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一道高考试题的解答与思考


数学通讯 一 2 0 1 3年 第 1期 ( 下半月)  

? 复 习参考 ?  



道高考试题的解答与思考 
许晓天  
( 安徽省合肥市教育局教研室 , 2 3 0 0 7 1 )  

高考 的硝烟 已经散 去 近 三 月 , 不 少 教 师 在言 谈  中, 对2

0 1 2年安 徽 省理 科 试题 第 2 1题 第二 问的解 

如图 1 , 此时 一  
<  1


=   即c =   1 又  z =  


答和对教学的指导意义仍存茫然 , 纠结至今 . 此题是 


再按照文[ 1 ] 的方法 , 作出有 向线段 z  得图  

道一阶递推数列的问题 , 题意的理解不难 , 但第二 

4 . 观察知道 : 数列 { z   } 单调 增加 .  

问的解答 , 确实让考生和教师费尽思考 , 面对高考的  参考答案大都感到“ 想不到” 或“ 不自 然” , 非常突兀 ,  

自己也没有高“ 招” , 有成功的解法大多用到高等数 
学的知识, 如: 单增有上界 的数列有极 限等 . 本文先  寻找一种适合高 中学生解答 的方法 , 再由问题 的解 
答 和今 年安徽省 参 加 理科 高 考 学 生 的答 题 情 况 , 对 

今后的高三复习教学提出一些思考 , 仅供同仁参考 .   考题 ( 2 0 1 2 . 安徽理 2 1 ) 数列 { X   } 满足 X 1 =  
图 4   图  5  

0 , z H + 1 :一z  + z ,   +C( X ∈N  )  
( 工)略 ;  

如 图 2 , 当   < 丢 即 0 < c < 丢 时 , X 2 : C <   <  

( Ⅱ) 求C 的取值范围 , 使{   } 是递增数列 .  
1 解答 
1 . 1 数 形结合 揭 示思路 

( 1 )必要 条件

缩小 范 围 

因为{ z ,   } 是递增数列, 所以 z 1 <  2 <X 3 , 得0   <c <1 , 且  <z   + 1 =一z   十X   +C(  ∈N  ) , 又 
z1 =0 , . ‘ . 0 =zl ≤z   <√ c( 7 z ∈N  )   ( 2 ) 适 当分类 作 出 图象 

根据文[ 1 ] 介绍的探究方法 , 在平面直角坐标系 
中作 出 Y= 一z   +. 2 7 +c和 Y=z两个 函数 的 图象 ,   从 图形 上看 , 根据交点( 4 - c , √  ) 的位 置 可 以有三 种 

情况( 图1 、 图 2和图 3 ) .  
= 

捧  垮 
如图 3 , 当  >  1


告, 再按照文[ 1 ] 的方法, 作出有向线段   , 得图5 .  
观察 知道 : 数列 { X   } 单 调增 加 .  

即 1 > c > { 时 , z 2 = c <  ,  

再按照文[ 1 ] 的方法 , 作 出有 向线段 z   , 得图 6 ( 1 ) 、  
图6 ( 2 ) .  

图6 ( 1 )  

剖6 ( 2 )  

观察知道: 当z 2 =C ∈[ 1 一   ,   ] 时, z 3 >  

/ o  
  0

一  
' ,= 一  2  ̄x+c  

\   i  

与z   <   矛盾 ; 当z 2 =C ∈( 0 , 1 一   ) 时, 一定存在 
N6N  , z N ≥ ≥   >   N>1 一 √   . 若Z N ≥   , 与 

X n <   矛盾 , 若  >z N >1 一   , 则z N + 1 >   与z  

图 1 ( c =   1 )  图 2 ( 0 < c < ÷ )  图 3 ( ÷ < c < 1 )  
( 3 ) 观察图象 引发思路 

<   矛盾 .  
由E 可知 . 图 1和图 2是符 合题 意 的 , 即当 0 < 

?

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数 学通讯 一 2 0 1 3年第 1期 ( 下半 月)  

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c ≤ 丢 时 , 数 列 { z   } 单 调 增 加  
1 . 2 根据 思路 规范 书 写 

所以当÷<c < 1 时, 不符合题意.  
叶  

1  

因为 { z   } 是递增数列 , 所以z l <  2 <  3 , 得0  
<C <1 , 且 , 2 7   <z   + 1 = 一z  +z ” +C( 7 2 ∈N  ) , 又 

综上: 当0 <c ≤寺时, {  } 是递增数列.  
叶  

2 思考 

笔 者 有 幸参 加 了今 年 安徽 省 的高 考 阅卷工 作 ,   发 现此题 的得 分 率很 低 , 完 全正 确 解 答此 题 的考 生 

z 1 =0 , . ‘ . 0 =z 1 ≤  <√ f( z∈N  )  

是 一道 选 拔性 极强 的试 题 . 此题 旨在考察 学  ( 1 ) 当 o < c ≤ { 时 , 因 为 z 2 = c <  <   1 , z 3   非 常少 ,

一z 2 =一z i +3 2 2 >~(  )   +C =0 , . ? .  3 >   2 .  

生的创造性、 综合性和灵活性 . 今年的高三老师和考  生都普遍感到 : 高三 的数列复习不到位 , 特别与此压 
学生熟悉 的等差和等 比数列 、 可化为等差和等比数  列的数列 以及用特殊方法如 : 裂项求和等解决的数 

又 z 。 = 一   ; +  + c = 一 (  一   1 )   + c + 丢   轴题 相差 甚远 . 因为 此题 是一 阶二 次递推数列 , 不是 
< 一(   ) 2 +   十c =   ,  

同理 z 4 >z 3 ,  4 <√ c , …, 所以0 =z 1 <c =  2  
< X3 < …<z   < … <  .  

列 问题 . 此题 综合 了数 列 、 函数 和 不 等式 等知 识 , 学  生必 须对 函数 的单 调性 和数 列单 调性 的联 系和 区别 

故当0 < c ≤ 音时, 数列{ z   } 是 递增 数列. ( 可以  
用数 学归 纳法证 明 )  

要特别清楚. 解决的数学思想和方法如 : 分类整合和  数形结合等 , 对学生思维 的灵活性和观察问题的能 

( 2 ) 当 丢 < c < 1 时, 令 厂 (   ) = 一 z   + z + c , 因  
为f ( 1 一   ) =- 厂 (  ) =   ,  

力要求高 . 从学生答题 的情况和本题的解答 , 给我们 
的高三复习教学提几点建议 :  
2 . 1 夯 实基础 理 解概 念 

① 当z 2 :c ∈[ 1 一   ,   ) 时, 即  

≤  且 

今年安徽理科数学 2 1 题高考题 的条件特别简  单, 以学生熟悉的二次 函数为载体 , 考察 了一阶递推  数列 z ,   + 1 : 一z 2   +3 2   +C的单调性 问题 , 人 口较  宽, 但深入很难 . 从上面解答过程可以看出, 作图、 分  类、 表达 , 无一不是基本功的体现. 数列单调性的概  念是定义域为 N   且按照 自变量从小到大的顺序排  列的一 实数序列 的单 调性 . 许 多学生理解 为只要 
+ l >s c   , 即z   <√ c 就可以了, 这 样导 致 了学 生无 

丢 < c < 1 , 此 时   ≤ c < 1 .  
? .

‘   >  ≥ 1 ~   ,. ? .   3 =f( c ) ≥ 厂( 1 一   )   与  <  矛 盾 ;  

:  


②当  2 :c   6( o , 1 一   ) 时, 即0 <   <  

且 丢 < c < 1 , 此 时 丢 <   <   . 若 存 在 N 6   N   ,  
使得 N ≥  , 与z   <   矛盾 ; 若存 在 N∈N  , 使 
得1 ~   ≤z N <   , 同①  N + 1 =  (   N ) ≥  , 与  <   矛盾 ; 故对任意  ∈N  , 都有  ∈( O , 1 一   ) .  
?


法继续计算下去 . 我们知道 , 对给定 的 行 , z   + 1 >   成立, 还不能保证数列 的单调性 , 必须说 明   + 1 >  

z   对于任意的 ∈N   都成立才正确 . 因此, 打好基 
础 和理解 概念 是 我们 高三 第 一 轮 复 习 的重 中之重 ,   不 能有丝 毫 的懈怠 . 原 因有 : ( 1 ) 打 好基 础 和理解 概 



z +1一  , l= 一 

+ c,  

‘ .



z   =( z n —  n — 1 ) +(  n 一 1 一  n - 2 ) +… 

+( z 2 一  1 ) +  1  


念是直接解答高考中等及 中等 以下 的问题 的关键 ,  
而高考题 的百 分之 七 十左右 是 中低档题 ; ( 2 ) 综合 陛 

( 一z   一 1 +c ) +( 一  2   一 2 十c ) +…( 一z } 十c ) +  
Xl  

的问题都能分解为基础题 , 最终是概念的理解 . 如果 
基础和概念不过关 , 第一关就过不去 ; ( 3 ) 只有概念  理解了 , 解题 的基础打牢了, 随着 能力的提升, 综合 



( , 2 — 1 ) C 一 ( z } + z ; + …+   一 1 )  

, >   "一1 ) c 一(  ~1 ) ( 1 一   )  
:( ,   一1 ) ( 2   一1 ) .   ‘  
?

性试题就能循序渐进地去解决 . 切不可因为今年的   高考中有一道难题 , 从高三第一轮复习开始就练 习  
难题 , 这样 可能 出现最 可怕的结果 : 难题仍然不会 



。 2   一1 >0 , 故一定存在 NEN  , z N >( N 



1 ) ( 2   一1 ) >1 一   , 与0 ≤  <1 一   矛盾 .  

做, 容易题一做就 出错 .  

5 8  

数学通讯 一 2 0 1 3年 第 1期 ( 下半月)  

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2 . 2 突 出通 法

淡化 技巧 

型反反 复复 的练习 , 学生 成为 了解题 的机器 , 并 且是 

上 面 的解 答 中利 用 了数 列 单 调 增 加 的必 要 条  件, 直线、 二次 函数 在平 面 直角 坐 标 系 中 的作 图 , 二  次 函数的单调 性及 分 类 整 合 等 , 都 是 学 生 熟悉 的解 

具有条件 反射功 能 的机 器 . 以至 于学 生解 题 思路 单 


和僵 化 . 如此题 的 智 慧策 略 : 第一 , 要 利用 必要 条 

件缩小 范 围 ; 第二 , 因 为二 次 函 数 的 图象学 生熟 悉 ,   所 以利用 图象可 以帮 助学生 找到解 题 的思路 ; 第三,  

决问题的一般和常规方法. 我们的高 三复习应该强 
调 通性 和通 法 , 不 能 介绍 太 多 的技 巧 . 说 白了 : 技 巧 

由数列的单增性知 a  。 >a  转化为在平面直角坐 
标系 中点 的纵 坐 标 大 于 该 点 的横 坐 标 , 直 线 Y=z  

只是雕虫小技 , 通法才是 阳光大道 . 高三的解题教学 
中, 如果说 选择题 的解 题训 练 中 , 在常规 方法 的基础 

上的点的横纵坐标相等 , 通过作 直线 Y=z与函数 
最 后观察 单调性 的范 围 . 以上 三点是解 此题 的关 键 ,   是 智慧 的表现 . 要 知道 , 数学 是 使 人 聪慧 的 学科 , 不  是让 人越 学越笨 的学 科 . 在 高三 的复 习教学 中 , 如通 

上, 尚可以利用一些特殊 的方法 : 特殊值法、 排除法  f ( x ) :一3 , 7   +z+c的图象 , 再作 出有向线段 x   等; 而解答题的解题教学务必 以常规的通性通法为 
主, 在没有 办法解 决 的情 况下 或 旨在 锻炼 学 生 的 思 

维的多途性和简洁性时, 才采用技巧的解法 . 在教学  中经常会出现如下情况 : 解析几何的问题 , 用代数方  法解决问题是常规方法 , 但我在听课 中有 的老师常  用平面几何 的方法玩技巧 , 快速解决 , 而不讲代数的  方法. 这样做 , 就有悖于学生学 习解析几何 的本质 .   再如: 函数的单调性 的证明 , 教师不用 常用 的定义 、   基本初等函数单调性和导数 的工具 , 而采用换元法 、  

性和通法解题遇到困难时, 要引导学生积极的思考 ,  
发 挥学生 思维 的灵 活性 、 创 新性 和综 合性 , 让 学生 的 

思维一直处在高水平 的状态. 只有这样 , 学生解题方 
能足智 多谋 , 左 右逢 源 .  
2 . 5 适 度延伸 高 屋建 瓴 

因为高考试题 的命制有两个有利于, 第一个就  是有利于高校选拔人才 , 而高考的命题专家大多是  高校教授 . 作为大学的教师 当然希望考生具有一定 

倒数法等. 玩技巧过多, 学生就会拿到数学问题就想 
技巧 , 结果往往 事倍 功 半 , 甚 至 劳 而无 功 . 因 为大 部 

分的高考试题是不需要玩技巧的 , 看看高考试题的  参考答案就知道了.  
2 . 3 分层教 学 要 求适 当 

的高等数学的启蒙 . 从全国大部分高考试题中发现 ,  
许多考题具有一定 的高等数学背景 , 安徽此题的类 

型在高等数学的习题中是经常出现的. 当然 , 此类题  的解答原则上是 不需要高等数学的知识的. 如果 考 
生具有高等数学的简单知识 , 高观点下 的初 等解法 

从学生解答此高考题的得分率情况和此题的解 

答方法来看 , 大部分学生做这道题是能力达不到的.  
因此 , 在我们的高三复习教学中要分层教学 , 对不 同  
层次 的学生提 出不 同 的要 求 . 学 生 的认 知 的基础 和 

就简单 . 即使是高等数学 的解法 , 高考 中也是允许 
的. 在学生 基础好 的学 校或 班级 或少数 学生 , 在 学生 

能力有差异 , 我们只能因材施教 ; 一刀切的难题教学 
只会挫伤 中 、 差学 生 的积 极性 , 他们 会感 到学 习是件 

能够接受的前提下 , 高三的复习可以适度的延伸 . 也 
符合 “ 不 同的人在 数学 上得 到不 同 的发 展” 的课程基  本 理念 . 延 伸 的内容 : 高 中数学 与高等 数学联 系非常 

非常痛苦的事; 过难的问题 只要求基础 和能力都很 

好的学生思考 , 尽力完成 . 毕竟高考的难题只是很少  的, 是为 了筛选出优等生, 让他们在更优质的平台上 
发展. 我们应该让不 同认 知结构 和能力的学生得到 

密切的内容 , 如数列 中的单调有界数列的极限存在  性定理 , 微积分中的中值定理和圆锥 曲线 中的切线  与法线等. 延伸 的关键是适度 , 一定要按照学生的接 

不同的思维锻炼 , 给他们提 出切合实际的要求 , 千万  不能脱离实际地盲 目要求 . 当然 , 具 有高思维的学 

受能力作介绍和补充. 这里的“ 适度” 不仅是指补充 
内容的范围、 深度 , 也包括参与学生 的范围. 补充一 

生, 应该有高要求 , 也不能因为其它学生而降低他们 
的学习需求 , 给优等生 的高要求也是分层教学 的 目  
的之一 .  

些高等数学初步知识 , 让学生有一个体验和理解 , 以  
达到高屋建瓴的效果.  
参 考文献 :  
[ 1 ] 许晓天 . 一 阶递 推数 列问题 的探究 与拓展方法 [ J ] . 中   学数学 , 2 0 1 2 ( 8 ) .  
( 收稿 日期 : 2 0 1 2—0 9 一l 1 )  

2 . 4 锤炼智慧

切忌僵化 

数学教学的本质是发展学生 的智慧 , 而不是为  了做题 . 我们的老师为了取得高考的好成绩 , 每种题 


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