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2014广西高二“创新杯”数学竞赛决赛试题参考答案及评分标准


2014 广西高二“创新杯”数学竞赛决赛试题及答案
考试时间:2014 年 11 月 2 日(星期日)8:30-10:30 一、选择题(每小题 6 分,共 36 分,请将答案的序号填写在第二页答题区选择题相应题号后 面的括号内) 1.在直角梯形 ABCD 中,AB∥CD,AD⊥AB. ∠B=45 0 ,AB=2CD=2,M 为腰 BC 的中点, 则 MA ? MD ?

( (A)4 ) (B)3 (C)2 (D)1

?3 1? 答案:C。解析:以 AB,AD 建 XY 坐标系,则 A?0,0?, D?0,1?, B?2,0?, C ?1,1?, M ? , ? 所以 ?2 2?
9 1 ? 3 1? ? 3 1? MA ? ? ? ,? ?, MD ? ? ? , ? ,故 MA ? MD ? ? ? 2 . 4 2 ? 2 2? ? 2 2? (本题由柳州一中蒋小玲教师提供) 。
x2 ? 2 lg 2 x ? x ? lg x ? 1( x ? 0) 的最小值是( 8 (B)0 (C)1 (D)不存在

2.函数 f ( x) ?
(A) ?1



答案:A。解析:由于 f ( x) ?

x2 1 ? 2 lg 2 x ? x ? lg x ? 1 ? ( x ? 4 lg x) 2 ? 1 ? ?1 , 8 8

且直线 y ? ? x 与 y ? 4 lg x 的图像有交点,∴函数的最小值为 ?1 .

3.已知 2 tan ? ? tan 2? , tan ? ? ? ? ? ? 2 2 ,则 tan ? 等于(
(A) ?
2 2



(B) ? 2

(C)

3 3

(D) 3

答案:B。解析:令 tan ? ? u .由 tan ? ?

1 tan ? u ,得 ? tan 2? ? 2 2 1 ? tan ? 1 ? u 2

u ?u 2 tan ? ? tan ? ? 1? u ? u 3 .由 u 3 ? ?2 2, 得u ? tan ? ? ? 2. tan( ? ? ? ) ? u 1 ? tan ? tan ? 1 ? u ? 1? u2 (本题由恭城中学韦兴洲老师提供) 4.将一根长为 1 的线段折成三段,则这三段能构成三角形的概率是(
(A) )

1 2

(B)

1 4

(C)

1 8

(D)
1

1 16

答案:B。解析:解析:设长度为 1 的线段随机折成 a, b, c ? 1 ? (a ? b) 三段, a, b, c ? (0,1) 且
1 ? ?a ? b ? 2 ? a ? b ? c ? a ? b ? 1 ? ( a ? b) ? 1 ? ? ? a ? b ? 1 。 若三段能构成三角形,则有 ?b ? c ? a ? ?b ? 1 ? (a ? b) ? a ? ?a ? ,故所求概 2 ?c ? a ? b ?1 ? (a ? b) ? a ? b ? ? ? 1 ? ?b ? 2 ?

1 1 1 率等于由直线 a ? , b ? , a ? b ? 围成的三角形面积与由直线 a ? b ? 1 、x 轴、y 轴围成的面 2 2 2 1 1 1 积的比,即 p ? ? ? 。 8 2 4 ? x3 ? 12 x ? 8 y ? 0 ? 5.已知 x, y ? R ,且 ? 3 x ,则在平面直角坐标系中,点 ( x, y ) 对应的轨迹图 x ?sin ? 3sin ? y ? 0 ? 2 2
形为( ) (B)两个点 (D)除 A、 B、 C 外的其他图形
3 3

(A)一个点 (C)三个点

x x x x ?x? ?x? 答案:A。解析: x3 ? 12 x ? 8 y ? 0 变形为 ? ? ? 3 ? ? y ? 0 ,则 ? ? ? 3 ? ? sin 3 ? 3sin , 2 2 2 2 ?2? ?2?
构造函数 f ( x) ? x3 ? x ,则 f ( x) 在 R 单调递增,从而 sin

x x ? , 2 2

? x ? 0 ,? y ? 0 ,从而点 ( x, y ) 对应的轨迹图形为一个点.

? x 2 ? x, x ? ? 0,1? ? ? 3 x? , 6.定义域为 R 的函数 f ( x ) 满足 f ( x ? 2) ? 2 f ( x ) ,当 x ? ? 0, 2 ? 时, f ( x ) ? ? ?1? 2 ?? ? ? , x ? ?1, 2 ? ? ?2? ?
若 x ? ? ?4, ?2 ? 时, f ( x ) ? (A) ? ?2,0 ? ? ? 0,1? (C) ? ?2,1?

t 1 ? 恒成立,则实数 t 的取值范围是( 4 2t
(B) ? ?2,0 ? ? ?1, ?? ? (D) ? ??, ?2 ? ? ? 0,1?



1 答案:D。解析:当 x ? ?0,1? 时,易求得 f ( x ) 的最小值为 ? ;当 x ? ?1, 2 ? 时,易求得 f ( x ) 的最 4
小值为 ?1 ,故当 x ? ? 0, 2 ? 时, f ( x ) 的最小值为 ?1 .
2

x ? ? ?4, ?2 ? ? x ? 4 ? ?0, 2 ? ,? f ( x ) ?

1 1 f ( x ? 2) ? f ( x ? 4) ,所以当 x ? ? ?4, ?2 ? 时, f ( x ) 的 2 4

1 1 t 1 t2 ? t ? 2 最小值为 ? . 因此 ? ? ? ? ? 0 ? t ? ?2或0 ? t ? 1 。 4 4 4 2t t
二、填空题(每小题 9 分,共 54 分,请将答案填写在第二页答题区填空题相应题号后面的横 线上)

1.从 1, 2,3,? , 2014 这 2014 个整数中随机抽取一个整数,抽到的数能被 6 整除但不能被 4 整
除的概率为 答案: .

84 ? 2014 ? ? 2014 ? 。解析:能被 6 整除的数共有 ? 个,能被 12 整除是数有 ? 335 ? 167 ? 1007 ? 6 ? ? ? 12 ? ? 168 84 。 ? 2014 1007

个。故能被 6 整除但不能被 4 整除是数共有 335 ? 167 ? 168 ,所求概率为 P ?

已知三棱锥 P ? ABC 中, PA⊥底面 ABC, ∠ABC=120?, PA=2AB=2BC=2。 若三棱锥 P?ABC 2. 内接于球,则球的体积为 . 答案:

8 2 ? 。解析:将三棱锥补形为正六棱柱,即可求得球的半径为 2 。 3

3.在边长为 1 的正三角形 ABC 的边 AB、AC 上分别取 D、E 两点,使沿线段 DE 折叠三角 形时,顶点 A 正好落在边 BC 上.AD 的长度的最小值为 .
答案: 2 3 ? 3 。解析:设 AD ? x, ?ADE ? ? ,作△ADE 关于 DE 的对称图形,A 的对称点 G 落在 BC 上。在△DGB 中,

x sin

?
3

?

1? x

sin(2? ? ) 3

?

?x?

3

3 ? 2sin(2? ? ) 3

?

? 3 当 sin(2? ? ) ? 1 时,即 xmin ? ? 2 3 ? 3。 3 2? 3
,则 a1 ? a100 ? 4.数列 {an } 中, ak ? ak ?1 ? 2k ? 1 ( k ? N ? )
99 99



答案:101。解析: a1 ? a100 ? ? (ak ? ak ?1 )(?1) k ?1 ? ? (2k ? 1)(?1) k ?1 ? (3 ? 5) ? (7 ? 9) ? ? ? 199
k ?1 k ?1

? ?2 ? 49 ? 199 ? 101 。

5 .已知集合 A ? {( x, y ) | y ? x 2 ? 2bx ? 1}, B ? {( x, y ) | y ? 2a( x ? b)} ,其中 a, b 为负常数,且
A ? B ? ? ,则对任意 ? ? [0, ] , (a ? cos? ) 2 ? (b ? sin ? ) 2 的取值范围是 2
3

?



答案: (1,4) 。解析: A ? B ? ? 知,在方程 x 2 ? 2bx ? 1 ? 2a( x ? b) 即 x 2 ? 2(b ? a) x ? 1 ? 2ab ? 0 中 ? ? 0 得 a2 ? b2 ? 1, 故点 (a, b) 在圆面 a 2 ? b 2 ? 1 (不含边界) 的第三象限上, 而点 (cos ? , sin ? ) 在圆 x 2 ? y 2 ? 1 的第一象限的四分之一圆周上, 画图可得 (a ? cos? ) 2 ? (b ? sin ? ) 2 的取值范围为 (1,4) 。

6.方程 lg 2 x ? [lg x] ? 2 ? 0 的实根个数为
斯数)

.(注: [ x] 为不超过 x 的最大整数,即高

答案:3。解析: 。由已知有 lg 2 x ? 2 ? [lg x] ? lg x ,解得 ? 1 ? lg x ? 2 。 当 ? 1 ? lg x ? 0 时, [lg x] ? ?1 ,代入原方程可解得 lg x ? ?1 或 lg x ? 1 (舍去),即 x ?

1 ; 10

当 0 ? lg x ? 1 时, [lg x] ? 0 ,代入原方程可解得 lg x ? ? 2 ,均与 ? 1 ? lg x ? 0 矛盾,无解; 当 1 ? lg x ? 2 时, [lg x] ? 1 ,代入原方程可解得 lg x ? 3 或 lg x ? ? 3 (舍去),即 x ? 10 3 ; 当 lg x ? 2 时, [lg x] ? 2 ,适合原方程,得 x ? 100 ;故原方程有 3 个根。

三、 (20 分)已知 ?ABC 的高线 AD,BE 交于点 H, ?ABC 、 ?ABH 的外接圆分别为圆 O、
圆 O1 ,求证:这两个圆的半径相等。

A O1 H
解析:作直径 AP,AQ,连 PB,QB, 则 ?PBA ? ?QBA ? 180? , 所以 P,B,Q 三点共线。 因为 H 为垂心, 所以 D、C、E、H 四点共圆, 所以 ?AHE ? ?C ? ?Q , 而 A、P、B、H 四点共圆, 所以 ?AHE ? ?P ,所以 ?Q ? ?P , 所以 AP=AQ,即这两个圆半径相等。 …………20 分。
4

E O D C

B

…………5 分 …………10 分 …………15 分
P B O1 A E H O D Q C

四、 (20 分)已知正项数列 {an } 满足: (1)a1 ? 2015 , (2)a3 , a4 为整数, (3)数列 {nan ? n 2 }
是公比不大于 10 的等比数列。求数列 {an } 的通项公式。 解:由条件(3)知 nan ? n 2 ? cq n?1 ,于是 an ?

cq n?1 ? n, n
…………5 分

由条件 1 得 c ? 2014 ,因此 an ?

2014q n?1 ? n, n

因为 a3 ?

2014q 2 2014q 2 ? 3 是整数,所以 是整数, 3 3
…………10 分

因此 3 | q 2 ,则 3 | q ,

a4 ?

1007q 3 2014q 3 1007q 3 ?4? ? 4 是整数,所以 是整数, 2 4 2
…………15 分

因此 2 | q 3 ,则 2 | q , 从而 q 是 6 的倍数,因为 q 不大于 10,所以 q ? 6 , 故 an ?

2014 ? 6 n?1 ? n(n ? 1,2, ?) 。 n

…………20 分

五、 (20 分)已知 a, b ? R ,关于 x 的方程 x 4 ? ax3 ? 2 x 2 ? bx ? 1 ? 0 有一个实根,求 a 2 ? b 2 的
最小值. 解: 即 设 r 为方程 x 4 ? ax3 ? 2 x 2 ? bx ? 1 ? 0 的实根,则有 r 4 ? ar 3 ? 2r 2 ? br ? 1 ? 0 ,

(r 2 ? 1) 2 ? r (ar 2 ? b) ? 0 .
…………5 分 …………10 分

显然 r ? 0 . 由柯西不等式知 (ar 2 ? b) 2 ? (a 2 ? b 2 )(r 4 ? 1) , 于是 a 2 ? b 2 ?
(ar 2 ? b) 2 (r 2 ? 1) 2 2 1 (r 2 ? 1) 4 (r 4 ? 2r 2 ? 1) 2 ? [ ? ] ? ? ? r4 ?1 r r 4 ? 1 r 2 (r 4 ? 1) r 2 (r 4 ? 1)

?

(r 4 ? 1) 2 ? 4r 2 (r 4 ? 1) ? 4r 4 r 4 ? 1 4r 2 ? 2 ? 4 ?4 r 2 (r 4 ? 1) r r ?1
5

r 4 ? 1 4r 2 4?2 ? ?4?8 r2 r4 ?1
当且仅当

…………15 分

r 4 ? 1 4r 2 a ? 4 且 ? r 2 时等号成立,此时 r 2 ? 1 , a ? b . 2 r r ?1 b

?a ? b ? ?2, ?a ? b ? 2, 结合 (r 2 ? 1) 2 ? r (ar 2 ? b) ? 0 可求得 ? 或? ?r ? 1, ?r ? ?1.
因此 a 2 ? b 2 的最小值为 8. …………20 分

6


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