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高考数学必胜秘诀(4、三角函数)含答案


高考数学必胜秘诀在哪? ――概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结
四、三角函数
1、角的概念的推广:平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所的图形。按逆时针 方向旋转所形成的角叫正角,按顺时针方向旋转所形成的角叫负角,一条射线没有作任何旋转时,称它 形成一个零角。射线的起始位置称为始边,终止位置称为终边。 2、象限角的概念:在直角坐标系中,使角的顶

点与原点重合,角的始边与 x 轴的非负半轴重合, 角的终边在第几象限,就说这个角是第几象限的角。如果角的终边在坐标轴上,就认为这个角不属于任 何象限。 3. 终边相同的角的表示: (1) ? 终边与 ? 终边相同( ? 的终边在 ? 终边所在射线上) ? ? ? ? ? 2k? (k ? Z) ,注意:相等的 角的终边一定相同,终边相同的角不一定相等.如与角 ? 1825 的终边相同,且绝对值最小的角的度数是
?

___,合___弧度。 (答: ?25 ; ?

(2) ? 终边与 ? 终边共线( ? 的终边在 ? 终边所在直线上) ? ? ? ? ? k? (k ? Z) . (3) ? 终边与 ? 终边关于 x 轴对称 ? ? ? ?? ? 2k? (k ? Z) . (4) ? 终边与 ? 终边关于 y 轴对称 ? ? ? ? ? ? ? 2k? (k ? Z) . (5) ? 终边与 ? 终边关于原点对称 ? ? ? ? ? ? ? 2k? (k ? Z) .

5 ?) 36

( 6 ) ? 终 边 在 x 轴 上 的 角 可 表 示 为 : ? ? k? , k ? Z ; ? 终 边 在 y 轴 上 的 角 可 表 示 为 :

? ? k? ?

?
2

, k ? Z ;? 终边在坐标轴上的角可表示为:? ?

线 y ? x 对称,则 ? =____________。 (答: 2k? ?

?
3

k? ? , k ? Z .如 ? 的终边与 的终边关于直 2 6

, k ?Z )

4、? 与 ? 的终边关系: 由 “两等分各象限、 一二三四” 确定.如若 ? 是第二象限角, 则

2

? 是第_____ 2

象限角(答:一、三)
2 5.弧长公式: l ?| ? | R ,扇形面积公式: S ? 1 lR ? 1 | ? | R ,1 弧度(1rad) ? 57.3 . 如已知扇

2

2

形 AOB 的周长是 6cm,该扇形的中心角是 1 弧度,求该扇形的面积。 (答:2 cm ) 6、任意角的三角函数的定义:设 ? 是任意一个角,P ( x, y ) 是 ? 的终边上的任意一点(异于原点) , 它与原点 的距离是 r?

2

x2 ? y 2 ? 0 , 那 么 s i ? n?

y r

x y , c ?o ? s , tan ? ? , ? x ? 0 ? , r x

cot ? ?

r x r ( y ? 0) , sec ? ? ? x ? 0 ? , csc ? ? ? y ? 0 ? 。三角函数值只与角的大小有关,而与终 x y y

边上点 P 的位置无关。

7 ) ; (2)设 ? 13 2m ? 3 3 是 第 三 、 四 象 限 角 , sin ? ? , 则 m 的 取 值 范 围 是 _______ ( 答 : (-1, ) ) ; (3)若 4?m 2 | sin ? | cos? y ? ) 的符号(答:负) ? ? 0 ,试判断 cot(sin? ) ? tan(cos T sin ? | cos? | B S
如(1)已知角 ? 的终边经过点 P(5,-12),则 sin ? ? cos ? 的值为__。 (答: ? 7.三角函数线的特征是:正弦线 MP“站在 x 轴上(起点在 x 轴上)” 、余弦 线 OM “躺在 x 轴上(起点是原点)” 、 正切线 AT “站在点 A(1, 0) 处(起点是 A )” . 三角函数线的重要应用是比较三角函数值的大小和解三角不等式。如(1)若
P α O A M x

?

?
8

? ? ? 0 , 则 s i ?n

, ? c o s ?的 , t n 关 系 为 _____( 答 : 大a 小
1

tan ? ? sin ? ? cos ? ) ; ( 2 ) 若 ? 为 锐 角 , 则 ? ,sin ? , tan ? 的 大 小 关 系 为 _______ ( 答 :

sin ? ? ? ? tan ? ) ; ( 3 ) 函 数 y ? 1? 2c o x s ? l g2 (s i n x ? 3) 的 定 义 域 是 _______ ( 答 : ? 2? (2 k? ? ,k 2 ?? k ]? ( Z )) 3 3
8.特殊角的三角函数值: 30° 45° 60° 0° 0 90° 1 180° 0 270° -1 15° 75°

sin ?

1 2

2 2 2 2
1

3 2
1 2

6? 2 4 6? 2 4
2- 3

6? 2 4 6? 2 4
2+ 3

cos?
tan ? cot ?

3 2 3 3

1

0

-1

0

3
3 3

0

0

3

1

0

0

2+ 3

2- 3

9. 同角三角函数的基本关系式: (1)平方关系: sin 2 ? ? cos2 ? ? 1,1 ? tan 2 ? ? sec2 ? ,1 ? cot 2 ? ? csc2 ? (2)倒数关系:sin ? csc ? =1,cos ? sec ? =1,tan ? cot ? =1, (3)商数关系: tan ? ?

sin ? cos ? , cot ? ? cos ? sin ?

同角三角函数的基本关系式的主要应用是,已知一个角的三角函数值,求此角的其它三角函数值。 在运用平方关系解题时,要根据已知角的范围和三角函数的取值,尽可能地压缩角的范围,以便进行定 号;在具体求三角函数值时,一般不需用同角三角函数的基本关系式,而是先根据角的范围确定三角函 数值的符号,再利用解直角三角形求出此三角函数值的绝对值。

sin? ? tan? 的值的符号为 ____ (答:大于 0 ) ; ( 2 ) 若 0 ? 2 x ? 2? ,则使 cos? ? cot? ? 3 m?3 ; (3)已知 sin ? ? , 1 ? sin2 2x ? cos2x 成立的 x 的取值范围是____(答: [0, ] [ ? , ? ] ) m?5 4 4 4 ? 2m ? 5 tan ? s i n ? ? 3c o s ? a n ? =____ cos ? ? ( ? ? ? ? ), ? ?1 , 则t (答:? ) ; (4) 已知 则 m?5 2 tan ? ? 1 s i n ? ?c o s ? 12 5 13 2 ? ? =____;sin ? ? sin ? cos? ? 2 =_________(答: ? ; ) ; (5)已知 sin 200 ? a ,则 tan 160 等 3 5
如( 1 ) 函数 y ? 于

看象限(看原函数,同时可把 ? 看成是锐角).诱导公式的应用是求任意角的三角函数值,其一般步骤: (1)负角变正角,再写成 2k ? + ? , 0 ? ? ? 2? ;(2)转化为锐角三角函数。

1? a2 1? a2 f (cosx) ? cos3x ,则 f (sin 30? ) 的值为______(答:-1) 。 k 10.三角函数诱导公式( ? ? ? )的本质是:奇变偶不变(对 k 而言,指 k 取奇数或偶数) ,符号 2

A、 ?

a

B、

a

C、 ?

1? a2 a

D、

1? a2 (答: B ) ; ( 6 ) 已知 a

9? 7? 2 3 ? tan(? ) ? sin 21? 的 值 为 ________ ( 答 : ? );( 2 ) 已 知 4 6 2 3 4 ? sin( 540 ? ? ? ) ? ? , 则 c o? s ?2 ( 7 )0 ? ______ , 若 ? 为 第 二 象 限 角 , 则 5
如 ( 1 ) cos
2

4 3 [sin( 180? ? ? ) ? cos(? ? 360? )]2 (答: ? ; ? ) ? ________。 ? 5 100 tan( 180 ? ? )
11、两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式:
令? ? ? sin ?? ? ? ? ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? ??? ? sin 2? ? 2sin ? cos ?

cos ?? ? ? ? ? cos ? cos ?   tan ?? ? ? ? ?

令? ? ? sin ? sin ? ??? ? cos 2? ? cos 2 ? ? sin 2 ?

                        ? ? 2 cos 2 ? ? 1 ? 1 ? 2sin 2 ? tan ? ? tan ? 1+cos2?         ? cos 2 ?= 1 tan ? tan ? 2 1 ? cos2?                      ? sin 2 ?= 2 2 tan ?     tan 2? ? 1 ? tan 2 ? 1 ? 2 ? ? sin 2 如( 1 ) 下列各式中,值为 的是 A 、 sin15 cos 15 B 、 cos 2 12 12
tan 22.5 1 ? tan 2 22.5
D、

C、

1 ? cos 30 2

tan A ? tan B ? 0 , (答: C) ; (2) 命题 P: 命题 Q: tan( A ? B ) ? 0 ,
C、必要不充分条件 D、既不充分也不必要

则 P 是 Q 的 A、充要条件

B、充分不必要条件

条件 (答: C) ; (3) 已知 sin( ? ? ? )cos ? ? cos( ? ? ? )sin ? ? (4)

3 7 , 那么 cos 2 ? 的值为____ (答: ) ; 5 25

1 3 0 0 的值是______(答:4) ;(5)已知 tan110 ? a ,求 tan 50 的值(用 a 表示)甲 ? sin10 sin 80 1 ? a2 a? 3 求得的结果是 ,乙求得的结果是 ,对甲、乙求得的结果的正确性你的判断是______(答: 2a 1 ? 3a
甲、乙都对) 12. 三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的基本思路是:一角二名三结构。即首先观察角与角 之间的关系,注意角的一些常用变式,角的变换是三角函数变换的核心!第二看函数名称之间的关系, 通常“切化弦” ;第三观察代数式的结构特点。基本的技巧有: (1)巧变角(已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和 差角的变换. 如 ? ? (? ? ? ) ? ? ? (? ? ? ) ? ? ,2? ? (? ? ? ) ? (? ? ? ) ,2? ? (? ? ? ) ? (? ? ? ) ,

2 ? 1 ??? ? ? ?? ? ? ? ? 等) , ,如(1)已知 tan(? ? ? ) ? , tan( ? ? ) ? , 2 2 2 2 5 4 4 ? 3 ? ? 1 那么 tan(? ? ) 的值是_____(答: ) ; (2)已知 0 ? ? ? ? ? ? ? ,且 cos( ? ? ) ? ? , 4 22 2 2 9 ? 2 490 sin( ? ? ) ? ,求 cos( ? ? ? ) 的值(答: ) ; (3)已知 ? , ? 为锐角, sin ? ? x,cos ? ? y , 2 3 729 3 3 4 3 cos(? ? ? ) ? ? ,则 y 与 x 的函数关系为______(答: y ? ? 1 ? x 2 ? x( ? x ? 1) ) 5 5 5 5 (2)三角函数名互化(切割化弦),如(1)求值 sin50 (1 ? 3 tan10 ) (答:1) ; (2)已知 sin ? cos ? 2 1 ? 1, tan(? ? ? ) ? ? ,求 tan( ? ? 2? ) 的值(答: ) 1 ? cos 2? 3 8 (3)公式变形使用( tan ? ? tan ? ? tan ?? ? ? ??1 tan ? tan ? ? 。如(1)已知 A、B 为锐角,且

? ? ? ? 2?

? ??

?

??

?

满足 tan A tan B ? tan A ? tan B ? 1 ,则 cos( A ? B) =_____(答: ?

2 ) ;(2)设 ?ABC 中, 2
3

3 ,则此三角形是____三角形(答:等边) 4 1 ? cos 2? 1 ? cos 2? 2 2 (4)三角函数次数的降升(降幂公式: cos ? ? , sin ? ? 与升幂公式: 2 2 1 ? cos 2? ? 2cos2 ? , 1 ? cos 2? ? 2sin 2 ? )。

tan A ? tan B ? 3 ? 3 tan Atan B , sin Acos A ?

? 1 1 1 1 ; (2)函数 ? ? cos 2? 为_____(答: sin ) 2 2 2 2 2 5 3( x ? R ) 的单调递增区间为___________(答: f ( x ) ? 5 sin xcos x ? 5 3cos 2 x ? 2 ? 5? [ k? ? ,k? ? ]( k ? Z ) ) 12 12
如(1)若 ? ? ( ? , ? ) ,化简

3 2

(5)式子结构的转化(对角、函数名、式子结构化同)。

1 ? tan sin ? ? tan ? 1 ? sin ? 2; 如(1) tan ? (cos ? ? sin ? ) ? (答:sin ? ) ; (2)求证: ? ? cot ? ? csc ? 2 ? 1 ? 2sin 1 ? tan 2 2 1 2 cos 4 x ? 2 cos 2 x ? 2 (答: 1 cos 2 x ) (3)化简: ? ? 2 2 tan( ? x)sin 2 ( ? x) 4 4 2 2 2 2 (6)常值变换主要指“1”的变换( 1 ? sin x ? cos x ? sec x ? tan x ? tan x ? cot x 3 2 2 ,如已知 tan ? ? 2 ,求 sin ? ? sin ? cos ? ? 3cos ? (答: ). ? tan ? ? sin ? ? 等) 4 2 5 sin x cos x ”的内存联系――“知一求二” (7)正余弦“三兄妹— sin x ? cos x、 ,如(1)若 t 2 ?1 sin x ? cos x ? t ,则 sin x cos x ? __(答: ? ),特别提醒:这里 t ?[? 2, 2] ; (2)若 2 4? 7 (答: ? ) ; (3)已知 ? ? (0, ? ),sin ? ? cos ? ? 1 ,求 tan ? 的值。 2 3 ? ? sin 2? ? 2sin 2 ? ? k ( ? ? ? ) ,试用 k 表示 sin ? ? cos ? 的值(答: 1 ? k ) 。 4 2 1 ? tan ?
13、辅助角公式中辅助角的确定: a sin x ? b cos x ? a, b 的符号确定, ? 角的值由 tan ? ?

?

a 2 ? b 2 sin ? x ? ? ? (其中 ? 角所在的象限由

b 确定)在求最值、化简时起着重要作用。 a 如(1)若方程 sin x ? 3 cos x ? c 有实数解,则 c 的取值范围是___________.(答:[-2,2]) ; (2) 3 当 函 数 y ? 2 cos x ? 3 sin x 取 得 最 大 值 时 , tan x 的 值 是 ______( 答 : ? ) ;( 3 ) 如 果 2 tan ? = ( 答 : - 2) ; ( 4 ) 求 值 : f?x ? ? ? ? 2 c o? x s? ( 是奇函数,则 ) ? ?s i n ? x

3 1 ? ? 64 sin 2 20? ? ________(答:32) 2 sin 20? cos 20? 14、正弦函数和余弦函数的图象:正弦函数 y ? sin x 和余弦函数 y ? cos x 图象的作图方法:五点 ? 3? , 2? 的五点,再用光滑的曲线把这五点连接起来,就得到正弦曲线 法:先取横坐标分别为 0, , ? , 2 2
2

和余弦曲线在一个周期内的图象。 15、正弦函数 y ? sin x( x ? R) 、余弦函数 y ? cos x( x ? R) 的性质:
4

(1)定义域:都是 R。 ( 2 ) 值 域 : 都 是 ??1, 1 ? , 对 y ? s i nx , 当 x ? 2 k? ?

?
2

?

k? Z ? 时, y 取最大值 1;当

x ? 2 k? ?

? 3 x ? 2k? ? ? ? k ? Z ? 时, y 取最小值-1。如(1)若函数 y ? a ? b sin(3x ? ) 的最大值为 ,最小值 2 6 1 1 ? ? b ?_ a ? , b ? 1 或 b ? ?1 ) 为? , 则 a ? __, (答: ; ( 2) 函数 f ( x) ? sin x ? 3 cos x ( x ? [? , ] ) 2 2 2 2 的值域是____ (答: [-1, 2]) ; (3) 若 2? ? ? ? ? , 则 y ?c o s ?n s ? i 6 ? 的最大值和最小值分别是____ 、 ? 2 _____(答:7;-5) ; (4)函数 f ( x) ? 2 cos x sin( x ? ) ? 3 sin x ? sin x cos x 的最小值是_____, 3 ? 1 (k ? Z ) ) 此时 x =__________(答:2; k? ? ; (5)己知 sin ? cos ? ? ,求 t ? sin ? cos ? 的变化 12 2 1 2 2 2 2 范围(答: [0, ] ) ; (6)若 sin ? ? 2 sin ? ? 2 cos? ,求 y ? sin ? ? sin ? 的最大、最小值(答: 2 。特别提醒:在解含有正余弦函数的问题时,你深入挖掘正余弦函数的有界 ymax ? 1 , ymin ? 2 2 ? 2 )
性了吗?

3? 2

?

k? Z ? 时, y 取最小值-1;对 y ? cos x ,当 x ? 2k? ? k ? Z ? 时, y 取最大值 1,当

5


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