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高考大题冲关(三角函数与解三角形)


高考大题冲关(三角 函数与解三角形)

三角函数的综合问题
考情概述:从近几年高考看,高考在本章的命题热点是 利用三角公式求值,也可能三角公式与三角函数图象、 性质、解三角形、平面向量等知识综合命题,难度不大, 属于中低档题,但考生得分不高,其主要原因是公式不 熟导致运算错误.考生在复习时,要熟练掌握三角公式, 特别是二倍角的余弦公式,在此基础上掌

握一些三角恒 等变换,如变换角的技巧、变换函数名称的技巧等.

题型一 三角函数求值
【例 1】 (2012 年高考广东卷)已知函数

x π π f(x)=Acos( + ),x∈R,且 f( )= 2 . 3 4 6
(1)求 A 的值;
π 4 30 (2)设α ,β ∈[0, ],f(4α + π )=- , 2 3 17 2 8 f(4β - π )= ,求 cos(α +β )的值. 3 5

π 思维导引:(1)由 f( )= 2 化简求 A. 3

(2)化简等式结合诱导公式求得 sin α、cos α、cos β、 sin β再代入两角和的余弦公式求解.

π 2 π π π 解:(1)由 f( )=Acos( ? )=Acos = A= 2 , 12 6 3 4 2
得 A=2.
x π 3π (2)由(1)知 f(x)=2cos( ? ),则 f( 4? ? ) 4 6 4

4π 4? ? π ? 30 π ? 3 =2cos( , ? )=2cos ? ? ? ? =4 6 2 ? 17 ?

∴sin α=

15 π 8 .又α∈[0, ],∴cos α= . 17 2 17

2π 4? ? 2π π 8 3 F(4β)=2cos( + )=2cos β= , 3 6 5 4
4 ∴cos β= . 5

π 3 又β∈[0, ],∴sin β= . 2 5

故 cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β
4 8 3 15 13 = × - × =- . 5 17 5 17 85

冲关策略

利用三角函数公式化简求值是高考常

考题型,解决这类题目的关键是准确记忆、熟练应用 三角公式及特殊角函数值,对角进行合理拆分,在求 解过程中注意角的范围对三角函数符号的影响.

即时突破 1 (2013 揭阳学业水平考试)已知函数
π f(x)=sin(π -x)sin( -x)+2. 2 7 π (1)若 f(α )= ,α ∈(0, ),求 sin α +cos α 的值; 3 2

? π 13 π π (2)若 f( + )= ,θ ∈(- , ),求 cos θ 的值. 2 12 6 6 3
解:(1)∵f(x)=2+sin xcos x,
7 7 由 f(α)= 得 2+sin αcos α= , 3 3

1 ∴sin αcos α= , 3 5 π ∴(sin α+cos α) =1+2sin αcos α= ,∵α∈(0, ), 3 2
2

15 ∴sin α+cos α>0,∴sin α+cos α= . 3

(2)由 f(

? π 13 ? π ? π 1 + )= 得 Sin( + )cos( + )= , 2 12 6 2 12 2 12 6

π 1 π π ∴sin(θ+ )= .∵θ∈(- , ), 6 3 6 3

π? 2 2 π π π 2? 1 ? sin ? ? ∴θ+ ∈(0, ),∴cos(θ+ )= . ? ?= 6? 6 2 6 3 ?

∴cos θ=cos[(θ+ =cos(θ+

π π )- ] 6 6

π π π π )cos +sin(θ+ )sin 6 6 6 6

3 1 1 1? 2 6 2 2 = × + × = . 2 3 2 6 3

题型二 三角函数的图象与性质的综合问题
【例 2】 (2012 年高考湖南卷)已知函数 f(x)=Asin
π (ω x+ ? )(x∈R,ω >0,0< ? < )的部分图象如图所示. 2

(1)求函数 f(x)的解析式; (2)求函数 g(x)=f(xπ π )-f(x+ )的单调递增区间. 12 12

5π 思维导引:(1)由周期确定ω,由特殊点( ,0)确定 ? ,由特殊 12

点(0,1)确定 A;(2)化简 g(x)并研究性质.
11π 5π 解:(1)由题设图象知,周期 T=2( )=π, 12 12 2π 5π 所以ω= =2.因为点( ,0)在函数图象上, T 12

5π 5π 所以 Asin(2× + ? )=0,即 sin( + ? )=0. 12 6

又因为 0< ? <

π 5π 5π 4π ,所以 < +? < . 3 2 6 6

5π π 从而 + ? =π,即 ? = .又点(0,1)在函数图象上, 6 6 π 所以 Asin =1,解得 A=2. 6

故函数 f(x)的解析式为 f(x)=2sin(2x+

π ). 6

π π π π (2)g(x)=2sin[2(x- )+ ]-2sin[2(x+ )+ ] 12 6 12 6 π =2sin 2x-2sin(2x+ ) 3

=2sin 2x-2(

3 1 sin 2x+ cos 2x)=sin 2x- 3 cos 2x 2 2

π π π π =2sin(2x- ),由 2kπ- ≤2x- ≤2kπ+ , 3 2 3 2 π 5π 得 kπ- ≤x≤kπ+ ,k∈Z. 12 12 π 5π 所以函数 g(x)的单调递增区间是[kπ- ,kπ+ ],k∈Z. 12 12

冲关策略

解决三角函数的图象和性质的综合问

题,一般先由图象或三角公式确定三角函数 y=Asin(ωx+ ? )+b(或 y=Acos(ωx+ ? )+b 等)的解析 式.研究三角函数性质时,需把ωx+ ? 看成一个整体.

即时突破 2 (2013 惠州三调)已知函数 f(x)=sin xcos ? +cos xsin ?
(其中 x∈R,0< ? <π ). (1)求函数 f(x)的最小正周期;
π π (2)若函数 y=f(2x+ )的图象关于直线 x= 对称, 4 6

求 ? 的值.

解:(1)∵f(x)=sin(x+ ? ), ∴函数 f(x)的最小正周期为 2π.
π π (2)∵函数 y=f(2x+ )=sin(2x+ + ? ), 4 4 π 又 y=sin x 的图象的对称轴为 x=kπ+ (k∈Z), 2 π π 令 2x+ + ? =kπ+ (k∈Z), 4 2

π π 将 x= 代入,得 ? =kπ- (k∈Z). 6 12

∵0< ? <π,
11π ∴? = . 12

题型三 三角恒等变换与解三角形的综合应用
【例 3】 (2013 年高考重庆卷)在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边 分别为 a,b,c,且 a2=b2+c2+ 3 bc. (1)求 A; (2)设 a= 3 ,S 为△ABC 的面积,求 S+3cos Bcos C 的最大值, 并指出此时 B 的值. 思维导引:(1)利用余弦定理求 cos A,(2)利用正弦定理将 S 用 角 B,角 C 的三角函数表示出来,再根据式子特点求最值.

解:(1)由余弦定理得 cos
3 b2 ? c2 ? a 2 ? 3bc A= = =. 2bc 2bc 2
5π 又 0<A<π,所以 A= . 6 1 (2)由(1)得 sin A= , 2

又由正弦定理及 a= 3 得
1 1 a sin B S= absin C= · ·asin C=3sin Bsin C, 2 2 sin A

因此,S+3cos Bcos C=3(sin Bsin C+cos Bcos C) =3cos(B-C). 所以,当 B=C,
π? A π 即 B= = 时, 2 12

S+3cos Bcos C 取最大值 3.

冲关策略 在解决解三角形与三角恒等变
换综合问题时,一般先利用正、 余弦定理,将边 的关系转化为角的关系,再利用三角恒等变换 化成一个角的三角函数求解.

即时突破 3 (2013 茂名一模)如图所示,角 A 为钝角,且
cos A=4 ,点 P,Q 分别在角 A 的两边上. 5

(1)已知 AP=5,AQ=2,求 PQ 的长;
12 (2)设∠APQ=α ,∠AQP=β ,且 cos α = ,求 sin(2α +β )的值. 13

4 解:(1)∵∠A 是钝角,cos A=- ,AP=5,AQ=2. 5

在△APQ 中,由余弦定理得 PQ =AP +AQ -2AP·AQcos A,
2 2 2

4 ∴PQ =5 +2 -2×5×2×(- ), 5
2 2 2

∴PQ=3 5 .
12 5 (2)由 cos α= ,得 sin α= . 13 13

3 4 又 sin(α+β)=sin A= ,cos(α+β)=-cos A= , 5 5

∴sin(2α+β)=sin[α+(α+β)] =sin αcos(α+β)+cos αsin(α+β)
5 4 12 3 = × + × 13 5 13 5 56 = . 65

点击进入大题冲关 集训(二)


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