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圆锥曲线试题


江苏高考圆锥曲线
一.解答题(共 9 小题) 1 2 3. (2010?江苏)在平面直角坐标系 xoy 中,如图,已知椭圆

=1 的左、右顶点为 A、

B,右焦点为 F.设过点 T(t,m)的直线 TA、TB 与椭圆分别交于点 M(x1,y1) 、N(x2,y2) , 其中 m>0,y1>0,y2<0. 2 2 (1)设动点

P 满足 PF ﹣PB =4,求点 P 的轨迹; (2)设 x1=2,x2= ,求点 T 的坐标; (3)设 t=9,求证:直线 MN 必过 x 轴上的一定点(其坐标与 m 无关) .

4. (2011?江苏)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,M、N 分别是椭圆

的顶点,过

坐标原点的直线交椭圆于 P,A 两点,其中点 P 在第一象限,过 P 作 x 轴的垂线,垂足为 C, 连接 AC,并延长交椭圆于点 B,设直线 PA 的斜率为 k (1)若直线 PA 平分线段 MN,求 k 的值; (2)当 k=2 时,求点 P 到直线 AB 的距离 d; (3)对任意 k>0,求证:PA⊥PB.

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5. (2012?江苏)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆

(a>b>0)的左、右焦

点分别为 F1(﹣c,0) ,F2(c,0) .已知(1,e)和(e, 的离心率. (1)求椭圆的方程;

)都在椭圆上,其中 e 为椭圆

(2)设 A,B 是椭圆上位于 x 轴上方的两点,且直线 AF1 与直线 BF2 平行,AF2 与 BF1 交于点 P. (i)若 AF1﹣BF2= ,求直线 AF1 的斜率;

(ii)求证:PF1+PF2 是定值.

6. (2013?江苏)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,点 A(0,3) ,直线 l:y=2x﹣4.设圆 C 的半径为 1,圆心在 l 上. (1)若圆心 C 也在直线 y=x﹣1 上,过点 A 作圆 C 的切线,求切线的方程; (2)若圆 C 上存在点 M,使 MA=2MO,求圆心 C 的横坐标 a 的取值范围.

7. (2014?江苏)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,F1,F2 分别为椭圆

+

=1(a>b>0)

的左、右焦点,顶点 B 的坐标为(0,b) ,连接 BF2 并延长交椭圆于点 A,过点 A 作 x 轴的 垂线交椭圆于另一点 C,连接 F1C. (1)若点 C 的坐标为( , ) ,且 BF2= (2)若 F1C⊥AB,求椭圆离心率 e 的值. ,求椭圆的方程;

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8. (2014?江苏)如图,为保护河上古桥 OA,规划建一座新桥 BC,同时设立一个圆形保护 区,规划要求:新桥 BC 与河岸 AB 垂直;保护区的边界为圆心 M 在线段 OA 上并与 BC 相切 的圆,且古桥两端 O 和 A 到该圆上任意一点的距离均不少于 80m,经测量,点 A 位于点 O 正 北方向 60m 处,点 C 位于点 O 正东方向 170m 处(OC 为河岸) ,tan∠BCO= . (1)求新桥 BC 的长; (2)当 OM 多长时,圆形保护区的面积最大?

9. (2015?江苏)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆

+

=1(a>b>0)的离心

率为

,且右焦点 F 到左准线 l 的距离为 3.

(1)求椭圆的标准方程; (2)过 F 的直线与椭圆交于 A,B 两点,线段 AB 的垂直平分线分别交直线 l 和 AB 于点 P, C,若 PC=2AB,求直线 AB 的方程.

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2015 年 11 月 25 日音速侠者的高中数学组卷
参考答案与试题解析

一.解答题(共 9 小题) 1. (2015?广东模拟)已知数列{an}中,a1=3,a2=5,其前 n 项和 Sn 满足 Sn+Sn﹣2=2Sn﹣1+2 (n≥3) .令 bn= .
n﹣1

(Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)若 f(x)=2
x﹣1

,求证:Tn=b1f(1)+b2f(2)+…+bnf(n)< (n≥1) .
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【考点】数列递推式;数列的函数特性;不等式的证明. 【专题】计算题;证明题;压轴题.
n﹣1

【分析】 (Ⅰ) 由题意知 an=an﹣1+2 (n≥3) (an﹣an﹣1) + (an﹣1﹣an﹣2) +…+ (a3﹣a2) +a2=2 +1. (Ⅱ)由于 Tn=b1f(1)+b2f(2)+…+bnf(n) = Tn=b1f(1)+b2f(2)+…+bnf(n)< (n≥1) . 【解答】解: (Ⅰ)由题意知 Sn﹣Sn﹣1=Sn﹣1﹣Sn﹣2+2 (n≥3) n﹣1 即 an=an﹣1+2 (n≥3) ∴an=(an﹣an﹣1)+(an﹣1﹣an﹣2)+…+(a3﹣a2)+a2 n﹣1 n﹣2 2 =2 +2 +…+2 +5 n =2 +1(n≥3) n 检验知 n=1、2 时,结论也成立,故 an=2 +1. (Ⅱ)由于 bn= ,f(x)=2
x﹣1 n﹣1

n

=

.故

,由此可证明



∴ 故 Tn=b1f(1)+b2f(2)+…+bnf(n) = = .

=



【点评】本题考查数列的性质和综合应用,解题时要认真审题.仔细解答.

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2. (2014 春?金牛区校级期末)已知数列{an}满足 a1= ,an= ∈N) . (1)试判断数列 是否为等比数列,并说明理由;

(n≥2,n

(2)设 bn=

,求数列{bn}的前 n 项和 Sn;

(3)设 cn=ansin

,数列{cn}的前 n 项和为 Tn.求证:对任意的 n∈N ,Tn< .
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*

【考点】数列与不等式的综合;等比关系的确定;数列的求和. 【专题】计算题;证明题;压轴题. 【分析】 (1)根据题意,对

进行变形可得 ,从而证得结论;

(2)根据(1)求出数列 an,从而求得 bn,利用分组求和法即可求得结果; (3)首先确定出数列{cn}的通项公式,利用放缩的思想将数列的每一项进行放缩,转化为 特殊数列的求和问题达到证明不等式的目的. 【解答】解: (1)∵ ∴ 又∵ ∴数列 (2)依(1)的结论有 , 是首项为 3,公比为﹣2 的等比数列. , , ,





bn=(3?2

n﹣1

+1) =9?4
2

n﹣1

+6?2

n﹣1

+1.



(3)∵



∴ 当 n≥3 时,



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= ∵T1<T2<T3, ∴对任意的 n∈N ,
*





【点评】本题考查数列的递推公式确定数列的思想,根据递推公式确定出数列是否满足特 殊数列的定义,考查学生的转化与化归思想.第(3)问考查学生的不等式放缩的技巧与方 法, 关键要将数列{cn}的每一项进行放缩转化为特殊数列从而达到求和证明的目的, 属难题.

3. (2010?江苏)在平面直角坐标系 xoy 中,如图,已知椭圆

=1 的左、右顶点为 A、

B,右焦点为 F.设过点 T(t,m)的直线 TA、TB 与椭圆分别交于点 M(x1,y1) 、N(x2,y2) , 其中 m>0,y1>0,y2<0. 2 2 (1)设动点 P 满足 PF ﹣PB =4,求点 P 的轨迹; (2)设 x1=2,x2= ,求点 T 的坐标; (3)设 t=9,求证:直线 MN 必过 x 轴上的一定点(其坐标与 m 无关) .

【考点】轨迹方程;直线与圆锥曲线的综合问题. 【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程.

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【分析】 (1)设点 P(x,y) ,由两点距离公式将 PF ﹣PB =4,变成坐标表示式,整理即得 点 P 的轨迹方程. (2)将 分别代入椭圆方程,解出点 M 与点 N 的坐标由两点式写出直线 AM 与

2

2

直线 BN 的方程联立解出交点 T 的坐标. (3)方法一求出直线方程的参数表达式,然后求出 其与 x 的交点的坐标,得到其横坐标为一个常数,从而说明直线过 x 轴上的定点. 方法二根据特殊情况即直线与 x 轴垂直时的情况求出定点,然后证明不垂直于 x 轴时两线 DM 与 DN 斜率相等,说明直线 MN 过该定点. 【解答】解: (1)设点 P(x,y) ,则:F(2,0) 、B(3,0) 、A(﹣3,0) . 由 PF ﹣PB =4,得(x﹣2) +y ﹣[(x﹣3) +y ]=4,化简得
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2 2 2 2 2 2



故所求点 P 的轨迹为直线 (2)将 得 M(2, ) 、N( , 直线 MTA 方程为:



分别代入椭圆方程,以及 y1>0,y2<0, ) ,即 ,

直线 NTB 方程为:

,即



联立方程组,解得:



所以点 T 的坐标为



(3)点 T 的坐标为(9,m) 直线 MTA 方程为: 直线 NTB 方程为: ,即 ,即 , .

分别与椭圆

联立方程组,同时考虑到 x1≠﹣3,x2≠3,

解得: (方法一)当 x1≠x2 时,





直线 MN 方程为:

令 y=0,解得:x=1.此时必过点 D(1,0) ; 当 x1=x2 时,直线 MN 方程为:x=1,与 x 轴交点为 D(1,0) . 所以直线 MN 必过 x 轴上的一定点 D(1,0) . (方法二)若 x1=x2,则由 此时直线 MN 的方程为 x=1,过点 D(1,0) . 及 m>0,得 ,

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若 x1≠x2,则

,直线 MD 的斜率



直线 ND 的斜率

,得 kMD=kND,所以直线 MN 过 D 点.

因此,直线 MN 必过 x 轴上的点(1,0) .

【点评】本小题主要考查求简单曲线的方程,考查方直线与椭圆的方程等基础知识.考查 运算求解能力和探究问题的能力

4. (2011?江苏)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,M、N 分别是椭圆

的顶点,过

坐标原点的直线交椭圆于 P,A 两点,其中点 P 在第一象限,过 P 作 x 轴的垂线,垂足为 C, 连接 AC,并延长交椭圆于点 B,设直线 PA 的斜率为 k (1)若直线 PA 平分线段 MN,求 k 的值; (2)当 k=2 时,求点 P 到直线 AB 的距离 d; (3)对任意 k>0,求证:PA⊥PB.

【考点】直线与圆锥曲线的综合问题. 【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】 (1)由题设写出点 M,N 的坐标,求出线段 MN 中点坐标,根据线 PA 过原点和斜率 公式,即可求出 k 的值; (2)写出直线 PA 的方程,代入椭圆,求出点 P,A 的坐标,求出直线 AB 的方程,根据点 到直线的距离公式,即可求得点 P 到直线 AB 的距离 d;
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(3)要证 PA⊥PB,只需证直线 PB 与直线 PA 的斜率之积为﹣1,根据题意求出它们的斜率, 即证的结果. 【解答】解: (1)由题设知,a=2,b= , 故 M(﹣2,0) ,N(0,﹣ ) ,所以线段 MN 中点坐标为(﹣1,﹣ ) .

由于直线 PA 平分线段 MN,故直线 PA 过线段 MN 的中点,又直线 PA 过原点, 所以 k= . ,解得 x=± ,

(2)直线 PA 的方程为 y=2x,代入椭圆方程得 因此 P( , ) ,A(﹣ ,﹣ )

于是 C( ,0) ,直线 AC 的斜率为 1,故直线 AB 的方程为 x﹣y﹣ =0.

因此,d=



(3)设 P(x1,y1) ,B(x2,y2) ,则 x1>0,x2>0,x1≠x2, A(﹣x1,﹣y1) ,C(x1,0) . 设直线 PB,AB 的斜率分别为 k1,k2. 因为 C 在直线 AB 上,所以 k2= ,

从而 kk1+1=2k1k2+1=2?

=

=

=



因此 kk1=﹣1,所以 PA⊥PB. 【点评】此题是个难题.考查椭圆的标准方程和简单的几何性质,以及直线斜率的求法, 以及直线与椭圆的位置关系,体现了方程的思想和数形结合思想,同时也考查了学生观察、 推理以及创造性地分析问题、解决问题的能力.

5. (2012?江苏)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆

(a>b>0)的左、右焦

点分别为 F1(﹣c,0) ,F2(c,0) .已知(1,e)和(e, 的离心率. (1)求椭圆的方程;

)都在椭圆上,其中 e 为椭圆

(2)设 A,B 是椭圆上位于 x 轴上方的两点,且直线 AF1 与直线 BF2 平行,AF2 与 BF1 交于点 P.

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(i)若 AF1﹣BF2=

,求直线 AF1 的斜率;

(ii)求证:PF1+PF2 是定值.

【考点】直线与圆锥曲线的综合问题;直线的斜率;椭圆的标准方程. 【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】 (1)根据椭圆的性质和已知(1,e)和(e,

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) ,都在椭圆上列式求解.

(2) (i) 设 AF1 与 BF2 的方程分别为 x+1=my, x﹣1=my, 与椭圆方程联立, 求出|AF1|、 |BF2|, 根据已知条件 AF1﹣BF2= ,用待定系数法求解;

(ii)利用直线 AF1 与直线 BF2 平行,点 B 在椭圆上知,可得 , PF1+PF2 是定值. 【解答】 (1)解:由题设知 a =b +c ,e= ,由点(1,e)在椭圆上,得 b=1,c =a ﹣1. 由点(e, )在椭圆上,得
2 2 2 2 2

,由此可求得

,∴



,∴a =2

2

∴椭圆的方程为



(2)解:由(1)得 F1(﹣1,0) ,F2(1,0) , 又∵直线 AF1 与直线 BF2 平行,∴设 AF1 与 BF2 的方程分别为 x+1=my,x﹣1=my. 设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,y1>0,y2>0,
2

∴由

,可得(m +2)

﹣2my1﹣1=0.





(舍) ,
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∴|AF1|=

×|0﹣y1|=



同理|BF2|=



(i)由①②得|AF1|﹣|BF2|= ∵注意到 m>0,∴m= ∴直线 AF1 的斜率为 . .

,∴

,解得 m =2.

2

(ii)证明:∵直线 AF1 与直线 BF2 平行,∴

,即



由点 B 在椭圆上知,

,∴



同理 ∴ PF1+PF2=



=

由①②得,





∴PF1+PF2=



∴PF1+PF2 是定值. 【点评】本题考查椭圆的标准方程,考查直线与椭圆的位置关系,考查学生的计算能力, 属于中档题.

6. (2013?江苏)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,点 A(0,3) ,直线 l:y=2x﹣4.设圆 C 的半径为 1,圆心在 l 上. (1)若圆心 C 也在直线 y=x﹣1 上,过点 A 作圆 C 的切线,求切线的方程; (2)若圆 C 上存在点 M,使 MA=2MO,求圆心 C 的横坐标 a 的取值范围.

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【考点】圆的切线方程;点到直线的距离公式;圆与圆的位置关系及其判定. 【专题】直线与圆. 【分析】 (1)联立直线 l 与直线 y=x﹣1 解析式,求出方程组的解得到圆心 C 坐标,根据 A 坐标设出切线的方程,由圆心到切线的距离等于圆的半径,列出关于 k 的方程,求出方程 的解得到 k 的值,确定出切线方程即可; (2)设 M(x,y) ,由 MA=2MO,利用两点间的距离公式列出关系式,整理后得到点 M 的轨 迹为以(0,﹣1)为圆心,2 为半径的圆,可记为圆 D,由 M 在圆 C 上,得到圆 C 与圆 D 相 交或相切,根据两圆的半径长,得出两圆心间的距离范围,利用两点间的距离公式列出不 等式,求出不等式的解集,即可得到 a 的范围.
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【解答】解: (1)联立得:



解得:



∴圆心 C(3,2) . 若 k 不存在,不合题意; 若 k 存在,设切线为:y=kx+3,可得圆心到切线的距离 d=r,即 =1,

解得:k=0 或 k=﹣ , 则所求切线为 y=3 或 y=﹣ x+3; (2)设点 M(x,y) ,由 MA=2MO,知:
2 2

=2



化简得:x +(y+1) =4, ∴点 M 的轨迹为以(0,﹣1)为圆心,2 为半径的圆,可记为圆 D, 又∵点 M 在圆 C 上,C(a,2a﹣4) , ∴圆 C 与圆 D 的关系为相交或相切, ∴1≤|CD|≤3,其中|CD|= ∴1≤ 解得:0≤a≤ . ≤3, ,

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【点评】此题考查了圆的切线方程,点到直线的距离公式,以及圆与圆的位置关系的判定, 涉及的知识有:两直线的交点坐标,直线的点斜式方程,两点间的距离公式,圆的标准方 程,是一道综合性较强的试题.

7. (2014?江苏)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,F1,F2 分别为椭圆

+

=1(a>b>0)

的左、右焦点,顶点 B 的坐标为(0,b) ,连接 BF2 并延长交椭圆于点 A,过点 A 作 x 轴的 垂线交椭圆于另一点 C,连接 F1C. (1)若点 C 的坐标为( , ) ,且 BF2= (2)若 F1C⊥AB,求椭圆离心率 e 的值. ,求椭圆的方程;

【考点】椭圆的简单性质;椭圆的标准方程. 【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】 (1)根据椭圆的定义,建立方程关系即可求出 a,b 的值.
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(2)求出 C 的坐标,利用 F1C⊥AB 建立斜率之间的关系,解方程即可求出 e 的值. 【解答】解: (1)∵C 的坐标为( , ) ,

∴ ∵ ∴a =(
2

,即 , ) =2,即 b =1, +y =1.
2 2 2



则椭圆的方程为

(2)设 F1(﹣c,0) ,F2(c,0) , ∵B(0,b) , ∴直线 BF2:y=﹣ x+b,代入椭圆方程 + =1(a>b>0)得( )x ﹣
2

=0,

解得 x=0,或 x=



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∵A(



) ,且 A,C 关于 x 轴对称,

∴C(

,﹣

) ,



=﹣

=



∵F1C⊥AB, ∴ ×( )=﹣1,

由 b =a ﹣c 得

2

2

2



即 e=



【点评】本题主要考查圆锥曲线的综合问题,要求熟练掌握椭圆方程的求法以及直线垂直 和斜率之间的关系,运算量较大.

8. (2014?江苏)如图,为保护河上古桥 OA,规划建一座新桥 BC,同时设立一个圆形保护 区,规划要求:新桥 BC 与河岸 AB 垂直;保护区的边界为圆心 M 在线段 OA 上并与 BC 相切 的圆,且古桥两端 O 和 A 到该圆上任意一点的距离均不少于 80m,经测量,点 A 位于点 O 正 北方向 60m 处,点 C 位于点 O 正东方向 170m 处(OC 为河岸) ,tan∠BCO= . (1)求新桥 BC 的长; (2)当 OM 多长时,圆形保护区的面积最大?

【考点】圆的切线方程;直线与圆的位置关系. 【专题】直线与圆.

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【分析】 (1)在四边形 AOCB 中,过 B 作 BE⊥OC 于 E,过 A 作 AF⊥BE 于 F,设出 AF,然后 通过解直角三角形列式求解 BE,进一步得到 CE,然后由勾股定理得答案; (2)设 BC 与⊙M 切于 Q,延长 QM、CO 交于 P,设 OM=xm,把 PC、PQ 用含有 x 的代数式表 示,再结合古桥两端 O 和 A 到该圆上任意一点的距离均不少于 80m 列式求得 x 的范围,得 到 x 取最小值时圆的半径最大,即圆形保护区的面积最大. 【解答】解: (1)如图,

过 B 作 BE⊥OC 于 E,过 A 作 AF⊥BE 于 F, ∵∠ABC=90°,∠BEC=90°, ∴∠ABF=∠BCE, ∴ .

设 AF=4x(m) ,则 BF=3x(m) . ∵∠AOE=∠AFE=∠OEF=90°, ∴OE=AF=4x(m) ,EF=AO=60(m) , ∴BE=(3x+60)m. ∵ ∴CE= ∴ ∴ , , (m) . (m) .

解得:x=20. ∴BE=120m,CE=90m, 则 BC=150m; (2)如图,

设 BC 与⊙M 切于 Q,延长 QM、CO 交于 P, ∵∠POM=∠PQC=90°, ∴∠PMO=∠BCO.
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设 OM=xm,则 OP= ∴PC= 设⊙M 半径为 R, ∴R=MQ=

m,PM= m,PQ=

m. m.

m=

m.

∵A、O 到⊙M 上任一点距离不少于 80m, 则 R﹣AM≥80,R﹣OM≥80, ∴136﹣ ﹣(60﹣x)≥80,136﹣ ﹣x≥80.

解得:10≤x≤35. ∴当且仅当 x=10 时 R 取到最大值. ∴OM=10m 时,保护区面积最大. 【点评】本题考查圆的切线,考查了直线与圆的位置关系,解答的关键在于对题意的理解, 是中档题.

9. (2015?江苏)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆

+

=1(a>b>0)的离心

率为

,且右焦点 F 到左准线 l 的距离为 3.

(1)求椭圆的标准方程; (2)过 F 的直线与椭圆交于 A,B 两点,线段 AB 的垂直平分线分别交直线 l 和 AB 于点 P, C,若 PC=2AB,求直线 AB 的方程.

【考点】直线与圆锥曲线的综合问题;椭圆的标准方程. 【专题】直线与圆;圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】 (1)运用离心率公式和准线方程,可得 a,c 的方程,解得 a,c,再由 a,b,c 的 关系,可得 b,进而得到椭圆方程; (2)讨论直线 AB 的斜率不存在和存在,设出直线方程,代入椭圆方程,运用韦达定理和 弦长公式,以及两直线垂直的条件和中点坐标公式,即可得到所求直线的方程.
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【解答】解: (1)由题意可得,e= = 且 c+ =3,解得 c=1,a= , +y =1;
2



则 b=1,即有椭圆方程为 (2)当 AB⊥x 轴,AB=

,CP=3,不合题意;
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当 AB 与 x 轴不垂直,设直线 AB:y=k(x﹣1) ,A(x1,y1) ,B(x2,y2) , 2 2 2 2 将 AB 方程代入椭圆方程可得(1+2k )x ﹣4k x+2(k ﹣1)=0, 则 x1+x2= ,x1x2= ,

则 C(



) ,且|AB|=

?

=



若 k=0,则 AB 的垂直平分线为 y 轴,与左准线平行,不合题意; 则 k≠0,故 PC:y+ =﹣ (x﹣ ) ,P(﹣2, ) ,

从而|PC|=



由|PC|=2|AB|,可得

=

,解得 k=±1,

此时 AB 的方程为 y=x﹣1 或 y=﹣x+1. 【点评】本题考查椭圆的方程和性质,主要考查椭圆的离心率和方程的运用,联立直线方 程,运用韦达定理和弦长公式,同时考查两直线垂直和中点坐标公式的运用,属于中档题.

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考点卡片
1.数列的函数特性 【知识点的认识】 1、等差数列的通项公式:an=a1+(n﹣1)d;前 n 项和公式 Sn=na1+ n(n﹣1)d 或者

Sn=

2、等比数列的通项公式:an=a1qn ;前 n 项和公式 Sn= 3、用函数的观点理解等差数列、等比数列 (1)对于等差数列,

﹣1

=

(q≠1)

an=a1+(n﹣1)d=dn+(a1﹣d) ,当 d≠0 时,an 是 n 的一次函数,对应的点(n,an)是位 于直线上的若干个点.当 d>0 时,函数是增函数,对应的数列是递增数列;同理,d=0 时, 函数是常数函数,对应的数列是常数列;d<0 时,函数是减函数,对应的数列是递减函数. 若等差数列的前 n 项和为 Sn,则 Sn=pn +qn(p、q∈R) .当 p=0 时,{an}为常数列;当 p≠ 0 时,可用二次函数的方法解决等差数列问题. (2)对于等比数列:an=a1qn .可用指数函数的性质来理解. 当 a1>0,q>1 或 a1<0,0<q<1 时,等比数列是递增数列; 当 a1>0,0<q<1 或 a1<0,q>1 时,等比数列{an}是递减数列. 当 q=1 时,是一个常数列. 当 q<0 时,无法判断数列的单调性,它是一个摆动数列. 【典型例题分析】 典例 1:数列{an}满足 an=n +kn+2,若不等式 an≥a4 恒成立,则实数 k 的取值范围是( A.[﹣9,﹣8]B.[﹣9,﹣7]C. (﹣9,﹣8)D. (﹣9,﹣7) 解:an=n +kn+2= ∵不等式 an≥a4 恒成立, ∴ 解得﹣9≤k≤﹣7, 故选:B. 典例 2:设等差数列{an}满足 a1=1,an>0(n∈N ) ,其前 n 项和为 Sn,若数列{
* 2 2 ﹣1 2







}也为等

差数列,则 A.310 B.212

的最大值是( C.180

) D.121
第 19 页(共 34 页)

解:∵等差数列{an}满足 a1=1,an>0(n∈N ) ,设公差为 d,则 an=1+(n﹣1)d, 其前 n 项和为 Sn= ∴ = =1, ∵数列{ ∴ = = , , = , ,

*

}也为等差数列, + , ,
2

∴ =1+ 解得 d=2. ∴Sn+10=(n+10) , =(2n﹣1) ,
2



=

=



由于
2

为单调递减数列,





=11 =121,

故选:D. 2.等比关系的确定 【知识点的知识】 等比数列的判定方法: ①定义:q= (q 是不为零的常数,n∈N*)?{an}是等比数列.

②等比中项法:an+1 =an?an+2(an?an+1?an+2≠0,n∈N*)?{an}是等比数列.
2

③通项公式:an=cqn (c、q 均是不为零的常数,n∈N*)?{an}是等比数列. (2)等比数列的前 n 项和 Sn 是用错位相减法求得的,注意这种方法在数列求和中的运用. (3)在利用等比数列前 n 项和公式时,如果不确定 q 与 1 的关系,一般要用分类讨论的思 想,分公比 q=1 和 q≠1 两种情况;计算等比数列前 n 项和过程中要注意整体代入的思想方 法.常把 qn, 当成整体求解.

﹣1

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(4) 等比数列的通项公式 an=a1qn

﹣1

及前 n 项和公式 Sn=

=

(q≠1)

共涉及五个量 a1,an,q,n,Sn,知三求二,体现了方程的思想的应用. (5)揭示等比数列的特征及基本量之间的关系.利用函数、方程的观点和方法,讨论单调 性时,要特别注意首项和公比的大小. 3.数列的求和 【知识点的知识】 就是求出这个数列所有项的和,一般来说要求的数列为等差数列、等比数列、等差等 比数列等等,常用的方法包括: (1)公式法: ①等差数列前 n 项和公式:Sn=na1+ n(n﹣1)d 或 Sn= ②等比数列前 n 项和公式:

③几个常用数列的求和公式:

(2)错位相减法: 适用于求数列{an×bn}的前 n 项和,其中{an}{bn}分别是等差数列和等比数列. (3)裂项相消法: 适用于求数列{ ( ) . }的前 n 项和,其中{an}为各项不为 0 的等差数列,即 =

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(4)倒序相加法: 推导等差数列的前 n 项和公式时所用的方法,就是将一个数列倒过来排列(反序) ,再 把它与原数列相加,就可以得到 n 个(a1+an) . (5)分组求和法: 有一类数列,既不是等差数列,也不是等比数列,若将这类数列适当拆开,可分为几 个等差、等比或常见的数列,然后分别求和,再将其合并即可. 【典型例题分析】 典例 1:已知等差数列{an}满足:a3=7,a5+a7=26,{an}的前 n 项和为 Sn. (Ⅰ)求 an 及 Sn; (Ⅱ)令 bn= (n∈N ) ,求数列{bn}的前 n 项和 Tn.
*

分析:形如

的求和,可使用裂项相消法如:

. 解: (Ⅰ)设等差数列{an}的公差为 d, ∵a3=7,a5+a7=26, ∴ ,解得 a1=3,d=2,

∴an=3+2(n﹣1)=2n+1; Sn= =n +2n.
2

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 an=2n+1, ∴bn= = = = ,

∴Tn= 即数列{bn}的前 n 项和 Tn= .

=

=



点评:该题的第二问用的关键方法就是裂项求和法,这也是数列求和当中常用的方法,就 像友情提示那样,两个等差数列相乘并作为分母的一般就可以用裂项求和. 【解题方法点拨】 数列求和基本上是必考点,大家要学会上面所列的几种最基本的方法,即便是放缩也 要往这里面考. 4.数列递推式 【知识点的知识】

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1、递推公式定义:如果已知数列{an}的第 1 项(或前几项) ,且任一项 an 与它的前一项 an ( 或前几项) 间的关系可以用一个公式来表示, 那么这个公式就叫做这个数列的递推公式. ﹣1 2、数列前 n 项和 Sn 与通项 an 的关系式:an= .

在数列{an}中,前 n 项和 Sn 与通项公式 an 的关系,是本讲内容一个重点,要认真掌握. 注意: (1)用 an=Sn﹣Sn﹣1 求数列的通项公式时,你注意到此等式成立的条件了吗?(n≥2, 当 n=1 时,a1=S1) ;若 a1 适合由 an 的表达式,则 an 不必表达成分段形式,可化统一为一个 式子. (2)一般地当已知条件中含有 an 与 Sn 的混合关系时,常需运用关系式 an=Sn﹣Sn﹣1,先将已 知条件转化为只含 an 或 Sn 的关系式,然后再求解. 3、数列的通项的求法: (1)公式法:①等差数列通项公式;②等比数列通项公式. (2)已知 Sn(即 a1+a2+…+an=f(n) )求 an,用作差法:an= .一般

地当已知条件中含有 an 与 Sn 的混合关系时, 常需运用关系式, 先将已知条件转化为只含 或 的关系式,然后再求解. (3)已知 a1?a2…an=f(n)求 an,用作商法:an,=



(4)若 an+1﹣an=f(n)求 an,用累加法:an=(an﹣an﹣1)+(an﹣1﹣an﹣2)+…+(a2﹣a1)+a1 (n≥2) . (5)已知 =f(n)求 an,用累乘法:an= (n≥2) .

(6)已知递推关系求 an,有时也可以用构造法(构造等差、等比数列) .特别地有, n ①形如 an=kan﹣1+b、an=kan﹣1+b (k,b 为常数)的递推数列都可以用待定系数法转化为公比 为 k 的等比数列后,再求 an. ②形如 an= 的递推数列都可以用倒数法求通项.

(7)求通项公式,也可以由数列的前几项进行归纳猜想,再利用数学归纳法进行证明. 5.数列与不等式的综合 【知识点的知识】 证明与数列求和有关的不等式基本方法: (1)直接将数列求和后放缩; (2)先将通项放缩后求和; (3)先将通项放缩后求和再放缩; (4)尝试用数学归纳法证明. 常用的放缩方法有:

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= [

]



=





=

﹣ (n≥2) ,



= (

) (n≥2) ,



2( …+

)= ≥

< …+

= = =



=2( < .

) .

【解题方法点拨】 证明数列型不等式,因其思维跨度大、构造性强,需要有较高的放缩技巧而充满思考 性和挑战性,能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力,因而成为高考压轴题及各 级各类竞赛试题命题的极好素材.这类问题的求解策略往往是:通过多角度观察所给数列 通项的结构,深入剖析其特征,抓住其规律进行恰当地放缩;其放缩技巧主要有以下几种: (1)添加或舍去一些项,如: (2)将分子或分母放大(或缩小) ; (3)利用基本不等式; < ; >|a|; >n;

(4)二项式放缩; (5)利用常用结论; (6)利用函数单调性. (7)常见模型: ①等差模型;②等比模型;③错位相减模型;④裂项相消模型;⑤二项式定理模型;⑥基 本不等式模型. 【典型例题分析】 题型一:等比模型 典例 1:对于任意的 n∈N*,数列{an}满足 (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)求证:对于 n≥2, . =n+1.

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解答: (Ⅰ)由

①,

当 n≥2 时,得

②,

①﹣②得









,得 a1=7 不适合上式.

综上得



(Ⅱ)证明:当 n≥2 时,





=



∴当 n≥2 时,



题型二:裂项相消模型 典例 2:数列{an}的各项均为正数,Sn 为其前 n 项和,对于任意 n∈N*,总有 an,Sn,an 成 等差数列. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设 ,数列{bn}的前 n 项和为 Tn,求证: .
2

分析: (1)根据 an=Sn﹣Sn﹣1,整理得 an﹣an﹣1=1(n≥2)进而可判断出数列{an}是公差为 1 的等差数列,根据等差数列的通项公式求得答案. (2)由(1)知 ,因为
* 2

,所以

,从而得证.

解答: (1)由已知:对于 n∈N ,总有 2Sn=an+an ①成立 ∴
2

(n≥2)②
2

①﹣②得 2an=an+an ﹣an﹣1﹣an﹣1 ,∴an+an﹣1=(an+an﹣1) (an﹣an﹣1) ∵an,an﹣1 均为正数,∴an﹣an﹣1=1(n≥2)∴数列{an}是公差为 1 的等差数列 2 * 又 n=1 时,2S1=a1+a1 ,解得 a1=1,∴an=n. (n∈N )

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(2)解:由(1)可知 ∴



【解题方法点拨】 (1)放缩的方向要一致. (2)放与缩要适度. (3)很多时候只对数列的一部分进行放缩法,保留一些项不变(多为前几项或后几项) . (4)用放缩法证明极其简单,然而,用放缩法证不等式,技巧性极强,稍有不慎,则会出 现放缩失当的现象.所以对放缩法,只需要了解,不宜深入. 6.直线的斜率 【考点归纳】 1.定义:当直线倾斜角α≠ 表示,即 k=tanα. 2.斜率的求法 (1)定义:k=tanα(α≠ ) 时,其倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率.用小写字母 k

(2)斜率公式:k=



3.斜率与倾斜角的区别和联系 (1)区别:①每条直线都有倾斜角,范围是[0,π) ,但并不是每条直线都有斜率. ②倾斜角是从几何的角度刻画直线的方向,而斜率是从代数的角度刻画直线的 方向. (2)联系:①当 a≠ 时,k=tanα;当α= 时,斜率不存在; )时,k>0 且随α的增大而

②根据正切函数 k=tanα的单调性:当α∈[0, 增大,当α∈( ,π)时,k<0

且随α的增大而增大. 【命题方向】 直线的斜率常结合直线的倾斜角进行考查.直线倾斜角和斜率是解析几何的重要概念之一, 是刻画直线倾斜程度的几何要素与代数表示,也是用坐标法研究直线性质的基础.在高考 中多以选择填空形式出现,是高考考查的热点问题. 常见题型: (1)已知倾斜角范围求斜率的范围; (2)已知斜率求倾斜角的问题. (3)斜率在数形结合中的应用. 7.点到直线的距离公式
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【知识点的知识】 从直线外一点到这直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离.而这条垂线段的距离是 任何点到直线中最短的距离.设直线方程为 Ax+By+C=0,直线外某点的坐标为(X0,Y0)那 么这点到这直线的距离就为:d= .

【例题解析】 例:过点 P(1,1)引直线使 A(2,3) ,B(4,5)到直线的距离相等,求这条直线方程. 解:当直线平行于直线 AB 时,或过 AB 的中点时满足题意, 当直线平行于直线 AB 时,所求直线的斜率为 k= 故直线方程为 y﹣1=(x﹣1) ,即 x﹣y=0; 当直线过 AB 的中点(3,4)时,斜率为 k= = , =1,

故直线方程为 y﹣1= (x﹣1) ,即 3x﹣2y﹣1=0; 故答案为:x﹣y=0 或 3x﹣2y﹣1=0. 这个题考查了点到直线的概念,虽然没有用到距离公式,但很有参考价值.他告诉我们 两点,第一直线上的点到平行直线的距离相等;第二,直线过某两点的中点时,这两点到 直线的距离相等,可以用三角形全等来证明.除此之外,本例题还考察了直线表达式的求 法,是一个好题. 【考点分析】 正如例题所表达的一样,先要了解这个考点的概念和意义,再者要牢记距离公式,在 解析几何中可能会涉及到点到直线的距离. 8.轨迹方程 【知识点的认识】 1.曲线的方程和方程的曲线 在平面内建立直角坐标系以后,坐标平面内的动点都可以用有序实数对(x,y)表示,这 就是动点的坐标.当点按某种规律运动形成曲线时,动点坐标(x,y)中的变量 x、y 存在 着某种制约关系,这种制约关系反映到代数中,就是含有变量 x、y 的方程. 一般地,在直角坐标系中,如果某曲线 C(看做适合某种条件的点的集合或轨迹)上的点与 一个二元方程 f(x,y)=0 的实数解建立了如下的关系: (1)曲线上点的坐标都是这个方程的解; (2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点. 那么这个方程就叫做曲线的方程,这条曲线就叫做方程的曲线. 2.求曲线方程的一般步骤(直接法) (1)建系设点:建立适当的直角坐标系,用(x,y)表示曲线上任一点 M 的坐标; (2)列式:写出适合条件 p 的点 M 的集合{M|p(M)}; (3)代入:用坐标表示出条件 p(M) ,列出方程 f(x,y)=0; (4)化简:化方程 f(x,y)=0 为最简形式; (5)证明:证明以化简后的方程的解为坐标的点都是在曲线上的点 【常用解法】
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(1)直接法:根据题目条件,直译为关于动点的几何关系,再利用解析几何有关公式(如 两点间的距离公式、点到直线的距离公式、夹角公式等)进行整理、化简.这种求轨迹方 程的过程不需要特殊的技巧. (2)定义法:若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义(如椭圆、双曲线、抛物线、圆 等) ,可用定义直接探求.关键是条件的转化,即转化为某一基本轨迹的定义条件. (3)相关点法:用所求动点 P 的坐标(x,y)表示已知动点 M 的坐标(x0,y0) ,即得到 x0=f (x,y) ,y0=g(x,y) ,再将 x0,y0 代入 M 满足的条件 F(x0,y0)=0 中,即得所求.一般 地,定比分点问题、对称问题可用相关点法求解,相关点法的一般步骤是:设点→转换→ 代入→化简. (4)待定系数法 (5)参数法 (6)交轨法. 9.圆的切线方程 【知识点的认识】 圆的切线方程一般是指与圆相切的直线方程,特点是与圆只有一个交点,且过圆心与 切点的直线垂直切线. 圆的切线方程的类型: (1)过圆上一点的切线方程:对于这种情况我们可以通过圆心与切点的连线垂直切线求出 切线的斜率,继而求出直线方程 (2)过圆外一点的切线方程.这种情况可以先设直线的方程,然后联立方程求出他们只有 一个解(交点)时斜率的值,进而求出直线方程. 【实例解析】 例 1:已知圆: (x﹣1) +y =2,则过点(2,1)作该圆的切线方程为 . 2 2 解:圆: (x﹣1) +y =2,的圆心为 C(1,0) ,半径 r= . ①当直线 l 经过点 P(2,1)与 x 轴垂直时,方程为 x=2, ∵圆心到直线 x=2 的距离等于 1 ,∴直线 l 与圆不相切,即 x=2 不符合题意; ②当直线 l 经过点 P (2, 1) 与 x 轴不垂直时, 设方程为 y﹣1=k (x﹣2) , 即 kx﹣y+1﹣2k=0. ∵直线 l 与圆: (x﹣1) +y =2 相切, ∴圆心到直线 l 的距离等于半径,即 d= = ,解之得 k=﹣1,
2 2 2 2

因此直线 l 的方程为 y﹣1=﹣(x﹣2) ,化简得 x+y﹣3=0. 综上所述,可得所求切线方程为 x+y﹣3=0. 这里讨论第一种情况是因为 k 不一定存在,所以单独讨论,用的解题思想就是我上面所 说,大家可以对照着看就是. 例 2:从点 P(4,5)向圆(x﹣2) +y =4 引切线,则圆的切线方程为 . 2 2 解:由圆(x﹣2) +y =4,得到圆心坐标为(2,0) ,半径 r=2, 当过 P 的切线斜率不存在时,直线 x=4 满足题意; 当过 P 的切线斜率存在时,设为 k, 由 P 坐标为(4,5) ,可得切线方程为 y﹣5=k(x﹣4) ,即 kx﹣y+5﹣4k=0, ∴圆心到切线的距离 d=r,即 =2,
2 2

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解得:k=

, (x﹣4) ,即 21x﹣20y+16=0,

此时切线的方程为 y﹣5=

综上,圆的切线方程为 x=4 或 21x﹣20y+16=0. 这个例题用的方法也是前面所说,但告诉我们一个基本性质,即圆外的点是可以做两条 切线的,所以以后解题只求出一条的时候就要想是不是少写了一种. 【考点分析】 本考点也是比较重要的一个知识点,但解题方法很死板,希望大家都能准确的掌握, 确保不丢分. 10.直线与圆的位置关系 【知识点的认识】 1.直线与圆的位置关系

2.判断直线与圆的位置关系的方法 直线 Ax+By+C=0 与圆(x﹣a) +(y﹣b) =r (r>0)的位置关系的判断方法: (1)几何方法:利用圆心到直线的 d 和半径 r 的关系判断. 圆心到直线的距离 d= ①相交:d<r ②相切:d=r ③相离:d>r (2)代数方法:联立直线与圆的方程,转化为一元二次方程,用判别式△判断. 由 ①相交:△>0 ②相切:△=0 ③相离:△<0. 11.圆与圆的位置关系及其判定 【知识点的认识】 1.圆与圆的位置关系 消元,得到一元二次方程的判别式△
2 2 2

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2.圆与圆的位置关系的判定 设两圆圆心分别为 O1,O2,半径分别为 r1,r2,|O1O2|=d (1)几何法:利用两圆的圆心距与两圆半径的关系判断 ①外离(4 条公切线) :d>r1+r2 ②外切(3 条公切线) :d=r1+r2 ③相交(2 条公切线) :|r1﹣r2|<d<r1+r2 ④内切(1 条公切线) :d=|r1﹣r2| ⑤内含(无公切线) :0<d<|r1﹣r2| (2)代数法:联立两圆方程,转化为一元二次方程,但要注意一个 x 值可能对应两个 y 值. 12.椭圆的标准方程 【知识点的认识】 椭圆标准方程的两种形式: (1) (a>b>0) ,焦点在 x 轴上,焦点坐标为 F(±c,0) ,焦距|F1F2|=2c;

(2)

(a>b>0) ,焦点在 y 轴上,焦点坐标为 F(0,±c) ,焦距|F1F2|=2c.
2 2 2

两种形式相同点:形状、大小相同;都有 a>b>0;a =b +c 两种形式不同点:位置不同;焦点坐标不同. 标准方程 (a>b>0) (a>b>0) 中心在原点,焦点在 x 轴上 图形 中心在原点,焦点在 y 轴上

顶点 对称轴 焦点 焦距 离心率

A(a,0) ,A′(﹣a,0) A(b,0) ,A′(﹣b,0) B(0,b) ,B′(0,﹣b) B(0,a) ,B′(0,﹣a) x 轴、y 轴,长轴长 2a,短轴长 2bx 轴、y 轴,长轴长 2a,短轴长 2b 焦点在长轴长上 焦点在长轴长上 F1(﹣c,0) ,F2(c,0) |F1F2|=2c(c>0) 2 2 2 c =a ﹣b e= (0<e<1) F1(0,﹣c) ,F2(0,c) |F1F2|=2c(c>0) 2 2 2 c =a ﹣b e= (0<e<1)
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准线

x=±

y=±

13.椭圆的简单性质 【知识点的认识】 1.椭圆的范围

2.椭圆的对称性

3.椭圆的顶点 顶点:椭圆与对称轴的交点叫做椭圆的顶点. 顶点坐标(如上图) :A1(﹣a,0) ,A2(a,0) ,B1(0,﹣b) ,B2(0,b) 其中,线段 A1A2,B1B2 分别为拖圆的长轴和短轴,它们的长分别等于 2a 和 2b,a 和 b 分别 叫做椭圆的长半轴长和短半轴长. 4.椭圆的离心率 ①离心率:椭圆的焦距与长轴长的比 叫做椭圆的离心率,用 e 表示,即:e= ,且 0<e <1. ②离心率的意义:刻画椭圆的扁平程度,如下面两个椭圆的扁平程度不一样:

e 越大越接近 1,椭圆越扁平,相反,e 越小越接近 0,椭圆越圆.当且仅当 a=b 时,c=0, 椭圆变为圆,方程为 x +y =a . 2 2 2 5.椭圆中的关系:a =b +c .
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2 2 2

14.直线与圆锥曲线的综合问题 【概述】 直线与圆锥曲线的综合问题是高考的必考点,比方说求封闭面积,求距离,求他们的 关系等等,常用的方法就是联立方程求出交点的横坐标或者纵坐标的关系,通过这两个关 系的变形去求解. 【实例解析】 例:已知圆锥曲线 C 上任意一点到两定点 F1(﹣1,0) 、F2(1,0)的距离之和为常数,曲 线 C 的离心率 .

(1)求圆锥曲线 C 的方程; (2)设经过点 F2 的任意一条直线与圆锥曲线 C 相交于 A、B,试证明在 x 轴上存在一个定 点 P,使 的值是常数.

解: (1)依题意,设曲线 C 的方程为 ∴c=1, ∵ ∴a=2, ∴ , ,

(a>b>0) ,

所求方程为



(2)当直线 AB 不与 x 轴垂直时,设其方程为 y=k(x﹣1) ,





得(3+4k )x ﹣8k x+4(k ﹣3)=0, 从而 设 P(t,0) ,则 = , ,

2

2

2

2





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解得 此时对?k∈R, ;

当 AB⊥x 轴时,直线 AB 的方程为 x=1, xA=xB=1, 对 , ,使 的值为常数 . , ,

即存在 x 轴上的点

这是一道符合高考命题思维的题型,一般命题思路都是第一问叫你求曲线的表达式; 第二问在求证某种特殊的关系, 像本题求证是个常数这是高考中非常喜欢考的一种形式. 我 们看看解答思路,第一问就是求 a、b、c 中的两个值即可;第二问先是联立方程,然后把 我们要证的这个关系转化为根与系数的关系,这也是常用的方法. 【考点分析】 必考题,也是难题,希望大家多总结,尽量去总结一下各种题型和方法,在考试的时 候,如果运算量大可以适当的放到最后做. 15.不等式的证明 【知识点的知识】 证明不等式的基本方法: 1、比较法: (1)作差比较法 ①理论依据:a>b?a﹣b>0;a<b?a﹣b<0. ②证明步骤:作差→变形→判断符号→得出结论. 注:作差比较法的实质是把两个数或式子的大小判断问题转化为一个数(或式子)与 0 的 大小关系. (2)作商比较法 ①理论依据:b>0, >1?a>b;b<0, <1?a<b; ②证明步骤:作商→变形→判断与 1 的大小关系→得出结论. 2、综合法 (1)定义:从已知条件出发,利用定义、公理、定理、性质等,经过一系列的推理、论证 而得到命题成立,这种证明方法叫做综合法.综合法又叫做推证法或由因导果法. (2)思路:综合法的思索路线是“由因导果” ,也就是从一个(组)已知的不等式出发, 不断地用必要条件代替前面的不等式,直至推导出要求证明的不等式. 3、分析法 (1)定义:从要证的结论出发,逐步寻求使它成立的充分条件,直至所需条件为已知条件 或一个明显成立的事实(定义、公理或已证明的定理、性质等) ,从而得出要证的命题成立, 这种证明方法叫做分析法. (2)思路:分析法的思索路线是“执果索因” ,即从要证的不等式出发,不断地用充分条 件来代替前面的不等式,直到打到已知不等式为止.

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注:综合法和分析法的内在联系是综合法往往是分析法的相反过程,其表述简单、条理清 楚.当问题比较复杂时,通常把分析法和综合法结合起来使用,以分析法寻找证明的思路, 用综合法叙述、表达整个证明过程. 4、放缩法 (1)定义:证明不等式时,通常把不等式中的某些部分的值放大或缩小,简化不等式,从 而达到证明的目的,这种证明方法称为放缩法. (2)思路:分析证明式的形式特点,适当放大或缩小是证题关键. 常用的放缩技巧有:

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圆锥曲线综合测试题(含详细答案)

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高中数学——圆锥曲线试题精选(含答案)

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圆锥曲线历年高考题(整理)附答案

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高二数学圆锥曲线测试题以及详细答案

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圆锥曲线练习题

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高中数学圆锥曲线测试题期末

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高二数学《圆锥曲线》单元测试题及答案

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