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高二年级上期期中考试理科数学


高二期末考试理科数学 一、选择题(本大题 10 小题,每小题 4 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一个是符合要求的) 1 设 x ? R ,则 x ? 0 是 x ? 1 的( A. 充分但不必要条件 C. 充要条件
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) B. 必要但不充分条件 D. 既不充分又不必要条件 ) C. (? , 0)

2.抛物线 y ? 2 x 的焦点坐标是(
2

1 2 ? 3.已知点 M(0,1,-2) ,平面 ? 过原点,且垂直于向量 n ? (1, ?2, 2) ,则点 M 到平面 ? 的
D. ( , 0) 的距离为 A. 3
2 2

1 A. (0, ) 2

1 B. (0, ? ) 2

1 2

B. 2

C. 6

D. 6 ( C. ) D.
2

4.双曲线 A.

x y ? ? 1 的离心率为是 4 2 6 2 B. 2 2


2

20 4

5.下列四个命题中的真命题为( A. 若sinA=sinB,则?A=?B

B. 若lgx ? 0,则x ? 1
2 D.若 b ? ac ,则 a、b、c 三数等比

1 1 若a>b,且ab>0,则 〈 a b C.
2 2

6.若方程 Ax ? By ? 1 表示焦点在 x 轴上的椭圆,则 A、B 满足的条件是( A. B ? A C. B ? A ? 0, B. A ? B ? 0 D. A ? B ,且 A ? 0, B ? 0



7. 若平面 ? 的法向量为 n1 ? (3, 2,1) ,平面 ? 的法向量为 n2 ? (2,0, ?1) ,则平面 ? 与 ? 夹 角的余弦是( ) A.

?

?

70 14

B.

70 10

C. ?

70 14

D. -

70 10

8. 如图,ABCD—A1B1C1D1 是棱长为 1 正方体,则直线 BA1 与平面 CD1B1 的距离是( )

A.

1 2

B.

2 2

C.

3 3

D.

2 3 3

9.过椭圆的一个焦点 F2 作垂直于长轴的弦 PQ , F1 是另一焦点, 若∠ PF1Q ? 圆的离心率 e 等于( A
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?
2

,则椭

) B
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2 ?1

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2 2

C 2? 2
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D

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2 ?1
1

10.已知直线 1 的距离之和的最小值是( A.2

l : 4 x ? 3 y ? 6 ? 0 和直线 l2 : x ? ?1 ,抛物线 y 2 ? 4x 上一动点 P 到直线 l1 和直线 l2
) C. B.3

11 5

D.

37 16

二、填空题。 (本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分) 2 x y2 ? 1 上一点 P 到它的一个焦点的距离等于 3,那么点 P 到另一个焦点的距离 11.椭圆 ? 25 9 等于 . 12.命题“对任意一个实数 x,都有 2x+4≥0”的否定是 ??? ? ,? 13.已知 A(1 2, 1) 关于面 xOy 的对称点为 B ,C(1,-2,-1) ,则 BC ? ______
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14.已知正四棱柱 ABCD ? A1B1C1D1 中, AA1 = 2 AB , E 、F分别为 AA1 、 DD1 中点,则 异面直线 BE 与 FA1 所成角为_____________. 15 若直线 y=k(x+2)+1 与抛物线 y ? 4 x 只有一个公共点,则 k 的值是_____________.
2
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三.解答题(本大题共 4 小题,每题 10 分,共 40 分,解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤) 。

y 2 x2 ? ? 1 的焦点重合,它的离 16. (本小题满分 10 分)已知椭圆短轴上的顶点与双曲线 4 12 3 心率为 . 5
(1)求该椭圆短半轴的长; (2)求该椭圆的方程.

17. (本小题满分 10 分)设 A(1,0,0), B(1,0,1), C (0,1,1), D(1,1,1) ,求直线 AD 与平面 ABC 的 夹角。

18(本小题满分 10 分) 已知命题 p : x ? 4 ? 6, q : x ? 2x ?1 ? a ? 0(a ? 0), 若 ? p 是 q 的
2 2
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充分不必要条件,求 a 的取值范围

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19. (本小题满分 10 分)如图所示,设抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 的焦点为 F,经过 F 的直线交 抛物线于 A,B 两点,点 C 在抛物线的准线上,且 BC//x 轴,证明直线 AC 经过原点 O.
2

l D

y A
2

20 (本小题满分 10 分) 如图,在长方体 ABCD—A1B1C1D1,中,AD=AA1=1,AB=2,点 E 在棱 AD 上移动. (1)证明:D1E⊥A1D;
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(2)AE 等于何值时,二面角 D1—EC—D 的大小为

? . 4

D1 A1 D A E B B1

C1

C

? 21. (本小题满分 10 分)在直角坐标系 xOy 中,点 P 到两定点 (0, 3) , (0, 3) 的距离
之和等于 4,设点 P 的轨迹为 C ,过点 (0, 3) 的直线 C 交于 A,B 两点. (1)写出 C 的方程; (2)设 d 为 A、B 两点间的距离,d 是否存在最大值、最小值,若存在, 求出 d 的最大 值、最小值.

数学参考答案 一、选择题。 1-5 B D B A C 二、填空题.

6-10

C A C D A

3

11. 7 12. 存在实数 x,使得 2x+4<0 三、解答题

13.

(0, 4, 2) ? ?

14. 60

0

1 15.0, 2 ,-1.

x2 y 2 ? 2 ?1 2 b 16. 解:(1) 设所求椭圆方程为 a ,由已知条件得 b=4,???4 分
c 3 ? 2 2 2 (2) ∵ b =4 , a 5 , a ? b ? c 2 ∴ a ? 25

x2 y 2 ? ?1 ∴ 所求椭圆方程为 25 16

???10 分

? ? ??? ? ? ??? ? ABC 的法向量 n ? ( x, y, z),?n ? AB ? 0, n ? AC ? 0 ,所以 17.解:设平面

?( x, y, z) ? (0,0,1) ? 0 ? z ? 0 ?z ? 0 ?? ? ? ?( x, y, z) ? (?1,1,1) ? 0 , ?? x ? y ? z ? 0 ? y ? x ???5 分 ? x ? 1, 则n ? (1,1,0) , ???7 分
? ???? 1? 0 ? 1? 1 ? 0 ? 1 1 ? cos ? n, AD ?? ? 2 . 2? 2 ? ? ? ? ? ? ?? AD?n ? ? ,? 夹角? ? ? ? . 3 2 3 6
18.解:

?p : 4 ? x ? 6, x ? 10, 或x ? ?2, A ? ?x | x ? 10, 或x ? ?2?

???10 分

q : x2 ? 2x ?1? a2 ? 0,x ? 1? a, 或x ? 1? a, 记B ? ?x | x ? 1? a, 或x ? 1? a?
???5 分

而 ?p ? q,? A

B ,即

?1 ? a ? ?2 ? ?1 ? a ? 10 ,? 0 ? a ? 3 ?a ? 0 ?
2

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???10 分

p 19. 证明:因为抛物线 y =2px (p>0)的焦点为 F ( 2 ,0),所以经过点 F 的直线的方程
可设为

p 2, p x ? my ? 2 ,代入抛物线方程得 把 x ? my ?

??4 分

y2 -2pmy-p2 = 0,
记 A(x1,y1),B(x2,y2),则 y1,y2 是该方程的两个根,所以
4

y1y2 = -p2.

??7 分

p p 因为 BC∥x 轴,且点 c 在准线 x = - 2 上,所以点 c 的坐标为(- 2 ,y2) ,故直线 CO
的斜率为

k?

y2 2 p y1 ? ? p y1 x1 ? 2 .
??10 分

即 k 也是直线 OA 的斜率,所以直线 AC 经过原点 O.

20.解:以 D 为坐标原点,直线 DA,DC,DD1 分别为 x, y, z 轴,建立空间直角坐标系,设 AE=x, 则 A1(1,0,1) 1(0,0,1) ,D ,E(1,x,0) ,A(1,0,0)C(0,2,0)
1 1 (1) 因为DA , D1 E ? (1,0,1), (1, x,?1) ? 0, 所以DA ? D1 E.

??4 分

? ???? ? ?n ? D1C ? 0, ?2b ? c ? 0 ? ?? ? ? ? ??? ?a ? b( x ? 2) ? 0. 令 b=1, ∴c=2,a=2-x, ?n ? CE ? 0, 由?
∴ n ? (2 ? x,1,2).

(2)设平面 D1EC 的法向量 n ? (a, b, c) ,∴ CE ? (1, x ? 2,0), D1C ? (0,2,?1), DD1 ? (0,0,1),

依题意

? ???? ? | n ? DD1 | ? 2 2 2 ???? ? ? cos ? ? ? ? . 2 4 | n | ? | DD1 | 2 2 ( x ? 2) ? 5

??7 分

∴ x1 ? 2 ? 3 (不合,舍去) x2 ? 2 ? 3 . ,

? ∴AE= 2 ? 3 时,二面角 D1—EC—D 的大小为 4 .

??10 分

? 21. 2.解: (1)设 P( x,y ),由椭圆定义可知,点 P 的轨迹 C 是以 (0, 3) , (0, 3)
为焦点,长半轴为 2 的椭圆.它的短半轴 故曲线 C 的方程为

b ? 22 ? ( 3) 2 ? 1 ,

x2 ?

y2 ?1 4 . ??3 分

A( x1,y1 ),B( x2,y2 ) , (2)① 设过点 (0, 3) 的直线方程为 y=kx+ 3 ,
? 2 y2 ? 1, ?x ? 4 ? ? y ? kx ? 3. ?
2 2

其坐标满足

消去 y 并整理得 (k ? 4) x ? 2 3kx ?1 ? 0 . ??5 分

5

2 3k 2 3k 2 ,y1 ? y2 ? k ( x1 ? x2 ) ? 2 3 ? ? 2 ?2 3 k2 ? 4 k ?4 ∴ 。 2 2 a a 3k 2 d ? AF | ? | BF ? e( ? y1 ) ? e( ? y2 ) ? 2a ? e( y1 ? y2 ) ? 2 ?3 c c ∴ =4 k ? 4 12 4? 2 k ?4 。 = x1 ? x2 ? ?
2 ∵ k ? 0 ,∴k=0 时,d 取得最小值 1 。??8 分

② 当 k 不存在时,过点 (0, 3) 的直线方程为 x=0,交点 A、B 分别为椭圆 C 的长轴端点, 显然此时 d 取最大值 4. ??10 分

6



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