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第25届北京市高中力学竞赛决赛试题(2012年)


第 25 届北京市高中力学竞赛决赛试卷
2012 年 5 月 20 日 9:30~11:30 一、填空题(6 小题,每小题 8 分,共 48 分)
得 分

1. 一跳远运动员在地球表面跳远, 起跳时速度为 10m/s, 能跳出 7.5m 远. 已知月球表面的重力加速度是地球表面重力加速度的 1/6,如果

他在月球表面跳远,起跳速度大小也是 10m/s,他跳远的记录将是

m.

2. 一举重运动员能举起 100kg 的重物, 他对一根羽毛能施加 1000N 的力吗? 答: ,理由是 . 3. 嫦娥飞船绕月球做匀速圆周运动,测出其周期为 T,则飞船距月球表面的 距离为 h,可否不计地球引力而近似表述为 h ? 质量,R 是月球半径. 答:
3

GMT 2 ? R ,其中 M 是月球的 4? 2

,理由是 .

4. 据北京晚报 2012 年 3 月 17 日和参考消息 3 月 18 日报道,奥地利勇士鲍 姆加持纳从 2.18 万米高空的氦气球吊篮中跃下,下落的最高速度到 163m/s.下落 约 3 分 43 秒, 距地面 2400m 高处打开伞,整个下落到地面的时间持续 8 分 8 秒. 试根据报纸报道和你的分析, 在图 1 中比较准确地画出奥地利勇士下落到地面过 程的 v-t 图线.
v/m?s-1

第 1 页 共 10 页

t/s

图1

5. 下雨天,假设无风,雨滴以速度 υ1 竖直下落,雨滴在空中的分布是均匀 的,单位体积的雨量是 ρ. 如图 2 所示,一个人要从 A 处运动到 B 处,他没有带 伞,A、B 的距离为 l,人的运动速度为 υ2. 把人简化为长方体模型,头和肩的水 平面积为 S1,身体前方正面的竖直面积为 S2. 则人从 A 到 B 过程中,打到面积 S1 上的雨量为 ,打到面积 S2 上的雨量为 .

S1

υ1

S2

υ2

A

l 图2

B

6. 三个质量均为 m 的小球 A、B、C,用轻杆连接,如图 3 所示. A、B 与 B、 C 的距离相等,A、B、C 与地球中心 O 在一条直线上. 三个小 球在高空绕地球做匀速圆周运动,如果轻杆收到扰动而偏离直线一小角度 θ,则 轻杆与直线的偏角 θ 将 (增大、减小、不变) ,理由是

.(本题说明控制卫星天线总指向地球的基本原理)

A O 地球 图3

B θ

C

二、计算题(共 102 分)
第 2 页 共 10 页

得 分

7.(16 分)两个相同的半球,半径都是 r,质量为 0.5m,放在静摩 擦因数为 μ = 0.5 的水平面上. 在两个半球上放一个半径为 r, 质量为

m 的光滑球,如图 4 所示. 求在平衡状态下两球球心之间的最大距离 b.
A B θ b 图4 C

得 分

8. (16 分)两个质量分别为 m1 和 m2 的小球,它们之间的相互作用 表现为斥力(斥力大小表达式为 k
m1 m2 , k 是常数, r 为两球之间 r2

距离). 现已知 m1 以速度 v0 接近 m2 ,瞄准距离为 b,即 m2 到 m1 速度方向的垂直 距离为 b, 如图 5 所示. 求 m1 小球接近 m2 小球的最近距离 d. 设 m1 ?? m2 , 小球 m2 可近似看作静止.

v0

b

m1

d

m2

m1
图5

v
第 3 页 共 10 页

得 分

9. (20 分)如图 6 所示,质量为 m 的小球,用不可伸长的线悬于固 定点 O,线长为 l,初始线与铅垂线有一个夹角,初速为 0. 在小球

开始运动后,线碰到铁钉 O1. 铁钉的方向与小球运动的平面垂直. OO1=h<l,且 已知 OO1 与铅垂线夹角为 β,设 l 与铅垂线夹角为 ? . 假设碰后小球恰能做圆周 运动. 求线与铁钉碰前瞬时与碰后瞬时张力的变化.

O

?
β O1

l

图6

第 4 页 共 10 页

得 分

10. (25 分) 如图 7 所示,理想滑轮(轻质,无摩擦)两端悬挂两个 质量均为 m 的砝码盘. 用轻线拴住劲度系数很大的轻弹簧(弹簧劲

度系数为 k)两端使它压缩的长度为 l,将此弹簧竖直放在左侧砝码盘上,弹簧 上放一质量为 m 的砝码. 右侧砝码盘上也放置质量为 m 的砝码, 使两盘静止. 燃 断轻线,轻弹簧达到自由伸展状态即与砝码脱离. 求(1)此系统(包括两个盘、 两个砝码、弹簧和细绳)中哪些量守恒?(2)使用守恒定律求砝码脱离弹簧后 升起的高度.

m 图 7

m

得 分

11. (25 分)三个质量为 m 的小球用两根长为 l 的不可伸长细绳相 连. 初始时刻,三个小球在一条线上,静止放在光滑水平面上,标

号分别为 1、2、3,如图 8 所示. 给标号为 3 的小球以初速度 v0 ,则这三个小球 运动起来,求 1、2 两球相遇时的速度为多大?
1 3 2

v0
图8

第 5 页 共 10 页

第 25 届北京市高中力学竞赛决赛试题答案 (北京四中杯)
一、填空题 1. 45 . (8 分) 2. 不能 (2 分).一根羽毛不能对运动员施加 1000N 的力,根据牛顿第三 定律,运动员也不能对羽毛施加 1000N 的力. 分) (6 3.可以(2 分) .在地球引力所用下,月球(携带飞船)绕地球做匀速圆周 运动,可认为月球飞船处于失重状态,可只考虑月球对飞船的引力作用(6 分) . 4.
v/m?s-1 163

第 6 页 共 10 页

t/s 488

233

5. ?S1v1

l ; 分) ?S 2 l . 分) (4 (4 v2

6. 减少(2 分) ,B 球受地球引力与惯性离心力平衡,A 球受引力大于惯性 离心力,合力指向地球,C 球受引力小于惯性离心力,合力背向地球,A、C 球 受力的力矩使 θ 角减少(6 分) .
A O 地球 B θ C

二、计算题 7. 解:设最大距离时摩擦力为 fmax,AB 球心连线 与竖直夹角 θ. 对 A 球 y 方向: 2 N cos? ? mg
mg 2c o s ? 1 对 B 球 y 方向: N B ? mg ? N cos ? ? 0 2 1 1 N B ? mg ? mg ? mg 2 2 N?

y
NB N

(3 分)

?

x fmax

(3 分)
1 2
mg

对 B 球 x 方向: f max ? N sin ? ? 0
f max ? ?N B ? 1 mg 2

(3 分) (1 分)

1 mg mg ? sin ?0 ? 2 2c o s ?
t an ?1 ?

tan? ?

bm a x b x ( 2r ) ? ( m a ) 2 2
2

?1

(3 分)

第 7 页 共 10 页

3 bmax b3 ? 4r 2 ? max 4 4

2 bm a x? 8r 2

bm a x? 2 2r

(3 分)

8.解: m1 小球受力始终指向 m2 小球中心, m1 小球在一平面内运

?

rv

0

动.如图所示.设 z 轴垂直于此平面且通过 m2 小球中心,则 m1 小球所受力对 z 轴的力矩为零,即对 z 轴角动量守恒. m1 小球以速度 v0 运动,对 z 轴角动量是

rm1v0 sin ? ,但 r sin ? ? b ,故 rm1v0 sin ? ? bmv0 , m1 小球最接近 m2 小球(距离为
d)时,即无继续向 m2 小球运动的速度,又无远离 m2 小球的速度,此刻的速度 v 应与 m1 小球至 m2 小球的连线垂直,角动量是 dm1v .于是

dm1v ? bm1v0

v? v0 b d

(1)

(5 分)

1 2 在散射过程中,只有斥力作用,故能量守恒。最初,其能量为 m1 v 0 动能,到达 2

离 m2 小球最近时,其总能量为
mm 1 m1v 2 ? k 1 2 , 2 d

后一项为斥力势能,k 为一常数.因此,
mm 1 1 2 m1v 2 ? k 1 2 ? m1v0 2 d 2

(2)

(5 分)

有(1) (2)得

? m ? m d ? k 22 ? ? k 22 ? ? b 2 ? v ? v0 ? 0 ?

2

(4 分)

第 8 页 共 10 页

d 只能为正,故式中负号无物理意义,舍去.

? m ? m d ? k 22 ? ? k 22 ? ? b 2 ? v ? v0 ? 0 ?

2

(2 分)

9.解:假设碰后小球能作圆周运动,运动到最高点的速度 v 可由

m v2 ? mg (l ? h)
得出 v 2 ? (l ? h) g 设初始夹角为 α
1 由机械能守恒得到: mv 2 ? mg [h cos ? ? l cos ? ? (l ? h)] 2 1 mg (l ? l c o s ) ? mv 2 ? 2 h 3 3 cos ?[ ( ?cos)? ] ? ? l 2 2

(3 分)

(5 分)

假设碰前瞬时速度为 v1
1 则: mv12 ? mgl (cos ? ? cos ?) 2

(2 分)

v1 ? 2 gl( c o?s? c o ?) s
碰前: T1 ? m g cos? ?
m v12 l

(3 分)

T2 ? m g c o ? ? s
T2 ? T1 ?

m v12 (l ? h)

(3 分)

2m gh (4 分) 3 l ( ? cos?) 2 10. 解: (1)该质点系能量守恒(3 分) ,对滑轮轴的角动量守恒(2 分) 。
(2) 设滑轮半径为 R, 弹簧释放后, 弹簧上边的砝码获得的速度为 v, 方向向上, 左边砝码盘及右边砝码盘及砝码获得的速度大小是 v'。 该质点系对滑轮轴的角动 量守恒,有: - mvR+mv’R+2mv’R = 0, 分)即 (6 v = 3 v' (1) (3 分)

2m g h ? (l ? h) ( c o s c o ?) ?? s

能量守恒(因为弹簧弹性系数很大,所以忽略重力势能的微小变化) ,有:

第 9 页 共 10 页

1 2 1 2 1 kl ? mv ? (3m)v '2 2 2 2

(6 分) (2)

即 mv2 ? 3mv'2 ? kl 2

左盘中的砝码脱离弹簧获得速度 v 后做竖直上抛运动
1 2

mv2 ? mgh? h ? v 2 / 2g
(2 分)

(3)

(3 分)

由⑴ 可求得 v2=3kl2/4m,代入⑶ ⑵ 中得:
h = 3 k l2/8mg

11.解:设运动起来后三小球竖直方向速度大小为 v ,1、2 球相遇时速度大

小为 u .由于是光滑水平面,所以运动起来前后动量守恒、能量守恒,有

mv0 ? 3mv (1)
1 2 1 2 1 mv 0 ? mv ? 2 ? mu 2 2 2 2 2 u ? v0 3

(10 分) (2) (10 分)

解得

(5 分)

第 10 页 共 10 页



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