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2016届新课标数学(理)一轮复习讲义 第二章 第1讲 函数及其表示


知识点

函数及其 表示

考纲下载 1.了解构成函数的要素;会求一些简单函数的定义域和值域;了解映射 的概念. 2.在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表 法、解析法)表示函数. 3.了解简单的分段函数,并能简单地应用. 1.理解函数的单调性及其几何意义. 2.理解函数最大值、最小值及其几何意义. 结合具体函数,了解

函数奇偶性的含义. 1.了解指数函数模型的实际背景. 2.理解有理数指数幂的含义,了解实数指数幂的意义,掌握幂的运算. 3.理解指数函数的概念,理解指数函数的单调性与指数函数图象所过 的特殊点. 4.知道指数函数是一类重要的函数模型. 1.理解对数的概念及其运算性质,知道用换底公式能将一般对数转化成 自然对数或常用对数;了解对数在简化运算中的运用. 2.理解对数函数的概念,理解对数函数的单调性,掌握对数函数图象 所过的特殊点. 3.知道对数函数是一类重要的函数模型. 4. 了解指数函数 y=ax 与对数函数 y=logax 互为反函数(a>0, 且 a≠1). 1.了解幂函数的概念.

单调性 奇偶性

指数与 指数函数

对数与对 数函数

幂函数

1 1 2.结合函数 y=x,y=x2,y=x3,y= ,y=x2的图象,了解它们的变 x

化情况. 函数的图 象 函数与方 程 会运用函数图象理解和研究函数的性质. 1.结合二次函数的图象,了解函数的零点与方程根的关系,判断一元二 次方程根的存在性及根的个数. 2.根据具体函数的图象,能够用二分法求相应方程的近似解. 1.了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征,知道直线上升、指 数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义. 2.了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会 生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用. 1.了解导数概念的实际背景,理解导数的几何意义. 1 2.能根据导数定义求函数 y=C,y=x,y=x2,y=x3,y= ,y= x的 x

函数模型 及其应用 变化率与 导数、 导数的运



导数. 3.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数 的导数.能求简单的复合函数(仅限于形如 f(ax+b)的复合函数)的导数. 1.了解函数单调性和导数的关系;能利用导数研究函数的单调性,会求 函数的单调区间(对多项式函数一般不超过三次). 2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件;会用导数求函数 的极大值、极小值(对多项式函数一般不超过三次);会求闭区间上函数 的最大值、最小值(对多项式函数一般不超过三次). 3.会利用导数解决某些实际问题. 1.了解定积分产生的实际背景,了解定积分的基本思想,了解定积分的 概念. 2.了解微积分基本定理的含义.

导数的应 用

定积分与 微 积分基本 定理

第 1 讲 函数及其表示

1.函数与映射的概念 函数 两集合 A、B 对应关系 f:A→B 名称 设 A,B 是两个非空的数集 如果按照某种确定的对应关系 f,使对于集合 A 中的任意一个 数 x,在集合 B 中都有唯一确 定的数 f(x)和它对应 称 f:A→B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数 y=f(x)(x∈A) 映射 设 A,B 是两个非空的集合 如果按某一个确定的对应关系 f,使对于集合 A 中的任意一个 元素 x,在集合 B 中都有唯一 确定的元素 y 与之对应 称对应 f:A→B 为从集合 A 到 集合 B 的一个映射 对应 f:A→B 是一个映射

记法 2.函数的有关概念 (1)函数的定义域、值域: 在函数 y=f(x),x∈A 中,x 叫做自变量,x 的取值范围 A 叫做函数的定义域;与 x 的值 相对应的 y 值叫做函数值,函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域.显然,值域是集合 B 的子集. (2)函数的三要素:定义域、值域和对应关系. (3)相等函数:如果两个函数的定义域和对应关系完全一致,则这两个函数相等,这是 判断两函数相等的依据. (4)函数的表示法 表示函数的常用方法有:解析法、图象法、列表法. 3.分段函数 若函数在其定义域的不同子集上, 因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示, 这 种函数称为分段函数. [做一做]

1.(2014· 高考江西卷)函数 f(x)=ln(x2-x)的定义域为( ) A.(0,1) B.[0,1] C.(-∞,0)∪(1,+∞) D.(-∞,0]∪[1,+∞) 答案:C 2.设函数 f(x)=错误!若 f(a)+f(-1)=2,则 a=( ) A.-3 B.±3 C.-1 D.±1 解析:选 D.若 a≥0,则 a+1=2,得 a=1;若 a<0,则 -a+1=2,得 a=-1.

1.辨明两个易误点 (1)易混“函数”与“映射”的概念:函数是特殊的映射,映射不一定是函数, 从A到B 的一个映射,A、B 若不是数集,则这个映射便不是函数. (2)分段函数是一个函数,而不是几个函数.分段函数的定义域是各段定义域的并集, 值域是各段值域的并集. 2.函数解析式的四种常用求法 (1)配凑法:由已知条件 f(g(x))=F(x),可将 F(x)改写成关于 g(x)的表达式,然后以 x 替 代 g(x),便得 f(x)的表达式; (2)待定系数法:若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法; (3)换元法:已知复合函数 f(g(x))的解析式,可用换元法,此时要注意新元的取值范围; 1 (4)解方程组法:已知关于 f(x)与 f( )或 f(-x)的表达式,可根据已知条件再构造出另外 x 一个等式组成方程组,通过解方程求出 f(x). [做一做] 3.(2015· 长春模拟)下列对应关系: ①A={1,4,9},B={-3,-2,-1,1,2,3},f:x→x 的平方根; ②A=R,B=R,f:x→x 的倒数; ③A=R,B=R,f:x→x2-2; ④A={-1,0,1},B={-1,0,1},f:A 中的数平方. 其中是 A 到 B 的映射的是( ) A.①③ B.②④ C.③④ D.②③ 答案:C 1? 2 4.已知 f? ?x?=x +5x,则 f(x)=________. 1 5 答案: 2+ (x≠0) x x 5.若 f(x)=x2+bx+c,且 f(1)=0,f(3)=0,则 f(x)=________. 答案:x2-4x+3

考点一__函数的基本概念____________________ 以下给出的同组函数中,是否表示同一函数?为什么? x (1)f1:y= ;f2:y=1. x ?1,x≤1, (2)f1:y=?2,1<x<2,

?

? ?3,x≥2;

f2: x y (3)f1:y=2x;f2:如图所示. x≤1 1 1<x<2 2 x≥2 3

[解] (1)不同函数.f1(x)的定义域为{x∈R|x≠0},f2(x)的定义域为 R. (2)同一函数,x 与 y 的对应关系完全相同且定义域相同,它们是同一函数的不同表示方 式. (3)同一函数.理由同(2). [规律方法] 两个函数是否是同一个函数,取决于它们的定义域和对应关系是否相同, 只有当两个函数的定义域和对应关系完全相同时,才表示同一函数.另外,函数的自变量习 惯上用 x 表示,但也可用其他字母表示,如:f(x)=2x-1,g(t)=2t-1,h(m)=2m-1 均表 示同一函数. 1.有以下判断: ? ?1,(x≥0) |x| ①f(x)= 与 g(x)=? 表示同一函数; x ?-1,(x<0) ? ②函数 y=f(x)的图象与直线 x=1 的交点最多有 1 个; ③f(x)=x2-2x+1 与 g(t)=t2-2t+1 是同一函数; ?1?? ④若 f(x)=|x-1|-|x|,则 f? ?f?2??=0. 其中正确判断的序号是________. |x| 解 析 : 对 于 ① , 由 于 函 数 f(x) = 的 定 义 域 为 {x|x∈R 且 x≠0} , 而 函 数 g(x) = x ?1,(x≥0) ? ? 的定义域是 R,所以二者不是同一函数;对于②,若 x=1 不是 y=f(x)定义 ? ?-1,(x<0) 域内的值,则直线 x=1 与 y=f(x)的图象没有交点,若 x=1 是 y=f(x)定义域内的值,由函数 的定义可知, 直线 x=1 与 y=f(x)的图象只有一个交点, 即 y=f(x)的图象与直线 x=1 最多有 一个交点;对于③,f(x)与 g(t)的定义域、值域和对应关系均相同,所以 f(x)与 g(t)表示同一 1? ?1 ? ?1? 函数;对于④,由于 f? ?2?=?2-1?-?2?=0, ?1?? ∴f? ?f?2??=f(0)=1.综上可知,正确的判断是②,③. 答案:②③ 考点二__分段函数(高频考点)____________________ 分段函数作为考查函数知识的最佳载体,以其考查知识容量大而成为高考命题的亮点, 常以选择题、填空题的形式出现,试题难度不大,多为容易题或中档题.

高考对分段函数的考查主要有以下四个命题角度: (1)由分段函数解析式,求函数值(或最值); (2)由分段函数解析式与方程,求参数的值; (3)由分段函数解析式,求解不等式; (4)由分段函数解析式,判断函数的奇偶性.(本章第 4 讲再讲解) x ? ?a·2 ,x≥0, ? (1)(2014· 高考江西卷)已知函数 f(x)= -x (a∈R),若 f[f(-1)]=1, ?2 ,x<0 ? 则 a=( ) 1 1 A. B. 4 2 C.1 D.2 2x3,x<0, ? ? ? ?π ?? (2)(2013· 高考福建卷)已知函数 f(x)=? π 则 f?f? 4 ??=________. ? ?-tan x,0≤x< 2 , 1 ? ?2x+1, x≤0, (3)(2015· 榆林模拟)已知 f(x)=? 使 f(x)≥-1 成立的 x 的取值范围是

? ?-(x-1)2,x>0,

________. - - [解析] (1)由题意得 f(-1)=2 ( 1)=2, 1 f[f(-1)]=f(2)=a· 22=4a=1,∴a= . 4 π ? π? (2)∵ ∈ 0, , 4 ? 2? π π ∴f? ?=-tan =-1, 4 ?4? π ∴f?f? ??=f(-1)=2×(-1)3=-2. ? ? 4 ?? x≤0, ? ? ? ?x>0, (3)由题意知?1 或? 2 ?-(x-1) ≥-1, ? ?2x+1≥-1 ? 解得-4≤x≤0 或 0<x≤2,故 x 的取值范围是[-4,2]. [答案] (1)A (2)-2 (3)[-4,2] [规律方法] 解决分段函数求值问题的方法: (1)求分段函数的函数值时,应根据所给自变量的大小选择相应段的解析式求解,有时 每段交替使用求值. (2)若给出函数值或函数值的范围求自变量值或自变量的取值范围,应根据每一段的解 析式分别求解, 但要注意检验所求自变量值是否符合相应段的自变量的取值范围, 做到分段 函数分段解决. ? 3sin π x,x≤0, 2.(1)(2015· 福建南安一中上学期期末 )已知 f(x)= ? 则 ?f(x-1)+1,x>0, 2? f? ) ?3?的值为( 1 1 A. B.- 2 2 C.1 D.-1 2 ? x + bx +c(x≤0), ? (2)(2015· 西城模拟)设函数 f(x)=? 若 f(-2)=f(0),f(-1)=-3,则 ?2(x>0), ? 方程 f(x)=x 的解集为________. 2 ? ?x +2ax,x≥2, (3)已知函数 f(x)=? x 若 f(f(1))>3a2,则 a 的取值范围是________. ?2 +1,x<2, ?

2? ? 1? 3 1 ? π? 解析:(1)f? ?3?=f?-3?+1= 3sin?- 3 ?+1=-2+1=-2. (2) 当 x≤0 时 , f(x) = x2 + bx + c , 因 为 f( - 2) = f(0) , f( - 1) = - 3 , 则 2 ? ?(-2) -2b+c=c,
? 2 ?(-1) -b+c=-3, ? ? ?b=2, 解得? ? ?c=-2, ?x2+2x-2(x≤0), ? 故 f(x)=? ?2(x>0). ?

当 x≤0 时,由 f(x)=x,得 x2+2x-2=x, 解得 x=-2 或 x=1(1>0,舍去). 当 x>0 时,由 f(x)=x,得 x=2. 所以方程 f(x)=x 的解集为{-2,2}. (3)由题知,f(1)=2+1=3,f(f(1))=f(3)=32+6a,若 f(f(1))>3a2,则 9+6a>3a2,即 a2 -2a-3<0,解得-1<a<3. 答案:(1)B (2){-2,2} (3)(-1,3) 考点三__求函数的解析式______________________ 2 ? (1)已知 f? ?x+1?=lg x,求 f(x)的解析式. (2)f(x)为二次函数且 f(0)=3,f(x+2)-f(x)=4x+2.试求出 f(x)的解析式. (3)定义在(-1,1)内的函数 f(x)满足 2f(x)-f(-x)=lg(x+1),求函数 f(x)的解析式. 2 2 [解] (1)令 +1=t,由于 x>0,∴t>1 且 x= , x t-1 2 2 ∴f(t)=lg ,即 f(x)=lg (x>1). t-1 x-1 (2)设 f(x)=ax2+bx+c(a≠0),又 f(0)=c=3. ∴f(x)=ax2+bx+3,∴f(x+2)-f(x)=a(x+2)2+b(x+2)+3-(ax2+bx+3)=4ax+4a+ 2b=4x+2. ?4a=4, ? ∴? ?4a+2b=2, ? ? ?a=1, ∴? ?b=-1, ? ∴所求函数的解析式为 f(x)=x2-x+3. (3)当 x∈(-1,1)时,有 2f(x)-f(-x)=lg(x+1).① 以-x 代替 x 得,2f(-x)-f(x)=lg(-x+1).② 由①②消去 f(-x)得, 2 1 f(x)= lg(x+1)+ lg(1-x),x∈(-1,1). 3 3 [规律方法] 求函数解析式常用的方法: (1)待定系数法; (2)换元法(换元后要注意新元的取值范围); (3)配凑法; (4)解方程组法. 1 1 x+ ?=x2+ 2,则 f(x)的解析式为 f(x)=__________; 3.(1)已知 f? ? x? x (2)已知 f( x+1)=x+2 x,则 f(x)的解析式为 f(x)=__________; (3)设 y=f(x)是二次函数,方程 f(x)=0 有两个相等实根,且 f′(x)=2x+2,则 f(x)的解析 式为 f(x)=__________;

1? (4)已知函数 f(x)的定义域为(0,+∞),且 f(x)=2f? ?x?· x-1,则 f(x)=________. 1 1 2 1 x+ ?=x2+ 2=?x+ ? -2, 解析:(1)由于 f? ? x? x ? x? 2 所以 f(x)=x -2,x≥2 或 x≤-2, 故 f(x)的解析式是 f(x)=x2-2(x≥2 或 x≤-2). (2)法一:设 t= x+1, 则 x=(t-1)2(t≥1); 代入原式有 f(t)=(t-1)2+2(t-1)=t2-2t+1+2t-2=t2-1. 故 f(x)=x2-1(x≥1). 法二:∵x+2 x=( x)2+2 x+1-1=( x+1)2-1, ∴f( x+1)=( x+1)2-1( x+1≥1), 即 f(x)=x2-1(x≥1). (3)设 f(x)=ax2+bx+c(a≠0), 则 f′(x)=2ax+b=2x+2, ∴a=1,b=2,f(x)=x2+2x+c. 又∵方程 f(x)=0 有两个相等的实根, ∴Δ=4-4c=0,c=1,故 f(x)=x2+2x+1. 1? (4)在 f(x)=2f? ?x? x-1 中, 1 用 代替 x, x 1? 1 得 f? ? x?=2f(x) x-1, 1? 2f(x) 1? 将 f? -1 代入 f(x)=2f? x? x-1 中, ? x?= ? x 2 1 可求得 f(x)= x+ . 3 3 2 1 答案:(1)x2-2(x≥2 或 x≤-2) (2)x2-1(x≥1) (3)x2+2x+1 (4) x+ 3 3

方法思想——分类讨论思想在分段函数中的应用
?x2+2x+2,x≤0, ? (2014· 高考浙江卷)设函数 f(x)=? 2 若 f(f(a))=2,则 a= ?-x ,x>0. ?

________. [解析] 若 a>0,则 f(a)=-a2<0,f(f(a))=a4-2a2+2=2,得 a= 2. 若 a≤0,则 f(a)=a2+2a+2=(a+1)2+1>0, f(f(a))=-(a2+2a+2)2=2,此方程无解. [答案] 2 若本例中的“f(f(a))=2”变为“f(f(a))≤2”,其他条件不变,求实数 a 的 取值范围. 解:由题意得 ?f(a)<0, ?f(a)>0, ? ? ?2 或? 2 解得 f(a)≥-2. ?f (a)+2f(a)+2≤2 ? ?-f (a)≤2, ? ?a≤0, ?a>0, ? ? 由? 2 或? 2 ?a +2a+2≥-2 ? ?-a ≥-2, ? 解得 a≤ 2. [名师点评] (1)解答本题利用了分类讨论思想, 分类讨论思想是将一个较复杂的数学问 题分解(或分割)成若干个基础性问题,通过对基础性问题的解答来实现解决原问题的思想策 略.因 f(x)为分段函数,由于 f(a)和 a 正负不确定,应分情况讨论. (2)求解过程中,求出的参数的值或范围并不一定符合题意,因此要检验结果是否符合 要求. (2015·山 西 四 校 联 考 ) 定 义 在 R 上 的 函 数 f(x) 满 足 f(x) = ?log2(8-x), x≤0 ? ? 则 f(3)的值为( ) ? ?f(x-1)-f(x-2), x>0, A.1 B.2 C.-2 D.-3 解析:选 D.f(3)=f(2)-f(1)=f(1)-f(0)-f(1)=-f(0)=-log28=-3.

1.已知集合 A=[0,8],集合 B=[0,4],则下列对应关系中,不能看作从 A 到 B 的映 射的是( ) 1 1 A.f:x→y= x B.f:x→y= x 8 4 1 C.f:x→y= x D.f:x→y=x 2 解析:选 D.按照对应关系 f:x→y=x,对 A 中某些元素(如 x=8),B 中不存在元素与之 对应. 2.下面各组函数中为相同函数的是( ) 2 A.f(x)= (x-1) ,g(x)=x-1 B.f(x)= x2-1,g(x)= x+1· x-1 C.f(x)=ln ex 与 g(x)=eln x 1 D.f(x)=x0 与 g(x)= 0 x 解析:选 D.函数的三要素相同的函数为相同函数,对于选项 A,f(x)=|x-1|与 g(x)对应 关系不同,故排除选项 A,选项 B、C 中两函数的定义域不同,排除选项 B、C,故选 D.

?2 ,x≥0, 3 . (2015· 北京朝阳期末 ) 已知函数 f(x) = ? 则“a = 2”是“f(a) = 4 成立 ? -x,x<0,
的”( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2 解析:选 A.当 a=2 时,f(a)=f(2)=2 =4,所以充分性成立; ?a<0 ?a≥0 ? ? 当 f(a)=4 时,有? 或? a ?a=-16 或 a=2,所以必要性不成立,故选 A. ? ?2 =4 ? -a=4 ? 4.若二次函数 g(x)满足 g(1)=1,g(-1)=5,且图象过原点,则 g(x)的解析式为( ) A.g(x)=2x2-3x B.g(x)=3x2-2x C.g(x)=3x2+2x D.g(x)=-3x2-2x 解析:选 B.用待定系数法,设 g(x)=ax2+bx+c(a≠0),∵g(1)=1,g(-1)=5,且图象 过原点, ?a+b+c=1 ?a=3 ∴?a-b+c=5,解得?b=-2,∴g(x)=3x2-2x.

x

?

?

? ?c=0

5.设函数 f(x)=?

? ?x +4x+6,x≤0 ?-x+6,x>0 ?

2

? ?c=0

,则不等式 f(x)<f(-1)的解集是(

)

A.(-3,-1)∪(3,+∞) B.(-3,-1)∪(2,+∞) C.(-3,+∞) D.(-∞,-3)∪(-1,3) 解析:选 A.f(-1)=3,f(x)<3,当 x≤0 时, x2+4x+6<3, 解得 x∈(-3,-1);当 x>0 时, -x+6<3, 解得 x∈(3,+∞), 故不等式的解集为(-3,-1)∪(3,+∞),故选 A. 1? 6.设函数 f(x)满足 f(x)=1+f? ?2?log2x,则 f(2)=________. 1? 1? 1 1 1 ?1? log22, 解析: 由已知得 f? 则 f? 则 f(x)=1+ · log2x, 故 f(2)=1+ · log22 ?2?=1-f?2?· ?2?=2, 2 2 3 = . 2 3 答案: 2 7.若函数 f(x)在闭区间[-1,2]上的图象如图所示,则此函数的解析式为________.

1 解析:由题图可知,当-1≤x<0 时,f(x)=x+1;当 0≤x≤2 时,f(x)=- x,所以 f(x) 2 x + 1 ,- 1 ≤ x <0 ? ? =? 1 . - x,0≤x≤2 ? ? 2

x+1,-1≤x<0 ? ? 答案:f(x)=? 1 ?-2x,0≤x≤2 ?
?(a-1)x+1,x≤1, ? 1 8.已知函数 f(x)=? x-1 若 f(1)= ,则 f(3)=________. 2 ? ?a ,x>1, 1 1 解析:由 f(1)= ,可得 a= , 2 2 2 1 1 ? 所以 f(3)=? ?2? =4. 1 答案: 4 ?x-1,x>0, ? 9.(2015· 上海徐汇模拟)已知 f(x)=x2-1,g(x)=? ? ?2-x,x<0. (1)求 f(g(2))与 g(f(2)); (2)求 f(g(x))与 g(f(x))的表达式. 解:(1)g(2)=1,f(g(2))=f(1)=0; f(2)=3,g(f(2))=g(3)=2. (2)当 x>0 时,f(g(x))=f(x-1)=(x-1)2-1=x2-2x; 当 x<0 时,f(g(x))=f(2-x)=(2-x)2-1=x2-4x+3. 2 ? ?x -2x,x>0, ? 所以 f(g(x))= 2 ? ?x -4x+3,x<0. ?x2-2,x<-1或x>1, ? 同理可得 g(f(x))=? 2 ? ?3-x ,-1<x<1. 3f(x-1)-f(x-2) 10.设 x≥0 时,f(x)=2;x<0 时,f(x)=1,又规定:g(x)= (x> 2 0),试写出 y=g(x)的表达式,并画出其图象. 解:当 0<x<1 时,x-1<0,x-2<0, 3-1 ∴g(x)= =1; 2 当 1≤x<2 时,x-1≥0,x-2<0, 6-1 5 ∴g(x)= = ; 2 2 当 x≥2 时,x-1>0,x-2≥0, 6-2 ∴g(x)= =2. 2 1,(0<x<1),

? ?5 故 g(x)=?2,(1≤x<2), ?2,(x≥2). ?
其图象如图所示:

1.已知 a,b 为两个不相等的实数,集合 M={a2-4a,-1},N={b2-4b+1,-2}, f:x→x 表示把 M 中的元素 x 映射到集合 N 中仍为 x,则 a+b 等于( ) A.1 B.2

C.3 D.4 解析:选 D.由已知可得 M=N, ?a2-4a=-2 ?a2-4a+2=0, ? ? 故? 2 ?? 2 ? ?b -4b+1=-1 ? ?b -4b+2=0, 2 所以 a,b 是方程 x -4x+2=0 的两根,故 a+b=4. 1? 2.具有性质:f? ?x?=-f(x)的函数,我们称为满足“倒负”变换的函数,下列函数: x,0<x<1, 1 1 0,x=1, ①y=x- ;②y=x+ ;③y= 其中满足“倒负”变换的函数是( ) x x 1 - ,x>1. x A.①② B.①③ C.②③ D.① 1? 1 1 ?1? 1 解析:选 B.对于①,f(x)=x- ,f?x?= -x=-f(x),满足;对于②,f? ?x?=x+x=f(x), x x 1 1 ,0< <1, x x

? ? ? ? ?

? 1? ? 1 不满足;对于③,f? ?x?=?0,x=1, ? >1, ?-x,1 x
1

,x>1, ? x ? 1 ? ?1? 即 f? ? x?=?0,x=1, 故 f?x?=-f(x),满足.综上可知,满足“倒负”变换的函数 ? ?-x,0<x<1, 是①③. 3.定义新运算“⊕”:当 a≥b 时,a⊕b=a;当 a<b 时,a⊕b=b2.设函数 f(x)=(1⊕x)x -(2⊕x),x∈[-2,2],则函数 f(x)的值域为________. ?x-2,x∈[-2,1], ? 解析:由题意知 f(x)=? 3 ? ?x -2,x∈(1,2], 当 x∈[-2,1]时,f(x)∈[-4,-1];当 x∈(1,2]时,f(x)∈(-1,6].故当 x∈[-2, 2]时,f(x)∈[-4,6]. 答案:[-4,6] 4.设 M 是由满足下列性质的函数 f(x)构成的集合:在定义域内存在 x0,使得 f(x0+1) 1 =f(x0)+f(1)成立.已知下列函数:①f(x)= ;②f(x)=2x;③f(x)=lg(x2+2);④f(x)=cos π x x.其中属于集合 M 的函数是________.(写出所有满足要求的函数的序号) 1 1 + 解析:对于①, = +1 显然无实数解;对于②,方程 2x 1=2x+2,解得 x=1;对 x +1 x 于③,方程 lg[(x+1)2+2]=lg(x2+2)+lg 3,显然也无实数解;对于④,方程 cos[π(x+1)] 1 =cos πx+cos π,即 cos πx= ,显然存在 x 使之成立. 2 答案:②④ 5. 运货卡车以每小时 x 千米的速度匀速行驶 130 千米(50≤x≤100)(单位: 千米/小时). 假 x2 设汽油的价格是每升 2 元,而汽车每小时耗油(2+ )升,司机的工资是每小时 14 元. 360 (1)求这次行车总费用 y 关于 x 的表达式; (2)当 x 为何值时,这次行车的总费用最低,并求出最低费用的值. 130 解:(1)行车所用时间为 t= (h), x

x2 14×130 130 2+ ?+ y= ×2×? ,x∈[50,100]. ? 360? x x 所以,这次行车总费用 y 关于 x 的表达式是 2 340 13 y= + x,x∈[50,100]. x 18 2 340 13 (2)y= + x≥26 10, x 18 2 340 13 当且仅当 = x, x 18 即 x=18 10时,上述不等式中等号成立. 故当 x=18 10时,这次行车的总费用最低,最低费用为 26 10元. 6.(选做题)规定[t]为不超过 t 的最大整数,例如[12.6]=12,[-3.5]=-4,对任意实数 x,令 f1(x)=[4x],g(x)=4x-[4x],进一步令 f2(x)=f1[g(x)]. 7 (1)若 x= ,分别求 f1(x)和 f2(x); 16 (2)若 f1(x)=1,f2(x)=3 同时满足,求 x 的取值范围. 7 7 解:(1)∵x= 时,4x= , 16 4 7 ? ∴f1(x)=? ?4?=1. 7 7? 3 ∵g(x)= -? = . 4 ?4? 4 3? ∴f2(x)=f1[g(x)]=f1? ?4?=[3]=3. (2)∵f1(x)=[4x]=1,g(x)=4x-1, ∴f2(x)=f1(4x-1)=[16x-4]=3. ? ?1≤4x<2, 7 1 ∴? ∴ ≤x< . 16 2 ?3≤16x-4<4, ? 7 1? 故 x 的取值范围是? ?16,2?.


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