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广西桂林中学2015届高三上学期12月月考数学试卷(文科)


广西桂林中学 2015 届高三上学期 12 月月考数学试卷(文科)
一、选择题: (本大题共 12 小题,每题 5 分,满分 60 分) 2 * 2 * 1. (5 分)已知集合 P={x|x=m +1,m∈N },Q={x|x=n ﹣4n+5,n∈N },则() A.P=Q B.P?Q C.Q?P D.以上皆错

2. (5 分)复数
<

br />(i 为虚数单位)的虚部是()

A.

B.

C.

D.

3. (5 分)设角 α 的终边与单位圆相交于点 P( ,﹣ ) ,则 sinα﹣cosα 的值是() A.﹣ B. ﹣ C. D.

4. (5 分)已知函数 f(x)满足:x≥4,则 f(x)= f(2+log23)=() A. B. C.

;当 x<4 时 f(x)=f(x+1) ,则

D.

5. (5 分)正方体 ABCD﹣A′B′C′D′中,AB 的中点为 M,DD′的中点为 N,则异面直线 B′M 与 CN 所成角的大小为() A.0° B.45° C.60° D.90° 6. (5 分)已知 f(x)= x +sin ()
2

,f′(x)为 f(x)的导函数,则 f′(x)的图象是

A.

B.

C.
2

D.

7. (5 分)已知 a,b 为实数,命题甲:ab>b ,命题乙: A.充分不必要条件 C. 充要条件
x

,则甲是乙的()

B. 必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

8. (5 分)当 0<x≤ 时,4 <logax,则 a 的取值范围是()

A.(

,2)

B.(1,



C. (

,1)

D.(0,



9. (5 分)在数列{an}中,a1=2,an+1=an+ln(1+ ) ,则 an=() A.2+lnn B.2+(n﹣1)lnn C.2+nlnn D.1+n+lnn

10. (5 分)若不等式组 则 k 的值是() A. B.

所表示的平面区域被直线

分为面积相等的两部分,

C.

D.

11. (5 分)已知函数 f(x)=xsinx,若 A,B 是锐角三角形的两个内角,则() A.f(﹣sinA)>f(﹣sinB) B. f(﹣cosA)>f(﹣sinB) C. f(cosA)<f(sinB) D.f(cosA)>f(sinB)

12. (5 分)点 P 是双曲线

与圆 C2:x +y =a +b 的一个交

2

2

2

2

点,且 2∠PF1F2=∠PF2F1,其中 F1、F2 分别为双曲线 C1 的左右焦点,则双曲线 C1 的离心率 为() A. B. C. D.

二、填空题: (本大题共 4 小题,每题 5 分,满分 20 分) 13. (5 分)执行如图所示的程序框图,如果输出 s=3,那么判断框内应填入的条件是.

14. (5 分)在正三角形 ABC 中,D 是 BC 上的点.若 AB=3,BD=1,则

=.

15. (5 分)已知抛物线 原点,则 =.

,过点 P(0,2)作直线 l,交抛物线于 A,B 两点,O 为坐标

16. (5 分)在 R 上定义运算:x*y=(1﹣x)y,若不等式(x﹣y)*(x+y)<1 对一切实数 x 恒成立,则实数 y 的取值集合是.

三、解答题: (本大题共 6 小题,满分 70 分) 17. (10 分)在△ ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,若 (Ⅰ)求证:A=B; (Ⅱ)求边长 c 的值; (Ⅲ)若| + |= ,求△ ABC 的面积. ? = ? =1.

18. (12 分)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,Sn=2an﹣2. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设 bn=log2an,cn= 求实数 k 的取值范围. 19. (12 分)20 名学生某次数学考试成绩(单位:分)的频率分布直方图如图: (Ⅰ)求频率分布直方图中 a 的值; (Ⅱ)分别求出成绩落在[50,60)与[60,70)中的学生人数; (Ⅲ)从成绩在[50,70)的学生任选 2 人,求此 2 人的成绩都在[60,70)中的概率. ,记数列{cn}的前 n 项和 Tn,若对 n∈N ,Tn≤k(n+4)恒成立,
*

20. (12 分)如图,在三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,AA1⊥底面 ABC,且△ ABC 为正三角形, AA1=AB=6,D 为 AC 的中点. (1)求证:直线 AB1∥平面 BC1D; (2)求证:平面 BC1D⊥平面 ACC1A;

(3)求三棱锥 C﹣BC1D 的体积.

21. (12 分)已知函数 f(x)=xlnx. (Ⅰ)求函数 f(x)在[1,3]上的最小值; (Ⅱ)若存在 (e 为自然对数的底数,且 e=2.71828…)使不等式 2f(x)≥﹣x +ax
2

﹣3 成立,求实数 a 的取值范围. 22. (12 分)已知椭圆 C 的中心在原点,焦点在 x 轴上,离心率等于 ,它的一个顶点恰好是 抛物线 x =8 y 的焦点. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)点 P(2,3) ,Q(2,﹣3)在椭圆上,A,B 是椭圆上位于直线 PQ 两恻的动点,若直 线 AB 的斜率为 ,求四边形 APBQ 面积的最大值.
2

广西桂林中学 2015 届高三上学期 12 月月考数学试卷(文 科)
参考答案与试题解析

一、选择题: (本大题共 12 小题,每题 5 分,满分 60 分) 2 * 2 * 1. (5 分)已知集合 P={x|x=m +1,m∈N },Q={x|x=n ﹣4n+5,n∈N },则() A.P=Q B.P?Q C.Q?P D.以上皆错

考点: 集合的包含关系判断及应用. 专题: 集合. 分析: 讲集合 P 与 Q 分别用列举法表示出来即可 2 * 2 * 解答: 解:法一∵P={x|x=m +1,m∈N }={2,5,10,17,…},Q={x|x=n ﹣4n+5,n∈N } 2 ={x|x=(n﹣2) +1}={1,2,5,10,17,…},∴P?Q 2 * 2 * 2 法二∵P={x|x=m +1,m∈N },Q={x|x=n ﹣4n+5,n∈N }={x|x=(n﹣2) +1} 2 + 2 对?x∈P,则 x=m +1,m∈N ,∴x∈Q,但对于 Q 中元素,n=1 时,x=0 +1=1,1∈Q,而 1?P ∴P?Q 故答案选 B 点评: 不同考查集合的包含关系属于基础题.

2. (5 分)复数

(i 为虚数单位)的虚部是()

A.

B.

C.

D.

考点: 复数代数形式的乘除运算. 专题: 计算题. 分析: 利用两个复数相除,分子和分母同时乘以分母的共轭复数,求出复数 z,即可得复数 z 的虚部. 解答: 解: = = =﹣

故复数

(i 为虚数单位)的虚部是

故选 B 点评: 本题主要考查了复数的基本概念,以及复数代数形式的乘除运算,同时考查了计算 能力,属于基础题.

3. (5 分)设角 α 的终边与单位圆相交于点 P( ,﹣ ) ,则 sinα﹣cosα 的值是() A.﹣ B. ﹣ C. D.

考点: 任意角的三角函数的定义. 专题: 三角函数的求值. 分析: 通过任意角的三角函数的定义.求出 sinα,cosα 即可. 解答: 解:角 α 的终边与单位圆相交于点 P( ,﹣ ) ,则 sinα= ∴sinα﹣cosα= = . ,cosα= .

故选:A. 点评: 本题考查任意角的三角函数的定义,基本知识的考查.

4. (5 分)已知函数 f(x)满足:x≥4,则 f(x)= f(2+log23)=() A. B. C.

;当 x<4 时 f(x)=f(x+1) ,则

D.

考点: 对数的运算性质. 分析: 根据 3<2+log23<4 知,符合 x<4 时的解析式,故 f(2+log23)=f(3+log23) ,又有 3+log23>4 知,符合 x>4 的解析式,代入即得答案. 解答: 解:∵3<2+log23<4,所以 f(2+log23)=f(3+log23) 且 3+log23>4 ∴f(2+log23)=f(3+log23) = 故选 A. 点评: 本题主要考查已知分段函数的解析式求函数值的问题. 5. (5 分)正方体 ABCD﹣A′B′C′D′中,AB 的中点为 M,DD′的中点为 N,则异面直线 B′M 与 CN 所成角的大小为() A.0° B.45° C.60° D.90° 考点: 异面直线及其所成的角. 专题: 计算题. 分析: 利用异面直线所成的角的定义,取 A′A 的中点为 E,则直线 B′M 与 CN 所成角就是 直线 B′M 与 BE 成的角. 解答: 解:取 A′A 的中点为 E,连接 BE,则直线 B′M 与 CN 所成角就是直线 B′M 与 BE 成的角, 由题意得 B′M⊥BE,故异面直线 B′M 与 CN 所成角的大小为 90°, 故选 D. 点评: 本题考查异面直线所成的角的定义,求异面直线所成的角的方法.取 A′A 的中点为 E,判断直线 B′M 与 CN 所成角 就是直线 B′M 与 BE 成的角,是解题的关键. 6. (5 分)已知 f(x)= x +sin ()
2

,f′(x)为 f(x)的导函数,则 f′(x)的图象是

A.

B.

C.

D.

考点: 函数的单调性与导数的关系;函数的图象. 专题: 导数的概念及应用. 分析: 先化简 f(x)= x +sin
2

= x +cosx,再求其导数,得出导函数是奇函数, , )上单调

2

排除 B,D.再根据导函数的导函数小于 0 的 x 的范围,确定导函数在(﹣ 递减,从而排除 C,即可得出正确答案. 解答: 解:由 f(x)= x +sin
2

= x +cosx,

2

∴f′(x)= x﹣sinx,它是一个奇函数,其图象关于原点对称,故排除 B,D. 又 f″(x)= ﹣cosx,当﹣ 故函数 y=f′(x)在区间(﹣ <x< , 时,cosx> ,∴f″(x)<0, )上单调递减,故排除 C.

故选:A. 点评: 本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系,即当导函数大于 0 时原 函数单调递增,当导函数小于 0 时原函数单调递减. 7. (5 分)已知 a,b 为实数,命题甲:ab>b ,命题乙: A.充分不必要条件 C. 充要条件
2

,则甲是乙的()

B. 必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

考点: 充要条件. 专题: 计算题. 分析: 举反例 a=2,b=1,可证甲不能推乙,由不等式的性质可证乙可推甲,由充要条件的 定义可得. 解答: 解:命题甲:ab>b ,不能推出命题乙: 比如当取 a=2,b=1,当然满足甲,但推不出乙; 若命题乙: 成立,则可得 a,b 均为负值,且 a<b,
2 2



由不等式的性质两边同乘以 b 可得 ab>b ,即甲成立, 故甲是乙的必要不充分条件, 故选 B 点评: 本题考查充要条件,利用不等式的性质和反例法是解决问题的关键,属基础题.
x

8. (5 分)当 0<x≤ 时,4 <logax,则 a 的取值范围是() A.( ,2) B.(1, ) C. ( ,1) D.(0, )

考点: 对数函数的图像与性质;指数函数的图像与性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 若当 0<x≤ 时,不等式 4 <logax 恒成立,则在当 0<x≤ 时,y=logax 的图象恒在 y=4 的图象的上方,在同一坐标系中,分析画出指数和对数函数的图象,分析可得答案. 解答: 解:当 0<x≤ 时,函数 y=4 的图象如下图所示 若不等式 4 <logax 恒成立,则 y=logax 的图象恒在 y=4 的图象的上方(如图中虚线所示) ∵y=logax 的图象与 y=4 的图象交于( ,2)点时,a= 故虚线所示的 y=logax 的图象对应的底数 a 应满足 故选:C <a<1,
x x x x x x

点评: 本题以指数函数与对数函数图象与性质为载体考查了函数恒成立问题,其中熟练掌 握指数函数和对数函数的图象与性质是解答本题的关键

9. (5 分)在数列{an}中,a1=2,an+1=an+ln(1+ ) ,则 an=() A.2+lnn B.2+(n﹣1)lnn C.2+nlnn D.1+n+lnn

考点: 数列的概念及简单表示法. 专题: 点列、递归数列与数学归纳法. 分析: 把递推式整理,先整理对数的真数,通分变成 出正确选项. 解答: 解:∵ , … ∴ , ,用迭代法整理出结果,约分后选

= 故选:A. 点评: 数列的通项 an 或前 n 项和 Sn 中的 n 通常是对任意 n∈N 成立, 因此可将其中的 n 换成 n+1 或 n﹣1 等,这种办法通常称迭代或递推.解答本题需了解数列的递推公式,明确递推公 式与通项公式的异同;会根据数列的递推公式写出数列的前几项.

10. (5 分)若不等式组 则 k 的值是() A. B.

所表示的平面区域被直线

分为面积相等的两部分,

C.

D.

考点: 简单线性规划的应用. 专题: 计算题;压轴题. 分析: 先根据约束条件: 义求面积即可. 解答: 解:满足约束条件: ,平面区域如图示: ,画出可行域,求出可行域顶点的坐标,再利用几何意

由图可知,直线 时,平面区域被直线

恒经过点 A(0, ) ,当直线 分为面积相等的两部分, 的方程得:

再经过 BC 的中点 D( , )

当 x= ,y= 时,代入直线 k= , 故选 A.

点评: 本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组,以及简单的转化思想和数形结合的 思想,属中档题. 11. (5 分)已知函数 f(x)=xsinx,若 A,B 是锐角三角形的两个内角,则() A.f(﹣sinA)>f(﹣sinB) B. f(﹣cosA)>f(﹣sinB) C. f(cosA)<f(sinB) D.f(cosA)>f(sinB) 考点: 正弦函数的单调性;函数单调性的性质. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: 求导函数,求得函数的单调性,再确定函数的奇偶性,利用 A,B 是锐角三角形两个 内角,可得 ﹣A<B,由此可得结论. )时,f'(x)>0,f(x)

解答: 解:∵f(x)=xsinx,∴f'(x)=sinx+xcosx,∴x∈(0, 递增 ∵f(﹣x)=f(x) ,∴f(x)是偶函数 ∵A,B 是锐角三角形两个内角,∴cosA=sin( ∵A+B> ∴sin( ,∴ ﹣A<B ﹣A)

﹣A)<sinB

∴0<cosA<sinB ∴f(cosA)<f(sinB) 故选 C. 点评: 本题考查函数单调性与奇偶性的结合,考查学生的计算能力,属于基础题.

12. (5 分)点 P 是双曲线

与圆 C2:x +y =a +b 的一个交

2

2

2

2

点,且 2∠PF1F2=∠PF2F1,其中 F1、F2 分别为双曲线 C1 的左右焦点,则双曲线 C1 的离心率 为() A. B. C. D.

考点: 双曲线的简单性质. 专题: 计算题. 分析: 由 a +b =c ,知圆 C2 必过双曲线 C1 的两个焦点, 2∠PF1F2=∠PF2F1=
2 2 2 2 2



,则|PF2|=c,
2

c,由此能求出双曲线的离心率.

解答: 解:∵a +b =c , ∴圆 C2 必过双曲线 C1 的两个焦点, 2∠PF1F2=∠PF2F1= 故双曲线的离心率为 ,则|PF2|=c, . , c,

故选 A. 点评: 本题考查双曲线的性质和应用,解题时要认真审题,注意挖掘题设中的隐含条件. 二、填空题: (本大题共 4 小题,每题 5 分,满分 20 分) 13. (5 分)执行如图所示的程序框图,如果输出 s=3,那么判断框内应填入的条件是 k≤7.

考点: 伪代码.

专题: 算法和程序框图. 分析: 根据程序框图,写出运行结果,根据程序输出的结果是 S=3,可得判断框内应填入的 条件. 解答: 解:根据程序框图,运行结果如下: S k 第一次循环 log23 3 第二次循环 log23?log34 4 第三次循环 log23?log34?log45 5 第四次循环 log23?log34?log45?log56 6 第五次循环 log23?log34?log45?log56?log67 7 第六次循环 log23?log34?log45?log56?log67?log78=log28=3 8 故如果输出 S=3,那么只能进行六次循环,故判断框内应填入的条件是 k≤7. 故答案为:k≤7 点评: 本题考查程序框图,尤其考查循环结构.对循环体每次循环需要进行分析并找出内 在规律.本题属于基础题.

14. (5 分)在正三角形 ABC 中,D 是 BC 上的点.若 AB=3,BD=1,则

=



考点: 向量在几何中的应用. 专题: 计算题;数形结合;转化思想. 分析: 根据 AB=3,BD=1,确定点 D 在正三角形 ABC 中的位置,根据向量加法满足三角形 法则,把 用 表示出来,利用向量的数量积的运算法则和定义式即可求得 的

值. 解答: 解:∵AB=3,BD=1, ∴D 是 BC 上的三等分点, ∴ ∴ = 故答案为 . = =9﹣ = , ,

点评: 此题是个中档题.考查向量的加法和数量积的运算法则和定义,体现了数形结合和 转化的思想.

15. (5 分)已知抛物线 原点,则 =﹣4.

,过点 P(0,2)作直线 l,交抛物线于 A,B 两点,O 为坐标

考点: 抛物线的简单性质.

专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 设直线 l:y=kx+2.A(x1,y1) ,B(x2,y2) .与抛物线方程联立可得根与系数的关 系,再利用数量积运算性质即可得出. 解答: 解:设直线 l:y=kx+2.A(x1,y1) ,B(x2,y2) . 联立 ,化为 x ﹣4kx﹣8=0,
2

∴x1+x2=4k,x1x2=﹣8. 2 ∴y1y2=(kx1+2) (kx2+2)=k x1x2+2k(x1+x2)+4. ∴ =x1x2+y1y2=(1+k )x1x2+2k(x1+x2)+4
2 2 2

=﹣8(1+k )+8k +4 =﹣4. 故答案为:﹣4. 点评: 本题考查了抛物线的定义标准方程及其性质、直线与抛物线相交问题转化为方程联 立可得根与系数的关系、向量数量积运算性质,考查了推理能力与计算能力,属于中档题. 16. (5 分)在 R 上定义运算:x*y=(1﹣x)y,若不等式(x﹣y)*(x+y)<1 对一切实数 x 恒成立,则实数 y 的取值集合是(﹣ , ) .

考点: 函数恒成立问题. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 2 2 分析: 由题意可得, (x﹣y)*(x+y)<1 对于任意的 x 都成立,变形整理可得 y ﹣y<x 2 2 ﹣x+1 对于任意的 x 都成立,构造函数 g(x)=x ﹣x+1,只要 y ﹣y<g(x)min 即可. 解答: 解:由题意可得, (x﹣y)*(x+y)=[1﹣(x﹣y)](x+y)=(x+y) (1﹣x+y)<1 对于任意的 x 都成立, 即 y ﹣y<x ﹣x+1 对于任意的 x 都成立, 设 g(x)=x ﹣x+1=(x﹣ ) + , 所以,g(x)
2 min= 2 2 2 2



所以 y ﹣y< , 所以﹣ <y< , 所以实数 y 的取值范围是(﹣ , ) . 故答案为: (﹣ , ) . 点评: 本题以新定义为载体考查了函数的恒成立问题的求解,解题的关键是把恒成立问题 转化为求函数的最值问题,体现了转化思想的应用. 三、解答题: (本大题共 6 小题,满分 70 分)

17. (10 分)在△ ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,若 (Ⅰ)求证:A=B; (Ⅱ)求边长 c 的值; (Ⅲ)若| + |= ,求△ ABC 的面积.

?

=

?

=1.

考点: 平面向量数量积的运算;余弦定理的应用. 专题: 计算题. 分析: (1)由 , , 故可将? = ? =1 转化为一个三角方程,

解方程即可证明:A=B (2)由(1)的结论,再结合余弦定理,可构造一个关于 c 的方程,解方程易求 c 值. (3)若| + |= 平方后,结合余弦定理,可以判断三角形的形状,再结合(2)的结论,

即可求△ ABC 的面积. 解答: 解: (Ⅰ)∵ ? = ? .

∴bccosA=accosB,即 bcosA=acosB 由正弦定理得 sinBcosA=sinAcosB ∴sin(A﹣B)=0 ∵﹣π<A﹣B<π ∴A﹣B=0,∴A=B (Ⅱ)∵ ? =1,∴bccosA=1
2 2 2

由余弦定理得 bc?
2

=1,即 b +c ﹣a =2

∵由(Ⅰ)得 a=b,∴c =2,∴c= (Ⅲ)∵|
2 2

+

|=

,∴|

| +|

2

| +2|

2

?

|=6

即 c +b +2=6 2 2 ∴c +b =4 2 ∵c =2 2 ∴b =2,b= ∴△ABC 为正三角形 ∴S△ ABC= ×( )=
2

点评: (1)中在判断三角形形状时,要注意对角的范围进行分析,即求角的大小需要两个 条件:该角的一个三角函数值和该角的范围,缺一不可. (2)正、余弦定理是解三解形必用的 数学工具, 正弦定理一般用于已知两角一边及两边和其中一边对角的情况, 余弦定理一般用于 已知三边及两边和其夹角的情况. 18. (12 分)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,Sn=2an﹣2.

(1)求数列{an}的通项公式; (2)设 bn=log2an,cn= 求实数 k 的取值范围. 考点: 数列的求和;数列递推式. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (1)当 n=1 时,a1=S1,解得 a1.当 n≥2 时,an=Sn﹣Sn﹣1,再利用等比数列的通项 公式即可得出. (2)利用对数的运算性质可得 bn,利用 cn= 即可得出:数列{cn}的前 n 项和 Tn= ,化为 =
*

,记数列{cn}的前 n 项和 Tn,若对 n∈N ,Tn≤k(n+4)恒成立,

*

.利用“裂项求和”

.由于对 n∈N ,Tn≤k(n+4)恒成立,可得 = ,利用基本不等式的性质即可得出.

解答: 解: (1)当 n=1 时,a1=S1=2a1﹣2,解得 a1=2. 当 n≥2 时,an=Sn﹣Sn﹣1=2an﹣2﹣(2an﹣1﹣2)=2an﹣2an﹣1, 化为 an=2an﹣1, ∴数列{an}是以 2 为公比的等比数列, ∴ . =n, . +…+ = = .

(2)∵bn=log2an= ∴cn= =

∴数列{cn}的前 n 项和 Tn= ∵对 n∈N ,Tn≤k(n+4)恒成立, ∴ ,化为 =
*



∵n+ +5 ∴ ,

=9,当且仅当 n=2 时取等号.



. .

∴实数 k 的取值范围是

点评: 本题综合考查了等比数列的通项公式、对数的运算性质、“裂项求和”、恒成立问题的 等价转化、基本不等式的性质等基础知识与基本技能方法,考查了推理能力和计算能力,属于 难题.

19. (12 分)20 名学生某次数学考试成绩(单位:分)的频率分布直方图如图: (Ⅰ)求频率分布直方图中 a 的值; (Ⅱ)分别求出成绩落在 [50,60)与[60,70)中的学生人数; (Ⅲ)从成绩在[50,70)的学生任选 2 人,求此 2 人的成绩都在[60,70)中的概率.

考点: 古典概型及其概率计算公式;频率分布直方图. 专题: 概率与统计. 分析: (Ⅰ)根据频率分布直方图求出 a 的值; (Ⅱ)由图可知,成绩在[50,60)和[60,70)的频率分别为 0.1 和 0.15,用样本容量 20 乘以 对应的频率,即得对应区间内的人数,从而求出所求. (Ⅲ)分别列出满足[50,70)的基本事件,再找到在[60,70)的事件个数,根据古典概率公 式计算即可. 解答: 解: (Ⅰ)根据直方图知组距=10,由(2a+3a+6a+7a+2a)×10=1,解得 a=0.005. (Ⅱ)成绩落在[50,60)中的学生人数为 2×0.005×10×20=2, 成绩落在[60,70)中的学生人数为 3×0.005×10×20=3. (Ⅲ)记成绩落在[50,60)中的 2 人为 A,B,成绩落在[60,70)中的 3 人为 C,D,E,则 成绩在[50,70)的学生任选 2 人的基本事件有 AB,AC,AD,AE,BC,BD,BE,CD,CE, DE 共 10 个, 其中 2 人的成绩都在[60,70)中的基本事件有 CD,CE,DE 共 3 个, 故所求概率为 P= .

点评: 本题考查频率分布直方图的应用以及古典概型的概率的应用,属于中档题. 20. (12 分)如图,在三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,AA1⊥底面 ABC,且△ ABC 为正三角形, AA1=AB=6,D 为 AC 的中点. (1)求证:直线 AB1∥平面 BC1D; (2)求证:平面 BC1D⊥平面 ACC1A; (3)求三棱锥 C﹣BC1D 的体积.

考点: 棱柱、棱锥、棱台的体积;平面与平面垂直的判定. 专题: 综合题;空间位置关系与距离. 分析: (1) 连接 B1C 交 BC1 于点 O, 连接 OD, 则点 O 为 B1C 的中点. 可得 DO 为△ AB1C 中位线,A1B∥OD,结合线面平行的判定定理,得 A1B∥平面 BC1D; (2)由 AA1⊥底面 ABC,得 AA1⊥BD.正三角形 ABC 中,中线 BD⊥AC,结合线面垂直的 判定定理, 得 BD⊥平面 ACC1A1, 最后由面面垂直的判定定理, 证出平面 BC1D⊥平面 ACC1A; (3)利用等体积转换,即可求三棱锥 C﹣BC1D 的体积. 解答: (1)证明:连接 B1C 交 BC1 于点 O,连接 OD,则点 O 为 B1C 的中点. ∵D 为 AC 中点,得 DO 为△ AB1C 中位线, ∴A1B∥OD. ∵OD?平面 AB1C,A1B?平面 AB1C, ∴直线 AB1∥平面 BC1D; (2)证明:∵AA1⊥底面 ABC, ∴AA1⊥BD, ∵底面 ABC 正三角形,D 是 AC 的中点 ∴BD⊥AC ∵AA1∩AC=A,∴BD⊥平面 ACC1A1, ∵BD?平面 BC1D,∴平面 BC1D⊥平面 ACC1A; (3)解:由(2)知,△ ABC 中,BD⊥AC,BD=BCsin60°=3 ∴S△ BCD= = , ?6=9 .



∴VC﹣BC1D=VC1﹣BCD= ?

点评: 本题给出直三棱柱,求证线面平行、面面垂直并探索三棱锥的体积,着重考查了空 间线面平行、线面垂直的判定与性质,考查了锥体体积公式的应用,属于中档题. 21. (12 分)已知函数 f(x)=xlnx. (Ⅰ)求函数 f(x)在[1,3]上的最小值; (Ⅱ)若存在 (e 为自然对数的底数,且 e=2.71828…)使不等式 2f(x)≥﹣x +ax
2

﹣3 成立,求实数 a 的取值范围. 考点: 利用导数求闭区间上函数的最值;函数恒成立问题. 专题: 计算题. 分析: (Ⅰ)先求出函数的导函数,研究出原函数在[1,3]上的单调性即可求出函数 f(x) 在[1,3]上的最小值;

(Ⅱ)先把不等式 2f(x)≥﹣x +ax﹣3 成立转化为 ,利用导函数求出 h(x)在 数 a 的取值范围. 解答: 解: (Ⅰ)由 f(x)=xlnx,可得 f'(x)=lnx+1, (2 分) 当 当 时,f'(x)<0,f(x)单调递减; 时,f'(x)>0,f(x)单调递增.

2

成立,设 上的最大值即可求实

所以函数 f(x)在[1,3]上单调递增. 又 f(1)=ln1=0, 所以函数 f(x)在[1,3]上的最小值为 0. (6 分) (Ⅱ)由题意知,2xlnx≥﹣x +ax﹣3,则 若存在 只需 a 小于或等于
2 2



使不等式 2f(x)≥﹣x +ax﹣3 成立, 的最大值.



,则





时,h'(x)<0,h(x)单调递减;

当 x∈(1,e]时,h'(x)>0,h(x)单调递增. 由 可得 所以,当 , . 时,h(x)的最大值为 h( )=﹣2+ +3e, , ,

故 a≤﹣2+ +3e(13 分) 点评: 本题主要研究利用导数求闭区间上函数的最值以及函数恒成立问题.当 a≥h(x)恒 成立时,只需要求 h(x)的最大值;当 a≤h(x)恒成立时,只需要求 h(x)的最小值. 22. (12 分)已知椭圆 C 的中心在原点,焦点在 x 轴上,离心率等于 ,它的一个顶点恰好是 抛物线 x =8 y 的焦点. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)点 P(2,3) ,Q(2,﹣3)在椭圆上,A,B 是椭圆上位于直线 PQ 两恻的动点,若直 线 AB 的斜率为 ,求四边形 APBQ 面积的最大值.
2

考点: 椭圆的简单性质. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程;圆锥曲线中的最值与范围问题. 2 分析: (I)设出题意方程,它的一个顶点恰好是抛物线 x =8 y 的焦点,可求 b,利用离 心率为 ,解得 a 即可求椭圆 C 的标准方程; (Ⅱ)设出坐标 A,B,直线 AB 的方程为 ,代入椭圆方程,整理后由得 t 的范围,

由韦达定理得求得|x1﹣x2|,从而可求四边形 APBQ 的面积,即可解得当 t=0,四边形 APBQ 面积的最大值. 解答: (本题满分 12 分) 解: (Ⅰ)设椭圆 C 的方程为 则 由 . ,得 a=4, (a>b>0) ,

∴椭圆 C 的方程为

. ,

(Ⅱ)设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,直线 AB 的方程为

代入
2 2



得 x +tx+t ﹣12=0, 由△ >0,解得﹣4<t<4, 由韦达定理得 四边形 APBQ 的面积 ∴当 t=0, . . ,

点评: 本题考查椭圆的标准方程,考查向量的数量积公式,考查分类讨论的数学思想,考 查学生的计算能力,考查了转化思想,属于中档题.


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