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2006年普通高等学校招生全国统一考试(浙江卷)文科数学


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2006 年普通高等学校招生全国统一考试(浙江卷)

数学(文科)
本试题卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分。全卷共 4 页,第Ⅰ卷 1 至 2 页,第Ⅱ卷 3 至 4

页, 满分 150 分,考试时间 120 分钟。 请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。

第Ⅰ卷(共 50 分)
注意事项: 1.答第Ⅰ卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题 纸上。 2.每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮 擦干净后,再选涂其它答案标号,不能答在试题卷上。 参考公式: 如果事件 A、 B 互斥,那么 P ( A ? B ) ? P ( A ) ? P ( B ) 如果事件 A、 B 相互独立,那么 P ( A ?B ) ? P ( A ) ?P ( B ) 如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 p ,那么 n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率:
Pn ( k ) ? C n p (1 ? p )
k k n?k

球的表面积公式 S ? 4 ? R ,其中 R 表示球的半径。
2

一.选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每个小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的。 1.设集合 A ? ? x ? 1 ≤ x ≤ 2 ? , B ? ? x 0 ≤ x ≤ 4 ? ,则 A ? B ? (
2 A. ? 0, ? 2 B. ?1, ?
4



4 C. ? 0, ?
3

4 D. ?1, ?

2.在二项式 ? x ? 1 ? 的展开式中,含 x 的项的系数是( A. 15
2



B. 2 0

C. 3 0 )

D. 4 0

3.抛物线 y ? 8 x 的方程是( A. x ? ? 2 B. x ? ? 4

C. y ? ? 2

D. y ? ? 4

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4.已知 lo g 1 m ? lo g 1 n ? 0 ,则(
2 2

) C. 1 ? m ? n D. 1 ? n ? m
2

A. n ? m ? 1

B. m ? n ? 1

5.设向量 a , b , c 满足 a ? b ? c ? 0 ,且 a ⊥ b , a ? 1 , b ? 2 ,则 c A. 1 B. 2
3 2

?(



C. 4

D. 5 )

1 6.函数 f ? x ? ? x ? 3 x ? 2 在区间 ? ? 1,? 上的最大值是(

A. ? 2 B. 0 C. 2 D. 4 7. a ? 0 , b ? 0 ”是“ ab ? 0 ”的( “ ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 8. 如图, 正三棱柱 A B C ? A1 B1C 1 的各棱长都为 2 ,E ,F 分别是 A B ,A1 C 1 的中点, E F 则 的长是( A. 2 )
F1 C1

B. 3

C. 5

D. 7
A1
C

B1

A E ? x ? y ? 2 ≤ 0, ? 9.在平面直角坐标系中,不等式组 ? x ? y ? 2 ≥ 0, 表示的平面区域的面积是( ?y≥ 0 ?

B



A. 4 2

B. 4

C. 2 2

D. 2 函数 f ? x ? ? m ax ? x ? 1 ,x ? 2 ? ? x ? R ?

10.对 a, b ? R ,记作 m ax ? a, b ? ? ? 的最小值是( A. 0 B. )
1 2

? a, a ≥ b, ? b, a ? b .

C.

3 2

D. 3

二、填空题,本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分. 11.不等式
x ?1 x?2 ? 0 的解集是_________.

12.函数 y ? 2 sin x cos x ? 1 , x ? R 的值域是_________.

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2 2

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13.双曲线

x

? y ? 1 上的点到右焦点的距离与到左准线的距离的比是 3 ,则 m 等于

m

_________. 14.如图,正四面体 A B C D 的棱长为 1 ,平面 ? 过棱 A B ,且 C D ∥ ? ,则正四面体上的所 有点在平面 ? 内的射影构成的图形面积是_________. D C
B

?

A

三、解答题:本大题共 6 小题,每小题 14 分,共 84 分.解答应写出文字说明,证明过程或 演算步骤. 15.若 S n 是公差不为 0 的等差数列 ? a n ? 的前 n 项和,且 S 1, S 3, S 4 成等比数列. (1)求数列 S 1, S 3, S 4 的公式; (2)若 S 3 ? 4 ,求 ? a n ? 的通项公式.

16.如图,函数 y ? 2 ln ( π x ? ? ) , x ? R (其中 0 ≤ ? ≤ (1)求 ? 的值;

? 2

1) )的图象与 y 轴交于点 (0, .

(2)设 P 是图象上的最高点, M , N 是图象与 x 轴的交点,求 P M 与 P N 的夹角.
y

???? ?

????

P
1
N

M

O

x

17 . 如 图 , 在 四 棱 锥 P ? A B C D 中 , 底 面 为 直 角 梯 形 , A D ∥ B C , ? B A D ? 90 ? , P A ? 底 面 A B C , 且 D P A ? A ? D 2 ? , M , N 分别为 P C , P B 的中点. A B B C (1)求证: P B ? D M ; (2)求 B D 与平面 A D M N 所成的角.
B
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P

N

M A
C

D

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18.甲、乙袋装有大小相同的红球和白球,甲袋装有 2 个红球,2 个白球;乙袋装有 2 个红 球, n 个白球.现从甲、乙两袋中各任取 2 个球. (1)若 n ? 3 ,求取到的 4 个球全是红球的概率; (2)若取到的 4 个球中至少有 2 个红球的概率为
3 4

,求 n .

19. 如图, 椭圆

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0 ) 与过点 A (2, , (0, 的直线有且只有一个公共点 T , 0) B 1)

且椭圆的离心率 e ? (1)求椭圆方程;

3 2



(2)设 F1 , F2 分别为椭圆的左、右焦点,求证: | A T | ?
2

1 2

| A F1 |?| A F 2 | .
y B

T

F1

O

F2

A

x

20.设 f ( x ) ? 3 a x ? 2 b x ? c ,若 a ? b ? c ? 0 , f (0 ) f (1) ? 0 ,求证:
2

(1)方程 f ( x ) ? 0 有实数; (2) ? 2 ?
b a
3 3 2 3

? ?1 ;

(3)设 x1, x 2 是方程 f ( x ) ? 0 的两个实根,则

≤ | x1 ? x 2 |?



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2006 年普通高等学校招生全国统一考试(浙江卷)

数学(文科)参考答案
一、选择题:本题考察基本知识和基本运算。每小题 5 分,共 50 分。 (1)A(2)B (3)A (4)D (5)D (6)C (7)A (8)C (9)B (10)C 二、填空题:本题考察基本知识和基本运算。每小题 4 分,满分 16 分。 (11) x x ? ? 1, 或 x ? 2 (12) ? ? 2, 0 ? (13)
1 8

(14)

1 2

三、解答题 (15)本题主要考察等差、等比数列的基本知识、考查运算及推理 能力。满分 14 分。 解: (Ⅰ)设数列 ? a n ? 的公差为 d ,由题意,得 S 2 ? S 1 ? S 4 ?
2

所以 (2 a1 ? d ) ? a1 (4 a1 ? 6 d )
2

因为 d ? 0 所以 d ? 2 a1 故公比 q ?
S2 S1 ? 4

(Ⅱ)因为 S 2 ? 4, d ? 2 a1 , S 2 ? 2 a1 ? 2 a1 ? 4 a1 , 所以 a1 ? 1, d ? 2 因此 a 2 ? a1 ? ( n ? 1) d ? 2 n ? 1. (16)本题主要考查三角函数的图象,已知三角函数值求角,向量夹角的计算等基础知识 和基本的运算能力。 满分 14 分。 解: (Ⅰ)因为函数图象过点(0,1) 所以 2 sin x ? 1 ,即 sin x ?
?
2 1 2

?

因为 0 ? l ?

所以 l ?

?
6

.
?
6

(Ⅱ)由函数 y ? 2 sin ( ? x ?

) 及其图象,得
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M (?

1

1 5 , 0 ), P ( , 2 ), N ( , 0 ), 6 3 6

所以 P M ? ( ?

???? 1 , ? 2, ) P N ? ( , ? 2 ) 从而 2 2 ???? ???? ? ???? ???? ? PM ? PN co s ? P M , P N ? ? ???? ???? ? PM ? PN 1
15 17

???? ?

?

故 ? P M , P N ? ? arcco s

???? ???? ?

15 17

.

17.本题主要考查空间线线、线面关系、空间向量的概念与运算等基础知识,同时考查空 间想象能力。满分 14 分。 解:方法一: (Ⅰ)因为 N 是 PB 的中点,PA=AB, 所以 AN⊥PB.

因为 AD⊥面 PAB, 所以 AD⊥PB. 从而 PB⊥平面 ADMN.
因 为 DM ? 平 面 ADM N

所以 PB⊥DM. (Ⅱ)连结 DN, 因为 PB⊥平面 ADMN,
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所以∠BDN 是 BD 与平面 ADMN 所成的角. 在 R t ? B D N 中, sin ? B D N ?
BN BD ? 1 2 ,

故 BD 与平面 ADMN 所成的角是 方法二:

?
6

.

如图,以 A 为坐标原点建立空间直角坐标系 A ? xyz ,设 BC=1,则 A (0, 0, 0)
1 2

P (0, 0, 3), B ( 2, 0, 0 ), M (1,

,1), D (0, 2, 0 )

(Ⅰ)因为 P B ? D M ? ( 2, 0, ? 2 )(1, ?
? 0

??? ????? ?

3 2

,1)

所以 PB⊥DM . (Ⅱ)因为 P B ? A D ? (2, 0, ? 2) ? (0, 2, 0)
? 0
??? ???? ?

所以 PB⊥AD. 又 PB⊥DM. 因此 ? P B ? A D ? 的余角即是 BD 与平面 ADMN. 所成的角. 因为 co s ? P B ? A D ? ?
??? ???? ? ??? ???? ?

??? ???? ?

?
3

所以 ? P B ? A D ? =

?
3

因此 BD 与平面 ADMN 所成的角为

?
6

.

(18)本题主要考查排列组合、概率等基本知识,同时考查逻辑思维能力和数学应用能力。 满分 14 分。 解: (Ⅰ)记“取到的 4 个球全是红球”为事件 A.
P ( A) ? C2 C4
2 2

?

C2 C5

2 2

?

1

?

1

?

1 60

.

6 10

(Ⅱ)记“取到的 4 个球至多有一个红球”为事件 B, “取到的 4 个球只有 1 个红球”为事
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件 B1 , “取到的 4 个球全是白球”为事件 B 2 . 由题意,得
P(B) ? 1 ? 3 4
P ( B1 ) ? C 2C 2 C4
2 1 1

?

1 4
1

?

Cn
2

2

?

C2 C4

2

Ca?2

2

?

C 2C a C a?2
2

1

?

2n

2

3( n ? 2 )( n ? 1)
C2 C4
2 2

;

P ( B1 ) ?

?

Ca
2

2

C a?2
n(n ? 1 ) ; 1)

?

6 (n ? 2 ) (? n

所以 P ( B ) ? P ( B1 ) ? P ( B 2 )
? 2n
2

3( n ? 2 )( n ? 1)
1 4

?

n ( n ? 1) 6 ( n ? 2 )( n ? 1)

;

?

化简,得
7 n ? 1 1n ? 6 ? 0, 解得 n ? 2 ,或 n ? ?
2

3 7

(舍去) ,

故 n ? 2. (19)本题主要考查直线与椭圆的位置关系、椭圆的几何性质,考查解析几何的基本思想 方法和综 合解题能力。满分 14 分。 解: (Ⅰ)过 A、B 的直线方程为
x 2 ? y ?1

? x2 ? y2 ?1 ? 2 ? a ? b2 因为由题意得 ? 有惟一解。 1 ?y ? ? x ?1 ? ? 2

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2 2 2 2 2

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即 (b ?
2

1 4

a ) x ? a x ? a b ? 0 有惟一解,

所以 ? ? a b ( a ? 4 b ? 4 ) ? 0 ( a b ? 0 ), ,
2 2 2 2

故 (a ? 4b ? 4) ? 0
2 2

又因为 c ? 所以 a ? 4 b
2
2

3 2
2

,即

a ?b
2

2

a

2

?

3 4



从而得 a ? 2 , b ?
2

1 2

,

故所求的椭圆方程为

x

2

? 2y ?1.
2

2

(Ⅱ)由(Ⅰ)得 c ?

6 2

,

所以 F1 ( ?

6 2

, 0 ), F 2 (

6 2

, 0)

? x2 ? y2 ?1 ? 2 ? a ? b2 由 ? 解得 x1 ? x 2 ? 1, , ?y ? ? 1 x ?1 ? ? 2

因此 T ? (1, ) .
2
2

1

从而 A T

?

5 4

,

因为 A F1 ? A F 2 ?
1 2

5 2

,

所以 A T

2

?

A F1 ? A F 2

(20)本题主要考查二次函数的基本性质、不等式的基本性质与解法,以及综合运用所学知 识分析和解决问题的能力。满分 14 分。
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证明: (Ⅰ)若 a = 0, 则 b = -c , f (0) f (1) = c (3a + 2b + c )
? ?c ? 0 ,
2

与已知矛盾, 所以 a ≠ 0. 方程 3 ax ? 2 bx ? c = 0 的判别式
2

? ? 4 ( b ? 3 a c ),
2

由条件 a + b + c = 0,消去 b,得
? ? 4(a ? b ? ac)
2 2

1 2 3 2? ? ? 4 (a ? c) ? c ? 0 ? ? 2 4 ? ?

故方程 f (x) = 0 有实根. (Ⅱ)由条件,知
x1 ? x 2 ? ? 2b 3a
2

, x1 ? x 2 ?

c 3a
2

? ?

a?b 3a

,

所以 ( x1 ? x 2 ) ? ( x1 ? x 2 ) ? 4 x1 x 2
? 4 b 3 2 1 ( ? ) ? . 9 a 2 3
b a 1 3 ? ( x1 ? x 2 ) ?
2

因为 ? 2 ?

? ? 1,

所以

4 9



3 3

? x1 ? x 2 ?

2 3

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