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1.5充分条件与必要条件


三、充分条件与必要条件
1.5 充分条件,必要条件
知识点 1 充分条件和必要条件
1.充分条件和必要条件的概念 (1)充分条件 如果 α ? β,则称 α 为 β 的充分条件,这里指的是使 β 成立,具备了 α 条件就足够了, “充分”是足够的意思。如果从命题的角度来理解,命题成立,即命题成立所具备的条件是 充分的。从集合的角度来理解,由 α ?

β,要使任意 x∈β,只要 x∈α 就足够了。 (2)必要条件 如果 β ? α, 则称 α 为 β 的必要条件。 这里指的是 α ? β , 即不具备 α, 则 β 必不成立, 因此使 β 成立,必须具备 α,必要即必须具备的意思。从命题角度来理解,逆命题成立,命 题中的条件为必要的。从集合的角度来理解,当 β ? α 时,如果任一 x?α,那么 x?β,也就 是说,为使 x∈β,至少应使 x∈α。 【注意】充分条件是“有它即可”,必要条件是“非它不行”。 2.充分条件与必要条件的判定 充分条件与必要条件是对于一个真命题的条件与结论而言的, 即真命题的条件是结论的 充分条件,真命题的结论是条件的必要条件。在判别充分条件或必要条件时,要有命题证明 的意识,即肯定充分(或必要)条件要证明;否定充分(或必要)条件要举反例;判别充分 条件还是必要条件,还可利用“子集”与“推出关系”解决。 【例 1】“x=-3”是“x +x-6=0”的( A ) (A)充分且非必要条件 (C)充分且必要条件 (B)必要且非充分条件 (D)非充分且非必要条件
2

【点拨】充分条件与必要条件是以真命题为前提的,解题时应注意。 【例 2】用“充分”、“必要”填空 (1)“两个角都是直角”是“两个角互补”的 充分 条件; (2)“m=3”是“|m|=3”的 充分 条件; (3)“x>1”是“x +x-2>0”的
2

充分 条件;

(4)“k>0”是“直线 y=kx+b 过第一象限”的 充分 条件.

【点拨】要判定 α 是 β 的充分条件,还是必要条件,就是要判断“若 p,则 q”或“若 q, 则 p”的真假性,然后根据充分条件与必要条件的定义加以判定,真命题能够进行严谨的证 明,假命题只要举出反例即可。

练习 1.5(1)
1.回答下列问题: (1)“四边形对角线相等”是“四边形为矩形”的充分条件吗? (2)“四边形为矩形”是“四边形的两组对边分别相等”的充分条件吗? (3)“四边形为矩形”是“四边形为正方形”的必要条件吗? (4)“四边形为正方形”是“四边形为矩形”的必要条件吗? 2.“整数的个位数是 5”是“整数是 5 的倍数”的条件; “整数是 5 的倍数”是“整数是 25 的倍数”的条件. 3.从①x=1;②x=-1;③(x-1)(x+1)(x-3)=0 中,选出适合下列条件者,用代号填空: (1)x =1 是的充分条件; (2)x =1 是的必要条件.
2 2

知识点 2 充要条件
1.充要条件的概念 充要条件的归纳总结:如果 α ? β 且 β ? α,则称 α 是 β 的充分必要条件(简称“充 要条件”)。从命题角度来理解,原命题和逆命题(或否命题与逆否命题)都成立,那么就 说,命题中的条件是充要条件。从集合的角度来理解:任一 x∈α ? x∈β,∴α ? β,且任 一 x∈β ? x∈α,∴β ? α,即 α=β。 2.条件的分类 (1)α 是 β 的充分非必要条件,α ? β 但 β 不能推出 α,即等价于 α? β; (2)α 是 β 的必要非充分条件,β ? α 但 α 不能推出 β,即等价于 β? α; (3)α 是 β 的充要条件,α ? β; (4)α 既不是 β 的充分条件也不是 β 的必要条件,α 不能推出 β 且 β 不能推出 α。 【思考】数学中,有时说证明条件α对于结论β的“充分性”成立,这就是说证明α是β的 充分条件。“必要性”成立应如何表述,请同学自己思考。 【例 3】已知实系数一元二次方程 ax +bx+c=0(a≠0),“b -4ac=0”是“方程 ax +bx+c=0 有两个相等的实数根”的什么条件?为什么?
2 2 2

欲证明条件α是结论β的充分必要条件,可分两步来证: (1)证明充分性:条件α ? 结论β (2)证明必要性:结论β ? 条件α 【答案】充要条件 【例 4】关于 x 的方程 ax+b=0 的解集为 R 的充要条件是. 【解析】ax+b=0 ? ax=-b 当 a≠0,则原方程有唯一解 x=-

b ; a

当 a=0 且 b=0,则原方程的解集为 R; 当 a=0 且 b≠0,则原方程无解. 【答案】a +b =0
2 2

练习 1.5(2)
1.“四边形 ABCD 的四个角都是直角”是“四边形 ABCD 为矩形”的条件;“四边形 ABCD 的 四个角都是直角”是“四边形 ABCD 为平行四边形”的条件;“四边形 ABCD 的四个角都是直 角”是“四边形 ABCD 为正方形”的条件. 2.设 x、y∈R,请问下列各式中哪些是“x、y 都不为零”的充分条件?哪些是“x、y 都不 为零”的必要条件?哪些是“x、y 都不为零”的充要条件? (1)x≠0 且 y≠0 是“x、y 都不为零”的条件; (2)x +y >0 是“x、y 都不为零”的条件; (3)xy>0 是“x、y 都不为零”的条件; (4)xy≠0 是“x、y 都不为零”的条件; (5)x +y ≠0 是“x、y 都不为零”的条件. 3.写出(x-1)(x-2)等于 0 的充要条件:.
2 2 2 2

感知高考
(2009·上海)“-2≤a≤2”是“实系数一元二次方程 x +ax+1=0 有虚根”的( (A)必要不充分条件 (C)充要条件 (B)充分不必要条件 (D)既不充分也不必要条件
3 2



(2009·天津)设 x∈R,则“x=1”是“x =x”的( (A)充分不必要条件 (C)充要条件 (B)必要不充分条件



(D)既不充分也不必要条件

思维误区点拨
本节知识在理解和运用中常出现的错误是: 1.不能正确判断充分条件、必要条件和充要条件; 2.混淆充分条件与必要条件的概念与命题的关系. 【例 1】两实数 α、β,α>2,β>2 的充要条件是什么? 【例 2】关于充分条件与必要条件有下列叙述: ①若 α 是 β 的充分条件,则命题“若 α,则 β”是真命题; ②若 α 是 β 的必要条件,则命题“若 α,则 β”是真命题; ③若 α 是 β 的充分条件,则命题“若 α ,则 β ”是真命题; ④若 α 是 β 的必要条件,则命题“若 α ,则 β ”是真命题; 所有正确叙述的序号是. 【点拨】充分条件与必要条件的定义与真命题有着直接的联系,而四种命题可以相互转化, 特别是原命题与逆否命题等价, 逆命题与否命题等价, 这为条件与结论之间的充分条件与必 要条件判定提供了依据。

课后练习
1.设有全集 U,集合 P、Q、M 是 U 的子集,M≠?,则 P? Q 的一个充分非必要条件是( (A)Q? P (B)CUQ? CUP (C)P∩Q? P (D)(P∪M)? Q )

2.证明:三角形是直角三角形的充要条件是一边上的中线等于这边长的一半.

3.已知 ab≠0,求证:a+b=1 的充要条件是 a +b +ab-a -b =0.

3

3

2

2

4.已知 a>0,求证:x >a 的充要条件是|x|> a .

2

5.如图,已知:矩形 ABCD,AD=a,AB=b,P 是 BC 上的点,探求使∠APD=90°的充要条件.

6.求证:方程 ax +2x+1=0 有且只有一个负实数根的充要条件是 a≤0 或 a=1.

2

7.已知关于 x 的一元二次方程(m∈Z):①mx -4x+4=0;②x -4mx+4m -4m-5=0,求方程①和 ②都有整数解的充要条件.

2

2

2

8.已知 a、b、c 都为实数,求证:a +b +c =ab+bc+ca 的充要条件是 a=b=c.

2

2

2


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