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面面垂直的判定公开课


平面与平面垂直的判定

复习:直线与平面垂直的判定定理 一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直, 则这条直线垂直于这个平面. 关键:线不在多,相交则行

m ?? ? ? n ?? ? ? m?n ? P ??l ?? l ? m? ? l ?n ? ?

线线垂直

线面垂直

l

α

m

P

n


1.

二面角及二面角的平面角
半平面—— 平面内的一条直线把平面分为两部分, 其中的每一部分都叫做一个半平面. 二面角—— 从一条直线出发的两个半平面所组 成的图形叫做二面角.这条直线叫做 二面角的棱,这两个半平面叫做二 面角的面.

2.

α

l

l

B

3. 表示
O

二面角?-AB- ?

∠AOB
C

A

二 面 角 的 认 识

A

二面角C-AB- D
B

D

? ?
l

B

?

A

二面角?- l- ?
? ? ?

5

l

探 索

我们应该如何度量或刻画二面角
的大小呢?
还等什 么?动 手实验 吧。

问:二面角平面角的大 小与平面角的顶点的位 置是否有关系?

O 。

B A A1 B1
β

O1 。

α

等角定理 若一个角的两边与另一个角 答:二面角的平面角与其顶点的位置无 的两边分别平行且方向相同,则这两个 任何关系,只与二面角的张角大小有关。 角相等。

二 面 角 的 平 面 角

4.二面角的平面角 以二面角的棱上任意一点为端点,在两 个面内分别作垂直于棱的两条射线,这两 条射线所成的角叫做二面角的平面角。 二面角的平面角必须满足:

注 意
? A

1)角的顶点在棱上

2)角的两边分别在两个面内
3)角的边都要垂直于二面角的棱 ? A O ? B

l
O
10

? B

5.二面角的范围 [0 ,180 ] 6.直二面角
平面角是直角的二面 角叫做直二面角.





A

二 平面与平面垂直的判定

1. 定义

两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面
角,就说这两个平面互相垂直.

?

?

?

?

O

B

???

观察:为什么教室的门转到任何位置时, 门所在平面都与地面垂直?

引入
建筑工人砌墙时,常用一端系有铅锤的线来 检查所砌的墙面是否和地面垂直,如果系有铅锤 的线和墙面紧贴, 那么所砌的墙面与地面垂直。 大家知道其中的理论根据吗?

它就是本节课的内容之一:平面与平面垂直的判定定理。

猜想:
如果一个平面过另一个平面的 一条垂线,那么这两个平面互相垂 直.

2. 平面与平面垂直的判定定理
一个平面过另一个平面的垂线,则这两 个平面垂直. β 符号:
a?? a ? 面?
a

?? ? ?

α

A

简记:线面垂直,则面面垂直
线线垂直 线面垂直 面面垂直

平面与平面垂直的判定定理的证明
已知:直线AB?平面?,直线AB?平面?。 求证:平面? ?平面?。

在平面β 内过B点作BE⊥CD。 证明:设? ? β =CD,则AB ? β =B ,

AB ?CD BE⊥CD

??ABE就是二面角 ? CD ? ?的平面角 ?
α A
D

平面? ? 平面ABE=AB

β
E

B

? AB ?β ? ? AB ? BE BE ?β ? 0 ??ABE ? 90

C

? 平面α ? 平面β 。

三 应用 例1 如图,AB是圆O的直径,PA垂直于圆 O所在的平面于A, C 是圆O上不同于A、B 的任意一点,求证:平面PAC⊥平面PBC
分析: 证明:由AB是圆O的直径,可得AC⊥BC BC ? AC PA ? 平面ABC ? ? ? PA ? BC BC ? 平面ABC ? PA ? AC ? A

? BC ? 平面PAC

P

? 平面PAC⊥平面PBC

BC ? 平面PBC

C
A
B

O

探究: 如图所示:在Rt△ABC中, ∠ABC=900 ,P为△ABC所在平面外一点, PA⊥平面ABC,你能发现哪些平面互相垂 直,为什么?
P

PA ? 平面ABC PA ? 平面PAC

?平面PAC⊥平面ABC

同理:平面PAB⊥平面ABC
A B C

? 平面PAB⊥平面PBC

BC ? 平面PAB BC ? 平面PBC

小结 找二面角的平面角 1.定义法: 说明该平面角是直角.
(一般通过计算完成证明.)

2.证平面与平面垂直可用定义、判定定理. 3.求二面角大小的步骤为: (1)找出或作出二面角的平面角

(2)证明其符合定义垂直于棱;
(3)计算. 作或找







四 小结
1.二面角和二面角的平面角的概念.

2.直二面角

面面垂直.

3.面面垂直的判定定理:

线面垂直,则面面垂直.

a ? ?? ? ?? ? ? a ???
4.思想:转化;平面化



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