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2015年高中数学同步检测:3.3.1《两条直线的交点坐标及两点间的距离》(人教A版必修2)]


数学·必修 2(人教 A 版)

3.3

直线的交点坐标与距离公式

3.3.1
基 础 达 标

两条直线的交点坐标及两点间的距离

1.直线 x+2y-2=0 与直线 2x+y-3=0 的交点坐标为( A.(4,1) B.(1,4)

)

?4 1? C.? , ? ?3 3?
答案:C

?1 4? D.? , ? ?3 3?

2. 已知两直线 a1x+b1y+1=0 和 a2x+b2y+1=0 的交点是 P(2,3), 则过两点 Q1(a1, b1), Q2(a2,b2)的直线方程是( A.3x+2y=0 C.2x+3y+1=0 ) B.2x-3y+5=0 D.3x+2y+1=0

答案:C

3.两直线 3ax-y-2=0 和(2a-1)x+5ay-1=0 分别过定点 A,B,则|AB|等于( A. 89 5 17 B. 5 C. 13 5 11 D. 5

)

2? 13 ? 解析:易知 A(0,-2),B?-1, ?,|AB|= . 5 5 ? ? 答案:C

4.设点 A 在 x 轴上,点 B 在 y 轴上,AB 的中点是 P(2,-1),则|AB|等于( A.5 B.4 2 C.2 5 D.2 10

)

解析:设 A(x,0),B(0,y),由中点公式得 x=4,y=-2, 则由两点间的距离公式得|AB| = -
2

+ -2-

2

= 20=2 5.

答案:C

5.根据图中信息写出:

(1)|AB|=________;|BC|=________.

答案: 5

2 2

(2)|CD|=________;|DA|=________.

答案: 5

2 2

(3)|AC|=________;|BD|=________.

答案:3

17

巩 固 提 升 6.已知 M(1,0),N(-1,0),点 P 在直线 2x-y-1=0 上移动,则|PM| +|PN| 的最小 值为________.
2 2

答案:2.4

7.求证:不论 m 取什么实数,直线(2m-1)x+(m+3)y-(m-11)=0 都经过一个定点, 并求出这个定点的坐标.

证明:证法一:对于方程(2m-1)x+(m+3)y-(m-11)=0, 令 m=0,得 x-3y-11=0;令 m=1,得 x+4y+10=0.
? ?x-3y-11=0, 解方程组? ?x+4y+10=0, ?

得两直线的交点为(2,- 3).

将点(2,-3)代入已知直线方程左边,得(2m-1)×2+(m+3)×(-3)-(m-11)=4m- 2-3m-9-m+11=0. 这表明不论 m 为什么实数,所给直线均经过定点(2,-3).

证法二:将已知方程以 m 为未知数, 整理为(2x+y-1)m+(-x+3y+11)=0.
? ?2x+y-1=0, 由于 m 取值的任意性,有? ?-x+3y+11=0, ?

解得 x=2,y=-3. 所以所给的直线不论 m 取什么实数,都经过一个定点(2,-3).

8.已知△ABC 的三个顶点坐标分别为 A(-3,1),B(3,-3),C(1,7).

(1)求 BC 边上的中线 AM 的长;

解析:设点 M 的坐标为(x,y), ∵点 M 为 BC 边的中点, 3+1 ? ?x= 2 =2, ∴? -3+7 ?y= 2 =2, ? 即 M(2,2), 由两点间的距离公式得: |AM|= -3-
2





2

= 26.

∴BC 边上的中线 AM 长为 26.

(2)证明△ABC 为等腰直角三角形.

证明:由两点间的距离公式得 |AB|= |BC|= |AC|=
2

-3- - -3-
2 2

2

+ + +
2


2

2

=2 13,


2

=2 26,
2



=2 13,

∵|AB| +|AC| =|BC| ,且|AB|=|AC|, ∴△ABC 为等腰直角三角形.

9.(1)求与点 P(3,5)关于直线 l:x-3y+2=0 对称的点 P′的坐标.

y0 -5 解析:设 P′(x0,y0),则 kPP′= , x0 -3 PP′中点为 M?
0 0 0

?x0+3,y0+5?. 2 ? ? 2 ?

y -5 1 ? ?x -3·3=-1, ∴? x +3 y +5 ? ? 2 -3× 2 +2=0.
0

?x0=5, ? 解得? ? ?y0=-1.

∴点 P′坐标为(5,-1).

(2)已知直线 l:y=-2x+6 和点 A(1,-1),过点 A 作直线 l1 与直线 l 相交于 B 点, 且|AB|=5,求直线 l1 的方程.

解析:当直线 l1 的斜率不存在时,方程为 x=1,此时 l1 与 l 的交点 B 的坐标为(1,4). |AB|= -
2

+[4- -

2

=5 符合题意.

当直线 l1 的斜率存在时,设为 k. 则 k≠-2,∴直线 l1 为 y+1=k(x-1), 则 l1 与 l 的交点 B 为?

?k+7, ?k+2

- k+2

?, ? ?

∴|AB|=

?k+7-1?2+? ?k+2 ? ? ? ? ?

- k+2

2 +1? ? =5.

?

3 解得 k=- ,∴直线 l1 为 3x+4y+1=0. 4 综上可得 l1 的方程为 x=1 或 3x+4y+1=0.



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