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2014国际数学奥林匹克(IMO)试题


2014IMO(Cape town,SouthAfrica)

Language: Chinese (Simplified) Day: 1
2014年7月8日, 星期二 第1 题. 设a0 < a1 < a2 <? 是一个无穷正整数列. 证明: 存在惟一的整

数n ≥ 1使得
a0 ? a1 ?? ? ? ? an n an < ≤ an+1
第2 题. 设n

≥ 2 是一个整数. 考虑由 n2 个单位正方形组成的一个n

× n 棋盘. 如果每一行和每一列上都恰好有一个“车”,则这种放置
n 个棋子“车”的方案被称为是和平的.求最大的正整数k, 使得对于任 何一种和平放置n 个“车”的方案, 都存在一个k × k 的正方形, 它 的k2 个单位正方形里都没有“车”.
第3 题. 在凸四边形ABCD 中 ? ABC = ? CDA =

? . 点H 是A 向BD 2

引的垂线的垂足. 点S 和点T 分别在边AB 和边AD 上, 使得H 在三
? ? 角形SCT 内部, 且 ? CHS? ? CSB = , ? THC ? ? DTC = 2 .证明: 直线 2
BD

和三角形TSH 的外接圆相切.

Language: Chinese(Simplified) 时间: 4 小时30 分 每题7 分

2014IMO(Cape town,SouthAfrica)

Language: Chinese (Simplified) Day: 2
2014 年7 月9 日, 星期三 第4 题. 点P 和Q 在锐角三角形ABC 的边BC 上, 满足 ? PAB =

? BCA 且 ? CAQ = ? ABC. 点M 和N 分别在直线AP 和AQ 上, 使得P

是AM 的中点,且Q 是AN 的中点. 证明: 直线BM 和CN 的交点在三 角形ABC 的外接圆上.
第5 题. 对每一个正整数n, 开普敦银行都发行面值为

1 的硬币. 给定总 n

额不超过99+ 的有限多个这样的硬币(面值不必两两不同) , 证明可以 把它们分为至多100组, 使得每一组中硬币的面值之和最多是1.
第6 题. 平面上的一族直线被称为是处于一般位置的, 如果其中没有两

1 2

条直线平行, 没有三条直线共点. 一族处于一般位置的直线把平面分 割成若干区域, 我们把其中面积有限的区域称为这族直线的有限区域. 证明: 对于充分大的n 和任意处于一般位置的n 条直线, 我们都可以 把其中至少 n 条直线染成蓝色, 使得每一个有限区域的边界都不全 是蓝色的.

注: 如果你的答卷上证明的是c n (而不是 n ) 的情形, 那么将会根据
常数c 的值给分.
Language: Chinese(Simplified) 时间: 4 小时30 分 每题7 分


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