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17版:§2.2 函数的单调性与最值(步步高)


1.函数的单调性 (1)单调函数的定义 增函数 减函数

一般地,设函数 f(x)的定义域为 I,如果对于定义域 I 内某个区间 D 上的任意两 定 义 个自变量的值 x1,x2 当 x1<x2 时, 都有__________, 那么就说函数 f(x)在区间 D 上是增函数 当 x1<x2 时,都有__________, 那么就说函数 f(x)在区间 D 上是 减函数

图象 描述 自左向右看图象是____ (2)单调区间的定义 如果函数 y=f(x)在区间 D 上是________或________, 那么就说函数 y=f(x)在这一区间具有(严 格的)单调性,________叫做 y=f(x)的单调区间. 2.函数的最值 前提 条件 结论 【思考辨析】 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) 设函数 y=f(x)的定义域为 I,如果存在实数 M 满足 (1)对于任意的 x∈I,都有________; (2)存在 x0∈I,使得__________. M 为最大值 (3)对于任意的 x∈I,都有________; (4)存在 x0∈I,使得________. M 为最小值 自左向右看图象是____

(1)在增函数与减函数的定义中, 可以把“任意两个自变量”改为“存在两个自变量”. (

)

(2)对于函数 f(x),x∈D,若 x1,x2∈D 且(x1-x2) ?[f(x1)-f(x2)]>0,则函数 f(x)在 D 上是增函 数.( ) )

(3)函数 y=f(x)在[1,+∞)上是增函数,则函数的单调递增区间是[1,+∞).( 1 (4)函数 y= 的单调递减区间是(-∞,0)∪(0,+∞).( x (5)所有的单调函数都有最值.( ) ) )

(6)对于函数 y=f(x),若 f(1)<f(3),则 f(x)为增函数.(

1.(2015· 金华十校调研)下列函数中,在区间(0,+∞)内单调递减的是( 1 A.y= -x x C.y=ln x-x B.y=x2-x D.y=ex-x

)

2.(2015· 温州模拟)若函数 f(x)=|2x+a|的单调递增区间是[3,+∞),则 a 的值为( A.-2 B.2 C.-6 D.6 b 3.若函数 y=ax 与 y=- 在(0,+∞)上都是减函数,则 y=ax2+bx 在(0,+∞)上是( x A.增函数 C.先增后减 4. (教材改编)已知函数 f(x)= B.减函数 D.先减后增

)

)

2 , x∈[2,6], 则 f(x)的最大值为________, 最小值为________. x-1

5.(教材改编)已知函数 f(x)=x2-2ax-3 在区间[1,2]上具有单调性,则实数 a 的取值范围为 ________________________________________________________________________.

题型一 确定函数的单调性(区间) 命题点 1 给出具体解析式的函数的单调性 例1 (1)下列函数中,在区间(0,+∞)上为增函数的是( B.y=- x+1 1 D.y=x+ x ) )

A.y=ln(x+2) 1 C.y=( )x 2

(2)函数 f(x)= log 1 (x2-4)的单调递增区间是(
2

A.(0,+∞)

B.(-∞,0)

C.(2,+∞)

D.(-∞,-2)

(3)y=-x2+2|x|+3 的单调增区间为________. 命题点 2 解析式含参函数的单调性 ax 例 2 试讨论函数 f(x)= (a≠0)在(-1,1)上的单调性. x-1 引申探究 ax 若本题中的函数变为 f(x)= 2 (a>0),则 f(x)在(-1,1)上的单调性如何? x -1

思维升华 确定函数单调性的方法:(1)定义法和导数法,证明函数单调性只能用定义法和导 数法;(2)复合函数法,复合函数单调性的规律是“同增异减”;(3)图象法,图象不连续的单 调区间不能用“∪”连接. a 已知 a>0,函数 f(x)=x+ (x>0),证明:函数 f(x)在(0, a ]上是减函数,在[ a, x +∞)上是增函数.

题型二 函数的最值 x2+2x+a 例 3 已知函数 f(x)= ,x∈[1,+∞),a∈(-∞,1]. x 1 (1)当 a= 时,求函数 f(x)的最小值; 2 (2)若对任意 x∈[1,+∞),f(x)>0 恒成立,试求实数 a 的取值范围.

思维升华 求函数最值的常用方法: (1)单调性法:先确定函数的单调性,再由单调性求最值; (2)图象法:先作出函数的图象,再观察其最高点、最低点,求出最值; (3)换元法:对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数,再用相应的方法求最值.

1 ? ?x,x≥1, (1)函数 f(x)=? 的最大值为________. ? ?-x2+2,x<1 1 ? 1 1 1 (2)已知函数 f(x)= - (a>0,x>0),若 f(x)在? ?2,2?上的值域为[2,2],则 a=________. a x 题型三 函数单调性的应用 命题点 1 比较大小 例 4 已知函数 f(x)=log2x+ A.f(x1)<0,f(x2)<0 C.f(x1)>0,f(x2)<0 命题点 2 解不等式 1 ,若 x1∈(1,2),x2∈(2,+∞),则( 1-x B.f(x1)<0,f(x2)>0 D.f(x1)>0,f(x2)>0 )

?1??<f(1)的实数 x 的取值范围是( 例 5 已知函数 f(x)为 R 上的减函数,则满足 f? ??x ??
A.(-1,1) C.(-1,0)∪(0,1) 命题点 3 求参数范围 例6 是( B.(0,1) D.(-∞,-1)∪(1,+∞)

)

(1)如果函数 f(x)=ax2+2x-3 在区间(-∞,4)上是单调递增的,则实数 a 的取值范围 ) 1 B.a≥- 4 1 D.- ≤a≤0 4

1 A.a>- 4 1 C.- ≤a<0 4

? ??2-a?x+1,x<1, f?x1?-f?x2? (2)已知 f(x)=? x 满足对任意 x1≠x2,都有 >0 成立,那么 a 的取 x1-x2 ?a ,x≥1 ?

值范围是________. 思维升华 函数单调性应用问题的常见类型及解题策略 (1)比较大小.比较函数值的大小,应将自变量转化到同一个单调区间内,然后利用函数的单 调性解决. (2)解不等式.在求解与抽象函数有关的不等式时,往往是利用函数的单调性将“f”符号脱掉, 使其转化为具体的不等式求解.此时应特别注意函数的定义域. (3)利用单调性求参数. ①视参数为已知数,依据函数的图象或单调性定义,确定函数的单调区间,与已知单调区间 比较求参数; ②需注意若函数在区间[a,b]上是单调的,则该函数在此区间的任意子集上也是单调的; ③分段函数的单调性,除注意各段的单调性外,还要注意衔接点的取值.

(1)f(x)是定义在(0, +∞)上的单调增函数, 满足 f(xy)=f(x)+f(y), f(3)=1, 当 f(x) +f(x-8)≤2 时,x 的取值范围是( A.(8,+∞) C.[8,9] ) B.(8,9] D.(0,8) )

a (2)若 f(x)=-x2+2ax 与 g(x)= 在区间[1,2]上都是减函数,则 a 的取值范围是( x+1 A.(-1,0)∪(0,1) C.(0,1) B.(-1,0)∪(0,1] D.(0,1]

1.确定抽象函数单调性解函数不等式

典例 (12 分)函数 f(x)对任意的 m、n∈R,都有 f(m+n)=f(m)+f(n)-1,并且 x>0 时,恒有 f(x)>1. (1)求证:f(x)在 R 上是增函数; (2)若 f(3)=4,解不等式 f(a2+a-5)<2. 思维点拨 (1)对于抽象函数的单调性的证明,只能用定义.应该构造出 f(x2)-f(x1)并与 0 比 较大小. (2)将函数不等式中的抽象函数符号“f”运用单调性“去掉”是本题的切入点. 要构 造出 f(M)<f(N)的形式. 规范解答 (1)证明 设 x1,x2∈R,且 x1<x2,∴x2-x1>0, ∵当 x>0 时,f(x)>1,∴f(x2-x1)>1.[2 分] f(x2)=f[(x2-x1)+x1]=f(x2-x1)+f(x1)-1,[4 分] ∴f(x2)-f(x1)=f(x2-x1)-1>0?f(x1)<f(x2), ∴f(x)在 R 上为增函数.[6 分] (2)解 ∵m,n∈R,不妨设 m=n=1, ∴f(1+1)=f(1)+f(1)-1?f(2)=2f(1)-1,[8 分] f(3)=4?f(2+1)=4?f(2)+f(1)-1=4?3f(1)-2=4, ∴f(1)=2,∴f(a2+a-5)<2=f(1),[10 分] ∵f(x)在 R 上为增函数,∴a2+a-5<1?-3<a<2, 即 a∈(-3,2).[12 分]

解函数不等式问题的一般步骤: 第一步:(定性)确定函数 f(x)在给定区间上的单调性;

第二步:(转化)将函数不等式转化为 f(M)<f(N)的形式; 第三步: (去 f)运用函数的单调性“去掉”函数的抽象符号“f”, 转化成一般的不等式或不等 式组; 第四步:(求解)解不等式或不等式组确定解集; 第五步:(反思)反思回顾.查看关键点,易错点及解题规范. 温馨提醒 本题对函数的单调性的判断是一个关键点.不会运用条件 x>0 时,f(x)>1,构造不 出 f(x2)-f(x1)=f(x2-x1)-1 的形式,便找不到问题的突破口.第二个关键应该是将不等式化 为 f(M)<f(N)的形式.解决此类问题的易错点:忽视了 M、N 的取值范围,即忽视了 f(x)所在 的单调区间的约束.

[方法与技巧] 1.利用定义证明或判断函数单调性的步骤 (1)取值;(2)作差;(3)定量;(4)判断. 2.确定函数单调性有四种常用方法:定义法、导数法、复合函数法、图象法,也可利用单调 函数的和差确定单调性. 3.求函数最值的常用求法:单调性法、图象法、换元法. [失误与防范] 1.分段函数单调性不仅要考虑各段的单调性,还要注意衔接点. 2.函数在两个不同的区间上单调性相同,一般要分开写,用“,”或“和”连接,不要用 “∪”. 提醒:完成作业 第二章 § 2.2

答案解析
基础知识 自主学习 知识梳理 1.(1)f(x1)<f(x2) f(x1)>f(x2) 上升的 下降的 (2)增函数 减函数 区间 D 2.(1)f(x)≤M (2)f(x0)=M (3)f(x)≥M (4)f(x0)=M 思考辨析 (1)× (2)√ (3)× (4)× (5)× 考点自测 1.A 1 1 [对于 A,y1= 在(0,+∞)内是减函数,y2=x 在(0,+∞)内是增函数,则 y= -x x x (6)×

在(0,+∞)内是减函数;B,C,D 选项中的函数在(0,+∞)上的均不单调.故选 A.] a a 2.C [由图象易知函数 f(x)=|2x+a|的单调增区间是[- ,+∞),令- =3,∴a=-6.] 2 2 3.B [由 y=ax 在(0,+∞)上是减函数,知 a<0; b 由 y=- 在(0,+∞)上是减函数,知 b<0. x ∴y=ax2+bx 的对称轴 x=- b <0, 2a

又∵y=ax2+bx 的开口向下, ∴y=ax2+bx 在(0,+∞)上是减函数.故选 B.] 4.2 2 5

2 2 解析 可判断函数 f(x)= 在[2,6]上为减函数,所以 f(x)max=f(2)=2,f(x)min=f(6)= . 5 x-1 5.(-∞,1]∪[2,+∞) 解析 函数 f(x)=x2-2ax-3 的图象开口向上,对称轴为直线 x=a,画出草图如图所示.

由图象可知函数在(-∞,a]和[a,+∞)上都具有单调性,因此要使函数 f(x)在区间[1,2]上具 有单调性,只需 a≤1 或 a≥2,从而 a∈(-∞,1]∪[2,+∞). 题型分类 深度剖析 例1 (1)A (2)D (3)(-∞,-1],[0,1]

解析 (1)y=ln(x+2)的增区间为(-2,+∞),

∴在区间(0,+∞)上为增函数. 1 (2)因为 y=log t 在定义域上是减函数,所以求原函数的单调递增区间,即求函数 t=x2-4 的 2 单调递减区间,结合函数的定义域,可知所求区间为(-∞,-2). (3)由题意知,当 x≥0 时,y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4;当 x<0 时,y=-x2-2x+3=-(x +1)2+4, 二次函数的图象如图.

由图象可知,函数 y=-x2+2|x|+3 在(-∞,-1],[0,1]上是增函数. 例 2 解 设-1<x1<x2<1, f(x)=a?

?x-1+1?=a?1+ 1 ?, ? ? x-1 ? ? x-1?

1 1 a?x2-x1? f(x1)-f(x2)=a?1+x -1?-a?1+x -1?= ? ? ? ? ?x1-1??x2-1?, 1 2 由于-1<x1<x2<1, 所以 x2-x1>0,x1-1<0,x2-1<0, 故当 a>0 时,f(x1)-f(x2)>0,即 f(x1)>f(x2), 函数 f(x)在(-1,1)上递减; 当 a<0 时,f(x1)-f(x2)<0,即 f(x1)<f(x2), 函数 f(x)在(-1,1)上递增. 综上,当 a>0 时,f(x)在(-1,1)上单调递减;当 a<0 时,f(x)在(-1,1)上单调递增. 引申探究 解 设-1<x1<x2<1, 则 f(x1)-f(x2)=
2 2 ax1 ax2 ax1x2-ax1-ax2x1+ax2 a?x2-x1??x1x2+1? - = = 2 2 2 x1 -1 x2 ?x2 ?x2 2-1 1-1??x2-1? 1-1??x2-1?

∵-1<x1<x2<1,
2 ∴x2-x1>0,x1x2+1>0,(x1 -1)(x2 2-1)>0.

又∵a>0,∴f(x1)-f(x2)>0, ∴函数在(-1,1)上为减函数. 跟踪训练 1 证明 方法一 任意取 x1>x2>0,则

a? ? a? a?x2-x1? a ? ?a a? ? f(x1)-f(x2)=? ?x1+x1?-?x2+x2?=(x1-x2)+?x1-x2?=(x1-x2)+ x1x2 =(x1-x2)?1-x1x2?.

a 当 a≥x1>x2>0 时,x1-x2>0,1- <0, x1x2 有 f(x1)-f(x2)<0,即 f(x1)<f(x2), a 此时,函数 f(x)=x+ (a>0)在(0, a ]上为减函数; x 当 x1>x2≥ a时,x1-x2>0,1- a >0, x1x2

有 f(x1)-f(x2)>0,即 f(x1)>f(x2), a 此时,函数 f(x)=x+ (a>0)在[ a,+∞)上为增函数; x a 综上可知,函数 f(x)=x+ (a>0)在(0, a ]上为减函数,在[ a,+∞)上为增函数. x a a 方法二 f′(x)=1- 2,令 f′(x)>0,则 1- 2>0, x x a 解得 x> a或 x<- a(舍).令 f′(x)<0,则 1- 2<0,解得- a<x< a. x ∵x>0,∴0<x< a. 故 f(x)在(0, a ]上为减函数,在[ a,+∞)上为增函数. 例3 解 1 1 7 (1)当 a= 时,f(x)=x+ +2 在[1,+∞)上为增函数,f(x)min=f(1)= . 2 2x 2

a (2)f(x)=x+ +2,x∈[1,+∞). x ①当 a≤0 时,f(x)在[1,+∞)内为增函数. 最小值为 f(1)=a+3. 要使 f(x)>0 在 x∈[1,+∞)上恒成立,只需 a+3>0,即 a>-3,所以-3<a≤0. ②当 0<a≤1 时,f(x)在[1,+∞)上为增函数,f(x)min=f(1)=a+3. 所以 a+3>0,a>-3,所以 0<a≤1. 综上所述,f(x)在[1,+∞)上恒大于零时,a 的取值范围是(-3,1]. 2 跟踪训练 2 (1)2 (2) 5 1 解析 (1)当 x≥1 时,函数 f(x)= 为减函数,所以 f(x)在 x=1 处取得最大值,为 f(1)=1;当 x x<1 时,易知函数 f(x)=-x2+2 在 x=0 处取得最大值,为 f(0)=2. 故函数 f(x)的最大值为 2. 1 ? 1 1 (2)由反比例函数的性质知函数 f(x)= - (a>0,x>0)在? ?2,2?上单调递增, a x 1? 1 ? ?a-2=2, ?f? = , 2 ? ? 2 所以? 即? 1 1 ? ?f?2?=2, ?a-2=2, 1 1 2 解得 a= . 5

例4 B

[∵函数 f(x)=log2x+

1 在(1,+∞)上为增函数,且 f(2)=0, 1-x

∴当 x1∈(1,2)时,f(x1)<f(2)=0, 当 x2∈(2,+∞)时,f(x2)>f(2)=0, 即 f(x1)<0,f(x2)>0.] 例5 C

?1??<f(1), [由 f(x)为 R 上的减函数且 f? ??x??

1? ? ?|x|<1, ?? >1, ? ? 得? x? 即? ∴-1<x<0 或 0<x<1.] ?x≠0. ? ? ?x≠0, 例6 3 (1)D (2)[ ,2) 2

解析 (1)当 a=0 时,f(x)=2x-3,在定义域 R 上是单调递增的,故在(-∞,4)上单调递增; 1 当 a≠0 时,二次函数 f(x)的对称轴为 x=- , a 因为 f(x)在(-∞,4)上单调递增, 1 1 所以 a<0,且- ≥4,解得- ≤a<0. a 4 1 综合上述得- ≤a≤0. 4 (2)由已知条件得 f(x)为增函数, 2-a>0, ? ? ∴?a>1, ? ??2-a?×1+1≤a, 3 3 解得 ≤a<2,∴a 的取值范围是[ ,2). 2 2 跟踪训练 3 (1)B (2)D 解析 (1)2=1+1=f(3)+f(3)=f(9),由 f(x)+f(x-8)≤2,可得 f[x(x-8)]≤f(9),因为 f(x)是 x>0, ? ? 定义在(0,+∞)上的增函数,所以有?x-8>0, 解得 8<x≤9. ? ?x?x-8?≤9, (2)由 f(x)=-x2+2ax 在[1,2]上是减函数可得[1,2]?[a,+∞),∴a≤1. 1 ∵y= 在(-1,+∞)上为减函数, x+1 a ∴由 g(x)= 在[1,2]上是减函数可得 a>0, x+1 故 0<a≤1.



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