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教案(空间向量运算的坐标表示)


3.1.5 空间向量运算的坐标表示教案
学科:数学 主备人:陆艳娥
主备内容

日期:2013.12

教 材 分 析

( 三 维 目 标 ) 教 学 目 标

本节课内容选自人教数学选修 2-1 第三章,这节课是在学生已经学 过的二维的平面直角坐标系的基础上的推广,是以后学习“

立体几 何中的向量方法”等内容的基础。它将数与形紧密地结合起来。这 节课学完后,如把几何体放入空间直角坐标系中来研究,几何体上 的点就有了坐标表示,一些题目如两点间距离、异面直线成的角等 就可借助于空间向量来解答,所以,这节课对于沟通高中各部分知 识,完善学生的认知结构,起到了很重要的作用。 知识与技能:通过与平面向量类比学习并掌握空间向量加法、 减法、数乘、数量积运算的坐标表示以及向量的长度、夹角公式的 坐标表示,并能初步应用这些知识解决简单的立体几何问题。 过程与方法: ①通过将空间向量运算与熟悉的平面向量的运算进行类比,使 学生掌握空间向量运算的坐标表示,渗透类比的数学方法; ②会用空间向量运算的坐标表示解决简单的立体几何问题,体 会向量方法在研究空间图形中的作用,培养学生的空间想象能力和 几何直观能力。 情感态度价值观:通过提问、讨论、合作、探究等主动参与教学的 活动,培养学生主人翁意识、集体主义精神。

教 学 重 点 教 学 难 点 课 时 安 排 教 学 策 略 板 书 设 计

空间向量运算的坐标表示

空间向量运算的坐标表示的应用

一课时

启发诱导、讲练结合 3.1.5 空间向量运算的坐标表示 一,复习引入 二, (一)空间向量运算坐标表示 (二)应用举例

三,课堂小结

教学流程: 教师活动 学生活动

一、复习引入:平面向量的坐标运算: 设 a ? (a1 , a2 ), b ? (b1 , b2 ), A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则
? ? (1) a ? b ? (a1 ? b1 , a2 ? b2 ) ? ? a ? b ? (a1 ? b1 , a2 ? b2 ) ? ? a ? b ? a1b1 ? a2b2

?

?

? a ? (? a1 , ? a2 )(? ? R)

?

? ? ? ? ? ? (2) a // b(b ? 0) ? a ? ? b 即 a1 ? ?b1 , a2 ? ?b2

? ? ? ? a ? b ? a ? b ? 0 ? a1b1 ? a2 b2 ? 0
? 2 (3) | a |? a12 ? a2

复习回顾 平面向量 的坐标运 算为后续 内容的整 体把握作 准备

??? ? ??? ? ??? ? AB ? OB ? OA ? ( x2 ? x1 , y2 ? y1 )

??? ? d AB ?| AB |? ( x2 ? x1 ) 2 ? ( y2 ? y1 ) 2

? ? ? ? a ?b cos a, b ? ? ? ? | a || b |

a1b1 ? a2b2
2 2 a12 ? a2 b12 ? b2

? ? (注意: a, b ? [0, ? ] )

思考: 你能由平面向量的坐标运算类比得到空间向量的坐标运算吗? 它们是否成立?为什么? 二、新授: (一)空间向量运算的坐标表示: ? ? 设 a ? (a1 , a2 , a3 ), b ? (b1 , b2 , b3 ), A( x1 , y1 , z1 ), B( x2 , y2 , z2 ) ,则
? ? (1) a ? b ? (a1 ? b1 , a2 ? b2 , a3 ? b3 ) ? ? a ? (? a1 , ? a2 , ? a3 )(? ? R) ? ? a ? b ? (a1 ? b1 , a2 ? b2 , a3 ? b3 ) ? ? a ? b ? a1b2 ? a2b2 ? a3b3

类比提升

? ? 问题:上述法则怎样证明呢?以 a ? b 为例进行证明
? ? ? ? ? ? ? ? (将 a ? a1 i ? a2 j ? a3 k 和 b ? b1 i ? b2 j ? b3 k 代入即可)
? ? ? ? ? ? (2) a // b ? a ? ? b(b ? 0) 即 a1 ? ?b1 , a2 ? ?b2 , a3 ? ?b3

? ? ? ? a ? b ? a ? b ? 0 ? a1b1 ? a2 b2 ? a3b3 ? 0
? 2 ? a12 (3) | a |? a12 ? a2

??? ? ??? ? ??? ? AB ? OB ? OA ? ( x2 ? x1 , y2 ? y1 , z2 ? z1 )

??? ? d AB ?| AB |? ( x2 ? x1 ) 2 ? ( y2 ? y1 ) 2 ? ( z2 ? z1 ) 2

? ? ? ? ? ? a1b1 ? a2b2 ? a3b3 a ?b (注意: a, b ? [0, ? ] ) cos a, b ? ? ? ? 2 3 2 | a || b | a12 ? a2 ? a3 b12 ? b2 ? b32 熟悉空间 (二)应用举例 向量运算 ? 法则,巩 ? ? ? ? ? ? ? ? 课堂练习 1:已知 a ? (?3,2,5), b ? (1,5,?1) 求a ? b , 3a - b , 6a , a ? b , 固提高 课堂练习 2:如图正方体的棱长为 2,试建立适 当的空间直角坐标系,写出正方体各顶点的坐 标,并和你的同学进行交流。 和同学合 作交流完 成课后练 习 2,初 步掌握如 例 1.如图,在正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中,点 E1 , F1 分别是 A1B1 , C1D1 何建系和 找空间中 的一个四等分点,求直线 BE1 与 DF1 所成角的余弦值。 点的坐标 分析:选择适当的坐标系后,建系求点坐标,向量坐标,根据夹角公 式求出两异面直线上的对应向量夹角的余弦值, 从而得到异面直线所 成角的余弦值。 问题:异面直线上对应向量的夹角与异面直 线所成角相等吗?为什么?有何关系? 结论:不一定相等,可能相等或互补。则
注意:异 面直线所 BE1 ? DF1 成角与异 直线上向 解:不妨设正方体的棱长为 1,分别以 DA , DC , DD1 为单位正交基底 量所成角 的区别 建立空间直角坐标系 Oxyz ,
cos? ? COS ? BE1 , DF1 ? ?
B(1,1,0), E1 (1, 3 1 ,1), D(0,0,0), F ,1) 1 (0, 4 4

BE1 ? DF1

3 1 ? BE1 ? (1, ,1) ? (1,1,0) ? (0,? ,1) 4 4

DF1 ? (0,

1 1 ,1) ? (0,0,0) ? (0, ,1) 4 4

BE1 ? DF1 ? 0 ? 0 ? (?
BE1 ? 17 4

1 1 15 ? ) ? 1? 1 ? 4 4 16
DF1 ? 17 4

COS ? BE1 , DF1 ??

BE1 ? DF1 BE1 ? DF1

?

15 15 16 ? 17 17 17 ? 4 4

15 . 17 总结:利用空间向量坐标运算解决简单立体几何问题的一般步骤? (1) 建立适当的空间直角坐标系, 并求出相关点的坐标. (建系求点) (2)将空间图形中的元素关系转化为向量关系表示.(构造向量并坐 标化) (3)经过向量运算确定几何关系,解决几何问题.(向量运算、几何 结论)
因此,直线 BE1 与 DF1 所成角的余弦值是

总 结 提 升,澄清 问题的本 质

课堂练习 3:如图,已知正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中,点 M 是 AB 的 中点,求 DB1 与 CM 所成的角的余弦值。 解:设正方体的棱长为 1,建立空间直角坐 标系 Oxyz ,

1 D(0,0,0), B1 (1,1,1), C (0,1,0), M (1, ,0) 2

? DB1 ? (1,1,1) ? (0,0,0) ? (1,1,1)
DB1 ? 3

1 1 CM ? (1, ,0) ? (0,1,0) ? (1,? ,0) 2 2
CM ? 5 2

完成练习 3

1 1 DB1 ? CM ? 1 ? 1 ? 1 ? (? ) ? 1 ? 0 ? 2 2

COS ? DB1 , CM ??

DB1 ? CM DB1 ? CM

?

1 2 3? 5 2

?

15 15

因此,直线 DB1 与 CM 所成的角的余弦值是

15 . 15

三、课堂总结: 1.知识:(1)空间向量的坐标运算; (2)利用空间向量运算坐标表示解决简单的立体几何问题。 2.方法:(1)类比 (2)数形结合 四、作业布置: 课本 P98: 习题 3.1 A组 T7,T8, T10 五、教后记(教学反馈及反思) :


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