注意:当直线的斜率为 0°时,k=0,直线的方程是 y=y1。 当直线的斜率为 90°时,直线的斜率不存在,它的方程不能用点斜式表示.但因 l 上每一点的横坐 标都等于 x1,所以它的方程是 x=x1。 ②斜截式: y ? kx ? b ,直线斜率为 k,直线在 y 轴上的截距为 b ③两点式: ④截矩式:
y ? y1 y 2 ? y1 ? x ? x1 x 2 ? x1

( x1 ? x 2 , y 1 ? y 2 )直线两点 ? x1 , y 1 ? , ? x 2 , y 2 ?

x a

?

y b

?1

其中直线 l 与 x 轴交于点 ( a , 0 ) ,与 y 轴交于点 (0, b ) ,即 l 与 x 轴、 y 轴的截距分别为 a , b 。 ⑤一般式: Ax ? By ? C ? 0 (A,B 不全为 0) 注意:○各式的适用范围 1 2 ○特殊的方程如: 平行于 x 轴的直线: y ? b (b 为常数) ; 平行于 y 轴的直线: x ? a (a 为常数) ; (5)直线系方程:即具有某一共同性质的直线 (一)平行直线系 平行于已知直线 A 0 x ? B 0 y ? C 0 ? 0 ( A 0 , B 0 是不全为 0 的常数)的直线系: A 0 x ? B 0 y ? C ? 0 (C 为常数) (二)过定点的直线系 (ⅰ)斜率为 k 的直线系: y ? y 0 ? k ? x ? x 0 ? ,直线过定点 ? x 0 , y 0 ? ; (ⅱ)过两条直线 l1 : A1 x ? B 1 y ? C 1 ? 0 , l 2 : A 2 x ? B 2 y ? C 2 ? 0 的交点的直线系方程为

? A1 x ?

,其中直线 l 2 不在直线系中。 B1 y ? C 1 ? ? ? ? A 2 x ? B 2 y ? C 2 ? ? 0 ( ? 为参数)

(6)两直线平行与垂直 当 l 1 : y ? k 1 x ? b1 , l 2 : y ? k 2 x ? b 2 时,
l 1 // l 2 ? k 1 ? k 2 , b1 ? b 2 ; l 1 ? l 2 ? k 1 k 2 ? ? 1

注意:利用斜率判断直线的平行与垂直时,要注意斜率的存在与否。 (7)两条直线的交点 l 1 : A1 x ? B 1 y ? C 1 ? 0 l 2 : A 2 x ? B 2 y ? C 2 ? 0 相交 交点坐标即方程组 ? ?
A1 x ? B 1 y ? C 1 ? 0

的一组解。
4

? A2 x ? B 2 y ? C 2 ? 0

方程组无解 ? l 1 // l 2 ; 则 | A B |?
( x 2 ? x1 ) ? ( y 2 ? y 1 )
2 2

方程组有无数解 ? l 1 与 l 2 重合

(8)两点间距离公式:设 A ( x1 , y1 ), B x 2 , y 2)是平面直角坐标系中的两个点, ( (9)点到直线距离公式:一点 P ? x 0 , y 0 ? 到直线 l 1 : Ax ? By ? C ? 0 的距离 d
? By A
2

?

Ax

0

0

?C
2

? B

(10)两平行直线距离公式 在任一直线上任取一点,再转化为点到直线的距离进行求解。 二、圆的方程 1、圆的定义:平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆,定点为圆心,定长为圆的半径。 2、圆的方程 (1)标准方程 ? x ? a ? ? ? y ? b ? ? r ,圆心 ? a , b ? ,半径为 r;
2 2 2

(2)一般方程 x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0
2 2

当D

2

? E

2

? 4 F ? 0 时,方程表示圆,此时圆心为 ? ? ?
?
2 2

D 2

,?

1 E ? ,半径为 r ? ? 2 2 ?

D

2

? E

2

? 4F

当 D ? E ? 4 F ? 0 时,表示一个点; 当 D ? E ? 4 F ? 0 时,方程不表示任何图形。 (3)求圆方程的方法: 一般都采用待定系数法:先设后求。确定一个圆需要三个独立条件,若利用圆的标准方程, 需求出 a,b,r;若利用一般方程,需要求出 D,E,F; 另外要注意多利用圆的几何性质:如弦的中垂线必经过原点,以此来确定圆心的位置。 3、直线与圆的位置关系: 直线与圆的位置关系有相离,相切,相交三种情况,基本上由下列两种方法判断:
2 2

(1) 设直线 l : Ax ? By ? C ? 0 , C : ? x 圆

? a? ? ?y ? b?
2

2

? r

2

, 圆心 C ? a , b ? 到 l 的距离为 d

?

Aa ? Bb ? C A
2



? B

2

则有 d ? r ? l 与 C 相离 ; d ? r ? l 与 C 相切 ; d ? r ? l 与 C 相交 (2)设直线 l : Ax ? By ? C ? 0 ,圆 C : ? x ? a ? ? ? y ? b ? ? r 2 ,先将方程联立消元,得到一个一元二次 方程之后,令其中的判别式为 ? ,则有 ? ? 0 ? l 与 C 相离 ; ? ? 0 ? l 与 C 相切 ; ? ? 0 ? l 与 C 相交 2 注:如果圆心的位置在原点,可使用公式 xx 0 ? yy 0 ? r 去解直线与圆相切的问题,其中 ? x 0 , y 0 ? 表示 切点坐标,r 表示半径。 (3)过圆上一点的切线方程: 2 ①圆 x2+y2=r2,圆上一点为(x0,y0),则过此点的切线方程为 xx 0 ? yy 0 ? r (课本命题). ②圆(x-a)2+(y-b)2=r2,圆上一点为(x0,y0),则过此点的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)= r2 (课本命题的推 广). 4、圆与圆的位置关系:通过两圆半径的和(差) ,与圆心距(d)之间的大小比较来确定。 2 2 2 2 设圆 C 1 : ? x ? a 1 ? ? ? y ? b1 ? ? r , C 2 : ? x ? a 2 ? ? ? y ? b 2 ? 2 ? R 2 两圆的位置关系常通过两圆半径的和(差) ,与圆心距(d)之间的大小比较来确定。 当 d ? R ? r 时两圆外离,此时有公切线四条; 当 d ? R ? r 时两圆外切,连心线过切点,有外公切线两条,内公切线一条; 当 R ? r ? d ? R ? r 时两圆相交,连心线垂直平分公共弦,有两条外公切线; 当 d ? R ? r 时,两圆内切,连心线经过切点,只有一条公切线; 当 d ? R ? r 时,两圆内含; 当 d ? 0 时,为同心圆。 三、立体几何初步 1、柱、锥、台、球的结构特征
2 2

5

(1)棱柱:定义:有两个面互相平行,其余各面都是四边形,且每相邻两个四边形的公共边都互相平行, 由这些面所围成的几何体。 分类:以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。 表示:用各顶点字母,如五棱柱 ABCDE ? A B C D E 或用对角线的端点字母,如五棱柱 AD 几何特征:两底面是对应边平行的全等多边形;侧面、对角面都是平行四边形;侧棱平行且相等;平行于 底面的截面是与底面全等的多边形。 (2)棱锥 定义:有一个面是多边形,其余各面都是有一个公共顶点的三角形,由这些面所围成的几何体 分类:以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等
' ' ' ' '
'

表示:用各顶点字母,如五棱锥 P ? A B C D E 几何特征:侧面、对角面都是三角形;平行于底面的截面与底面相似,其相似比等于顶点到截面距离与高 的比的平方。 (3)棱台:定义:用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,截面和底面之间的部分 分类:以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等
' ' ' ' '

表示:用各顶点字母,如五棱台 P ? A B C D E 几何特征:①上下底面是相似的平行多边形 ②侧面是梯形 ③侧棱交于原棱锥的顶点 (4)圆柱:定义:以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体 几何特征:①底面是全等的圆;②母线与轴平行;③轴与底面圆的半径垂直;④侧面展开图是一个矩形。 (5)圆锥:定义:以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成的曲面所围成的几何体 几何特征:①底面是一个圆;②母线交于圆锥的顶点;③侧面展开图是一个扇形。 (6)圆台:定义:用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥,截面和底面之间的部分 几何特征:①上下底面是两个圆;②侧面母线交于原圆锥的顶点;③侧面展开图是一个弓形。 (7)球体:定义:以半圆的直径所在直线为旋转轴,半圆面旋转一周形成的几何体 几何特征:①球的截面是圆;②球面上任意一点到球心的距离等于半径。 2、空间几何体的三视图 定义三视图:正视图(光线从几何体的前面向后面正投影) ;侧视图(从左向右) 、 俯视图(从上向下) 注:正视图反映了物体上下、左右的位置关系,即反映了物体的高度和长度; 俯视图反映了物体左右、前后的位置关系,即反映了物体的长度和宽度; 侧视图反映了物体上下、前后的位置关系,即反映了物体的高度和宽度。
' ' ' ' '

3、空间几何体的直观图——斜二测画法 斜二测画法特点:①原来与 x 轴平行的线段仍然与 x 平行且长度不变; ②原来与 y 轴平行的线段仍然与 y 平行,长度为原来的一半。 4、柱体、锥体、台体的表面积与体积 (1)几何体的表面积为几何体各个面的面积的和。 (2)特殊几何体表面积公式(c 为底面周长,h 为高, h 为斜高,l 为母线)
'

S 直棱柱侧面积
S 正棱台侧面积 ? 1 2

? ch
( c1 ? c 2 ) h '

S 圆柱侧

? 2 ? rh

S 正棱锥侧面积

?

1 2

ch '

S 圆锥侧面积

? ? rl

S 圆 台 侧 面 积 ? ( r ? R )? l

S 圆柱表 ? 2 ? r ? r ? l ?
V柱 ? S h

S 圆 锥 表 ? ? r ?r ? l ?
1 3

S 圆台表 ? ? r
1 3

?

2

? rl ? Rl ? R

2

?

(3)柱体、锥体、台体的体积公式
V 圆 柱 ? S h? ?
2

r h

V锥 ?

S h

V 圆锥 ?

?r h
2

6

V台 ?

1 3

(S ?
'

S S ? S )h
'

V圆 台 ?

1 3

(S ?
'

S S ? S )h ?
'

1 3

? ( r ? rR ? R ) h
2 2

(4)球体的表面积和体积公式:V 球 = 4 ? R
3

3

2 ; S 球面 = 4 ? R

4、空间点、直线、平面的位置关系 (1)平面 ① 平面的概念: A.描述性说明; B.平面是无限伸展的; ② 平面的表示:通常用希腊字母α 、β 、γ 表示,如平面α (通常写在一个锐角内) ; 也可以用两个相对顶点的字母来表示,如平面 BC。 ③ 点与平面的关系:点 A 在平面 ? 内,记作 A ? ? ;点 A 不在平面 ? 内,记作 A ? ? 点与直线的关系:点 A 的直线 l 上,记作:A∈l; 点 A 在直线 l 外,记作 A ? l; 直线与平面的关系:直线 l 在平面α 内,记作 l ? α ;直线 l 不在平面α 内,记作 l ? α 。 (2)公理 1:如果一条直线的两点在一个平面内,那么这条直线是所有的点都在这个平面内。 (即直线 在平面内,或者平面经过直线) 应用:检验桌面是否平; 判断直线是否在平面内 用符号语言表示公理 1: A ? l , B ? l , A ? ? , B ? ? ? l ? ? (3)公理 2:经过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面。 推论:一直线和直线外一点确定一平面;两相交直线确定一平面;两平行直线确定一平面。 公理 2 及其推论作用:①它是空间内确定平面的依据 ②它是证明平面重合的依据 (4)公理 3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线 符号:平面α 和β 相交,交线是 a,记作α ∩β =a。 符号语言: P ? A ? B ? A ? B ? l , P ? l 公理 3 的作用: ①它是判定两个平面相交的方法。 ②它说明两个平面的交线与两个平面公共点之间的关系:交线必过公共点。 ③它可以判断点在直线上,即证若干个点共线的重要依据。 (5)公理 4:平行于同一条直线的两条直线互相平行 (6)空间直线与直线之间的位置关系 ① 异面直线定义:不同在任何一个平面内的两条直线 ② 异面直线性质:既不平行,又不相交。 ③ 异面直线判定:过平面外一点与平面内一点的直线与平面内不过该店的直线是异面直线 ④ 异面直线所成角:直线 a、b 是异面直线,经过空间任意一点 O,分别引直线 a’∥a,b’∥b,则把直线 a’和 b’所成的锐角(或直角)叫做异面直线 a 和 b 所成的角。两条异面直线所成角的范围是(0°,90°], 若两条异面直线所成的角是直角,我们就说这两条异面直线互相垂直。 说明: (1)判定空间直线是异面直线方法:①根据异面直线的定义;②异面直线的判定定理 (2)在异面直线所成角定义中,空间一点 O 是任取的,而和点 O 的位置无关。
7

②求异面直线所成角步骤: A、利用定义构造角,可固定一条,平移另一条,或两条同时平移到某个特殊的位置,顶点选在特殊的位 置上。 B、证明作出的角即为所求角 C、利用三角形来求角 (7)等角定理:如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行,那么这两角相等或互补。 (8)空间直线与平面之间的位置关系 直线在平面内——有无数个公共点.

三种位置关系的符号表示:a ? α a∩α =A a∥α (9)平面与平面之间的位置关系:平行——没有公共点;α ∥β 相交——有一条公共直线。α ∩β =b 5、空间中的平行问题 (1)直线与平面平行的判定及其性质 线面平行的判定定理:平面外一条直线与此平面内一条直线平行,则该直线与此平面平行。 线线平行 ? 线面平行 线面平行的性质定理:如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线 和交线平行。线面平行 ? 线线平行 (2)平面与平面平行的判定及其性质 两个平面平行的判定定理 (1) 如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面, 那么这两个平面平行 (线面平行→面面平行) , (2)如果在两个平面内,各有两组相交直线对应平行,那么这两个平面平行。 (线线平行→面面平行) , (3)垂直于同一条直线的两个平面平行, 两个平面平行的性质定理 (1)如果两个平面平行,那么某一个平面内的直线与另一个平面平行。 (面面平行→线面平行) (2)如果两个平行平面都和第三个平面相交,那么它们的交线平行。 (面面平行→线线平行) 7、空间中的垂直问题 (1)线线、面面、线面垂直的定义 ①两条异面直线的垂直:如果两条异面直线所成的角是直角,就说这两条异面直线互相垂直。 ②线面垂直:如果一条直线和一个平面内的任何一条直线垂直,就说这条直线和这个平面垂直。 ③平面和平面垂直:如果两个平面相交,所成的二面角(从一条直线出发的两个半平面所组成的图形)是 直二面角(平面角是直角) ,就说这两个平面垂直。 (2)垂直关系的判定和性质定理 ①线面垂直判定定理和性质定理 判定定理:如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线垂直这个平面。 性质定理:如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线平行。 ②面面垂直的判定定理和性质定理 判定定理:如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直。 性质定理:如果两个平面互相垂直,那么在一个平面内垂直于他们的交线的直线垂直于另一个平面。 9、空间角问题 (1)直线与直线所成的角 ①两平行直线所成的角:规定为 0 ? 。 ②两条相交直线所成的角:两条直线相交其中不大于直角的角,叫这两条直线所成的角。 ③两条异面直线所成的角:过空间任意一点 O,分别作与两条异面直线 a,b 平行的直线 a ? , b ? ,形成两 条相交直线,这两条相交直线所成的不大于直角的角叫做两条异面直线所成的角。 (2)直线和平面所成的角 ? ? ①平面的平行线与平面所成的角:规定为 0 。 ②平面的垂线与平面所成的角:规定为 90 。 ③平面的斜线与平面所成的角:平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角,叫做这条直线和这个平 面所成的角。 求斜线与平面所成角的思路类似于求异面直线所成角: “一作,二证,三计算” 。 在“作角”时依定义关键作射影,由射影定义知关键在于斜线上一点到面的垂线, 在解题时,注意挖掘题设中两个主要信息: (1)斜线上一点到面的垂线; (2)过斜线上的一点或过斜线的 平面与已知面垂直,由面面垂直性质易得垂线。 (3)二面角和二面角的平面角
8

①二面角的定义:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角,这条直线叫做二面角的棱,这 两个半平面叫做二面角的面。 ②二面角的平面角:以二面角的棱上任意一点为顶点,在两个面内分别作垂直于棱的两条射线,这两条射 .. ... 线所成的角叫二面角的平面角。 ③直二面角:平面角是直角的二面角叫直二面角。 两相交平面如果所组成的二面角是直二面角,那么这两个平面垂直;反过来,如果两个平面垂直,那么 所成的二面角为直二面角 ④求二面角的方法 定义法:在棱上选择有关点,过这个点分别在两个面内作垂直于棱的射线得到平面角 垂面法:已知二面角内一点到两个面的垂线时,过两垂线作平面与两个面的交线所成的角为二面角的平面 角 7、空间直角坐标系

(1)定义:如图, O B C D ? D , A , B , C , 是单位正方体.以 A 为原点, 分别以 OD,O A , ,OB 的方向为正方向,建立三条数轴 x 轴 . y 轴 . z 轴 。 这时建立了一个空间直角坐标系 Oxyz. 1)O 叫做坐标原点 2)x 轴,y 轴,z 轴叫做坐标轴. 3)过每两个坐标轴的平面叫做坐标面。 (2)右手表示法: 令右手大拇指、食指和中指相互垂直时,可能形成的位置。大拇指指向为 x 轴正方向, 食指指向为 y 轴正向,中指指向则为 z 轴正向,这样也可以决定三轴间的相位置。 (3)任意点坐标表示:空间一点 M 的坐标可以用有序实数组 ( x , y , z ) 来表示,有序实数组 ( x , y , z ) 叫做点 M 在此空间直角坐标系中的坐标,记作 M ( x , y , z ) (x 叫做点 M 的横坐标,y 叫做点 M 的纵坐标,z 叫做 点 M 的竖坐标) (4)空间两点距离坐标公式: d 高中数学必修 3 知识点 第一章 算法初步 1.1.1 算法的概念
? ( x 2 ? x1 ) ? ( y 2 ? y1 ) ? ( z 2 ? z1 )
2 2 2

算法的特点: (1)有限性:一个算法的步骤序列是有限的,必须在有限操作之后停止,不能是无限的. (2)确定性:算法中的每一步应该是确定的并且能有效地执行且得到确定的结果,而不应当是模棱两可. (3)顺序性与正确性: 算法从初始步骤开始, 分为若干明确的步骤, 每一个步骤只能有一个确定的后继步骤, 前一步是后一步的前提,只有执行完前一步才能进行下一步,并且每一步都准确无误,才能完成问题. (4)不唯一性:求解某一个问题的解法不一定是唯一的,对于一个问题可以有不同的算法. (5)普遍性:很多具体的问题,都可以设计合理的算法去解决,如心算、计算器计算都要经过有限、事先设 计好的步骤加以解决. 1.1.2 程序框图

1、程序框图基本概念: (一)程序构图的概念:程序框图又称流程图,是一种用规定的图形、指向线及文字说明来准确、直观地 表示算法的图形。
9

一个程序框图包括以下几部分:表示相应操作的程序框;带箭头的流程线;程序框外必要文字说明。 (二)构成程序框的图形符号及其作用 程序框 名称 起止框 图不可少的。 表示一个算法输入和输出的信息,可用在 输入、输出框 算法中任何需要输入、输出的位置。 赋值、计算,算法中处理数据需要的算式、 处理框 公式等分别写在不同的用以处理数据的处 理框内。 判断某一条件是否成立,成立时在出口处 判断框 标明“是”或“Y” ;不成立时标明“否” 或“N” 。 功能 表示一个算法的起始和结束,是任何流程

学习这部分知识的时候,要掌握各个图形的形状、作用及使用规则,画程序框图的规则如下: 1、使用标准的图形符号。2、框图一般按从上到下、从左到右的方向画。3、除判断框外,大多数流程图 符号只有一个进入点和一个退出点。判断框具有超过一个退出点的唯一符号。4、判断框分两大类,一类 判断框“是”与“否”两分支的判断,而且有且仅有两个结果;另一类是多分支判断,有几种不同的结果。 5、在图形符号内描述的语言要非常简练清楚。 (三) 、算法的三种基本逻辑结构:顺序结构、条件结构、循环结构。 1、顺序结构:顺序结构是最简单的算法结构,语句与语句之间,框与框之间是按从上到下的顺序进行的, 它是由若干个依次执行的处理步骤组成的,它是任何一个算法都离不开的一种基本算法结构。 顺序结构在程序框图中的体现就是用流程线将程序框自上而 下地连接起来,按顺序执行算法步骤。如在示意图中,A 框和 B 框是依次执行的,只有在执行完 A 框指定的操作后,才能接着执 行 B 框所指定的操作。 2、条件结构: 条件结构是指在算法中通过对条件的判断 根据条件是否成立而选择不同流向的算法结构。 条件 P 是否成立而选择执行 A 框或 B 框。无论 P 条件是否成立,只能执行 A 框或 B 框之一,不可能同时执 行 A 框和 B 框,也不可能 A 框、B 框都不执行。一个判断结构可以有多个判断框。

A

B

10

3、循环结构:在一些算法中,经常会出现从某处开始,按照一定条件,反复执行某一处理步骤的情况, 这就是循环结构,反复执行的处理步骤为循环体,显然,循环结构中一定包含条件结构。循环结构又称重 复结构,循环结构可细分为两类: (1) 、一类是当型循环结构,如下左图所示,它的功能是当给定的条件 P 成立时,执行 A 框,A 框执行完 毕后,再判断条件 P 是否成立,如果仍然成立,再执行 A 框,如此反复执行 A 框,直到某一次条件 P 不 成立为止,此时不再执行 A 框,离开循环结构。 (2) 、另一类是直到型循环结构,如下右图所示,它的功能是先执行,然后判断给定的条件 P 是否成立, 如果 P 仍然不成立,则继续执行 A 框,直到某一次给定的条件 P 成立为止,此时不再执行 A 框,离开循 环结构。

A P
不成立

A P
成立 不成立

成立
当 型 循 环 结



直到型循环结构

注意:1 循环结构要在某个条件下终止循环,这就需要条件结构来判断。因此,循环结构中一定包含 条件结构,但不允许“死循环” 在循环结构中都有一个计数变量和累加变量。计数变量用于记录循环次 。2 数,累加变量用于输出结果。计数变量和累加变量一般是同步执行的,累加一次,计数一次。 1.2.1 输入、输出语句和赋值语句

3、赋值语句 (1)赋值语句的一般格式 图形计算器 格式

变量=表达式

表达式 ? 变量

(2)赋值语句的作用是将表达式所代表的值赋给变量; (3)赋值语句中的“=”称作赋值号,与数学中 的等号的意义是不同的。赋值号的左右两边不能对换,它将赋值号右边的表达式的值赋给赋值号左边的变 量; (4)赋值语句左边只能是变量名字,而不是表达式,右边表达式可以是一个数据、常量或算式; (5) 对于一个变量可以多次赋值。 注意:①赋值号左边只能是变量名字,而不能是表达式。如:2=X 是错误的。②赋值号左右不能对换。 如“A=B” “B=A”的含义运行结果是不同的。③不能利用赋值语句进行代数式的演算。 (如化简、因式分 解、解方程等)④赋值号“=”与数学中的等号意义不同。

分析:在 IF—THEN—ELSE 语句中, “条件”表示判断的条件, “语句 1”表示满足条件时执行的操作内容; “语句 2”表示不满足条件时执行的操作内容;END IF 表示条件语句的结束。计算机在执行时,首先对

IF 后的条件进行判断,如果条件符合,则执行 THEN 后面的语句 1;若条件不符合,则执行 ELSE 后面的
11

语句 2 1.3.1 辗转相除法与更相减损术 1、辗转相除法。也叫欧几里德算法,用辗转相除法求最大公约数的步骤如下: (1) :用较大的数 m 除以较小的数 n 得到一个商 公约数;若
R0 S0

和一个余数
S1

R0

; :若 (2)
R1

R0

=0,则 n 为 m,n 的最大
R1

≠0,则用除数 n 除以余数
R1

R0

得到一个商
R1

和一个余数
S2

; :若 (3)
R2

=0,则

R1

为 m,n

的最大公约数;若 直至
Rn

≠0,则用除数
R n ?1

R0

除以余数

得到一个商

和一个余数

;??

依次计算

=0,此时所得到的

即为所求的最大公约数。

2、更相减损术 我国早期也有求最大公约数问题的算法,就是更相减损术。在《九章算术》中有更相减损术求最大公约数 的步骤:可半者半之,不可半者,副置分母?子之数,以少减多,更相减损,求其等也,以等数约之。 翻译为: :任意给出两个正数;判断它们是否都是偶数。若是,用 2 约简;若不是,执行第二步。 : (1) (2) 以较大的数减去较小的数,接着把较小的数与所得的差比较,并以大数减小数。继续这个操作,直到所得 的数相等为止,则这个数(等数)就是所求的最大公约数。 例 2 用更相减损术求 98 与 63 的最大公约数. 分析: (略) 3、辗转相除法与更相减损术的区别: (1)都是求最大公约数的方法,计算上辗转相除法以除法为主,更相减损术以减法为主,计算次数上辗 转相除法计算次数相对较少,特别当两个数字大小区别较大时计算次数的区别较明显。 (2)从结果体现形式来看,辗转相除法体现结果是以相除余数为 0 则得到,而更相减损术则以减数与差 相等而得到

1.3.2 秦九韶算法与排序 1、秦九韶算法概念: f(x)=anxn+an-1xn-1+….+a1x+a0 求值问题 f(x)=anxn+an-1xn-1+….+a1x+a0=( anxn-1+an-1xn-2+….+a1)x+a0 =(( anxn-2+an-1xn-3+….+a2)x+a1)x+a0 =......=(...( anx+an-1)x+an-2)x+...+a1)x+a0 求多项式的值时,首先计算最内层括号内依次多项式的值,即 v1=anx+an-1 然后由内向外逐层计算一次多项式的值,即 v2=v1x+an-2 v3=v2x+an-3 ...... vn=vn-1x+a0

这样,把 n 次多项式的求值问题转化成求 n 个一次多项式的值的问题。
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第二章 2.1.1 简单随机抽样

统计

1.总体和样本 在统计学中 , 把研究对象的全体叫做总体. 把每个研究对象叫做个体. 把总体中个体的总数叫做总体容量. 为了研究总体 的有关性质,一般从总体中随机抽取一部分: 研究,我们称它为样本.其中个体的个数称为样本容量. 2.简单随机抽样,也叫纯随机抽样。就是从总体中不加任何分组、划类、排队等,完全随 机地抽取调查单位。特点是:每个样本单位被抽中的可能性相同(概率相等) ,样本的每个单位完全独 立,彼此间无一定的关联性和排斥性。简单随机抽样是其它各种抽样形式的基础。通常只是在总体单位之 间差异程度较小和数目较少时,才采用这种方法。 3.简单随机抽样常用的方法: (1)抽签法;⑵随机数表法;⑶计算机模拟法;⑷使用统计软件直接抽取。 在简单随机抽样的样本容量设计中,主要考虑:①总体变异情况;②允许误差范围;③概率保证 程度。 4.抽签法: (1)给调查对象群体中的每一个对象编号; (2)准备抽签的工具,实施抽签 (3)对样本中的每一个个体进行测量或调查 例:请调查你所在的学校的学生做喜欢的体育活动情况。 5.随机数表法: 例:利用随机数表在所在的班级中抽取 10 位同学参加某项活动。 2.1.2 系统抽样 1.系统抽样(等距抽样或机械抽样) : 把总体的单位进行排序,再计算出抽样距离,然后按照这一固定的抽样距离抽取样本。第一个样本采 用简单随机抽样的办法抽取。 K(抽样距离)=N(总体规模)/n(样本规模) 前提条件:总体中个体的排列对于研究的变量来说,应是随机的,即不存在某种与研究变量相关的规 则分布。可以在调查允许的条件下,从不同的样本开始抽样,对比几次样本的特点。如果有明显差别,说 明样本在总体中的分布承某种循环性规律,且这种循环和抽样距离重合。 2.系统抽样,即等距抽样是实际中最为常用的抽样方法之一。因为它对抽样框的要求较低,实施也比较 简单。更为重要的是,如果有某种与调查指标相关的辅助变量可供使用,总体单元按辅助变量的大小顺序 排队的话,使用系统抽样可以大大提高估计精度。
13







2.1.3 分层抽样 1.分层抽样(类型抽样) :先将总体中的所有单位按照某种特征或标志(性别、年龄等)划分成若干类型 或层次,然后再在各个类型或层次中采用简单随机抽样或系用抽样的办法抽取一个子样本,最后,将这些 子样本合起来构成总体的样本。 两种方法: 1.先以分层变量将总体划分为若干层,再按照各层在总体中的比例从各层中抽取。 2.先以分层变量将总体划分为若干层,再将各层中的元素按分层的顺序整齐排列,最后用系统抽样 的方法抽取样本。 2.分层抽样是把异质性较强的总体分成一个个同质性较强的子总体,再抽取不同的子总体中的样本分别 代表该子总体,所有的样本进而代表总体。 分层标准: (1)以调查所要分析和研究的主要变量或相关的变量作为分层的标准。 (2)以保证各层内部同质性强、各层之间异质性强、突出总体内在结构的变量作为分层变量。 (3)以那些有明显分层区分的变量作为分层变量。 3.分层的比例问题: (1)按比例分层抽样:根据各种类型或层次中的单位数目占总体单位数目的比重来抽取子样本的方法。 (2)不按比例分层抽样:有的层次在总体中的比重太小,其样本量就会非常少,此时采用该方法,主 要是便于对不同层次的子总体进行专门研究或进行相互比较。如果要用样本资料推断总体时,则需要先对 各层的数据资料进行加权处理,调整样本中各层的比例,使数据恢复到总体中各层实际的比例结构。 2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征 1、本均值: x ?
x1 ? x 2 ? ? ? x n n

2、 .样本标准差: s ?

s

2

?

( x1 ? x ) ? ( x 2 ? x ) ? ? ? ( x n ? x )
2 2

2

n

3.用样本估计总体时,如果抽样的方法比较合理,那么样本可以反映总体的信息,但从样本得到的信息 会有偏差。在随机抽样中,这种偏差是不可避免的。 虽然我们用样本数据得到的分布、 均值和标准差并不是总体的真正的分布、 均值和标准差, 而只是一个估计,但这种估计是合理的,特别是当样本量很大时,它们确实反映了总体的信息。 4. (1)如果把一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个共同的常数,标准差不变 (2)如果把一组数据中的每一个数据乘以一个共同的常数 k,标准差变为原来的 k 倍 (3)一组数据中的最大值和最小值对标准差的影响,区间 ( x ? 3 s , x ? 3 s ) 的应用; “去掉一个最高分,去掉一个最低分”中的科学道理 2.3.2 两个变量的线性相关
14

1、概念:

(1)回归直线方程

(2)回归系数

2.回归直线方程的应用 (1)描述两变量之间的依存关系;利用直线回归方程即可定量描述两个变量间依存的数量关系 (2)利用回归方程进行预测;把预报因子(即自变量 x)代入回归方程对预报量(即因变量 Y)进 行估计,即可得到个体 Y 值的容许区间。 (3)利用回归方程进行统计控制规定 Y 值的变化,通过控制 x 的范围来实现统计控制的目标。如 已经得到了空气中 NO2 的浓度和汽车流量间的回归方程, 即可通过控制汽车流量来控制空气 中 NO2 的浓度。 4.应用直线回归的注意事项 (1)做回归分析要有实际意义; (2)回归分析前,最好先作出散点图;

(3)回归直线不要外延。 第三章 3.1.1 —3.1.2 随机事件的概率及概率的意义 1、基本概念: (1)必然事件:在条件 S 下,一定会发生的事件,叫相对于条件 S 的必然事件; (2)不可能事件:在条件 S 下,一定不会发生的事件,叫相对于条件 S 的不可能事件; (3)确定事件:必然事件和不可能事件统称为相对于条件 S 的确定事件; (4)随机事件:在条件 S 下可能发生也可能不发生的事件,叫相对于条件 S 的随机事件; (5)频数与频率:在相同的条件 S 下重复 n 次试验,观察某一事件 A 是否出现,称 n 次试验中事件 A 出
nA

概 率

现的次数 nA 为事件 A 出现的频数;称事件 A 出现的比例 fn(A)= n 为事件 A 出现的概率: 对于给定的随机事件 A,如果随着试验次数的增加,事件 A 发生的频率 fn(A)稳定在某个常 数上,把这个常数记作 P(A) ,称为事件 A 的概率。
nA

(6)频率与概率的区别与联系:随机事件的频率,指此事件发生的次数 nA 与试验总次数 n 的比值 n , 它具有一定的稳定性,总在某个常数附近摆动,且随着试验次数的不断增多,这种摆动幅度 越来越小。我们把这个常数叫做随机事件的概率,概率从数量上反映了随机事件发生的可能 性的大小。频率在大量重复试验的前提下可以近似地作为这个事件的概率、 3.1.3 概率的基本性质 1、基本概念: (1)事件的包含、并事件、交事件、相等事件 (2)若 A∩B 为不可能事件,即 A∩B=ф ,那么称事件 A 与事件 B 互斥; (3)若 A∩B 为不可能事件,A∪B 为必然事件,那么称事件 A 与事件 B 互为对立事件;
15

(4)当事件 A 与 B 互斥时,满足加法公式:P(A∪B)= P(A)+ P(B);若事件 A 与 B 为对立事件,则 A∪B 为必然事件,所以 P(A∪B)= P(A)+ P(B)=1,于是有 P(A)=1—P(B) 2、概率的基本性质: 1)必然事件概率为 1,不可能事件概率为 0,因此 0≤P(A)≤1; 2)当事件 A 与 B 互斥时,满足加法公式:P(A∪B)= P(A)+ P(B); 3)若事件 A 与 B 为对立事件,则 A∪B 为必然事件,所以 P(A∪B)= P(A)+ P(B)=1,于是有 P(A)=1— P(B); 4)互斥事件与对立事件的区别与联系,互斥事件是指事件 A 与事件 B 在一次试验中不会同时发生,其 具体包括三种不同的情形: (1)事件 A 发生且事件 B 不发生; (2)事件 A 不发生且事件 B 发生; (3) 事件 A 与事件 B 同时不发生,而对立事件是指事件 A 与事件 B 有且仅有一个发生,其包括两种情

形; (1)事件 A 发生 B 不发生; (2)事件 B 发生事件 A 不发生,对立事件互斥事件的特殊情形。 3.2.1 —3.2.2 古典概型及随机数的产生 1、 (1)古典概型的使用条件:试验结果的有限性和所有结果的等可能性。 (2)古典概型的解题步骤; ①求出总的基本事件数;②求出事件 A 所包含的基本事件数,然后利用公式 P(A)
A 包含的基本事件数

= 总的基本事件个数 3.3.1—3.3.2 几何概型及均匀随机数的产生 1、基本概念: (1)几何概率模型:如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例,则 称这样的概率模型为几何概率模型; (2)几何概型的概率公式:
构成事件 A 的区域长度(面积或体 积) 积) ;

P(A)= 试验的全部结果所构成

的区域长度(面积或体

(3)几何概型的特点:1)试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个;2)每个基本事件出 现的可能性相等. 高中数学必修 4 知识点
?正 角 :按 逆 时 针 方 向 旋 转 形 成 的 角 ? 1 、 任 意 角 ?负 角 : 按 顺 时 针 方 向 旋 转 形 成 的 角 ? ?零 角 :不 作 任 何 旋 转 形 成 的 角

2、角 ? 的顶点与原点重合,角的始边与 x 轴的非负半轴重合,终边落在第几象限,则称 ? 为第几象限角. 第一象限角的集合为 ?? k ? 3 6 0 ? ? ? k ? 3 6 0 ? 9 0 , k ? ? ?
? ? ?

16

第二象限角的集合为 ?? k ? 3 6 0 ? 9 0 ? k ? 3 6 0 ? 1 8 0 , k ? ? ?
? ? ? ?

第三象限角的集合为 ?? k ? 3 6 0 ? 1 8 0 ? ? ? k ? 3 6 0 ? 2 7 0 , k ? ? ?
? ? ? ?

第四象限角的集合为 ?? k ? 3 6 0 ? 2 7 0 ? ? ? k ? 3 6 0 ? 3 6 0 , k ? ? ?
? ? ? ?

终边在 x 轴上的角的集合为 ?? ? ? k ? 1 8 0 , k ? ? ?
?

终边在 y 轴上的角的集合为 ?? ? ? k ? 1 8 0 ? 9 0 , k ? ? ?
? ?

终边在坐标轴上的角的集合为 ?? ? ? k ? 9 0 , k ? ? ?
?

3、与角 ? 终边相同的角的集合为 ? ? ? ? k ? 3 6 0 ? ? , k ? ? ?
?

4、已知 ? 是第几象限角,确定

?
n

? n ? ? ? 所在象限的方法:先把各象限均分 n 等份,再从 x 轴的正半轴
*

的上方起,依次将各区域标上一、二、三、四,则 ? 原来是第几象限对应的标号即为 域. 5、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度. 6、半径为 r 的圆的圆心角 ? 所对弧的长为 l ,则角 ? 的弧度数的绝对值是 ? ?
? 180 ? ? 7、弧度制与角度制的换算公式: 2 ? ? 3 6 0 , 1 ? ,1 ? ? ? ? 5 7 .3 . 180 ? ? ?
?
?

?
n

终边所落在的区

l r



?

?

C 8、 若扇形的圆心角为 ? ? ? 为 弧 度 制 ? , 半径为 r , 弧长为 l , 周长为 C , 面积为 S , l ? r ? , ? 2 r ? l , 则

S ?

1 2

lr ?

1 2

? r .
2

9 、 设 ? 是 一 个 任 意 大 小 的 角 , ? 的 终 边 上 任 意 一 点 ? 的 坐 标 是 ? x, y ? , 它 与 原 点 的 距 离 是
r r ?

?

x ? y
2

2

? 0 ,则 s in ? ?

?

y r

, cos ? ?

x r

, ta n ? ?

y x

?x

? 0?.

10、三角函数在各象限的符号:第一象限全为正,第二象限正弦为正,第三象限正切为正,第四象限余弦 为正. 11、三角函数线: sin ? ? ? ? , co s ? ? ? ? , tan ? ? ? ? .
2 2 ? 12 、 同 角 三 角 函 数 的 基 本 关 系 : ? 1 ? sin ? ? co s ? ? 1 ? s i n ? ? 1? c o s

2

2

, c o?s ?
2

?1

2

s? n; i ?

?2?

s in ? ? ? ? ta n ? ? s in ? ? ta n ? c o s ? , c o s ? ? ?. cos ? ta n ? ? ?

s in ?

y

13、三角函数的诱导公式:

? 1 ? sin ? 2 k ? ? 2 ? sin ? ?

??

? ? sin ? ,co s ? 2 k ?

??

??

co s ? ,tan ? 2 k ? ? ?

??

tan ? ? k ? ? ? .

P T v O MA x

??

??

? sin ? , co s ? ? ? ?

??

? co s ? , tan ? ? ? ?

??

tan ? .

? 3 ? sin ? ? ? ? ?

? sin ? , co s ? ? ?

??

co s ? , tan ? ? ?
17

??

? tan ? .

? 4 ? sin ? ?

??

? ? sin ? , c o s ? ?

??

??

? c o s ? , tan ? ? ? ?

??

? tan ? .

口诀:函数名称不变,符号看象限.

? 5 ? s in ?

? ?? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? c o s ? , c o s ? ? ? ? ? s in ? . ? 6 ? s in ? ? ? ? ? cos ? , cos ? ? ? ? ? ? s in ? . ? 2 ? ? 2 ? ? 2 ? ? 2 ? ??

口诀:正弦与余弦互换,符号看象限. 14、函数 y ? s in x 的图象上所有点向左(右)平移 ? 个单位长度,得到函数 y ? sin ? x ? ? ? 的图象;再 将函数 y ? sin ? x ? ? ? 的图象上所有点的横坐标伸长(缩短)到原来的
1

?

倍(纵坐标不变) ,得到函数

y ? sin ? ? x ? ? ? 的图象;再将函数 y ? sin ? ? x ? ? ? 的图象上所有点的纵坐标伸长(缩短) 到原来的 ? 倍

(横坐标不变) ,得到函数 y ? ? sin ? ? x ? ? ? 的图象. 函数 y ? s in x 的图象上所有点的横坐标伸长(缩短)到原来的
1

?

倍(纵坐标不变) ,得到函数
? ?

y ? sin ? x 的图象;再将函数 y ? sin ? x 的图象上所有点向左(右)平移

个单位长度,得到函数

y ? sin ? ? x ? ? ? 的图象;再将函数 y ? sin ? ? x ? ? ? 的图象上所有点的纵坐标伸长(缩短) 到原来的 ? 倍

(横坐标不变) ,得到函数 y ? ? sin ? ? x ? ? ? 的图象. 函数 y ? ? sin ? ? x ? ? ? ? ? ? 0, ? ? 0 ? 的性质: ①振幅: ? ;②周期: ? ?
2?

?

;③频率: f ?

1 ?

?

?
2?

;④相位: ? x ? ? ;⑤初相: ? .

函数 y ? ? s i n ? ? x ? ? ? ? ? ,当 x ? x 1 时,取得最小值为 y m in ;当 x ? x 2 时,取得最大值为 y m a x ,则
? ? 1 2

? ym ax ?

y m in ? , ? ?

1 2

? y m ax

? y m in ? ,

? 2

? x 2 ? x1 ? x1 ? x 2 ? .

15、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质: 性 函 质 数 y ? s in x
y ? co s x
y ? tan x

图 象

定 义 域 值 域

R

R

? ? ? ,k ? ?? ? x x ? k? ? 2 ? ?
R

? ? 1,1 ?

? ? 1,1 ?

18

当 x ? 2k? ? 时 ,

?
2

?k ? ??
; 当

当 x ? 2 k ? ? k ? ? ? 时,
y m a x ? 1 ;当 x ? 2 k ? ? ?

最 值

y m ax ? 1

x ? 2k? ?

?
2

既无最大值也无最小值

? k ? ? ? 时, y m in
? ?1 .
2?

? ?1 .

? k ? ? ? 时, y m in
周 期 性 奇 偶 性
? ?
2?

?

奇函数

偶函数

奇函数

在 ?2k? ? 单 调 性

?
2

, 2k? ?

? ?
2? ?



?2k?

? ? , 2k?

??k ? ? ?
在? k? ?
? ?

? k ? ? ? 上是增函数;在
? 3? ? ? 2k? ? , 2k? ? ? 2 2 ? ? ?

上 是 增 函 数 ; 在

?
2

, k? ?

? ?
? 2 ?

?2k? , 2k?

??

?

? k ? ? ? 上是增函数. ? k ? ? ? 上是减函数.

? k ? ? ? 上是减函数.
对 对 称 性 称 中 心 对 称 中 心 对 称 中 心

? k? , 0 ? ? k ? ? ?

x ? k? ?


?
2



? ? ? ,0 ??k ? ?? ? k? ? 2 ? ?

? k? ? ,0 ??k ? ?? ? ? 2 ?

?k ? ??

对称轴 x ? k ? ? k ? ? ?

无对称轴

16、向量:既有大小,又有方向的量. 数量:只有大小,没有方向的量. 有向线段的三要素:起点、方向、长度. 零向量:长度为 0 的向量. 单位向量:长度等于 1 个单位的向量. 平行向量(共线向量) :方向相同或相反的非零向量.零向量与任一向量平行. 相等向量:长度相等且方向相同的向量. 17、向量加法运算: ⑴三角形法则的特点:首尾相连. ⑵平行四边形法则的特点:共起点.

⑶三角形不等式:
19

? ? ? ? ? ? a ? b ? a?b ? a ? b .

⑷运算性质:①交换律: a ? b ? b ? a ;②结合律: ? a ? b ? ? c ? a ? ? b ? c ? ;③ a ? 0 ? 0 ? a ? a . ⑸坐标运算:设 a ? ? x1 , y 1 ? , b ? ? x 2 , y 2 ? ,则 a ? b ? ? x1 ? x 2 , y 1 ? y 2 ? . 18、向量减法运算: ⑴三角形法则的特点:共起点,连终点,方向指向被减向量. ⑵坐标运算:设 a ? ? x1 , y 1 ? , b ? ? x 2 , y 2 ? ,则 a ? b ? ? x1 ? x 2 , y 1 ? y 2 ? .
? ,? 设 ? 、? 两点的坐标分别为 ? x1 , y 1 ? ,? x 2 , y 2 ? , ?? ? ? x1 x 2 y 1 y 2 则 ?? ? ?
? a

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

C

?

?

?

?

? b
?

?

?.

19、向量数乘运算: ? ? ⑴实数 ? 与向量 a 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘,记作 ? a . ① ?a ? ? a ;
? ?

? ? ???? ???? ???? a ? b ? ?C ? ?? ? ?C

②当 ? ? 0 时,? a 的方向与 a 的方向相同; ? ? 0 时,? a 的方向与 a 的方向相反; ? ? 0 时,? a ? 0 . 当 当 ⑵运算律:① ? ? ? a ? ? ? ? ? ? a ;② ? ? ? ? ? a ? ? a ? ? a ;③ ? ? a ? b ? ? ? a ? ? b . ⑶坐标运算:设 a ? ? x , y ? ,则 ? a ? ? ? x , y ? ? ? ? x , ? y ? . 20、向量共线定理:向量 a ? a ? 0 ? 与 b 共线,当且仅当有唯一一个实数 ? ,使 b ? ? a . 设 a ? ? x1 , y 1 ? , b ? ? x 2 , y 2 ? ,其中 b ? 0 ,则当且仅当 x1 y 2 ? x 2 y 1 ? 0 时,向量 a 、 b ? b ? 0 ? 共线. 21、 平面向量基本定理: 如果 e1 、e 2 是同一平面内的两个不共线向量, 那么对于这一平面内的任意向量 a , 有且只有一对实数 ? 1 、 ? 2 ,使 a ? ? 1 e1 ? ?2 e2 . (不共线的向量 e1 、 e 2 作为这一平面内所有向量的一组基 底) 22、 分点坐标公式: 设点 ? 是线段 ? 1 ? 2 上的一点,? 1 、? 2 的坐标分别是 ? x1 , y 1 ? ,? x 2 , y 2 ? , ? 1 ? ? ? ? ? 2 当 时,点 ? 的坐标是 ?
? ? x1 ? ? x 2 1? ? y1 ? ? y 2 ? ?. 1? ? ?
?? ?? ?
?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

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?

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?

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?

?

?

?

?

?

?

?

?

? ?

?

?

??

?? ?

??

?? ?

????

????

,

23、平面向量的数量积: ⑴ a ? b ? a b co s ? ? a ? 0 , b ? 0 , 0 ? ? ? 1 8 0
?

? ?

? ?
?

?

? ?

?

?

? .零向量与任一向量的数量积为 0 .
? ?
?

⑵性质:设 a 和 b 都是非零向量,则① a ? b ? a ? b ? 0 .②当 a 与 b 同向时,a ? b ? a b ;当 a 与 b 反
2 向时, a ? b ? ? a b ; a ? a ? a ? a 或 a ?

?

?

?

?

? ?

? ?

?

?

? ?

? ?

? ?

?

?

2

?

? ? ? ? ? ? a ? a .③ a ? b ? a b .

⑶运算律:① a ? b ? b ? a ;② ? ? a ? ? b ? ? ? a ? b ? ? a ? ? ? b ? ;③ ? a ? b ? ? c ? a ? c ? b ? c . ⑷坐标运算:设两个非零向量 a ? ? x1 , y 1 ? , b ? ? x 2 , y 2 ? ,则 a ? b ? x1 x 2 ? y 1 y 2 .
?
?

? ?

? ?

?

?

? ?

?

?

?

?

?

? ?

? ?

? ?

20

若 a ? ? x , y ? ,则 a
?
?

?

?

2

? 2 2 ? x ? y ,或 a ?

x ? y
2

2



设 a ? ? x1 , y 1 ? , b ? ? x 2 , y 2 ? ,则 a ? b ? x1 x 2 ? y 1 y 2 ? 0 . 设 a 、 b 都 是 非 零 向 量 , a ? ? x1 , y 1 ? , b ? ? x 2 , y 2 ? , ? 是 a 与 b 的 夹 角 , 则
? ? a ?b cos ? ? ? ? ? a b x1 x 2 ? y 1 y 2 x1 ? y 1
2 2

?

?

?

?

?

?

?

?


2

x2 ? y2
2

24、两角和与差的正弦、余弦和正切公式: ⑴ co s ? ? ? ? ? ? co s ? co s ? ? sin ? sin ? ; ⑵ co s ? ? ? ? ? ? co s ? co s ? ? sin ? sin ? ; ⑶ sin ? ? ? ? ? ? sin ? co s ? ? co s ? sin ? ; ⑷ sin ? ? ? ? ? ? sin ? co s ? ? co s ? sin ? ; ⑸ ta n ? ? ? ? ? ?
ta n ? ? ta n ? 1 ? ta n ? ta n ? ta n ? ? ta n ? 1 ? ta n ? ta n ?

( tan ? ? tan ? ? tan ? ? ? ? ? ? 1 ? tan ? tan ? ? ) ;

⑹ ta n ? ? ? ? ? ?

( tan ? ? tan ? ? tan ? ? ? ? ? ? 1 ? tan ? tan ? ? ) .

25、二倍角的正弦、余弦和正切公式: ⑴ sin 2 ? ? 2 sin ? co s ? . ⑵ co s 2 ? ? co s ? ? sin ? ? 2 co s ? ? 1 ? 1 ? 2 sin ? ( c o s ? ?
2 2 2 2
2

c o s 2? ? 1 2

, s in ? ?
2

1 ? c o s 2? 2

) .

⑶ ta n 2 ? ?

2 ta n ? 1 ? ta n ?
2


? ? ? sin ? ? ? ? ? ,其中 ta n ? ?
2 2

26、 ? sin ? ? ? co s ? ?

? ?



高中数学必修 5 知识点 1、正弦定理:在 ? ? ? C 中, a 、 b 、 c 分别为角 ? 、 ? 、 C 的对边, R 为 ? ? ? C 的外接圆的半径,则 有
a s in ? ? b s in ? ? c s in C ? 2R .

2、正弦定理的变形公式:① a ? 2 R sin ? , b ? 2 R sin ? , c ? 2 R sin C ; ② s in ? ?
a 2R a?b?c s in ? ? s in ? ? s in C

, s in ? ?

b 2R

, s in C ?

c 2R



③ a : b : c ? sin ? : sin ? : sin C ; ④
? a s in ? 1 2
2 2

?

b s in ?

? 1 2
2

c s in C


1 2
2 2 2

3、三角形面积公式: S ? ? ? C ?

b c s in ? ?

a b s in C ?

a c s in ? .

4、余弦定理:在 ? ? ? C 中,有 a ? b ? c ? 2 b c co s ? , b ? a ? c ? 2 a c co s ? ,
21

c ? a ? b ? 2 a b co s C .
2 2 2

5、余弦定理的推论: c o s ? ?

b ?c ?a
2 2

2

, cos ? ?

a ?c ?b
2 2

2

, cos C ?

a ?b ?c
2 2

2



2bc

2ac
2 2 2

2ab
?

6、设 a 、 b 、 c 是 ? ? ? C 的角 ? 、 ? 、 C 的对边,则:①若 a ? b ? c ,则 C ? 9 0 ; ②若 a ? b ? c ,则 C ? 9 0 ;③若 a ? b ? c ,则 C ? 9 0 .
2 2 2 2 2 2 ? ?

7、数列:按照一定顺序排列着的一列数. 8、数列的项:数列中的每一个数. 9、有穷数列:项数有限的数列. 10、无穷数列:项数无限的数列. 11、递增数列:从第 2 项起,每一项都不小于它的前一项的数列. 12、递减数列:从第 2 项起,每一项都不大于它的前一项的数列. 13、常数列:各项相等的数列. 14、摆动数列:从第 2 项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项的数列. 15、数列的通项公式:表示数列 ? a n ? 的第 n 项与序号 n 之间的关系的公式. 16、数列的递推公式:表示任一项 a n 与它的前一项 a n ? 1 (或前几项)间的关系的公式. 17、如果一个数列从第 2 项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,则这个数列称为等差数列,这 个常数称为等差数列的公差. 18、由三个数 a , ? , b 组成的等差数列可以看成最简单的等差数列,则 ? 称为 a 与 b 的等差中项.若
b ? a?c 2

,则称 b 为 a 与 c 的等差中项.

19、若等差数列 ? a n ? 的首项是 a 1 ,公差是 d ,则 a n ? a 1 ? ? n ? 1 ? d . 20、通项公式的变形:① a n ? a m ? ? n ? m ? d ;② a 1 ? a n ? ? n ? 1 ? d ;③ d ?

a n ? a1 n ?1



④n ?

a n ? a1 d

? 1 ;⑤ d ?

an ? am n?m



* 21、若 ? a n ? 是等差数列,且 m ? n ? p ? q ( m 、 n 、 p 、 q ? ? ) ,则 a m ? a n ? a p ? a q ;若 ? a n ? 是等 * 差数列,且 2 n ? p ? q ( n 、 p 、 q ? ? ) ,则 2 a n ? a p ? a q .

22、等差数列的前 n 项和的公式:① S n ?

n ? a1 ? a n ? 2

;② S n ? n a 1 ?
*

n ? n ? 1? 2

d .

23、等差数列的前 n 项和的性质:①若项数为 2 n ? n ? ?

? ,则 S 2 n ? n ? a n ? a n ? 1 ? ,且 S 偶 ? S 奇 ? nd



S奇 S偶

?

an a n ?1


22

②若项数为 2 n ? 1 ? n ? ?
S偶 ?

*

? ,则 S

2 n ?1

? ? 2 n ? 1 ? a n ,且 S 奇 ? S 偶 ? a n ,

S奇 S偶

?

n n ?1

(其中 S 奇 ? n a n ,

. ? n ? 1? a n )

24、如果一个数列从第 2 项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,则这个数列称为等比数列,这 个常数称为等比数列的公比. 25、在 a 与 b 中间插入一个数 G ,使 a , G , b 成等比数列,则 G 称为 a 与 b 的等比中项.若 G ? a b ,
2

则称 G 为 a 与 b 的等比中项. 26、若等比数列 ? a n ? 的首项是 a 1 ,公比是 q ,则 a n ? a 1 q 27、通项公式的变形:① a n ? a m q
n?m
n ?1


an a1
n?m

;② a 1 ? a n q

? ? n ?1?

;③ q

n ?1

?

;④ q

?

an am



* 28、若 ? a n ? 是等比数列,且 m ? n ? p ? q ( m 、 n 、 p 、 q ? ? ) ,则 a m ? a n ? a p ? a q ;若 ? a n ? 是等比

* 数列,且 2 n ? p ? q ( n 、 p 、 q ? ? ) ,则 a n ? a p ? a q .

2

? n a1 ? q ? 1 ? ? 29、等比数列 ? a n ? 的前 n 项和的公式: S n ? ? a 1 ? 1 ? q n ? a ? a q . n ? 1 ? q ? 1? ? 1? q ? 1? q

30、等比数列的前 n 项和的性质:①若项数为 2 n ? n ? ? ② S n?m ? S n ? q
n

*

? ,则

S偶 S奇

? q .

? Sm .

③ S n , S 2 n ? S n , S 3 n ? S 2 n 成等比数列. 31、 a ? b ? 0 ? a ? b ; a ? b ? 0 ? a ? b ; a ? b ? 0 ? a ? b . 32、不等式的性质: ① a ? b ? b ? a ;② a ? b , b ? c ? a ? c ;③ a ? b ? a ? c ? b ? c ; ④ a ? b , c ? 0 ? a c ? b c , a ? b , c ? 0 ? a c ? b c ;⑤ a ? b , c ? d ? a ? c ? b ? d ; ⑥ a ? b ? 0, c ? d ? 0 ? a c ? b d ;⑦ a ? b ? 0 ? a ? b ? n ? ? , n ? 1 ? ;
n n

⑧a ? b ? 0 ?

n

a ?

n

b ? n ? ? , n ? 1? .

33、一元二次不等式:只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是 2 的不等式. 34、二次函数的图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集间的关系: 判别式 ? ? b ? 4 a c
2

? ? 0

? ? 0

? ? 0

23

二次函数 y ? a x ? b x ? c
2

?a

? 0 ? 的图象

有两个相异实数根 一元二次方程 a x ? b x ? c ? 0
2

x 1, 2 ?

?b ? 2a

?

有两个相等实数根
x1 ? x 2 ? ? b 2a

没有实数根

? a ? 0 ? 的根

? x1
ax ? bx ? c ? 0
2

? x2 ?
x ? x1或 x ? x 2 ?

?x

一元二次 不等式的 解集

?a ? 0?
ax ? bx ? c ? 0
2

? b ? ?x x ? ? ? 2a ? ?

R

?a

? 0?

?x

x1 ? x ? x 2 ?

?

?

35、二元一次不等式:含有两个未知数,并且未知数的次数是 1 的不等式. 36、二元一次不等式组:由几个二元一次不等式组成的不等式组. 37、二元一次不等式(组)的解集:满足二元一次不等式组的 x 和 y 的取值构成有序数对 ? x , y ? ,所有这 样的有序数对 ? x , y ? 构成的集合. 38、在平面直角坐标系中,已知直线 ? x ? ? y ? C ? 0 ,坐标平面内的点 ? ? x 0 , y 0 ? . ①若 ? ? 0 , ? x 0 ? ? y 0 ? C ? 0 ,则点 ? ? x 0 , y 0 ? 在直线 ? x ? ? y ? C ? 0 的上方. ②若 ? ? 0 , ? x 0 ? ? y 0 ? C ? 0 ,则点 ? ? x 0 , y 0 ? 在直线 ? x ? ? y ? C ? 0 的下方. 39、在平面直角坐标系中,已知直线 ? x ? ? y ? C ? 0 . ① 若 ? ? 0 , 则 ? x ? ? y ? C ?0 表 示 直 线 ? x ? ? y ? C ? 0 上 方 的 区 域 ; ? x ? ? y ? C ? 0 表 示 直 线
? x ? ? y ? C ? 0 下方的区域.

② 若 ? ? 0 , 则 ? x ? ? y ? C ?0 表 示 直 线 ? x ? ? y ? C ? 0 下 方 的 区 域 ; ? x ? ? y ? C ? 0 表 示 直 线
? x ? ? y ? C ? 0 上方的区域.

40、线性约束条件:由 x , y 的不等式(或方程)组成的不等式组,是 x , y 的线性约束条件. 目标函数:欲达到最大值或最小值所涉及的变量 x , y 的解析式. 线性目标函数:目标函数为 x , y 的一次解析式. 线性规划问题:求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题.
24

可行解:满足线性约束条件的解 ? x , y ? . 可行域:所有可行解组成的集合. 最优解:使目标函数取得最大值或最小值的可行解. 41、设 a 、 b 是两个正数,则
a?b 2

称为正数 a 、 b 的算术平均数, a b 称为正数 a 、 b 的几何平均数.
a?b 2 ? ab .

42、均值不等式定理: 若 a ? 0 , b ? 0 ,则 a ? b ? 2 a b ,即 43、常用的基本不等式:① a ? b ? 2 a b ? a , b ? R ? ;② a b ?
2 2

a ?b
2

2

2

?a,b ? R ? ;

?a?b? ③ ab ? ? ? ? 2 ?

2

?a

? 0 , b ? 0 ? ;④

a ?b
2

2

2

?a?b? ? ? ? ? 2 ?

2

?a,b ? R ? .

44、极值定理:设 x 、 y 都为正数,则有 ⑴若 x ? y ? s (和为定值) ,则当 x ? y 时,积 xy 取得最大值
s 4
2



⑵若 xy ? p (积为定值) ,则当 x ? y 时,和 x ? y 取得最小值 2 1. .函数的单调性 (1)设 x1 ? x 2 ? ?a , b ?, x1 ? x 2 那么
( x1 ? x 2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? ? 0 ?
f ( x1 ) ? f ( x 2 ) x1 ? x 2 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) x1 ? x 2

p .高中数学函数知识点梳理

? 0 ? f ( x ) 在 ?a , b ? 上是增函数; ? 0 ? f ( x ) 在 ?a , b ? 上是减函数.

( x1 ? x 2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? ? 0 ?

(2)设函数 y ? f ( x ) 在某个区间内可导, 如果 f ? ( x ) ? 0 , f ( x ) 为增函数; 则 如果 f ? ( x ) ? 0 , f ( x ) 则 为减函数. 注: 如果函数 f ( x ) 和 g ( x ) 都是减函数,则在公共定义域内,和函数 f ( x ) ? g ( x ) 也是减函数;如果函数
y ? f (u ) 和 u ? g ( x ) 在其对应的定义域上都是减函数,则复合函数 y ? f [ g ( x )] 是增函数.

2.

奇偶函数的图象特征

奇函数的图象关于原点对称, 偶函数的图象关于 y 轴对称;反过来, 如果一个函数的图象关于原点对称, 那么这个函数是奇函数;如果一个函数的图象关于 y 轴对称,那么这个函数是偶函数. 注 : 若 函 数 y ? f ( x ) 是 偶 函数 ,则 f ( x ? a ) ? f ( ? x ? a ) ; 若 函 数 y ? f ( x ? a ) 是 偶 函数 ,则
f ( x ? a ) ? f (? x ? a ) .

注 : 对 于 函 数 y ? f ( x ) ( x ? R ), f ( x ? a ) ? f ( b ? x ) 恒 成 立 , 则 函 数 f ( x ) 的 对 称 轴 是 函 数
x ? a ?b 2

;两个函数 y ? f ( x ? a ) 与 y ? f ( b ? x ) 的图象关于直线 x ?
a 2

a ?b 2

对称.

注:若 f ( x ) ? ? f ( ? x ? a ) ,则函数 y ? f ( x ) 的图象关于点 (
y ? f ( x ) 为周期为 2 a 的周期函数.

, 0 ) 对称;若 f ( x ) ? ? f ( x ? a ) ,则函数

3. 多项式函数 P ( x ) ? a n x ? a n ? 1 x
n

n ?1

? ? ? a 0 的奇偶性

多项式函数 P ( x ) 是奇函数 ? P ( x ) 的偶次项(即奇数项)的系数全为零. 多项式函数 P ( x ) 是偶函数 ? P ( x ) 的奇次项(即偶数项)的系数全为零.
25

23.函数 y ? f ( x ) 的图象的对称性 (1)函数 y ? f ( x ) 的图象关于直线 x ? a 对称 ? f ( a ? x ) ? f ( a ? x )
? f (2a ? x) ? f ( x) .

(2)函数 y ? f ( x ) 的图象关于直线 x ?
? f (a ? b ? m x ) ? f (m x ) .

a?b 2

对称 ? f ( a ? m x ) ? f (b ? m x )

4.

两个函数图象的对称性 (1)函数 y ? f ( x ) 与函数 y ? f ( ? x ) 的图象关于直线 x ? 0 (即 y 轴)对称. (2)函数 y ? f ( m x ? a ) 与函数 y ? f ( b ? m x ) 的图象关于直线 x ? (3)函数 y ? f ( x ) 和 y ? f
?1

a?b 2m

对称.

( x ) 的图象关于直线 y=x 对称.

25.若将函数 y ? f ( x ) 的图象右移 a 、上移 b 个单位,得到函数 y ? f ( x ? a ) ? b 的图象;若将曲线
f ( x , y ) ? 0 的图象右移 a 、上移 b 个单位,得到曲线 f ( x ? a , y ? b ) ? 0 的图象.

5.

互为反函数的两个函数的关系
f (a ) ? b ? f
?1

(b ) ? a .

27.若函数 y ? f ( kx ? b ) 存在反函数,则其反函数为 y ? 函数 y ? [ f 6.
?1

1 k

[f

?1

( x ) ? b ] ,并不是 y ? [ f

?1

( kx ? b ) ,而

( kx ? b ) 是 y ?

1 k

[ f ( x ) ? b ] 的反函数.

几个常见的函数方程 (1)正比例函数 f ( x ) ? c x , f ( x ? y ) ? f ( x ) ? f ( y ), f (1) ? c . (2)指数函数 f ( x ) ? a , f ( x ? y ) ? f ( x ) f ( y ), f (1) ? a ? 0 .
x

(3)对数函数 f ( x ) ? lo g a x , f ( xy ) ? f ( x ) ? f ( y ), f ( a ) ? 1( a ? 0, a ? 1) . (4)幂函数 f ( x ) ? x , f ( xy ) ? f ( x ) f ( y ), f (1) ? ? .
'

?

(5)余弦函数 f ( x ) ? co s x ,正弦函数 g ( x ) ? sin x , f ( x ? y ) ? f ( x ) f ( y ) ? g ( x ) g ( y ) ,
f ( 0 ) ? 1, lim g (x) x
x? 0

?1.

7.

几个函数方程的周期(约定 a>0) (1) f ( x ) ? f ( x ? a ) ,则 f ( x ) 的周期 T=a; (2) f ( x ) ? f ( x ? a ) ? 0 , 或 f (x ? a) ? 或
1 2 ?

1 f (x)
2

( f ( x ) ? 0 ) ,或 f ( x ? a ) ? ?

1 f (x)

( f ( x) ? 0) ,

f ( x ) ? f ( x ) ? f ( x ? a ), ( f ( x ) ? ? 0 ,1 ?) ,则 f ( x ) 的周期 T=2a;

(3) f ( x ) ? 1 ?

1 f (x ? a)

( f ( x ) ? 0 ) ,则 f ( x ) 的周期 T=3a;

(4) f ( x1 ? x 2 ) ?

f ( x1 ) ? f ( x 2 ) 1 ? f ( x1 ) f ( x 2 )

且 f ( a ) ? 1( f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? 1, 0 ? | x1 ? x 2 |? 2 a ) , 则 f ( x ) 的 周 期

T=4a; (5) f ( x ) ? f ( x ? a ) ? f ( x ? 2 a ) f ( x ? 3 a ) ? f ( x ? 4 a )
? f ( x ) f ( x ? a ) f ( x ? 2 a ) f ( x ? 3 a ) f ( x ? 4 a ) ,则 f ( x ) 的周期 T=5a;

(6) f ( x ? a ) ? f ( x ) ? f ( x ? a ) ,则 f ( x ) 的周期 T=6a. 8. 分数指数幂

26

m

(1) a (2) a

n

?
n

1 a
m

( a ? 0, m , n ? N ,且 n ? 1 ). ( a ? 0, m , n ? N ,且 n ? 1 ).
?

?

?

m n

?

1
m

a

n

9.

根式的性质 (1) ( n a ) ? a .
n

(2)当 n 为奇数时, a ? a ;
n n
n

当 n 为偶数时, a ? | a | ? ?
n

?a, a ? 0 ??a, a ? 0

.

10. 有理指数幂的运算性质 (1) a ? a ? a
r s r r?s

( a ? 0, r , s ? Q ) .(2) ( a ) ? a ( a ? 0, r , s ? Q ) .
r s rs r r

(2)(3) ( a b ) ? a b ( a ? 0, b ? 0, r ? Q ) . p 注:若 a>0,p 是一个无理数,则 a 表示一个确定的实数.上述有理指数幂的运算性质,对于无理数 指数幂都适用. 33.指数式与对数式的互化式
lo g a N ? b ? a ? N ( a ? 0 , a ? 1, N ? 0 )
b

.

34.对数的换底公式
lo g a N ? lo g m N lo g m a
n

( a ? 0 ,且 a ? 1 , m ? 0 ,且 m ? 1 , N ? 0 ).
n m lo g a b ( a ? 0 ,且 a ? 1 , m , n ? 0 ,且 m ? 1 , n ? 1 , N ? 0 ).

推论 lo g a b ?
m

11. 对数的四则运算法则 若 a>0,a≠1,M>0,N>0,则 (1) lo g a ( M N ) ? lo g a M ? lo g a N ; (3) lo g a M
n

(2) lo g a

M N

? lo g a M ? lo g a N ;

? n lo g a M ( n ? R ) .
m

注:设函数 f ( x ) ? log

( ax

2

? bx ? c )( a ? 0 ) ,记 ? ? b

2

? 4 ac .若 f ( x ) 的定义域为 R ,则 a ? 0 ,

且 ? ? 0 ;若 f ( x ) 的值域为 R ,则 a ? 0 ,且 ? ? 0 .对于 a ? 0 的情形,需要单独检验. 12. 对数换底不等式及其推论 若 a ? 0 ,b ? 0 , x ? 0 , x ? (1)当 a ? b 时,在 ( 0 ,
1 a ) 和( 1 a

1 a
1 a

,则函数 y ? lo g a x ( b x )
, ? ? ) 上 y ? lo g a x ( b x ) 为增函数. 1 a , ? ? ) 上 y ? lo g a x ( b x ) 为减函数.

(2)(2)当 a ? b 时,在 ( 0 ,

) 和(

推论:设 n ? m ? 1 , p ? 0 , a ? 0 ,且 a ? 1 ,则 (1) lo g m ? p ( n ? p ) ? lo g m n .(2) lo g a m lo g a n ? lo g a
2

m ?n 2

.

27

高三数学备课组 椭 1. 2. 圆

点 P 处的切线 PT 平分△PF1F2 在点 P 处的外角. PT 平分△PF1F2 在点 P 处的外角, 则焦点在直线 PT 上的射影 H 点的轨迹是以长轴为直径 的圆,除去长轴的两个端点.

3. 4. 5.

以焦点弦 PQ 为直径的圆必与对应准线相离. 以焦点半径 PF1 为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切. 若 P0 ( x 0 , y 0 ) 在椭圆
x a x a
2 2

?

y b y b

2 2

? 1 上,则过 P0 的椭圆的切线方程是

x0 x a
2

?

y0 y b
2

? 1.

2 2

2 2

6.

若 P0 ( x 0 , y 0 ) 在椭圆 P1P2 的直线方程是

?

? 1外

,则过 Po 作椭圆的两条切线切点为 P1、P2,则切点弦

x0 x a
2

?

y0 y b
2

? 1.

7.

椭圆

x a

2 2

?

y b

2 2

?1

(a>b>0)的左右焦点分别为 F1, 2, P 为椭圆上任意一点 ? F1 P F 2 F 点
? b ta n
2
2

??



则椭圆的焦点角形的面积为 S ? F P F
1

?
2

.

8.

椭圆

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1 (a>b>0)的焦半径公式:

| M F1 | ? a ? ex 0 , | M F 2 |? a ? ex 0 ( F1 ( ? c , 0 )

,

F 2 ( c , 0 ) M ( x 0 , y 0 ) ).

9.

设过椭圆焦点 F 作直线与椭圆相交 P、Q 两点,A 为椭圆长轴上一个顶点,连结 AP 和 AQ 分别交相应于焦点 F 的椭圆准线于 M、N 两点,则 MF⊥NF.

10. 过椭圆一个焦点 F 的直线与椭圆交于两点 P、 A1、 2 为椭圆长轴上的顶点, 1P 和 A2Q Q, A A 交于点 M,A2P 和 A1Q 交于点 N,则 MF⊥NF. 11. AB 是椭圆
x a
2 2

?

y b

2 2

? 1 的不平行于对称轴的弦, ( x 0 , y 0 ) M

为 AB 的中点, k O M 则

? k AB ? ?

b a

2 2



即 K AB

? ?

b x0 a y0
2

2


2 2 2 2
2 2

12. 若 P0 ( x 0 , y 0 ) 在椭圆

x a x a

?

y b y b

? 1 内, 则被

Po 所平分的中点弦的方程是
2 2

x0 x a
2

?

y0 y b
2

?

x0 a

2

?

y0 b

2

.

2 2

2 2

13. 若 P0 ( x 0 , y 0 ) 在椭圆

?

? 1 内,则过

Po 的弦中点的轨迹方程是

x a

?

y b

2 2

?

x0 x a
2

?

y0 y b
2

.

双曲线
28

1. 2.

点 P 处的切线 PT 平分△PF1F2 在点 P 处的内角. PT 平分△PF1F2 在点 P 处的内角,则焦点在直线 PT 上的射影 H 点的轨迹是以长轴为 直径的圆,除去长轴的两个端点.

3. 4.

以焦点弦 PQ 为直径的圆必与对应准线相交. 以焦点半径 PF1 为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.(内切:P 在右支;外切:P 在左支)

5.

若 P0 ( x 0 , y 0 ) 在双曲线
x0 x a
2

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1 (a>0,b>0)上,则过 P0

的双曲线的切线方程是

?

y0 y b
2

? 1.
x a
2 2

6.

若 P0 ( x 0 , y 0 ) 在双曲线

?

y b

2 2

? 1 (a>0,b>0)外

,则过 Po 作双曲线的两条切线切点
? 1.

为 P1、P2,则切点弦 P1P2 的直线方程是 7. 双曲线
x a
2 2

x0 x a
2

?

y0 y b
2

?

y b

2 2

? 1 (a>0,b>o)的左右焦点分别为

F1,F 2,点 P 为双曲线上任意一
? b co t
2
2

点 ? F1 P F 2 8. 双曲线 当M 当M 9.
x a
2 2

??

,则双曲线的焦点角形的面积为 S ? F P F
1

?
2

.

?

y b

2 2

? 1 (a>0,b>o)的焦半径公式:( F1 ( ? c , 0 )

,

F2 ( c , 0 )

( x 0 , y 0 ) 在右支上时, | M F1 | ? ex 0 ? a , | M F 2 | ? e x 0 ? a

.

( x 0 , y 0 ) 在左支上时, | M F1 |? ? ex 0 ? a , | M F 2 | ? ? e x 0 ? a

设过双曲线焦点 F 作直线与双曲线相交 P、Q 两点,A 为双曲线长轴上一个顶点,连 结 AP 和 AQ 分别交相应于焦点 F 的双曲线准线于 M、N 两点,则 MF⊥NF.

10. 过双曲线一个焦点 F 的直线与双曲线交于两点 P、Q, A1、A2 为双曲线实轴上的顶点, A1P 和 A2Q 交于点 M,A2P 和 A1Q 交于点 N,则 MF⊥NF. 11. AB 是双曲线
x a
2 2

?

y b

2 2

? 1 (a>0,b>0)的不平行于对称轴的弦,M ( x 0 , y 0 )

为 AB 的中

点,则 K OM

?K

AB

?

b x0 a y0
2

2

,即 K AB
2 2

?

b x0 a y0
2

2



12. 若 P0 ( x 0 , y 0 ) 在双曲线

x a

2 2

?

y b

? 1 (a>0,b>0)内,则被

Po 所平分的中点弦的方程是

29

x0 x a
2

?

y0 y b
2

?

x0 a

2

2

?

y0 b

2

2

.
2 2 2 2

13. 若 P0 ( x 0 , y 0 ) 在双曲线
x a
2 2

x a

?

y b

? 1 (a>0,b>0)内,则过

Po 的弦中点的轨迹方程是

?

y b

2 2

?

x0 x a
2

?

y0 y b
2

.

椭圆与双曲线的对偶性质--(会推导的经典结论) 高三数学备课组 椭 1. 椭圆
x a
2 2

圆 ,与 y 轴平行的直线交椭

?

y b

2 2

? 1 (a>b>o)的两个顶点为 A1 ( ? a , 0 ) , A 2 ( a , 0 )

圆于 P1、P2 时 A1P1 与 A2P2 交点的轨迹方程是
x a
2 2

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1.

2.

过椭圆

?

y b

2 2

?1

(a>0, b>0)上任一点 A ( x 0 , y 0 ) 任意作两条倾斜角互补的直线交椭
b x0 a y0
2 2

圆于 B,C 两点,则直线 BC 有定向且 k B C
2 2 2 2

?

(常数).

3.

若 P 为椭圆
? P F 2 F1 ? ?
x a
2 2

x a

?

y b

?1 (a>b>0) 上异于长轴端点的任一点,F1,

F 2 是焦点,

? P F1 F 2 ? ?

,

,则
y b
2 2

a?c a?c

? ta n

?
2

co t

?
2

. F1、F2,P(异于长轴端点)为椭圆上任意
s in ? s in ? ? s in ? c a

4.

设椭圆

?

? 1 (a>b>0)的两个焦点为

一点, 在△PF1F2 中, ? F1 P F 2 记
2 2 2 2

??

,

? P F1 F 2 ? ? , ? F1 F 2 P ? ?

, 则有

?

? e

.

5.

若椭圆 ≤ 项.

x a

?

y b

? 1 (a>b>0)的左、右焦点分别为

F1、F2,左准线为 L,则当 0<e

2 ? 1 时,可在椭圆上求一点

P,使得 PF1 是 P 到对应准线距离 d 与 PF2 的比例中

6.

P 为椭圆

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1 (a>b>0)上任一点,F1,F2

为二焦点,A 为椭圆内一定点,则 三点共线时,等号成立.

2 a ? | A F 2 |? | P A | ? | P F1 |? 2 a ? | A F1 | ,当且仅当 A , F 2 , P
30

7.

椭圆
2 2

( x ? x0 ) a
2

2

?

( y ? y0 ) b
2

2

?1

与直线 .
2

A x?

B y ?

C0 ?

有公共点的充要条件是

A a ? B b ? ( A x0 ? B y0 ? C )
2 2

8.

已知椭圆

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1(a>b>0) ,O

为坐标原点,P、Q 为椭圆上两动点,且 O P
4a b
2 2 2 2

? OQ

.

(1)
2

1 | OP | a b
2 2 2

2

?

1 | OQ |
2

?

1 a
2

?

1 b
2

;(2)|OP|2+|OQ|2 的最大值为

a ?b

;(3) S ? O P Q 的最小

值是

a ?b x a
2 2

.
2 2

9.

过椭圆

?

y b

? 1 (a>b>0)的右焦点

F 作直线交该椭圆右支于 M,N 两点,弦 MN

的垂直平分线交 x 轴于 P,则
2 2 2 2

| PF | | MN |

?

e 2

.

10. 已知椭圆

x a

?

y b

? 1(

a>b>0)
2

,A、B、是椭圆上的两点,线段 AB 的垂直平分
2

线与 x 轴相交于点 P ( x 0 , 0 ) , 则 ?
x a
2 2

a ?b a

? x0 ?

a ?b
2

2

.

a

11. 设 P 点是椭圆

?

y b

2 2

? 1(

a>b>0)上异于长轴端点的任一点,F1、F2 为其焦点记
2b
2

? F1 P F 2 ? ?

,则(1) | P F1 || P F 2
x a
2 2

|?

1 ? cos ?

.(2)

S ? P F F ? b ta n
2
1 2

?
2

.

12. 设 A、 是椭圆 B

?

y b

2 2

?1 (

a>b>0) 的长轴两端点, 是椭圆上的一点,? P A B P
2

??

,

?PBA ? ?

,?BPA

??

, e c、

分别是椭圆的半焦距离心率, 则有(1) | P A | ?
2 2 2

2 ab | cos ? | a ? c co s ?
2 2 2

.(2)

ta n ? ta n ? ? 1 ? e

2

.(3)

S ?PAB ?

2a b
2

b ?a

cot ?

.

13. 已知椭圆

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1(

a>b>0)的右准线 l 与 x 轴相交于点 E ,过椭圆右焦点 F 的
? x

直线与椭圆相交于 A、B 两点,点 C 在右准线 l 上,且 B C EF 的中点.
31

轴,则直线 AC 经过线段

14. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线,与以长轴为直径的圆相交,则相应交点与相应焦 点的连线必与切线垂直. 15. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点, 则该点与焦点的连线必与焦半 径互相垂直. 16. 椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数 e(离心 率). (注:在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.) 17. 椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比 e. 18. 椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项.

32


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