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第十一章 推理证明、算法、复数 含解析


第十一章

推理证明、算法、复数

49.推理与证明、数学归纳法

1.(2016· 北京)袋中装有偶数个球,其中红球、黑球各占一半.甲、乙、丙是三个空 盒,每次从袋中任意取出两个球,将其中一个球放入甲盒,如果这个球是红球, 就将另一个球放入乙盒,否则就放入丙盒.重复上述过程,直到袋中所有球都被放 入盒中,则( )

/>
A.乙盒中黑球不多于丙盒中黑球 B.乙盒中红球与丙盒中黑球一样多 C.乙盒中红球不多于丙盒中红球 D.乙盒中黑球与丙盒中红球一样多 2.(2016· 北京)某学校运动会的立定跳远和 30 秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛 两个阶段.下表为 10 名学生的预赛成绩,其中有三个数据模糊. 学生 序号 立定 跳远 (单位: 米) 30 秒 跳绳 (单位: 次) 在这 10 名学生中,进入立定跳远决赛的有 8 人,同时进入立定跳远决赛和 30 秒 跳绳决赛的有 6 人,则( ) 63 a 75 60 63 72 70 a-1 b 65 1.96 1.92 1.82 1.80 1.78 1.76 1.74 1.72 1.68 1.60 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

A.2 号学生进入 30 秒跳绳决赛 B.5 号学生进入 30 秒跳绳决赛

-1-

C.8 号学生进入 30 秒跳绳决赛 D.9 号学生进入 30 秒跳绳决赛 3.(2016· 全国Ⅱ)有三张卡片,分别写有 1 和 2,1 和 3,2 和 3.甲,乙,丙三人各取 走一张卡片,甲看了乙的卡片后说:“我与乙的卡片上相同的数字不是 2”,乙看 了丙的卡片后说:“我与丙的卡片上相同的数字不是 1”,丙说:“我的卡片上的 数字之和不是 5”,则甲的卡片上的数字是________. 4.(2016·山东)观察下列等式: ? π ?-2 ? 2π ?sin ? +?sin 3? 3 ? ? ? π ?-2 ? 2π ?sin ? +?sin 5? 5 ? ? ? π ?-2 ? 2π ?sin ? +?sin 7? 7 ? ? ? π ?-2 ? 2π ?sin ? +?sin 9? 9 ? ? ?? π ?-2 ? 2π ?-2 ? 3π ?-2 2nπ ?-2 ? ? ?sin ? +?sin ? +?sin ? +?+?sin ? = 照此规律, ? 2n+1? ? 2n+1? ? 2n+1? ? 2n+1? ________. 5.(2016· 四川)在平面直角坐标系中,当 P(x,y)不是原点时,定义 P 的“伴随点” -x ? ? y 为 P′? 2 2, 2 2?;当 P 是原点时,定义 P 的“伴随点”为它自身,平面曲线 ?x +y x +y ? C 上所有点的“伴随点”所构成的曲线 C′定义为曲线 C 的“伴随曲线”.现有下列 命题: ①若点 A 的“伴随点”是点 A′,则点 A′的“伴随点”是点 A;②单位圆的“伴随 曲线”是它自身;③若曲线 C 关于 x 轴对称,则其“伴随曲线”C′关于 y 轴对称; ④一条直线的“伴随曲线”是一条直线. 其中的真命题是________(写出所有真命题的序号).
3 4 6.(2016· 江苏)(1)求 7C6 -4C7 的值;

?-2 4 ? = ×1×2; 3 ? ?-2 ? 3π ? +?sin 5 ? ? ?-2 ? 3π ? +?sin 7 ? ? ?-2 ? 3π ? +?sin 9 ? ? ?-2 ? 4π ? +?sin 5 ? ? ?-2 4 ? = ×2×3; 3 ? ?-2 4 ? = ×3×4; 3 ? ?-2 4 ? = ×4×5; 3 ?

?-2 ? 6π ? +?+?sin 7 ? ? ?-2 ? 8π ? +?+?sin 9 ? ?

(2)设 m,n∈N*,n≥m,求证:
m m m m m+2 (m+1)Cm m+(m+2)Cm+1+(m+3)Cm+2+?+nCn-1+(n+1)Cn =(m+1)Cn+2 .

-2-

考点 1

合情推理与演泽推理

1.(2014· 北京)设{an}是公比为 q 的等比数列,则“q>1”是“{an}为递增数列”的 ( )

A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 2.(2015· 山东)观察下列各式:
0 C0 1=4 ; 1 1; C0 3+C3=4 1 2 2 C0 5+C5+C5=4 ; 1 2 3 3 C0 7+C7+C7+C7=4 ;

??
0 1 2 n-1 照此规律,当 n∈N*时,C2 n-1 +C2n-1+ C2n-1+?+ C2n-1=________.

3.(2015· 福建)一个二元码是由 0 和 1 组成的数字串 x1x2?xn(n∈N*),其中 xk(k=1, 2,?,n)称为第 k 位码元.二元码是通信中常用的码,但在通信过程中有时会发生 码元错误(即码元由 0 变为 1,或者由 1 变为 0). 已知某种二元码 x1x2?x7 的码元满足如下校验方程组:

?x4⊕x5⊕x6⊕x7=0, ?x2⊕x3⊕x6⊕x7=0, ?x1⊕x3⊕x5⊕x7=0,
其中运算⊕定义为 0⊕0=0,0⊕1=1,1⊕0=1,1⊕1=0. 现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第 k 位发生码元错误后变成了 1101101, 那么利用上述校验方程组可判定 k 等于________. 4.(2014· 安徽)如图,在等腰直角三角形 ABC 中,斜边 BC= 2 2,过点 A 作 BC 的垂线,垂足为 A1;过点 A1 作 AC 的垂 线,垂足为 A2;过点 A2 作 A1C 的垂线,垂足为 A3;?,依此 类推,设 BA=a1,AA1=a2,A1A2=a3,?,A5A6=a7,则 a7=________. 5.(2014· 福建)若集合{a,b,c,d}={1,2,3,4},且下列四个关系:
-3-

①a=1;②b≠1;③c=2;④d≠4 有且只有一个是正确的,则符合条件的有序数 组(a,b,c,d)的个数是________. 6.(2014· 陕西)观察分析下表中的数据: 多面体 三棱柱 五棱锥 立方体 面数(F) 5 6 6 顶点数(V) 6 6 8 棱数(E) 9 10 12

猜想一般凸多面体中 F,V,E 所满足的等式是________. 考点 2 间接证明

7.(2015· 江苏)设 a1,a2,a3,a4 是各项为正数且公差为 d(d≠0)的等差数列. (1)证明:2a1,2a2,2a3,2a4 依次构成等比数列;
2 4 (2)是否存在 a1,d,使得 a1,a2 ,a3 3,a4依次构成等比数列?并说明理由;
+k +3k n n+2k (3)是否存在 a1,d 及正整数 n,k,使得 a1 ,an ,an 依次构成等比数列? 2 ,a3 4

并说明理由.

考点 3

数学归纳法

8.(2015· 江苏)已知集合 X={1,2,3},Yn={1,2,3,?,n}(n∈N*),设 Sn={(a, b)|a 整除 b 或 b 整除 a,a∈X,b∈Yn},令 f(n)表示集合 Sn 所含元素的个数. (1)写出 f(6)的值; (2)当 n≥6 时,写出 f(n)的表达式,并用数学归纳法证明.

-4-

1.(2016· 广东汕头模拟)用数学归纳法证明“(n+1)(n+2)?(n+n)=2n· 1· 3· ?· (2n -1)”,从“n=k 到 n=k+1”左端需增乘的代数式为( A.2(2k+1) C. 2k+1 k+1 B.2k+1 D. 2k+3 k+1 )

2.(2016· 湖北黄冈八校联考)有 6 名选手参加演讲比赛,观众甲猜测:4 号或 5 号选 手得第一名;观众乙猜测:3 号选手不可能得第一名;观众丙猜测:1,2,6 号选 手中的一位获得第一名;观众丁猜测:4,5,6 号选手都不可能获得第一名.比赛 后发现没有并列名次,且甲、乙、丙、丁中只有 1 人猜对比赛结果,此人是( A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 )

3.(2015· 陕西师大附中模拟)观察下列等式: 1 2 7 8 10 11 16 17 19 20 22 23 3+3=1,3+3+ 3 + 3 =12, 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 =39,?,则当 n<m 且 3n+1 3n+2 3m-2 3m-1 m,n∈N 时, 3 + 3 +?+ 3 + 3 =________(最后结果用 m,n 表 示). 4.(2016· 江西临川模拟)定义 n 为 n 个正数 p1, p2, ?, pn 的“均倒数”, p1+p2+?+pn

1 an 1 1 1 若已知数列{an}的前 n 项的“均倒数”为5n, 又 bn= 5 , 则b b +b b +?+b b = 1 2 2 3 10 11 ( 8 A.17 ) 9 B.19 10 C.21 11 D.23

5.(2016· 广东佛山模拟)宋元时期杰出的数学家朱世杰在其数学巨著《四元玉鉴》卷 中“菱草形段”第一个问题, “今有菱草六百八十束,欲令‘落一形’(同垛)之, 问底子(每层三角形边菱草束数, 等价于层数)几何?”中探讨了“垛积术”中的落 一形垛(“落一形”即是指顶上一束,下一层三束,再下一层 6 束,?,成三角锥 的堆垛,故也称三角垛,如图,表示第二层开始的每层菱草束数),则本问题中三 角垛底层菱草总束数为________.

-5-

6.(2015· 湖北黄冈模拟)对于集合 N={1,2,3,?,n}和它的每一个非空子集,定 义一种求和称之为“交替和”如下:如集合{1,2,3,4,5}的交替和是 5-4+3 -2+1=3,集合{3}的交替和为 3. 当集合 N 中的 n=2 时,集合 N={1,2}的所 有非空子集为{1},{2},{1,2},则它的“交替和”的总和 S2=1+2+(2-1)=4, 请你尝试对 n=3,n=4 的情况,计算它的“交替和”的总和 S3, S4,并根据计算结 果猜测集合 N={1,2,3,?,n}的每一个非空子集的“交替和”的总和 Sn= ________ (不必给出证明). 7.(2015· 山东威海模拟)对大于 1 的自然数 m 的三次幂可用奇数进行以下方式的 13 ? ?7 ?15 ? ? ?3 “分裂”23? ,33?9 ,43? ,?仿此,若 m3 的“分裂”数中有一个是 2 015,则 ?5 17 ? ? ?11 ? ?19 m 的值为________. 8.(2015· 湖北七市模拟)将长度为 l(l≥4,l∈N*)的线段分成 n(n≥3)段,每段长度均 为正整数,并要求这 n 段中的任意三段都不能构成三角形.例如,当 l=4 时,只可 以分为长度分别为 1,1,2 的三段,此时 n 的最大值为 3;当 l=7 时,可以分为 长度分别为 1,2,4 的三段或长度分别为 1,1,1,3 的四段,此时 n 的最大值为 4.则: (1)当 l=12 时,n 的最大值为________; (2)当 l=100 时,n 的最大值为________.
k-1 1 2 3 9.(2015· 广东模拟)已知 n,k∈N* ,且 k≤n,kCk n=nCn-1,则可推出 Cn+2Cn+3Cn n 0 1 k 1 n 1 1 +?+kCk 2n 1 , 由此, 可推出 Cn + n+?+nCn=n(Cn-1+Cn-1+?Cn-1+?Cn-1)=n·
- - -

2 3 2 k 2 n 22C2 n+3 Cn+?+k Cn+?+n Cn=________.

10.(2016· 广东珠海模拟)定义 max{a,b}表示实数 a,b 中的较大的数.已知数列{an} 2max{an+1,2} 满足 a1=a(a>0),a2=1,若 an+2= (n∈N*),记数列的前项和为 Sn, a
n

则 S2 016 的值为________.

-6-

? 1 ? ? ? 11.(2016· 甘肃张掖模拟)把数列?2n-1?的所有数按照从大到小的原则写成如下数 ? ? ? ?

表: 1 1 1 3 5 1 1 7 9 1 1 15 17 ? 第 k 行有 2k-1 个数, 第 t 行的第 s 个数(从左数起)记为 A(t, s), 则 A(6, 10)=________. 12.(2015· 山东日照模拟)已知 4 4 15,?,若 a 7+b=7 2 2+ =2 3 2 , 3 3 3+ =3 8 3 , 8 4+ 4 = 15 1 11 1 13 1 19 ? 1 29

a b,(a、b 均为正实数),则类比以上等式,可推测 a、

b 的值,进而可得 a+b=________. 13.(2016· 山东济宁模拟)下面给出了四个类比推理:①a,b 为实数,若 a2+b2=0,
2 则 a=b=0;类比推出:z1,z2 为复数,若 z2 1+z2=0,则 z1=z2=0;

1 ②若数列{an}是等差数列,bn=n(a1+a2+?+an),则数列{bn}也是等差数列;类 n 比推出:若数列{cn}是各项都为正数的等比数列,dn= c1c1?cn,则数列{dn}也是 等比数列; ③若 a,b,c∈R,则(ab)c=a(bc);类比推出:若 a,b,c 为三个向量,则(a· b)· c =a· (b· c); ④若圆的半径为 a,则圆的面积为π a2;类比推出:若椭圆的长半轴为 a,短半轴 长为 b,则椭圆的面积为π ab. 上述四个推理中,结论正确的是( A.①② C.①④ B.②③ D.②④ )

14.(2016· 江西鹰潭模拟)如图,按英文字母表 A、B、C、D、E、F、 G、H、?的顺序有规律排列而成的鱼状图案中,字母“O”出现的个

-7-

数为( A.27 C.31

) B.29 D.33

15.(2016· 山东潍坊模拟)观察下列各式: 1 3 1+22<2 1 1 5 1+22+32<3 1 1 1 7 1+22+32+42<4 ?? 1 1 照此规律,当 n∈N*时,1+22+32+?+ 1 <________. (n+1)2

16. (2016· 山东日照一模)36 的所有正约数之和可按如下方法得到: 因为 36=22×32,
2 2 2 2 2 2 所以 36 的所有正约数之和为(1+3+3 )+(2+2×3+2×3 )+(2 +2 ×3+2 ×3 )

=(1+2+2 ________.

2

)(1+3+32)=91,参照上述方法,可求得 200 的所有正约数之和为

17.(2016· 高考押题卷)已知正整数 m 的 3 次幂如下分解规律: 13=1;23=3+5;33=7+9+11;43=13+15+17+19; ?, 若 m3(m∈N+)的分解中最小的数为 91,则 m 的值为________. 18.(2016· 福建漳州模拟) 已知集合 X={x1,x2,?,xn}(n∈N*,n≥3),若数列{xn} 是等差数列,记集合 P(X)={x|x=xi+xj,xi,xj∈X,1≤i≤j≤n,i,j∈N}的元素 个数为|P(X)|,则|P(X)|关于 n 的表达式为________. 19.(2015· 安徽淮南模拟)已知函数 f1(x)= fn(0)-1 2 ,fn+1(x)=f1(fn(x)),且 an= . x+1 fn(0)+2

(1)求证:{an}为等比数列,并求其通项公式; (-1)n-1 n+2 1 1 1 * (2)设 bn= , g ( n ) = 1 + + +?+ ( n ∈ N ) ,求证: g ( b n)≥ 2an 2 3 n 2 .

-8-

50.算法初步

1.(2016· 全国Ⅰ)执行下面的程序框图,如果输入的 x=0,y=1,n=1,则输出 x, y 的值满足( A.y=2x ) B.y=3x C.y=4x D.y=5x

第 1 题图

第 2 题图

2.(2016· 四川)秦九韶是我国南宋时期的数学家,普州(现四川省安岳县)人,他在所 著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法,至今仍是比较先进的算法. 如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求多项式值的一个实例,若输入 n,x 的值分别为 3,2,则输出 v 的值为( A.35 B.20 ) C.18 D.9

3.(2016· 北京,3)执行如图所示的程序框图,若输入的 a 值为 1,则输出的 k 值为 ( )

-9-

A.1

B.2

C.3

D.4

4.(2016· 全国Ⅲ)执行如图的程序框图,如果输入的 a=4,b=6,那么输出的 n= ( A.3 ) B.4 C.5 D.6

第 4 题图

第 5 题图

5.(2016· 山东)执行上边的程序框图,若输入的 a,b 的值分别为 0 和 9,则输出的 i 的值为________. 6.(2016· 江苏)如图是一个算法的流程图,则输出的 a 的值是________.

考点 1

算法的含义、程序框图 )

1.(2015· 福建)阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,则输出的结果为(

- 10 -

A.2

B.1

C.0

D.-1 )

2.(2015· 北京)执行如图所示的程序框图,输出的结果为( A.(-2,2) B.(-4,0) C.(-4,-4) D.(0,-8)

第 2 题图

第 3 题图

3.(2015· 重庆)执行如图所示的程序框图,若输出 k 的值为 8,则判断框内可填入的 条件是( 3 A.s≤4 ) 5 B.s≤6 11 C.s≤12 25 D.s≤24

4.(2015· 新课标全国Ⅱ)下边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算 术》中的“更相减损术”.执行该程序框图,若输入的 a,b 分别为 14,18,则输 出的 a=( A.0 ) B.2 C.4 D.14

- 11 -

第 4 题图

第 5 题图

5.(2014· 重庆)执行如图所示的程序框图,若输出 k 的值为 6,则判断框内可填入的 条件是( 1 A.s>2 ) 3 B.s>5 7 C.s>10 4 D.s>5

6.(2014· 四川)执行如图的程序框图,如果输入的 x,y∈R,那么输出的 S 的最大值 为( A.0 ) B.1 C.2 D.3

第 6 题图

第 7 题图 )

7.(2014· 陕西)根据框图,对大于 2 的整数 N,输出的数列的通项公式是( A.an=2n C.an=2n B.an=2(n-1) D.an=2n-1

8.(2014· 新课标全国Ⅱ)执行下面的程序框图,如果输入的 x,t 均为 2,则输出的 S =( A.4 ) B.5 C.6 D.7

- 12 -

9.(2014· 江西)阅读如下程序框图,运行相应的程序,则程序运行后输出的结果为 ( )

A.7 C.10

B.9 D.11

10.(2014· 湖南)执行如图所示的程序框图,如果输入的 t∈[-2,2],则输出的 S 属 于( ) B.[-5,-1] D.[-3,6]

A.[-6,-2] C.[-4,5]

第 10 题图

第 11 题图 )

11.(2014· 安徽)如图所示,程序框图(算法流程图)的输出结果是( A.34 考点 2 B.55 基本算法语句 C.78 D.89

12.(2015· 江苏)根据如图所示的伪代码,可知输出的结果 S 为________. S←1 I←1

- 13 -

While I<8 S←S+2 I←I+3 End While Print S

1.(2016· 河南郑州模拟)某程序框图如图所示,则该程序运行后输出的值是(

)

A.2 014

B.2 015

C.2 016

D.2 017

2.(2016· 湖北黄冈八校联考)若如下框图所给的程序运行结果为 S=41,则图中的判 断框①中应填入的是( )

A.i>6?

B.i≤6?

C.i>5?

D.i<5?

3.(2016· 湖南衡阳联考)下图是计算 500 名学生毕业测试成绩(满分为 100 分)及格率 q 的程序框图,则图中空白框内应填入( )

- 14 -

M A.q= i C.q= N M+N

M B.q= N D.q= M M+N

4.(2015· 黑龙江绥化模拟)执行如图所示的程序框图,若输入 n 的值为 22,则输出 的 S 的值为( )

A.232

B.211

C.210

D.191

5.(2016· 湖北七校联考)定义运算 a*b 为执行如图所示的程序框图输出的 S 值,则 ? 5π ? ? 5π ? ?sin ?*?cos ?的值为( 12 ? ? 12 ? ? A. 2- 3 4 3 B.4 ) 1 C.4 D. 2+ 3 4

- 15 -

第 5 题图

第 6 题图

6.(2015· 安徽合肥六校联考)某程序框图如图所示, 若该程序运行后输出 k 的值是 6, 则输入的整数 S0 的可能值为( A.5 B.6 ) C.8 D.15

9 7.(2016· 广东广州五校联考)某程序框图如图所示,该程序运行后输出的值是5,则 ( )

A.a=4

B.a=5

C.a=6

D.a=7 )

8.(2016· 安徽合肥模拟)执行如下程序框图,则输出结果为(

- 16 -

A.2

B.3

C.4

D.5

9.(2016· 湖北武汉模拟)如图所示的程序框图的算法思路源于世界数学名题“3x+1 问题”.执行该程序框图,若输入的 N=3,则输出的 i=( A.6 B.7 C.8 ) D.9

第 9 题图

第 10 题图

10.(2016· 湖南雅礼中学模拟)已知数列{an}中,a1=1,an+1=an+n,利用如图所示 的程序框图计算该数列的第 10 项,则判断框中应填的语句是( A.n>10? B.n≤10? C.n<9? )

D.n≤9?

11.(2015· 乌鲁木齐模拟)执行如图程序在平面直角坐标系上打印一系列点,则打出 的点在圆 x2+y2=10 内的个数是( A.2 B.3 ) C.4 D.5

第 11 题图

第 12 题图

12.(2015· 遂宁模拟)在区间[-2,3]上随机选取一个数 M,不断执行如图所示的程 序框图,且输入 x 的值为 1,然后输出 n 的值为 N,则 M≤N-2 的概率为( )

- 17 -

1 A.5

2 B.5

3 C.5

4 D.5

13.(2015· 济宁一模)已知如图 1 所示是某学生的 14 次数学考试成绩的茎叶图,第 1 次到第 14 次的考试成绩依次记为 A1,A2,?A14,图 2 是统计茎叶图中成绩在一定 范围内考试次数的一个程序框图,则输出的 n 的值是( )

A.8

B.9

C.10

D.11

1 1 1 1 14.(2015· 陕西一模)如图,给出的是计算2+4+6+?+2 016的值的程序框图,其 中判断框内应填入的是( )

A.i≤2 021 C.i≤2 017

B.i≤2 019 D.i≤2 015

15.(2015· 山东枣庄模拟)某算法的程序框图如图所示,如果输出的结果为 26,则判 断框内的条件应为( )

- 18 -

A.k≤5?

B.k>4?

C.k>3?

D.k≤4?

51.数系的扩充与复数的引入

1.(2016· 山东)若复数 z= A.1+i

- 2 ,其中 i 为虚数单位,则 z =( 1-i

) D.-1-i

B.1-i


C.-1+i )

z 2.(2016· 全国Ⅲ)若 z=4+3i,则|z|=( A.1 4 3 C.5+5i B.-1 4 3 D.5-5i

3.(2016· 全国Ⅰ)设(1+2i)(a+i)的实部与虚部相等,其中 a 为实数,则 a=( A.-3 4.(2016· 北京)复数 A.i C.-i B.-2 1+2i =( 2-i ) B.1+i D.1-i ) C.2 D.3

)

5.(2016· 全国Ⅰ)设(1+i)x=1+yi,其中 x,y 是实数,则|x+yi|=( A.1 C. 3 B. 2 D.2


6.(2016· 全国Ⅱ)设复数 z 满足 z+i=3-i,则 z =( A.-1+2i B.1-2i

)

- 19 -

C.3+2i 7.(2016· 全国Ⅲ)若 z=1+2i,则 A.1 B.-1


D.3-2i =( zz -1


4i

) D.-i )

C.i

8.(2016· 山东)若复数 z 满足 2z+ z =3-2i,其中 i 为虚数单位,则 z=( A.1+2i C.-1+2i B.1-2i D.-1-2i

9.(2016· 全国Ⅱ)已知 z=(m+3)+(m-1)i 在复平面内对应的点在第四象限, 则实数 m 的取值范围是( A.(-3,1) C.(1,+∞) ) B.(-1,3) D.(-∞,-3) )

10.(2016· 四川)设 i 为虚数单位,则复数(1+i)2=( A.0 C.2i B.2 D.2+2i

11.(2016· 江苏)复数 z=(1+2i)(3-i),其中 i 为虚数单位,则 z 的实部是________. 12.(2016· 北京)设 a∈R,若复数(1+i)(a+i)在复平面内对应的点位于实轴上,则 a =________. a 13.(2016· 天津)已知 a, b∈R, i 是虚数单位, 若(1+i)(1-bi)=a, 则b的值为________.

考点 1

复数的概念 2i 在复平面内所对应的点位于( 1-i B.第二象限 D.第四象限 ) )

1.(2015· 安徽)设 i 是虚数单位,则复数 A.第一象限 C.第三象限

2.(2015· 新课标全国Ⅱ)若 a 为实数,且(2+ai)(a-2i)=-4i,则 a=( A.-1 C.1 B.0 D.2 )

3.(2014· 重庆)复平面内表示复数 i(1-2i)的点位于( A.第一象限 B.第二象限

- 20 -

C.第三象限

D.第四象限 )

4.(2014· 浙江)已知 i 是虚数单位, a, b∈R, 则“a=b=1”是“(a+bi)2=2i” 的( A.充分不必要条件 C.充分必要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

5.(2014· 陕西)原命题为“若 z1,z2 互为共轭复数,则|z1|=|z2|” ,关于其逆命题,否 命题,逆否命题真假性的判断依次如下,正确的是( A.真,假,真 C.真,真,假 B.假,假,真 D.假,假,假
- -

)

6.(2014· 广东)对任意复数 ω1, ω 2, 定义 ω1*ω 2=ω1ω 2, 其中ω 2 是 ω2 的共轭复数, 对任意复数 z1,z2,z3,有如下四个命题: ①(z1+z2)*z3=(z1*z3)+(z2*z3); ②z1*(z2+z3)=(z1*z2)+(z1*z3); ③(z1*z2)*z3=z1*(z2*z3); ④z1*z2=z2*z1. 则真命题的个数是( A.1 考点 2 复数的运算


) B.2 C.3 D.4

7.(2015· 广东)若复数 z=i(3-2i)(i 是虚数单位),则 z =( A.3-2i C.2+3i B.3+2i D.2-3i

)

8.(2015· 陕西)设复数 z=(x-1)+yi(x,y∈R),若|z|≤1,则 y≥x 的概率为( 3 1 A.4+ 2π 1 1 C.2- π 9.(2015· 新课标全国Ⅰ)设复数 z 满足 A.1 B. 2 1 1 B.4- 2π 1 1 D.2+ π 1+z =i,则|z|=( 1-z C. 3 ) D.3i ) D.2

)

2 10.(2015· 四川)设 i 是虚数单位,则复数 i3- i =( A.-i B.-3i C.i
- 21 -

11.(2015· 北京)复数 i(2-i)=( A.1+2i C.-1+2i B.1-2i D.-1-2i

)

12.(2015· 福建)若集合 A={i,i2,i3,i4}(i 是虚数单位),B={1,-1},则 A∩B 等 于( ) B.{1} C.{1,-1} 7+i =( 3+4i ) D.?

A.{-1}

13.(2014· 天津)i 是虚数单位,复数 A.1-i 17 31 C.25+25i

B.-1+i 17 25 D.- 7 + 7 i

14.(2014· 山东)已知 a,b∈R,i 是虚数单位,若 a-i 与 2+bi 互为共轭复数,则(a +bi)2=( A.5-4i C.3-4i ) B.5+4i D.3+4i ) D.3-2i

15.(2014· 辽宁)设复数 z 满足(z-2i)(2-i)=5,则 z=( A.2+3i B.2-3i C.3+2i

16.(2014· 新课标全国Ⅱ)设复数 z1, z2 在复平面内的对应点关于虚轴对称, z1=2+i, 则 z1z2=( A.-5 ) B.5 C.-4+i ) D.-4-i

(1+i)3 17.(2014· 新课标全国Ⅰ) =( (1-i)2 A.1+i C.-1+i B.1-i D.-1-i


18.(2015· 山东)若复数 z 满足 A.1-i B.1+i

z =i,其中 i 为虚数单位,则 z=( 1-i C.-1-i D.-1+i

)

19.(2015· 重庆)设复数 a+bi(a,b∈R)的模为 3,则(a+bi)(a-bi)=________. 20.(2015· 天津)i 是虚数单位,若复数(1-2i)(a+i)是纯虚数,则实数 a 的值为 ________.

- 22 -

1.(2016· 江西临川模拟)若纯虚数 z 满足(1-i)z=1+ai,则实数 a 等于( A.0 C.-1 2.(2015· 安徽江南十校模拟)若复数 等,则 a=( A.3 ) B.6 C.9 D.12 B.-1 或 1 D.1

)

6+ai (其中 a∈R, i 为虚数单位)的实部与虚部相 3-i

3.(2015· 广东广州模拟)已知 i 为虚数单位,复数 z=(1+2i)i 对应的点位于( A.第一象限 C.第三象限 4.(2015· 万州区模拟)设复数 z= ( ) B.0 C.1 D.2 B.第二象限 D.第四象限

)

a+i (a∈R,i 为虚数单位),若 z 为纯虚数,则 a= 1-i

A.-1

?a, b? ?z, 1+i? ?=ad-bc,则符合条件? ?=0 的 5.(2016· 河南郑州模拟)定义运算? ?c, d ? ?-i, 2i ?


复数 z 对应的点在( A.第一象限 C.第三象限

) B.第二象限 D.第四象限

4? ? 3? ? 6.(2016· 湖北黄冈八校模拟)若复数 z=?cos θ -5?+?sin θ -5?i 是纯虚数(i 为虚数 ? ? ? ? π? ? 单位),则 tan?θ - ?的值为( 4? ? A.-7 C.7 ) 1 B.-7 1 D.-7 或-7


7.(2016· 湖北七校联考)复数 z=1+2i(i 为虚数单位), z 为 z 的共轭复数,则下列结 论正确的是(


)


A. z 的实部为-1

B. z 的虚部为-2i

- 23 -

- -

C.z· z =5

z D. z =i 1+2i 对应的点位于( 1-i )

8.(2015· 乌鲁木齐模拟)在复平面内,复数 A.第一象限 C.第三象限

B.第二象限 D.第四象限 )

9.(2015· 遂宁模拟)已知复数 z 满足:zi=2+i(i 是虚数单位),则 z 的虚部为( A.2i B.-2i C.2 D.-2


10.(2015· 济宁一模)已知 i 为虚数单位,复数 z 满足 iz=1+i,则 z =( A.1+i C.-1+i B.1-i D.-1-i 2i 等于( 1+i )

)

11.(2015· 青岛一模)设 i 为虚数单位,复数 A.-1+i C.1-i

B.-1-i D.1+i
2

z1 12.(2015· 陕西一模)已知复数 z1=2+i,z2=1-2i,若 z=z ,则- z =( 4 A.5+i 4 B.5-i 2i =( 2-i ) 2 4 B.5-5i 2 4 D.-5-5i
- 1 ,则| z |=( i-1

)

C.i

D.-i

13.(2015· 德阳模拟)复数 2 4 A.-5+5i 2 4 C.5+5i

14.(2015· 山东枣庄模拟)i 是虚数单位,若 z= 1 A.2 2 B. 2 C. 2

) D.2

? 2+i ?2 ? <0(m∈R),则 m 的值为 15.(2015· 四川成都模拟)已知 i 是虚数单位, 若? ?1+mi? ( 1 A.2 ) B.-2 C.2 1 D.-2

- 24 -

16.(2015· 陕西西安模拟)设 a∈R,i 是虚数单位,则“a=1”是“ 的( ) B.必要不充分条件 D.既不充分又不必要条件

a+i 为纯虚数” a-i

A.充分不必要条件 C.充要条件 17.(2015· 贵州模拟)复数 z= 能位于( A.第一象限 C.第三象限 )

m-2i (m∈R,i 为虚数单位)在复平面上对应的点不可 1+2i

B.第二象限 D.第四象限 2 的四个命题: 1-i

18.(2015· 甘肃河西五地模拟)下面是关于复数 z= p1:|z|=2, p2:z2=2i, p4:z 的虚部为 1.

p3:z 的共轭复数为-1+i, 其中真命题为( A.p2,p3 C.p2,p4 )

B.p1,p2 D.p3,p4 a+i2 015 的值为 1+2i

19.(2015· 安徽马鞍山模拟)若复数 z=(a2-4)+(a+2)i 为纯虚数,则 ( A.1 ) B.-1 C.i ) D.3 3-4i i =( ) D.-i

2 20.(2015· 河南信阳模拟)已知复数 z=1+ i ,则|z|等于( A. 3 B. 5 C.2

21.(2015· 山东滨州模拟)设 i 为虚数单位,则复数 A.-4-3i B.-4+3i C.4+3i


D.4-3i


22.(2015· 山东德州模拟)设复数 z 的共轭复数为 z ,若(2+i)z=3-i,则 z· z 的值为 ( A.1 C. 2 ) B.2 D.4

- 25 -

z1 z2 23.(2015· 山东菏泽模拟)已知复数 z1=1-i,z2=1+i,则 i 等于( A.2i C.2+i B.-2i D.-2+i

)

24.(2015· 山东济南模拟)已知 i 是虚数单位,m 是实数,若 ( ) 1 B.-2 1 D.2

m+i 是纯虚数,则 m= 2-i

A.-2 C.2

25.(2016· 广西柳州模拟)已知 i 为虚数单位,复数 z 满足 zi= =( A. 3 C. 5 26.(2016· 河北三市联考)若复数 z= 数 a 可以是( A.-4 C.1 ) B.-3 D.2
- -

3-i ,则复数 z 的模|z| 1+i

) B.4 D.2 a+3i 则实 i +a 在复平面上对应的点在第二象限,

27.(2016· 广东汕尾模拟)已知复数 z 的共轭复数为 z ,且 z = A.2 C.2 2 B. 2 2 D. 2

2 ,则|z|等于( 1+i

)

28.(2016· 云南昆明七校联考)已知 i 为虚数单位,a∈R,如果复数 2i- 则 a 的值为( A.-4 C.-2 29.(2016· 哈尔滨六中模拟)已知复数 z= A.z 的虚部为 4i
- 26 -

ai 是实数, 1-i

) B.2 D.4 5+3i ,则下列说法正确的是( 1-i )

B.z 的共轭复数为 1-4i C.|z|=5 D.z 在复平面内对应的点在第二象限 30.(2015· 广东广州模拟)已知 i 是虚数单位,C 是全体复数构成的集合,若映射 f: C→R 满足: 对任意 z1,z2∈C,以及任意 λ∈R , 都有 f(λz1+(1-λ)z2)=λf(z1)+(1 -λ)f(z2), 则称映射 f 具有性质 P. 给出如下映射: ①f1:C→R,f1(z)=x-y,z=x+yi(x,y∈R); ②f2:C→R,f2(z)=x2-y,z=x+yi(x,y∈R); ③f3:C→R,f3(z)=2x+y,z=x+yi(x,y∈R). 其中, 具有性质 P 的映射的序号为( A.①② C.②③ 31.(2016· 山西临汾模拟)已知虚数 z= 1 A.-5 1 B.-5i ) B.①③ D.①②③ 4+3i 5 - 5 ,则 z 的虚部是( 3-4i 1 C.5 1 D.5i )

32.(2016· 湖北孝感六校联考)在复平面中, 满足等式|z+i|=|4-3i|的复数 z 所对应点 的轨迹是( A.一条直线 C.圆 ) B.两条直线 D.椭圆

- 27 -

第十一章

推理证明、算法、复数

49.推理与证明、数学归纳法
【三年高考真题演练】 [2016 年高考真题] 1.B [取两个球往盒子中放有 4 种情况: ①红+红,则乙盒中红球数加 1 个; ②黑+黑,则丙盒中黑球数加 1 个; ③红+黑(红球放入甲盒中),则乙盒中黑球数加 1 个; ④黑+红(黑球放入甲盒中),则丙盒中红球数加 1 个;因为红球和黑球个数一样, 所以①和②的情况一样多.③和④的情况随机,③和④对 B 选项中的乙盒中的红球 与丙盒中的黑球数没有任何影响,①和②出现的次数是一样的,所以对 B 选项中 的乙盒中的红球与丙盒中的黑球数的影响次数一样.综上选 B.] 2.B [由数据可知,进入立定跳远决赛的 8 人为:1~8 号,所以进入 30 秒跳绳决 赛的 6 人需要从 1~8 号产生,数据排序后可知第 3,6,7 号必须进跳绳决赛,另 外 3 人需从 63,a,63,60,a-1 四个得分中抽取,若 63 分的人未进决赛,则 60 分的人就会进入决赛,与事实矛盾,所以 63 分必进决赛.故选 B.] 3.1 和 3 [由丙说:“我的卡片上的数字之和不是 5”可知,丙为“1 和 2”或“1

和 3”, 又乙说“我与丙的卡片上相同的数字不是 1”, 所以乙只可能为“2 和 3”, 所以由甲说“我与乙的卡片上相同的数字不是 2”,所以甲只能为“1 和 3”.] 4 4 4.3×n×(n+1) [观察等式右边的规律:第 1 个数都是3,第 2 个数对应行数 n, 第 3 个数为 n+1.] -x ? ? y 5.②③ [①设 A 的坐标(x,y),伴随点 A′? 2 2, 2 2?, ?x +y x +y ? -x x +y2 A′的伴随点横坐标为 =-x,同理可得纵坐标为-y,故 A″(- ? y ?2 ? -x ?2 ?x2+y2? +? 2 2? ? ? ?x +y ?
2

x,-y),错误; ②设单位圆上的点 P 的坐标为(cos θ,sin θ),则 P 的伴随点的坐标为 P′(sin θ,-cos θ),则有 sin2θ+(-cos θ)2=1,
- 28 -

所以 P′也在单位圆上,即单位圆的“伴随曲线”是它自身,②正确; ③设曲线 C 上点 A 的坐标(x,y),其关于 x 轴对称点 A1(x,-y)也在曲线 C 上,所 -x ? ? y 以点 A 的伴随点 A′? 2 2, 2 2?, ?x +y x +y ? -x ? ? -y 点 A1 的伴随点 A1′? 2 2, 2 2?,A′与 A1′关于 y 轴对称.③正确; ?x +y x +y ? ④反例:例如 y=1 这条直线,则 A(0,1),B(1,1),C(2,1),而这三个点的伴随 1? 2? ?1 ?1 点分别是 A′(1,0),B′?2,-2?,C′?5,-5?,而这三个点不在同一直线上,下 ? ? ? ? 面给出严格证明: 设点 P(x,y)在直线 l:Ax+By+C=0 上,P 点的伴随点为 P′(x0,y0), y -y0 ? ? x0= 2 2, 2, ? x +y ?x=x2 0+y0 则? 解得? -x x0 2. ? + ?y0=x2+y2, ? ?y=x2 0 y0 -y0 x0 代入直线方程可知:A 2 2+B 2 2+C=0, x0+y0 x0+y0
2 2 化简得:-Ay0+Bx0+C(x0 +y0 )=0, 2 当 C=0 时,C(x2 0+y0)是一个常数,P′的轨迹是一条直线; 2 当 C≠0 时,C(x2 0+y0)不是一个常数,P′的轨迹不是一条直线.

所以,直线“伴随曲线”不一定是一条直线.④错误.] 6.(1)解
3 4 7C6 -4C7 =7×20-4×35=0.

(2)证明 对任意的 m,n∈N*,n≥m, ①当 n=m 时,左边=(m+1)Cm m=m+1,
+2 右边=(m+1)Cm m+2=m+1,原等式成立.

②假设 n=k(k≥m)时命题成立.
m m m m m+2 即(m+1)Cm m+(m+2)Cm+1+(m+3)Cm+2+?+kCk-1+(k+1)Ck =(m+1)Ck+2 ,

当 n=k+1 时,
m m m m m 左边=(m+1)Cm m+(m+2)Cm+1+(m+3)Cm+2+?+kCk-1+(k+1)Ck +(k+2)Ck+1=
+2 m (m+1)Cm k+2 +(k+2)Ck+1, +2 右边=(m+1)Cm k+3 . +2 m+2 而(m+1)Cm k+3 -(m+1)Ck+2

- 29 -

(k+3)! (k+2)! ? ? - ? =(m+1)? ( m + 2 )!( k - m + 1 )! ( m + 2 )!( k - m )! ? ? =(m+1)× =(k+2) (k+2)! [(k+3)-(k-m+1)] (m+2)!(k-m+1)!

(k+1)! m =(k+2)Ck +1, m!(k-m+1)!

+2 m m+2 ∴(m+1)Cm k+2 +(k+2)Ck+1=(m+1)Ck+3 ,

∴左边=右边. 即 m=k+1 时命题也成立. 综合①②可得原命题对任意 m,n∈N*,n≥m 均成立. [两年经典高考真题] ?a1>0, ?a1<0, 1.D [等比数列{an}为递增数列的充要条件为? 或? 故“q>1”是 ?q>1 ?0<q<1 “{an}为递增数列”的既不充分也不必要条件.故选 D.] 2.4n-1 [观察等式,第 1 个等式右边为 40=41-1, 第 2 个等式右边为 41=42-1,第 3 个等式右边为 42=43-1, 第 4 个等式右边为 43=44-1,所以第 n 个等式右边为 4n-1.] 3.5 [(ⅰ)x4⊕x5⊕x6⊕x7=1⊕1⊕0⊕1=1,(ⅱ)x2⊕x3⊕x6⊕x7=1⊕0⊕0⊕1=0; (ⅲ)x1⊕x3⊕x5⊕x7=1⊕0⊕1⊕1=1.由(ⅰ)(ⅲ)知 x5,x7 有一个错误,(ⅱ)中没有错 误,∴x5 错误,故 k 等于 5.] 1 2 4.4 [由题意知数列{an}是以首项 a1=2,公比 q= 2 的等比数列,∴a7=a1·q6= ? 2?6 1 2×? ? =4.] ?2? 5.6 [根据题意可分四种情况: (1)若①正确,则 a=1,b=1,c≠2,d=4,符合条件的有序数组有 0 个; (2)若②正确,则 a≠1,b≠1,c≠2,d=4,符合条件的有序数组为(2,3,1,4) 和(3,2,1,4); (3)若③正确,则 a≠1,b=1,c=2,d=4,符合条件的有序数组为(3,1,2,4); (4)若④正确,则 a≠1,b=1,c≠2,d≠4,符合条件的有序数组为(2,1,4,3), (4,1,3,2),(3,1,4,2).所以共有 6 个.故答案为 6.]

- 30 -

6.F+V-E=2 -E=2.] 7.(1)证明

[因为 5+6-9=2,6+6-10=2,6+8-12=2,故可猜想 F+V

2an+1 因为 2a =2an+1-an=2d(n=1,2,3)是同一个常数,所以 2a1,2a2, n

2a3,2a4 依次构成等比数列, (2)解 不存在,理由如下: 令 a1+d=a,则 a1,a2,a3,a4 分别为 a-d,a,a+d,a+2d(a>d,a>-2d,d ≠0).
3 4 假设存在 a1,d,使得 a1,a2 2,a3,a4依次构成等比数列,

则 a4=(a-d)(a+d)3,且(a+d)6=a2(a+2d)4. d ? 1 ? 令 t=a,则 1=(1-t)(1+t)3,且(1+t)6=(1+2t)4?-2<t<1,t≠0?, ? ? 化简得 t3+2t2-2=0(*),且 t2=t+1. 将 t2=t+1 代入(*)式, t(t+1)+2(t+1)-2=t2+3t=t+1+3t=4t+1=0, 1 则 t=-4. 1 显然 t=-4不是上面方程的解,矛盾,所以假设不成立.
3 4 因此不存在 a1,d,使得 a1,a2 2,a3,a4依次构成等比数列.

(3)解 不存在,理由如下:
+3k n +k n+2k 假设存在 a1,d 及正整数 n,k,使得 an ,an 依次构成等比数列, 1,a2 ,a3 4

n+2k 则 an =(a1+d)2(n+k),且(a1+d)n+k(a1+3d)n+3k=(a1+2d)2(n+2k). 1(a1+2d)
(n+k) (n+2k) 分别在两个等式的两边同除以 a2 及 a2 , 1 1

1 d? ? 并令 t=a ?t>-3,t≠0?, ? ? 1 则(1+2t)n+2k=(1+t)2(n+k), 且(1+t)n+k(1+3t)n+3k=(1+2t)2(n+2k). 将上述两个等式两边取对数, 得(n+2k)ln(1+2t)=2(n+k)ln(1+t), 且(n+k)ln(1+t)+(n+3k)ln(1+3t)=2(n+2k)ln(1+2t). 化简得 2k[ln(1+2t)-ln(1+t)]=n[2ln(1+t)-ln(1+2t)],
- 31 -

且 3k[ln(1+3t)-ln(1+t)]=n[3ln(1+t)-ln(1+3t)]. 再将这两式相除,化简得 ln(1+3t)ln(1+2t)+3ln(1+2t)ln(1+t)=4ln(1+3t)ln(1+t)(**). 令 g(t)=4ln(1+3t)ln(1+t)-ln(1+3t)ln(1+2t)- 3ln(1+2t)ln(1+t), 则 g′(t)= 2[(1+3t)2ln(1+3t)-3(1+2t)2ln(1+2t)+3(1+t)2ln(1+t)] . (1+t)(1+2t)(1+3t) 令 φ(t)=(1+3t)2ln(1+3t)-3(1+2t)2ln(1+2t)+3(1+t)2ln(1+t), 则 φ′(t)=6[(1+3t)ln(1+3t)-2(1+2t)ln(1+2t)+(1+t)ln(1+t)]. 令 φ1(t)=φ′(t),则 φ1′(t)=6[3ln(1+3t)-4ln(1+2t)+ln(1+t)]. 令 φ2(t)=φ1′(t),则 φ2′(t)= 12 >0. (1+t)(1+2t)(1+3t)

由 g(0)=φ(0)=φ1(0)=φ2(0)=0,φ′2(t)>0, ? 1 ? 知 φ2(t),φ1(t),φ(t),g(t)在?-3,0?和(0,+∞)上均单调. ? ? 故 g(t)只有唯一零点 t=0,即方程(**)只有唯一解 t=0,故假设不成立.
+3k n+k n+2k 所以不存在 a1,d 及正整数 n,k,使得 an ,an 依次构成等比数列. 1,a2 ,a3 4

8.解 (1)Y6={1,2,3,4,5,6},S6 中的元素(a,b)满足: 若 a=1,则 b=1,2,3,4,5,6;若 a=2,则 b=1,2,4,6; 若 a=3,则 b=1,3,6.所以 f(6)=13. (2)当 n≥6 时,

? ?n+2+??n-1+n-1??,n=6t+1, ? ?2 3? n-2? ?,n=6t+2, ?n+2+???n + 2 3 ? f(n)=? (t∈N ). ?n-1 n? ?n+2+?? 2 +3??,n=6t+3, n-1? ?n+2+???n ?,n=6t+4, + 2 3 ? ?n+2+??n-1+n-2??,n=6t+5 ? ?2 3?
*

?n n? n+2+?2+3?,n=6t, ? ?

- 32 -

下面用数学归纳法证明: 6 6 ①当 n=6 时,f(6)=6+2+2+3=13,结论成立; ②假设 n=k(k≥6)时结论成立,那么 n=k+1 时,Sk+1 在 Sk 的基础上新增加的元素 在(1,k+1),(2,k+1),(3,k+1)中产生,分以下情形讨论: 1)若 k+1=6t,则 k=6(t-1)+5,此时有 k-1 k-2 f(k+1)=f(k)+3=k+2+ 2 + 3 +3 k+1 k+1 =(k+1)+2+ 2 + 3 ,结论成立; 2)若 k+1=6t+1,则 k=6t,此时有 k k f(k+1)=f(k)+1=k+2+2+3+1 =(k+1)+2+ (k+1)-1 (k+1)-1 + ,结论成立; 2 3

3)若 k+1=6t+2,则 k=6t+1,此时有 k-1 k-1 f(k+1)=f(k)+2=k+2+ 2 + 3 +2 k+1 (k+1)-2 =(k+1)+2+ 2 + ,结论成立; 3 4)若 k+1=6t+3,则 k=6t+2,此时有 k k-2 f(k+1)=f(k)+2=k+2+2+ 3 +2 =(k+1)+2+ (k+1)-1 k+1 + 3 ,结论成立; 2

5)若 k+1=6t+4,则 k=6t+3,此时有 f(k+1)=f(k)+2=k+2+ k-1 k + +2 2 3

k+1 (k+1)-1 =(k+1)+2+ 2 + ,结论成立; 3 6)若 k+1=6t+5,则 k=6t+4,此时有 k k-1 f(k+1)=f(k)+1=k+2+2+ 3 +1 =(k+1)+2+ (k+1)-1 (k+1)-2 + ,结论成立. 2 3
- 33 -

综上所述,结论对满足 n≥6 的自然数 n 均成立. 【两年模拟试题精练】 1.A [当 n=k 时,左侧=(k+1)(k+2)?(k+k),当 n=k+1 时,左侧=(k+1+1)(k +1+2)?(k+1+k)(k+1+k+1)=(k+2)(k+3)?(k+1+k)(k+1+k+1), 故新增项 为 (k+1+k)(k+1+k+1) =2(2k+1),故选 A.] k+1 [因为只有一人猜对,若甲猜对,则乙错,即 3 号选手也得第一名,与题设

2.D

矛盾;若乙猜对,则甲、丙、丁都错,由甲、丁错可知,6 号选手得第一名;与丙 错矛盾;若丙猜对,则乙错,与题设矛盾,所以猜对者一定是丁,故选 D.] 1 2 3. m2-n2 [当 n=0,m=1 时,为第一个式子3+3=1 此时 1=12-0=m2-n2, 7 8 10 11 当 n=2,m=4 时,为第二个式子3+3+ 3 + 3 =12;此时 12=42-22=m2-n2, 16 17 19 20 22 23 当 n=5,m=8 时,为第三个式子 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 =39 此时 39=82-52 =m2-n2, 3n+1 3n+2 3m-2 3m-1 由归纳推理可知等式: 3 + 3 +?+ 3 + 3 =m2-n2.故答案为:m2 -n2.] 4.C n 1 [由题意,得 = ,∴a1+a2+?+an=5n2,则 a1=5,an=(a1 a1+a2+?+an 5n

+a2+?+an)-(a1+a2+?+an-1)=5n2-5(n-1)2=5(2n-1)(n≥2),而 a1=5 也 1 ? 1 1? 1 1 适合上式,∴an=5(2n-1)(n∈N*),bn=2n-1, =2?2n-1-2n+1?,∴b b bnbn+1 ? ? 1 2 1 ?? 1? 1 ? 10 1 1 1??1 1? ?1 1? ?1 +b b +?+b b =2??1-3?+?3-5?+?+?19-21??=2?1-21?=21,故选 C.] ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 3 10 11 5.120 [由题意,第 n 层菱草数为 1+2+?+n= ∴1+3+6+?+ n(n+1) =680, 2 n(n+1) , 2

1 1?1 ? 1 即为2?6n(n+1)(2n+1)+2n(n+1)?=6n(n+1)(n+2)=680, ? ? 即有 n(n+1)(n+2)=15×16×17,

- 34 -

∴n=15,∴

n(n+1) =120.故答案为:120.] 2

6.n·2n-1 [S1=1,S2=4,当 n=3 时,S3=1+2+3+(2-1)+(3-1)+(3-2)+(3 -2+1)=12, S4=1+2+3+4+(2-1)+(3-1)+(4-1)+(3-2)+(4-2)+(4-3)+(3-2+1)+ (4-2+1)+(4-3+1)+(4-3+2)+(4-3+2-1)=32, ∴根据前 4 项猜测集合 N={1,2,3,?,n}的每一个非空子集的“交替和”的总 和 Sn=n· 2n-1,故答案为:n· 2n-1.] 7.45 [由题意,从 23 到 m3,正好用去从 3 开始的连续奇数共 2+3+4+?+m= (m+2)(m-1) 个,2 015 是从 3 开始的第 1 007 个奇数, 2 当 m=44 时,从 23 到 443,用去从 3 开始的连续奇数共 当 m=45 时,从 23 到 453,用去从 3 开始的连续奇数共 8.(1)5 (2)9 46×43 2 =989 个. 47×44 2 =1 034 个.]

[当 l=12 时,为使 n 最大,先考虑截下的线段最短,第 1 段和第 2

段长度为 1、1,由于任意三段都不能构成三角形,∴第 3 段的长度为 1+1=2, 第 4 段和第 5 段长度为 3、5,恰好分成了 5 段;(2)当 l=100 时,依次截下的长度 为 1、1、2、3、5、8、13、21、34 的线段,长度和为 88,还余下长为 12 的线段, 因此最后一条线段长度取为 34+12=46,故 n 的最大值是 9.] 9.n(n+1)· 2n-2
2 2 2 3 2 k 2 n 0 1 [C1 n+2 Cn+3 Cn+?+k Cn+?+n Cn=n(Cn-1+2Cn-1+?+

-1 n-1 kCk n-1+?+nCn-1)

0 1 k-1 n-1 1 2 k-1 =n[(Cn -1+Cn-1+?+Cn-1+?+Cn-1)+(Cn-1+2Cn-1+?+(k-1)Cn-1+?+(n
-1 -1)Cn n-1)].]

10.7 255

4 [由题意 a3=a,当 a≥2 时,a4=4,a5=2a,a6=a,a7=1,因此{an}是

8 周期数列,周期为 5,所以 a2 015=a5=2a≠4a,不合题意;当 a<2 时,a4=a,a5 =4,a6=a,a7=1,同理{an}是周期数列,周期为 5,所以 a2 015=a5=4=4a,a =1, a1+a2+a3+a4+a5=18,S2 016=403×18+1=7 255.] 1 11.81 [前 5 行共有 20+21+22+23+24=31 个数,A(6,10)为数列的第 41 项,令
- 35 -

1 1 an= ,则 a41=81.] 2n-1 12.55 [观察下列等式 2 3, 3 3+8=3 3 8, 4 4+15=4 4 15,?,

2 2+3=2

照此规律,第 7 个等式中:a=7,b=72-1=48,∴a+b=55,故答案为:55.] 13.D [①中类比得到|z1|=|z2|=0,故错误,③中向量的数量积不满足结合律,故 错误.] 14.B [由图可知 a1=1,d=2,∴an=1+(n-1)d=2n-1, O 是英文字母的第 15 个字母,所以 a15=29,应选 B.] 2n+1 15. n+1 [有各式的规律可知,右边的分子以 3 为首项,以 2 为公差的等差数列,

1 分母以 2 为首项, 以 1 为公差的等差数列, 依此类推可以得到当 n∈N*时, 1+22+ 2n+1 1 1 32+?+(n+1)2< n+1 .] 16.465 [类比 36 的所有正约数之和的方法有:200 的所有正约数之和可按如下方

法得到:因为 200=23×52,所以 200 的所有正约数之和为(1+2+22+23)(1+5+ 52)=465,所以 200 的所有正约数之和为 465.] 17.10 [m3 的分解规律恰好为数列 1,3,5,7,9,?中若干连续项之和,23 为连

续两项和,33 为接下来三项和,故 m3 的首个数为 m2-m+1. ∵m3(m∈N+)的分解中最小的数为 91,∴m2-m+1=91,解得 m=10.] 18.2n-3 [当 n=3 时,集合 X 中有 3 个元素成等差数列,|P(X)|=C2 3=3,

当 n=4 时,集合 X 中含有 4 个元素成等差数列,由于 X1+X4=X2+X3,|P(X)|= C2 4-1=5, 当 n=5 时,集合 X 中有 4 个元素成等差数列,由于 X1+X4=X2+X3, X1+X5=X2+X4,X2+X5=X3+X4,|P(X)|=C2 5-3=7, 可见形成一个等差数列,根据等差数列通项公式,按照归纳推理可知:当 X 有 n 个元素时,|P(X)|=3+(n-3)×2=2n-3.]

- 36 -

19.证明

2 -1 fn(0)+1 2 fn+1(0)-1 +2 f1(0)-1 1 an+1 fn+1(0)+2 fn(0)+1 (1)由题设知 a1= = , ∴ a = = = f1(0)+2 4 fn(0)-1 fn(0)-1 n fn(0)+2 fn(0)+2

1-fn(0) 2fn(0)+4 1 ? 1?n+1 =-2,∴数列{an}为等比数列,通项公式为 an=?-2? . ? ? fn(0)-1 fn(0)+2 1 1 1 (2)解 由(1)知 bn=2n,g(bn)=1+ + +?+ n, 2 3 2 1 1 1 n+2 只要证:1+2+3+?+2n≥ 2 ,下面用数学归纳证明: 1 1+2 n=1 时,1+2= 2 ,结论成立; 1 1 1 k+2 假设 n=k 时成立,即 1+2+3+?+2k> 2 , k+2 1 1 1 1 1 1 1 那么:n=k+1 时,1+2+3+?+2k+ k +?+ k+1> 2 + k +?+ k+1> 2 +1 2 2 +1 2 k+2 k+2 1 1 1 1 k k+3 + + k+1+ k+1+?+ k+1> k+12 = 2 2 2 ,即 n=k+1 时,结论也成立, 2 2 2 2 所以 n∈N,结论成立.

50.算法初步
【三年高考真题演练】 [2016 年高考真题] 1.C [执行题中的程序框图,知 1-1 =0,y=1×1=1,x2+y2<36; 2

第一次进入循环体:x=0+

2-1 1 第二次执行循环体:n=1+1=2,x=0+ 2 =2,y=2×1=2,x2+y2<36; 1 3-1 3 第三次执行循环体:n=2+1=3,x=2+ 2 =2,y=3×2=6,x2+y2>36,满足 3 x2+y2≥36,故退出循环,输出 x=2,y=6,满足 y=4x,故选 C.] 2.C [按照图中的程序计算,当 i=2 时,得 v=4;当 i=1 时,得 v=2×4+1=9;
- 37 -

当 i=0 时,得 v=2×9+0=18;当 i=-1 时,直接输出 v=18,即输出的 v 值为 18.] 3.B [k=0,b=a=1, 第一次循环:a= 第二次循环:a= -1 1 =-2≠1,k=0+1=1; 1+1 -1 1=-2≠1,k=1+1=2; 1-2 -1 =1,满足 a=b,输出 k=2.] 1-2

第三次循环:a=

4.B [第一次循环 a=6-4=2,b=6-2=4,a=4+2=6,i=6,n=1; 第二次循环 a=-6+4=-2,b=4-(-2)=6,a=6-2=4,i=10,n=2; 第三次循环 a=6-4=2,b=6-2=4,a=4+2=6,i=16,n=3; 第四次循环 a=4-6=-2,b=4-(-2)=6,a=6-2=4,i=20,n=4,满足题 意,结束循环.] 5.3 [第 1 次循环:i=1,a=1,b=8,a<b; 第 2 次循环:i=2,a=3,b=6,a<b; 第 3 次循环:i=3,a=6,b=3,a>b,输出 i 的值为 3.] 6.9 [a=1,b=9,不满足 a>b,进入循环体,则 a=5,b=7,仍不满足 a>b, 进入循环体,则 a=9,b=5,满足 a>b,输出 a=9.] [两年经典高考真题] 1.C [当 i=1,S=0 进入循环体运算时,S=0,i=2;S=0+(-1)=-1,i=3;S

=-1+0=-1,i=4;∴S=-1+1=0,i=5;S=0+0=0,i=6>5,故选 C.] 2.B [第一次循环:S=1-1=0,t=1+1=2;x=0,y=2,k=1; 第二次循环:S=0-2=-2,t=0+2=2,x=-2,y=2,k=2; 第三次循环:S=-2-2=-4,t=-2+2=0,x=-4,y=0,k=3.输出(-4,0).] 3.C 1 1 1 11 [由程序框图,k 的值依次为 0,2,4,6,8,因此 S=2+4+6=12(此时 k=

11 6)还必须计算一次,因此可填 S≤12,选 C.] 4.B [由题知,若输入 a=14,b=18,则 第一次执行循环结构时,由 a<b 知,a=14,b=b-a=18-14=4;

- 38 -

第二次执行循环结构时,由 a>b 知,a=a-b=14-4=10,b=4; 第三次执行循环结构时,由 a>b 知,a=a-b=10-4=6,b=4; 第四次执行循环结构时,由 a>b 知,a=a-b=6-4=2,b=4; 第五次执行循环结构时,由 a<b 知,a=2,b=b-a=4-2=2; 第六次执行循环结构时,由 a=b 知,输出 a=2,结束,故选 B.] 5.C 9 9 8 8 [程序框图的执行过程如下:s=1,k=9,s=10,k=8;s=10×9=10,k=7;

8 7 7 7 s=10×8=10,k=6,循环结束.故可填入的条件为 s>10.故选 C.]

6.C

?x≥0, [先画出 x,y 满足的约束条件?y≥0, 对应的可行域如 ?x+y≤1,

图中的阴影部分:移动直线 l0:y=-2x. 当直线经过点 A(1,0)时,y=-2x+S 中截距 S 最大,此时 Smax =2×1+0=2. 再与 x≥0,y≥0,x+y≤1 不成立时 S=1 进行比较,可得 Smax=2.] 7.C [由初始值的特征可知,输出的数列首项为 2,又 ai=2×S,S=ai,i=i+1,

ai+1 ∴ a =2,则输出的数列是首项为 2,公比为 2 的等比数列,则通项公式 an=2n.] i 1 8.D [k=1,M=1×2=2,S=2+3=5; 2 k=2,M=2×2=2,S=2+5=7; k=3,3>t,∴输出 S=7,故选 D.] 1 9.B [执行程序框图,第一次循环:i=1,S=lg3<-1,否; 1 3 1 执行第二次循环:i=3,S=lg 3+lg 5=lg 5<-1,否; 1 5 1 执行第三次循环:i=5,S=lg 5+lg 7=lg 7<-1,否; 1 7 1 执行第四次循环:i=7,S=lg 7+lg 9=lg 9<-1,否; 1 9 1 执行第五次循环:i=9,S=lg 9+lg 11=lg 11<-1,是,结束循环,输出 i 为 9,

- 39 -

故选 B.] 10.D [当 0≤t≤2 时,S=t-3∈[-3,-1]. 当-2≤t<0 时,2t2+1∈(1,9],则 S∈(-2,6]. 综上,S∈[-3,6],故选 D.]

11.B

?x=1,?x=1,?x=2,?x=3, [?y=1,?y=2,?y=3,?y=5, ?z=2, ?z=3, ?z=5, ?z=8,

?x=5, ?x=8, ?x=13,?x=21, ?y=8, ?y=13,?y=21,?y=34, ?z=13,?z=21, ?z=34, ?z=55≥50,
退出循环,输出 z=55.选 B.] 12.7 [I=1,S=1;S=1+2=3,I=1+3=4<8;

S=3+2=5,I=4+3=7<8; S=5+2=7,I=7+3=10>8.退出循环,故输出 S 为 7.] 【两年模拟试题精练】 1.D [开始 i=2 015,S=2 016,第一次循环,i>0?是,i=2 014,S=(-1)2 014+2 016=2 017; 第二次循环,i>0?是,i=2 013,S=(-1)2 013+2 017=2 016; 第三次循环,i>0?是,i=2 012,S=(-1)2 012+2 016=2 017; ?,第 2 014 次循环,i=2>0?是,i=1,S=(-1)1+2 017=2 016, 第 2 015 次循环,i=1>0?,是,i=0,S=(-1)0+2 016=2 017, 此时,i=0>0 否,退出循环,输出 S=2 017,故选 D.] 2.C [执行第 1 次循环:S=11,i=9;

执行 2 次循环:S=20,i=8; 执行第 3 次循环:S=28,i=7; 执行第 4 次循环:S=35,i=6; 执行第 5 次循环:S=41,i=5, 结束,根据所给条件,应填入 i>5?故选 C.] 3.D [由程序框图可知, M 为及格的人数, N 为不及格人数, 所以及格率 q= 故选 D.]
- 40 -

M , M+N

4.B [由循环程序框图可转化为数列{Sn}为 1,2,4,?并求 S21,观察规律得 S2 -S1=1,S3-S2=2,S4-S3=3,??,S21-S20=20, 把等式相加:S21-S1=1+2+?+20=20× 5.C 1+20 =210,所以 S21=211.故选 B.] 2

5π 5π 5π 5π 1 5π 1 [a=sin 12 ,b=cos 12 ,∵a≥b,∴S=sin 12 ·cos 12 =2sin 6 =4,

故选 C.] 6.C [由题知,第一次循环:S=S0-2×0=S0,k=0+2=2;

第二次循环:S=S0-2×2=S0-4,k=2+2=4; 第三次循环:S=S0-4-2×4=S0-12,k=4+2=6, 由题知,此时应不满足 S>2,退出循环,输出 k=6,故有 S0-4>2 且 S0-12≤2, 解得 6<S0≤14,故选 C.] 7.A [由程序框图,得 S=1,k=1;S=1+ 1 3 =2,k=2; 1×2

3 1 5 5 1 7 7 1 9 S=2+ = ,k=3;S=3+ = ,k=4;S=4+ = ,k=5.根据选项得 2×3 3 3×4 4 4×5 5 a=4.] 8.C [T=10,S=1,n=2,T≤S 否;T=5,S=3,n=3,T≤S 否;T=2.5,S=6,

n=4,T≤S 是,输出 4,选 C.] 9.C [第一步:n=10,i=2;第二步:n=5,i=3;第三步:n=16,i=4;第四

步:n=8,i=5;第五步:n=4,i=6;第六步:n=2,i=7;第七步:n=1,i =8,结束循环,输出的 i=8,故选 C.] 10.D [由题意,知 a10=a9+9,结合框图,可得最后一次执行循环体时,等式 m =m+n 中应有 n=9,∴判断框中应填的语句是 n≤9?,故选 D.] 11.B [根据流程图所示的顺序,该程序的作用是打印如下点: 1? ? 1? ? 1? ? 1? ? 1? ? (1,1)、?2,2?、?3,3?、?4,4?、?5,5?、?6,6? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1? ? 1? ? 其中(1,1)、?2,2?、?3,3?满足 x2+y2<10,即在圆 x2+y2=10 内,故打印的点 ? ? ? ? 在圆 x2+y2=10 内的共有 3 个,故选:B.] 12.C [ 循环前输入的 x 的值为 1,

第 1 次循环,x2-4x+3=0≤0,

- 41 -

满足判断框条件,x=2,n=1,x2-4x+3=-1≤0,满足判断框条件,x=3,n= 2,x2-4x+3=0≤0,满足判断框条件,x=4,n=3,x2-4x+3=3>0,不满足判 断框条件,输出 n:N=3.在区间[-2,3]上随机选取一个数 M,长度为 5,M≤1, 3 长度为 3,所以所求概率为5,故选 C.] 13.C [由程序框图知:算法的功能是计算学生在 14 次数学考试成绩中,成绩大于

等于 90 的次数,由茎叶图得,在 14 次测试中,成绩大于等于 90 的有:93、99、 98、98、94、91、95、103、101、114 共 10 次, ∴输出 n 的值为 10.故选 C.] 14.C [根据流程图,可知

1 1 1 1 第 1 次循环:i=2,S=2;第 2 次循环:i=4,S=2+4;第 3 次循环:i=6,S=2 1 1 +4+6?,第 1 008 次循环:i=2 016, 1 1 1 1 S=2+4+6+?+2 016; 此时,设置条件退出循环,输出 S 的值.故判断框内可填入 i≤2 016.对比选项,故 选 C.] 15.C [分析程序中各变量、各语句的作用,再根据流程图所示的顺序,可知:该

程序的作用是利用循环计算 S 值并输出,模拟程序的运行过程,即可得到答案, 程序在运行过程中,各变量的值变化如下所示: S 条件? k 1 2 3 4

循环前 0 / 第1圈 第2圈 第3圈 第4圈 1 4 11 26 否 否

否 是

得,当 k=4 时,S=26,此时应该结束循环体并输出 S 的值为 26,所以判断框应 该填入的条件为:k>3?,故选 C.]

51.数系的扩充与复数的引入
【三年高考真题演练】

- 42 -

[2016 年高考真题] 1.B [∵z=
- 2(1+i) =1+i,∴ z =1-i,故选 B.] (1-i)(1+i) -

z 4 3 2.D [z=4+3i,|z|=5,|z|=5-5i.] 3.A [∵(1+2i)(a+i)=a-2+(2a+1)i,∴a-2=2a+1,解得 a=-3,故选 A.] 4.A [ 1+2i (1+2i)(2+i) 5i = = =i.] 2-i (2-i)(2+i) 5

?x=1, ?x=1, 5.B [由(1+i)x=1+yi, 得 x+xi=1+yi?? ?? 所以|x+yi|= x2+y2= ?x=y ?y=1. 2,故选 B.]


6.C 7.C

[由 z+i=3-i,得 z=3-2i,∴ z =3+2i,故选 C.]


[z=1+2i,zz =5,

=i.] zz -1
- -

4i

8.B [设 z=a+bi(a,b∈R),则 z =a-bi,∴2(a+bi)+(a-bi)=3-2i,整理得 3a +bi=3-2i, ?3a=3, ?a=1, ∴? 解得? ?b=-2, ?b=-2, ∴z=1-2i,故选 B.] ?m+3>0, 9.A [由复数 z=(m+3)+(m-1)i 在复平面内对应的点在第四象限得:? ?m-1<0 解得-3<m<1,故选 A.] 10.C [(1+i)2=12+i2+2i=1-1+2i=2i.]

11.5 [z=(1+2i)(3-i)=5+5i.故 z 的实部为 5.] 12.-1 [(1+i)(a+i)=a+i+ai+i2=(a-1)+(a+1)i,由复数对应点在实轴上得 a

+1=0,解得 a=-1.] 13.2 ?1+b=a, ?a=2, a [(1+i)(1-bi)=1+b+(1-b)i=a,则? 所以? =2.] ?1-b=0, ?b =1,b

[两年经典高考真题] 1.B [ 2i(1+i) 2i(1+i) 2i = = =i-1=-1+i,其对应点坐标为(-1, 2 1-i (1-i)(1+i)

- 43 -

1),位于第二象限,故选 B.] 2.B [因为 a 为实数,且(2+ai)(a-2i)=4a+(a2-4)i=-4i,得 4a=0 且 a2-4= -4,解得 a=0,故选 B.] 3.A [复数 i(1-2i)=2+i,在复平面内对应的点的坐标是(2,1),位于第一象限.] 4.A [当 a=b=1 时,(a+bi)2=(1+i)2=2i,反之,若(a+bi)2=2i,则有 a=b= -1 或 a=b=1,因此选 A.] 5.B [因为原命题为真,所以它的逆否命题为真;若|z1|=|z2|,当 z1=1,z2=-1 时,这两个复数不是共轭复数,所以原命题的逆命题是假的,故否命题也是假的. 故选 B.]
- - - -

6.B [由于 ω1*ω2=ω1ω2,对于①,(z1+z2)*z3=(z1+z2) z 3=z1 z 3+z2 z 3=(z1*z3)+ (z2*z3),显然成立;
- - -

对于②,z1*(z2+z3)=z1(z2+z3)=z1 z 2+z1 z 3=(z1*z2)+(z1*z3),显然成立;
- - - - - -

对于③,(z1*z2)*z3=(z1 z 2) z 3=z1 z 2 成立;


z 3,而 z1*(z2*z3)=z1*(z2 z 3)=z1· z 2z3,显然不



对于④,由于 z1*z2=z1 z 2,而 z2*z1=z2 z 1,显然不一定成立.故选 B.]


7.D [因为 z=i(3-2i)=2+3i,所以 z =2-3i,故选 D.] 8.B [由|z|≤1 可得(x-1)2+y2≤1,表示以(1,0)为圆心,半径为 1 的圆及其内部, 满足 y≥x 的部分为如图阴影所示,

由几何概型概率公式可得所求概率为: π 1 1 2 1 2 π × 1 - × 1 4 2 4 -2 P= = π×12 π 1 1 =4- .] 2π 9.A [由 1+z -1+i =i,得 1+z=i-zi,z= =i,∴|z|=|i|=1.] 1-z 1+i

- 44 -

10.C

2 2i [i3- i =-i- i2 =-i+2i=i.选 C.]

11.A [i(2-i)=2i-i2=1+2i.] 12.C [集合 A={i-1,1,-i},B={1,-1},A∩B={1,-1},故选 C.] 7+i (7+i)(3-4i) 25-25i = = 25 =1-i.选 A.] 3+4i (3+4i)(3-4i)

13.A [

14.D [根据已知得 a=2,b=1,所以(a+bi)2=(2+i)2=3+4i.] 15.A [由题知(z-2i)(2-i)=5,所以 z= 2i=2+3i.] 16.A [由题意得 z2=-2+i,∴z1z2=(2+i)(-2+i)=-5,故选 A.] (1+i)3 (1+i)2 1+i2+2i 17.D [ = ·(1+i)= ·(1+i)=-1-i,故选 D.] (1-i)2 (1-i)2 1+i2-2i


5(2+i) 5 +2i= +2i=2+i+ 2-i (2-i)(2+i)

18.A [∵ 19.3 =3.] 20.-2 -2.]

- z =i,∴ z =i(1-i)=i-i2=1+i,∴z=1-i.] 1-i

[由|a+bi|= 3得 a2+b2= 3,即 a2+b2=3,所以(a+bi)(a-bi)=a2+b2

[(1-2i)(a+i)=a+2+(1-2a)i,由已知,得 a+2=0,1-2a≠0,∴a=

【两年模拟试题精练】 1.D [由(1-i)z=1+ai,得 z= 1+ai (1+ai)(1+i) 1-a 1+a = = 2 + 2 i,∵z 是纯 1-i (1-i)(1+i)

1-a 1+a 虚数,∴ 2 =0 且 2 ≠0,解得 a=1,故选 D.] (6+ai)(3+i) 18-a+(3a+6)i 2.A [z= = .由条件得,18-a=3a+6,∴a 10 (3-i)(3+i) =3.] 3.B [因为 z=(1+2i)i=i+2i2=-2+i,所以 z 对应的点的坐标是(-2,1),所以 在第二象限,故选 B.] 4.C a+i (a+i)(1+i) a-1+(1+a)i a-1 1+a [ z= = = = 2 + 2 i, 2 1-i (1-i)(1+i)

a-1 1+a 若 z 为纯虚数,则 2 =0 且 2 ≠0,解 a=1,故选:C.]
- 45 -

?z, 1+i? i(1+i) ?=0,得 z· 5.B [根据所给定义,? 2i+i(1+i)=0,∴z=- ,即 2i ?-i, 2i ?
- - 1 1 1 1 z=-2-2i,∴ z =-2+2i,即 z 对应的点在第二象限,选 B.]

4 3 4 3 6.A [由已知,cos θ-5=0 且 sin θ-5≠0,∴cos θ=5,sin θ=-5,∴tan

θ=-4,∴tan?θ- 4 ?=


3

? ?

π? ?

tan θ-1 = 1+tan θ

3 -4-1

3 =-7,故选 A.] 1-4



7.C

[∵z=1+2i,∴ z =1-2i,∴z· z =1+4=5,故选 C.] 1+2i (1+2i)(1+i) -1+3i 1 3 = = 2 =-2+2i, 1-i (1+i)(1-i)

8.B [∵复数

? 1 3? ∴复数对应的点的坐标是?-2,2?, ? ? 1+2i ∴复数 在复平面内对应的点位于第二象限,故选 B.] 1-i 2+i -i(2+i) 9.D [由 zi=2+i,得 z= i = =1-2i,∴z 的虚部是-2.] -i2 10.A [∵iz=1+i,∴-i·iz=-i(1+i),化为 z=1-i,∴- z =1+i.] 11.D [ 2i(1-i) 2+2i 2i = = 2 =1+i.] 1+i (1+i)(1-i)

12.D [∵复数 z1=2+i,z2=1-2i,
- (2+i)(1+2i) 5i z1 2+i ∴z=z = = = 5 =i,则 z =-i.] 2 1-2i (1-2i)(1+2i)

13.A [

2i(2+i) -2+4i 2i 2 4 = = 5 =-5+5i.] 2-i (2-i)(2+i) 1+i 1 2 = ,∴|z|= 2 .] i-1 -2

14.B [由题根据所给复数化简求解即可;∵z=

2+i 2+i 2+m+(1-2m)i ? 2+i ?2 ? <0, 15.B [由? 知 为纯虚数, ∴ = 为纯虚数, 1+mi 1+mi 1+m2 ?1+mi? ∴m=-2,故选 B.] a+i a2-1+2ai a+i 16.A [∵ = ,∴“ 为纯虚数”?“a=± 1”, 2 a-i a +1 a-i

- 46 -

故“a=1”是“

a+i 为纯虚数”的充分不必要条件.] a-i

m-2i (m-2i)(1-2i) 1 17.A [由已知 z= = = [(m-4)-2(m+1)i]; 1+2i (1+2i)(1-2i) 5 ?m-4>0, 在复平面对应点如果在第一象限,则? 而此不等式组无解.即在复平面上 ?m+1<0 对应的点不可能位于第一象限.故选 A.] 18.C ? 2 ? [p1:|z|=?1-i?= 2,故命题为假; ? ?

4 ? 2 ?2 p2:z2=?1-i? = =2i,故命题为真; 1-2i-1 ? ? 2 z= =1+i,∴z 的共轭复数为 1-i,故命题 p3 为假; 1-i ∵z= 2 =1+i,∴p4:z 的虚部为 1,故命题为真.故真命题为 p2,p4 故选 C.] 1-i

19.D [∵z=(a2-4)+(a+2)i 为纯虚数,
2 ?a -4=0, ?a=2或a=-2, a+i2 015 2+i3 2-i ∴? 即? 解得 a=2,则 = = =-i.] 1+2i 1+2i 1+2i ?a+2≠0, ?a≠-2,

2 20.B [∵z=1+ i =1-2i,∴|z|= 5,故选 B.] 21.A [ 3-4i i =-4-3i,故选 A.] 3-i (3-i)(2-i) = =1-i,z·- z =(1-i)(1+i) 5 2+i

22.B [∵(2+i)z=3-i,∴z= =2,故选 B.]

z1z2 (1-i)(1+i) 2 23.B [ i = = i =-2i,故选 B.] i 24.D [因为 m+i (m+i)(2+i) 2m-1+(m+2)i = = 是纯虚数,所以 2m-1 5 2-i (2-i)(2+i)

1 =0,且 m+2≠0,∴m=2且 m≠-2,故选 D.] 25.C 3-i 1-2i [由于 =1-2i 得 z= i =-i-2,所以|z|= (-1)2+(-2)2= 1+i

5,故选 C.]

- 47 -

a+3i 26.A [若 z= i +a=(3+a)-ai 在复平面上对应的点在第二象限,则 a<-3, 选 A.]


27.B [ z =

2(1-i) 2 = =1-i,∴z=1+i,∴|z|= 2.选 B.] 1+i (1+i)(1-i) ai(1+i) a+(4-a)i ai =2i- = 是实数,因 2 1-i (1+i)(1-i)

28.D [依题意,复数 2i- 此 4-a=0,a=4,选 D.] 29.B [∵z= 故选 B.]

5+3i (5+3i)(1+i) 2+8i = = 2 =1+4i,∴z 的共轭复数为 1-4i, 1-i (1-i)(1+i)

30.B [设 z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R), 则 λz1+(1-λ)z2=[aλ+c(1-λ)]+[bλ+d(1-λ)]i,对于①, f1(λz1+(1-λ)z2)=[aλ+c(1-λ)-[bλ+d(1-λ)],而

λf1(z1)+(1-λ)f1(z2)=λ(a-b)+(1-λ)(c-d)=[aλ+c(1-λ)]-[bλ+d(1-λ)],f1 具
有性质 P;对于②, f2(λz1+(1-λ)z2)=[aλ+c(1-λ)]2-[bλ+d(1-λ)],而

λf2(z1)+(1-λ)f2(z2)=λ(a2-b)+(1-λ)(c2-d),因为,
f2(λz1+(1-λ)z2)≠λf2(z1)+(1-λ)f2(z2),所以 f2 不具有性质 P;对于③,f3(λz1+(1- λ)z2)=2[aλ+c(1-λ)]+[bλ+d(1-λ)], 而 λf3(z1)+(1-λ)f3(z2)=λ(2a+b)+(1-λ)(2c +d)=2[aλ+c(1+λ)]+[bλ+d(1-λ)], f3 具有性质 P.所以具有性质 P 的映射的序号为①③,故选 B.] 31.C 4+3i 5(3+4i) 4+3i 3+4i 4+3i 5 1 1 [∵z= - 5 = - 5 = 5 - 5 =-5+5i, 3-4i (3-4i)(3+4i)

1 ∴z 的虚部是5,故选 C.] 32.C [设 z=x+yi(x,y∈R)代入|z+i|=|4-3i|,得|x+(y+1)i|=|4-3i|,即

x2+(y+1)2= 42+(-3)2,∴x2+(y+1)2=5,∴复数 z 所对应点的轨迹是 圆,故选 C.]

- 48 -


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