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【全程复习方略】2014-2015学年高中数学(人教A版选修2-1)课时作业 2.2.2.1椭圆的简单几何性质


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课时提升作业(十二)
椭圆的简单几何性质

(30 分钟 50 分) 一、选择题(每小题 3 分,共 18 分) 1.椭圆以两条坐标轴为对称轴,一个顶点是(0,13),另一个顶点是(-10,0),则焦 点坐标为( A.(±13,0) C.(0,±13) ) B.(0,±10) D.(0,± )

【 解 析 】 选 D. 由 条 件 知 , 椭 圆 的 焦 点 在 y 轴 上 , 且 a=13,b=10, 所 以 c2=a2-b2=169-100=69,所以焦点坐标为(0,〒 2.椭圆 + =1 与 A.有相等的长、短轴 C.有相同的焦点 【解析】选 B.对于椭圆 c2=(25-k)-(9-k)=16, 焦点在 y 轴上,所以它们有相等的焦距. 3.(2014?孝感高二检测)若椭圆的长轴长、短轴长和焦距成等差数列,则该椭圆 的离心率是( ) + + =1(0<k<9)的关系为( B.有相等的焦距 D.有相等的离心率 =1(0<k<9), ). )

A.

B.

C.

D.

【解析】选 B.由椭圆的长轴长、短轴长和焦距成等差数列,所以 2〓2b=2a+2c, 即 2b=a+c,所以 5c2-3a2+2ac=0,等式两边同除以 a2 得 5e2+2e-3=0,解得 e= 或 e=-1(舍). 4.(2014?茂名高二检测)已知椭圆 + =1 及以下 3 个函数:①f(x)=x; ②f(x)=sinx;③f(x)=cosx,其中函数图象能等分该椭圆面积的函数个数有 ( A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.0 个 )

【解析】选 B.我们知道:①f(x)=x,②f(x)=sinx 都是奇函数,其图象关于原点对 称,而椭圆 + =1 的图象也关于原点对称,故①②函数图象能等分该椭圆面积; 而③f(x)=cosx 是偶函数,其图象不关于原点对称,故 f(x)=cosx 的图象不能等分 该椭圆面积. 综上可知:只有①②满足条件. 5.设 AB 是椭圆 + =1(a>b>0)的长轴,若把线段 AB 分为 100 等份,过每个分点作 AB 的垂线 , 分别交椭圆的上半部分于点 P1,P2, … ,P99,F1 为椭圆的左焦点 , 则 |F1A|+|F1P1|+|F1P2|+…+|F1P99|+|F1B|的值是( A.98a B.99a C.100a ) D.101a

【 解 析 】 选 D. 设 F2 为 椭 圆 的 右 焦 点 , 根 据 椭 圆 的 定 义 及 对 称 性 有:|F1P1|=|F2P99|,|F1P2|=|F2P98|,…,|F1P49|=|F2P51|, 因此|F1P1|+|F1P99|=|F1P2|+|F1P98|=…=|F1P49|+|F1P51|=|F1A|+|F1B|=2a. 故结果应为 50〓2a+|F1P50|=101a. 【误区警示】本题在求解过程中,易忽视|F1P50|,结果选 C 而致错.

6.(2014?吉林高二检测)椭圆 + A.-21 C.- 或 21

=1 的离心率为 ,则 k 的值为( B.21 D. 或 21

)

【解析】选 C.当椭圆的焦点在 x 轴上时,a2=9,b2=4+k,得 c2=5-k,由 = k=- ; 当焦点在 y 轴上时,a2=4+k,b2=9,得 c2=k-5, 由 = = ,得 k=21.

= ,得

二、填空题(每小题 4 分,共 12 分) 7.(2014?荆州高二检测)已知椭圆的中心在坐标原点,焦点在 y 轴上,且长轴长 为 12,离心率为 ,则椭圆方程为 【解析】因为椭圆的焦点在 y 轴上, 所以设椭圆的方程为 + =1(a>b>0). 由 得 .

由 a2=b2+c2,得 b2=32. 故椭圆的方程为: + =1. 答案: + =1 8.(2013 ?上海高考 ) 设 AB 是椭圆 Γ 的长轴 , 点 C 在 Γ 上 , 且∠ CBA= , 若 AB=4,BC= ,则Γ 的两个焦点之间的距离为 .

【解析】如图所示.以 AB 的中点 O 为坐标原点,建立如图所示的坐标系.

设 D 在 AB 上,且 CD⊥AB,AB=4,BC=

,∠CBA= ? CD=1,DB=1,AD=3? C(1,1)且 .

2a=4,把 C(1,1)代入椭圆标准方程得 + =1,a2=b2+c2? b2= ,c2= ? 2c= 答案:

9.若点 O 和点 F 分别为椭圆 + =1 的中心和左焦点,点 P 为椭圆上的任意一点, 则 ? 的最大值为 .

【解题指南】设 P(x0,y0),利用数量积的坐标运算,结合椭圆的范围解出. 【解析】由题意,F(-1,0),设点 P(x0,y0),则有 + =1,解得 =(x0+1,y0), ? =(x0,y0),所以 =x0(x0+1)+3 = +x0+3,此二次函数对应的抛物线的 ? 取得最大值 +2+3=6. =3 ,因为

=x0(x0+1)+

对称轴为 x0=-2,因为-2≤x0≤2,所以当 x0=2 时, 答案:6

【误区警示】解题中容易不考虑 x0 的取值范围,而直接求出二次函数的最值,而 导致错误. 三、解答题(每小题 10 分,共 20 分) 10.设椭圆的中心在原点,焦点在 x 轴上,离心率 e= 上的点的最远距离为 ,求这个椭圆方程. ,已知点 P 到这个椭圆

【解题指南】先设椭圆方程为 + =1(a>b>0),M(x,y)为椭圆上的点, 由离心率得 a=2b,利用两点间的距离公式表示出|PM|2,若 0<b< ,则当 y=-b 时

|PM|2 最大,这种情况不可能,若 b≥ ,则当 y=- 时 4b2+3=7,从而求出 b 值,最后求 得所求方程. 【解析】设椭圆方程为 + =1(a>b>0),M(x,y)为椭圆上的点,由 = |PM|2=x2+ =-3 +4b2+3(-b≤y≤b), =7, 得 a=2b,

若 0<b< ,则当 y=-b 时|PM|2 最大,即 所以 b= - > ,故矛盾.

若 b≥ ,则当 y=- 时,4b2+3=7,b2=1,从而 a2=4.所求方程为 +y2=1. 11.已知 F1,F2 是椭圆的两个焦点,P 为椭圆上一点,∠F1PF2=60°. (1)求椭圆离心率的范围. (2)求证:△F1PF2 的面积只与椭圆的短轴长有关. 【解析】(1)设椭圆方程为 + =1(a>b>0), |PF1|=m,|PF2|=n,则 m+n=2a. 在△PF1F2 中,由余弦定理可知, 4c2=m2+n2-2mncos60°=(m+n)2-3mn =4a2-3mn≥4a2-3? =4a2-3a2=a2(当且仅当 m=n 时取等号). 所以 ≥ ,即 e≥ . 又 0<e<1,所以 e 的取值范围是 (2)由(1)知 mn= b2, 所以 = mnsin60°= b2, .

即△PF1F2 的面积只与短轴长有关.

(30 分钟 50 分) 一、选择题(每小题 4 分,共 16 分) 1.已知椭圆 2x2+y2=2 的两个焦点为 F1,F2,且 B 为短轴的一个端点,则△F1BF2 的外 接圆方程为( A.x2+y2=1 C.x2+y2=4 ) B.(x-1)2+y2=4 D.x2+(y-1)2=4

【解析】 选 A.由 2x2+y2=2 得 x2+ =1,所以 b=1,c=1.F1(0,-1),F2(0,1),取 B(1,0), 故△F1BF2 外接圆方程为 x2+y2=1. 2.F,A 分别为椭圆的一个焦点和顶点,若椭圆的长轴长是 6,且 cos∠OFA= ,则椭 圆的标准方程为( A. + =1 B. + =1 C. + =1 或 + =1 D. + =1 或 + =1 【解析】选 D.当焦点在 x 轴上时,cos∠OFA= 因为 2a=6,所以 a=3,c=2, 所以 b2=a2-c2=9-4=5. 所以椭圆方程为 + =1, 同理,当焦点在 y 轴上时,椭圆方程为 + =1. 3.(2014 ?邯郸高二检测 ) 已知椭圆 + =1(a>b>0) 的离心率 e= , 右焦点为 ) = = = . )

F(c,0),方程 ax2+bx-c=0 的两个实根 x1,x2,则点 P(x1,x2)(

A.必在圆 x2+y2=2 内 B.必在圆 x2+y2=2 上 C.必在圆 x2+y2=2 外 D.以上三种情况都有可能 【 解 析 】 选 A. 因 为 x1,x2 是 方 程 ax2+bx-c=0 的 两 个 实 根 , 所 以 x1+x2=- ,x1?x2=- =- . 由 + =(x1+x2)2-2x1x2= +1,

因为 a>b,所以 <1,所以 +1<2, 故点 P(x1,x2)在圆 x2+y2=2 内. 4.(2014?衡水高二检测)已知 F1,F2 是椭圆的两个焦点,满足 M 总在椭圆内部,则椭圆离心率的取值范围是( A.(0,1) C. B. D. ) ? =0 的点

【解析】选 C. 设椭圆的长半轴长、短半轴长、半焦距分别为 a,b,c, 因为 ? =0,

所以 M 点的轨迹是以原点 O 为圆心,半焦距 c 为半径的圆. 又 M 点总在椭圆内部, 所以该圆内含于椭圆,即 c<b,c2<b2=a2-c2, 故 e2< ,所以 0<e< .

二、填空题(每小题 5 分,共 10 分) 5.(2014?辽宁高考)已知椭圆 C: + =1,点 M 与 C 的焦点不重合,若 M 关于 C 的 焦点的对称点分别为 A,B,线段 MN 的中点在 C 上,则 + = .

【解析】根据题意,椭圆的左右焦点分别为 F1(-

,0),F2(

,0),由于点 M 的不

确定性 , 不妨令其为椭圆的左顶点 M(-3,0), 线段 MN 的中点为椭圆的上顶点 H(0,2),则 M 关于 C 的焦点的对称点分别为 A(-2 N(3,4), 据两点间的距离公式得 + 答案:12 6.已知 F 是椭圆 C 的一个焦点,B 是短轴的一个端点,线段 BF 的延长线交椭圆 C 于点 D,且 =2 ,则椭圆 C 的离心率为 . = + =12. +3,0),B(2 +3,0),而点

【解析】如图,不妨设椭圆方程为 + =1(a>b>0),B(0,b)为上顶点,F(c,0)为右 焦点,设 D(x,y), 由 即 解得 所以 D . + . =1, =2 ,得(c,-b)=2(x-c,y),

因为点 D 在椭圆上,所以 解得 a2=3c2,即 e2= ,所以 e= 答案:

【变式训练】(2013?江苏高考改编)在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C 的标准方 程为 + =1(a>0,b>0),右焦点为 F,直线 l 方程为:x= ,短轴的一个端点为 B,设

原点到直线 BF 的距离为 d1,F 到 l 的距离为 d2,若 d2= 为 .

d1,则椭圆 C 的离心率

【解题指南】利用 d2=

d1 构建关于参数 a,b,c 的关系式.

【解析】由原点到直线 BF 的距离为 d1 得 d1= ,因 F 到 l 的距离为 d2 故 d2= -c, 又 d2= ? 1-e2= 答案: 三、解答题(每小题 12 分,共 24 分) 7.已知椭圆 x2+ =1(0<b<1)的左焦点为 F,左、右顶点分别 为 A,C, 上顶点为 B, 过 F,B,C 三点作☉ P, 且圆心在直线 x+y=0 上,求此椭圆的方程. 【解题指南】根据圆的性质,得圆心 P 为 FC 的垂直平分线与 BC 的垂直平分线的 交点,因此分别算出 FC,BC 的垂直平分线方程,得到它们的交点为 P 代入直线 x+y=0 解出 b2= ,即可得出此椭圆的方程. 【解析】设圆心 P 的坐标为(m,n),因为☉P 过点 F,B,C 三点,所以圆心 P 既在 FC 的垂直平分线上,也在 BC 的垂直平分线上, FC 的垂直平分线方程为 x= 因为 BC 的中点为 . ① , d1,所以 -c= e2,又 = ? a2-c2= ,解得 e= .

,kBC=-b, ② ,n= + =0, .

所以 BC 的垂直平分线方程为 y- = 由①,②联立,得 x= ,y= ,即 m=

因为 P(m,n)在直线 x+y=0 上,所以 可得(1+b)(b-c)=0,

因为 1+b>0,所以 b=c,结合 b2=1-c2 得 b2= , 所以椭圆的方程为 x2+ =1,即 x2+2y2=1. ? 的取

8.已知椭圆 + =1 的焦点为 F1,F2,点 P 是椭圆上的一个动点,求 值范围. 【解析】由 + =1,得 F1(设 P(x0,y0),则 =( 所以 =(,0),F2( ,0),

-x0,-y0),

-x0,-y0). ? =( -5)+ =4-1, ≤5, . ① ,代入①,

又 + =1,所以 所以 因为 0≤ 所以-1≤ 所以 ? ? =

≤9,所以 0≤ ? ≤4,

∈[-1,4]. ≥0 得出 ? ≥-1 的错误,错误的原

【误区警示】本题易出现只注意到

因是忽视了点 P(x0,y0)在椭圆上,x0 应满足 x0∈[-3,3]. 【变式训练】已知椭圆 + =1(a>b>0),若椭圆的离心率 e 满足 ≤e≤ ,且

+ =2,求椭圆长轴长的取值范围. 【解题指南】由 + =2 把 b2 用 a2 表示,代入关于离心率的不等式组中,求出 2a 的范围. 【解析】由 + =2 得 b2= 所以 e2= = 又因为 ≤e≤ =1- , ,所以 ≤1- ≤ , ①,

结合①b2= 所以 ≤a2≤ ,

可得 ≤ ≤a≤ ,即 ,

≤ , ≤2a≤ ]. ,

故长轴长的取值范围是[

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