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2015-2016学年黑龙江省齐齐哈尔市第一中学高一下学期期中考试数学试题 解析版


说明:本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,总 分 150 分;考试时间 120 分钟. 注意事项: 1.答第Ⅰ卷前,考生务必将自己姓名、考号、考试科目用 2B 铅笔涂写在答题卡上. 2.每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡 皮擦干净后,再选涂其它答案. 3.将第Ⅰ卷选择题的答案涂在答题卡上,第Ⅱ卷每题的答案写在答题纸的指定位置.

4.答案写在试卷上视为无效答案.

第 I 卷(选择题,共 60 分)
2 1.不等式 2 x ? x ? 3 ? 0 的解集为

A. {x | ?1 ? x ? } C. {x | ?

3 2

B. {x | x ?

3 ? x ? 1} 2

3 或x ? ?1} 2 3 D. {x | x ? 1或x ? ? } 2

【答案】B

考点:一元二次不等式的解法. 2、 2 ? 1 与 2 ? 1 的等比中项是 A. ?1 【答案】 A 【解析】 试题分析:由题已知 2 ? 1 与 2 ? 1 的等比中项,得; G2 = ( 2 +1)( 2 - 1), G =? 1 。 考点:等比中项的性质. 3.设 b ? 0 ? a , d ? c ? 0 ,则下列各不等式中恒成立的是 A . ac ? bd
a?c ?b?d

B.1

C.-1

D. 2

B.

a b ? c d

C.

a?c ?b?d

D.

【答案】D 【解析】 试题分析:由题已知 b ? 0 ? a , d ? c ? 0 ,根据不等式的性质,A,B,C 选项数的正负不明, 错误; 由同向不等式的可加性可知,已知 a ? b, c ? d 时有 a ? c ? b ? d 。 考点:不等式的性质. 4.下列各点中,与点(1,2)位于直线 x+y-1=0 的同一侧的是 A.(0,0) 3) 【答案】 B B.(-1,3) C.(-1,1) D.(2,-

考点:点与直线的位置关系的判断. 5.若等差数列满足 a7 ? a8 ? a9 ? 0 , a7 ? a10 ? 0 ,则当 ?an ? 的前 n 项和最大时 n 的值为 A.7 【答案】B 【解析】 试题分析: 由条件:a7 ? a8 ? a9 ? 0 ,a7 ? a10 ? 0 可得;3a8 ? 0, a8 ? 0, a8 ? a9 ? 0, a9 ? 0, 则可得; S8 的值最大。 考点:等差数列的性质及单调性。 6. 在 ?ABC 中,如果 ? a ? b ? c ?? b ? c ? a ? ? 3bc ,那么 A 等于 A. 30? 【答案】B 【解析】 试题分析:由题已知 ? a ? b ? a ??b ? c ? a ? ? 3bc ,化简可得; bc = b + c - a ,可运余
2 2 2

B.8

C.9

D.10

B. 60?

C. 120?

D. 150?

弦定理可得;

cos A ?

b2 ? c 2 ? a 2 bc 1 ? ? , A = 600 。 2bc 2bc 2

考点:余弦定理的灵活运用.

?x ? 1 ? 7. 已知实数 x , y 满足 ? x ? y ? 1 ? 0 ,则 t ? 2 x ? y 的最小值是 ?2 x ? y ? 2 ? 0 ?
A.1 【答案】 【解析】 B.2 B C.4 D.10

?x ? 1 ? 试题分析:由 ? x ? y ? 1 ? 0 ,方法 1;可求出三条直线方程的交点分别为; (1,2) , (1,0) , ?2 x ? y ? 2 ? 0 ?
(3,4) 代入; t ? 2 x ? y ,可得当点(1,0)时; tmin ? 2 ?1 ? 0 ? 2 。 方法 2;可运用线性规划的知识,通过画图解决。 考点:线性规划问题. 8.已知 x, y 为正数,且 x ? y ? 2 ,则

2 1 ? 的最小值为 x y
C. 2 D. 3 ? 2 2

A. 2 【答案】B 【解析】 试 题 分 析 : 由

B.

3 ? 2 2



x? y ?2









x y ? ?1 2 2

, 所 以



x y 2 1 3 x y 3 1 3 ( ? )( ? ) ? ? ? ? ?2 ? ? 2, 2 2 x y 2 2y x 2 2 2
,当且仅当

x y ? 时等号成立。 2y x

考点:均值不等式的灵活运用. 9. 在 ?ABC 中, ?A, ?B, ?C 所对的边长分别是 a, b, c ,若 sin C ? sin( B ? A) ? sin 2 A , 则 ?ABC 的形状为 A.等腰三角形 C.等腰直角三角形 【答案】D 【解析】 试题分析:由题 sin C ? sin( B ? A) ? sin 2 A ,由 C ? ? ? ( A ? B) ,可得;

B.直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形

sin( B ? A) ? sin( B ? A) ? sin 2 A
化简可得; sin B cos A ? sin A cos A, cos A ? 0, A ? 或直角三角形。 考点:三角恒等变形与三角形形状的判断. 10、已知等比数列{ an}中,an>0,公比 q≠1,则
2 2 2 2 A. a3 ? a7 ? a4 ? a6 2 2 2 2 C. a3 ? a7 ? a4 ? a6 2 2 2 2 B. a3 ? a7 ? a4 ? a6
2 2 2 2 D. a3 ? a7 与a4 ? a6 的大小不确定

?
2

或B ? A。 ,则为等腰三角形

【答案】A 【解析】 试题分析:由题已知 an>0,则; q > 0 ,由等比数列得;

q4 ? q12 ? q6 ? q10 , q10 (1 ? q2 ) ? q4 (1 ? q2 ), q6 (1 ? q2 ) ? (1 ? q2 ), 若 q > 1 时不
等式成立,
2 2 2 2 若 0 < q < 1 时不等式也成立,则综上可得; a3 成立。 ? a7 ? a4 ? a6

考点:等比数列的基本量思想及分类讨论思想. 11、若不等式 (m ? 1) x 2 ? (m ? 1) x ? 2 ? 0 的解集是 R,则 m 的范围是 A. (1,9) 【答案】C 【解析】 试题分析:由 (m ? 1) x 2 ? (m ? 1) x ? 2 ? 0 解集为 R,即为恒成立成,可得: (1)当 B. (??,1] ? (9, ??) C.[1,9) D. (??,1) ? (9, ??)

m ? 1 ? 0, m ? 1 时; 2 ? 0 成立; (2) 当 m ? 1 时;
(3)当 m ? 1 时;不成立。综上 ?? 0, 4(m ?1)2 ? 8(m ?1) ? 0,1 ? m ? 9 成立; 可得实数 m 的取值范围; [1,9) 考点:一元二次不等式的解 法及分类思想. 12、已知 x, y 为正数,若 A. m ≥4 或 m ≤-2

2 y 8x + >m 2+2m 恒成立,则实数 m 的 取值范围是 x y
B. m ≥2 或 m ≤-4

C.-2< m <4 【答案】D 【解析】 试题分析:由题;

D.-4< m <2

2 y 8x 2 y 8x + >m 2+2m 恒成立,则; ( + )min>m2+2m , x y x y

则;

2 y 8x + ? 2 16 ? 8 ,即; 8>m2+2m, ?4 ? m ? 2 。 x y

考点:恒成立问题 及均值不等式和一元二次不等式的解法.

第Ⅱ卷

(非选择题,共 90 分)

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。 13、在 ?ABC 中,若 A ? 120 ? , AB ? 5, BC ? 7 ,则 ?ABC 的面积 S ? ______ ____。

【答案】 【解析】

15 3 4

7 5 = ,sin C = 试题分析:由题已知 sin A sin C

5?

3 2 = 5 3 , 则; 7 14

sin B = sin( A + C ) =

3 11 1 5 3 ? ? 2 14 2 14

3 3 , 可得; 14

1 3 3 15 3 S ? ? 5? 7 ? ? 。 2 14 4
考点:解三角形及两角和差公式的综合运用.
2 14、若关于 x 的不等式 ax ? b 的解集为 (?? , ) ,则关于 x 的不等式 ax ? bx ?

1 5

4 a ? 0的 5

解集为 【答案】 ( ?1, ) 【解析】



4 5

2 试题分析: 由 ax ? b 的解集为 (?? , ) , 可得;a ? ?5, b ? ?1 , 则可得;?5 x ? x ? 4 ? 0

1 5

又变形, 5 x ? x ? 4 ? 0, (5 x ? 4)( x ? 1) ? 0, x ? (?1, ) 。
2

4 5

考点:一元一次不等式与一元二次不等式的解法. 15、当 x ? 1 时,函数 y ? x ? 【答案】 【解析】 试 题分析:由题 x ? 1 时, y ? x ? 当且仅当 ( x ? 1) ? 3

1 的最小值是_______ ________. x ?1

1 ,变形可得, y ? ( x ?1) ? 1 ?1 ? 2 1 ?1 ? 3 x ?1 x ?1

1 时等号成立,取得最小值 3. x ?1

考点:均值不等式的灵活运用. 16、已知等差数列 ?a n ? 满足 【答案】 1 【解析】

a6 S 7 ? ,且 S n 是此数列的前 n 项和,则 11 = S7 a 4 11

.

11(a1 ? a11 ) a6 22a6 22 7 S 7 2 试题分析:由题因为 ? ? ? ?1 ? ,可得; 11 ?? 7(a1 ? a7 ) 14a4 14 11 S7 a 4 11 2
考点:等差数列的求和公式及其性质. 三、 解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。

17、 (本小题满分 10 分) 等差数列 ?an ? 的前 n 项和记为 Sn ,已知 a10 ? 30, a20 ? 50, Sn ? 242 ,求 n. 【答案】 n ? 22 【解析】 试题分析:由题已知 a10 ? 30, a20 ? 50, Sn ? 242 可运用等差数列的定义(化为基本量 ,可建立关 a1 , d )

a1 , d 的方程,再利用求和公式求解可得。
试题解析:因为; a10 ? 30, a20 ? 50, 所以; ? 可

?a1 ? 9d ? 30 ?a1 ? 12 ,? . 再由; Sn ? 242 , ?a1 ? 19d ? 50 ?d ? 2
得 ;

2n n ? Sn ? 1 n ? 2


?

n2 ?

n?

2?

( n?

n?

?

n?

1

【考点】 等差数列的定义及基本量思想和方程思想。 18、 (本小题满分 12 分) 已知△ABC 的三个内角 A、 B、 C 成等差数列, 它们的对边分别为 a,b,c , 且满足 a : b ? 2 : 3 ,

c ? 2.
(1)求 A、B、C; (2)求△ABC 的面积 S . 【答案】(1) A ? 【解析】 试题分析:(1)由题为求角 ,可利用题中的条件 A、B、C 成等差数列及 a : b ? 2 : 3 ,c ? 2 . , 可运用正弦定理,可求出角 A, B, C 。 (2)由(1)已知角,可借助三角形面积公式求,先运用正弦定理求出所需的边 (注意运算途径的选择,可运用余弦定理运算繁琐) ,可求出面积。 B、 C 成等差数列,A ? B ? C ? ? ,3B ? ? , B ? 试题解析: (1)∵A、

?
4

,B ?

?
3

,C ?

5? 12

(2) 3 ? 3

?
3

, 又;a : b ? 2 : 3 ,

由正弦定理得;

a b a sin A 2 ? ? , ? ,sin A ? ,? a ? b,? A ? . sin A sin B b sin B 2 4

C?

5? 12
(2)由(1)可得; sin C ? sin( A ? B) ? 由正弦定理可得:

2 1 2 3 6? 2 ? ? ? ? 2 2 2 2 4

c b c sin B ? ,b ? ,b ? 3 2 ? 6 , sin C sin B sin C

则由 S?ABC ?

1 1 2 bc sin A ? ? 2 ? (3 2 ? 6) ? ? 3? 3 2 2 2

考点:利用正弦定理进行边角互化解三角形及面积公式和方程思想。 19、 (本小题满分 12 分) 在等差数列{an}中, S n 为其前 n 项和 (n ? N ? ) ,且 a3 ? 5, S 3 ? 9. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设 bn ?

1 ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn . a n a n ?1

【答案】 (1) an 【解析】

? 2n ?1

(2) S n

?

1 2( n ? 1)

试题分析: (1)由题已知等差数列,及 a3 ? 5, S 3 ? 9. 可运用通项公式及求和公式,化为基 本量 a1 , d ,建立方程可求出 a1 , d ,则可得 ?an ? 的通项公式; (2)由(1)已知等差数列的通项公式,可利用 bn ? 式,观察可运用列项法求和。 试题解析:(Ⅰ)由已知条件得 ?

1 ,求出 ?bn ? 的通项公 a n a n ?1

?a1 ? 2d ? 5, ?3a1 ? 6d ? 9,

解得 a1 ? 1, d ? 2,

所以通项公式为;

an ? 2n ? 1
(Ⅱ)由(Ⅰ)知, an ? 2n ? 1, ∴ bn ?

1 1 1 1 1 ? ? ( ? ) an an?1 (2n ? 1)(2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1

数列 ?bn ? 的前 n 项和

Sn ? b1 ? b2 ? ? ? bn

1 ?? 1 ? ? 1 1 ? 1 ?? 1 1 1 ?1 ? ??1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? )? ? ? ? (1 ? 2 ?? 2 ? ? 2 3 ? n ? 1 2(n ? 1) ? n n ? 1 ?? 2
【考点】 (1)等差数列的性质。 20、(本小题满分 12 分) 解关于 x 的不等式 【答案】 见解析 【解析】 试题分析:由题原分式不等式,可通分化简为标准的分式不等式,因为含有参数 a ,需根据 两根的大小(有三种情况)进行分类讨论而得出相应的解集;最后综合可得 解集。 试题解析:原不等式可化为 (2)列项法求数列的和。

(a ? 2) x ? 4 ? 2 (其中 a ? 0 ). x ?1

(a ? 2) x ? 4 ax ? 2 ? 2 ? 0 ,即 ?0 x ?1 x ?1 2 2 当 ? 1 ,即 0 ? a ? 2 时,解集为 {x |1 ? x ? } a a

2 ? 1 ,即 a ? 2 时,解集为 ? a 2 2 当 ? 1 ,即 a ? 2 时,解集为 {x | ? x ? 1} a a 2 综上所述 0 ? a ? 2 时,解集为 {x |1 ? x ? } ; a ? 2 时,解集为 ? ; a ? 2 时, a 2 解集为 {x | ? x ? 1} 考点:分式不等式的解法及分类思想; a
当 21、(本小题满分 12 分) 已知 f ( x) ? 2 x 2 ? bx ? c ,不等式 f ( x) ? 0 的解集是 (0,5) , (1)求 f ( x) 的解析式; (2)若对于任意 x ? [?1,1] ,不等式 f ( x) ? t ? 2 恒成立,求 t 的取值范围. 【答案】 (1) f ( x) ? 2 x2 ?10 x 【解析】 试题分析:(1)由题为已知一元二次不等式的解 集,求函数解析式。可由二次不等式的解法, 先找到对应的二次方程,则 0,5 为二次方程的两个根,代入可得 b, c ,函数 解析式可得; (2)由题为恒成立问题,可等价转化为最值问题,即; 2 x ? 10x ? t ? 2 ? 0 恒
2

(2) t ? ?10

成立,再利用函数 g ( x) ? 2 x ? 10x ? t ? 2 ,求它的最大值可得 t 的取值范
2

围. 试题解析: (1) f ( x) ? 2 x 2 ? bx ? c ,不等式 f ( x) ? 0 的解集是 (0,5) , 所以 2 x ? bx ? c ? 0 的解集是 (0,5) ,所以 0 和 5 是方程 2 x ? bx ? c ? 0
2 2

的两个根, 由韦达定理知, ?

b c ? 5, ? 0,? b ? ?10, c ? 0, f ( x) ? 2 x 2 ? 10 x . 2 2
2

(2) f ( x) ? t ? 2 恒成立等价于 2 x ? 10x ? t ? 2 ? 0 恒成立, 所以 2 x ? 10x ? t ? 2 的最大值小于或等于 0.设 2 x ? 10x ? t ? 2 ? 0 ,
2
2

则由二次函数的图象可知 g ( x) ? 2 x ? 10x ? t ? 2 在区间 [ ?1,1] 为减函数,
2

所以 g ( x)max ? g (?1) ? 10 ? t ,所以 t ? ?10 . 考点: (1)三个二次的关系及待定系数法求函数解析式; (2)恒成立中的最值思想及二次函

数的性质。 22、 (本小题满分 12 分) 已知小矩形花坛 ABCD 中, AB=3 m, AD=2 m, 现要将小矩形花坛建成大矩形花坛 AMPN, 使点 B 在 AM 上,点 D 在 AN 上,且对角线 MN 过点 C. (1)要使矩形 AMPN 的面积大于 32 m ,AN 的长应在什么范围内? (2)M,N 是否存在这样的位置,使矩形 AMPN 的面积最小?若存在,求出这个最小面积 及相应的 AM,
2

【答案】 (1)(2, 【解析】

8 )或(8,+∞) 3

(2)当 AM=6,AN=4 时,Smin=24.

试题分析: (1)由题如图,可先设出所求的量;AM=x,AN=y(x>3,y>2),再由矩形的面 积公式建立关系式, 另由图可发现; △NDC∽△NAM, 则可找到长与宽的关系式, 从而建立关于 AN=y,的二次不等式,求解可得 AN 的取值范围; (2)由题为建设后矩形面积的最小值,可由(1)得出的函数关系式

S?

3y2 ( y ? 2) ,进行代数变形利用均值不等式(注意条件,正,定,相等) y?2

可求出相应的最小值。 试题解析: (1)设 AM=x,AN=y(x>3,y>2),矩形 AMPN 的面积为 S,则 S=xy. ∵△NDC∽△NAM,∴

y?2 3 3y = ,∴x= , x y y?2

∴S=

8 3y2 3y2 (y>2).由 >32,得 2<y< ,或 y>8, 3 y?2 y?2 8 )或(8,+∞)内. 3

∴AN 的长度应在(2,

4 3y2 (2)当 y>2 时,S= =3(y-2+ +4)≥3×(4+4)=24, y?2 y?2
当且仅当 y-2=

4 ,即 y=4 时,等号成立,解得 x=6. y?2

∴存在 M,N 点,当 AM=6,AN=4 时,Smin=24. 考点:函数模型的建立及二次不等式和均值不等式的综合运用。


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