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竞赛专题讲座-几个重要定理


竞赛专题讲座-几个重要定理
《定理 1》正弦定理

△ABC 中, 设外接圆半径为 R, 则 证明概要如图 1-1,图 1-2 过 B 作直径 BA',则∠A'=∠A,∠BCA'=90°,故



; 同理可得

当∠A 为钝角时,可考虑其补角,π -A. 当∠A

为直角时,∵sinA=1,故无论哪种情况正弦定理成立。 《定理 2》余弦定理 △ABC 中,有关系 2 2 2 a =b +c -2bccosA; (*) 2 2 2 b =c +a -2cacosB; 2 2 2 c =a +b -2abcosC; 有时也用它的等价形式 a=ccosB+bcosC; b=acosC+ccosA; (**) c=acosB+bcosA. 证明简介 余弦定理的证法很多,下面介绍一种复数证法 如图建立复平面,则有

=(bcosA-c )+(bsinθ )
2 2 2

2

2



a =b +c -2bccosA, 同理可证(*)中另外两式;至于**式,由图 3 显见。 《定理 3》梅涅(Menelaus)劳斯定理(梅氏线)直线截△ABC 的边 BC,CA,AB 或其延长线

于 D、E、F. 则 正弦定理来证明。

本题可以添加平行线来证明,也可不添辅助线,仅用 在△FBD、△CDE、△AEF 中,由正弦定理,分别有

《定理 4》塞瓦定理(Ceva) (塞瓦点) 设 O 是△ABC 内任意一点,AB、BO、CO 分别交对边于 D、E、F,则

证法简介 (Ⅰ)本题可利用梅内劳斯定理证明: (Ⅱ)也可以利用面积关系证明

同理





③×④×⑤得 《定理 5》塞瓦定理逆定理 在△ABC 三边所在直线 BC、CA、AB 上各取一点 D、E、F,若 则 AD、BE、CE 平行或共点。 证法简介 (Ⅰ)若 AD∥BE(如图画 5-1) 则

BC

BD EA BD BC AF AF DC 代入已知式: , ? ? ? 1 于是 ? DC BD FB FB CB
故 AD∥CF,从而 AD∥BE∥CF (Ⅱ) AD、BE 交于 O(图 5-2), 若 则连 CO 交 AB 于 F’. 据塞瓦定理,可得

?

CE

BD CE AF BD CE AF ? ? ? 1 而已知 ? ? ?1 DC EA F ?B DC EA FB A F ? AF AF ? AF 可见 则 ? ? F ?B FB AF ? ? F ?B AF ? FB ? AF ? ? F ?B ? AF ? FB ? AB ? AF ? ? AF

即 F ? 即 F,可见命题成立

《定理 6》斯特瓦尔特定理 在△ABC 中,若 D 是 BC 上一点,且 BD=p,DC=q,AB=c,

AC=b,则

证明简介: 在△ABD 和△ABC 中,由余弦定理,得

《定理 7》托勒密(Ptolemy)定理 四边形的两对边乘积之和等于其对角线乘积的充 要条件是该四边形内接于一圆

AB ? CD ? BC ? AD ? AC ? BD 的充要条件是 ABCD 共圆

《定理 7》、西姆松(Simson)定理(西姆松线) 从一点向三角形的三边所引垂线的垂足共线的充要条件是该点落在 三角形的外接圆上 △ABC 的三边 BC、CA、AB 上有点 P、Q、R,则 AP、BQ、CR 共点的 充要条件是

BP CQ AR ? ? ? 1。 PC QA RB

例题: 1. 设 AD 是△ABC 的边 BC 上的中线,直线 CF 交 AD 于 F。 求证:

AE ED

FB AE DC BF 【分析】CEF 截△ABD→ ? ? ? 1 (梅氏定理) ED CB FA
【评注】也可以添加辅助线证明:过 A、B、D 之一 作 CF 的平行线 2、 过△ABC 的重心 G 的直线分别交 AB、AC 于 E、F,交 CB 于 D。 例1

?2

AF



求证:



【分析】连结并延长 AG 交 BC 于 M,则 M 为 BC 的中点。 例2 DEG 截△ABM→ (梅氏定理)

DGF 截△ACM→

(梅氏定理)



=

=

=1

【评注】梅氏定理

3.D、E、F 分别在△ABC 的 BC、CA、AB 边上, 求 S△LMN。 【分析】梅氏定理

,AD、BE、CF 交成△LMN。

4.以△ABC 各边为底边向外作相似的等腰△BCE、△CAF、△ABG。求证:AE、BF、CG 相交 于一点。 【分析】塞瓦定理

5. 已知△ABC 中,∠B=2∠C。求证:AC =AB +AB·BC。 【分析】 托勒密定理过 A 作 BC 的平行线交△ ABC 的外接圆于 D, 连结 BD。 CD=DA=AB, 则 AC=BD。由托勒密定理,AC· BD=AD· BC+CD· AB。

2

2

6. 已知正七边形 A1A2A3A4A5A6A7。求证: 【分析】托勒密定理



7.过圆外一点 P 作圆的两条切线和 一条割线, 切点为 A, B. 所作割线交圆于 C, D 两点, 在 P, D C

之间. 在弦 CD 上取一点 Q, 使 ?DAQ ? ?PBC . 求证: ?DBQ ? ?PAC .

7. △ABC 的 BC 边上的高 AD 的延长线交外接圆于 P,作 PE⊥AB 于 E,延长 ED 交 AC 延长线 于 F。求证:BC·EF=BF·CE+BE·CF。 【分析】西姆松定理(西姆松线)

8. 正六边形 ABCDEF 的对角线 AC、CE 分别被内分点 M、N 分成的比为 AM:AC=CN:CE=k, 且 B、 N 共线。 k。23-IMO-5) M、 求 ( 【分析】面积法

例 1 如图,G 是 ? ABC 内一点 AG,BG,CG 的延长线分别交对边于 D,E,F, ? AGF, ? BGF, ? BGD 的面积分别为 40,30,35。求 ? ABC 的面积。 C

E

G 40 30 F

D 35 B

A

例 2,已知 AC,CE 是正六边行 ABCDEF 的两条对角线,点 M,N 分别内分 AC,CE,且 使

AM AC

?

CN CE

? k 。如果 B,M,N 三点共线,试求 k 的值

变式,已知 AC,CE 是正六边形 ABCDEF 的两条对角线,点 M,N 分别内分 AC,CE, 且使

AM AC

?

CN CE

?

3 3

, 求证:B,M,N 三点共线。

例 3,如图,过 ? ABC 的三个顶点 A,B,C 作它的外接圆的切线,分别和 BC,CA,AB 的延长线交于 P,Q,R。求证:P,Q,R 三点共线。

A

A

D
C B

E C

B

F

例 4。设 AF,BE,CD 分别是 ? ABC 的内角平分线,中线和高,且 AC=b,AB=c,求证:AF, BE,CD 三线共点的充要条件是 cosA=

c (b ? c )



例 4,在凸四边形 ABCD 中, ? CAB= ? CAD,E 和 F 分别是边 CD,BC 上的点,且满足 ? CAF= ? CAE,求证:AC,BE,DF 三线共点。

变式:在四边形 ABCD 中,对角线 AC 平分 ? BAD。在 CD 上取一点 E,BE 与 AC 相交于 G,延长 DG 交 BC 于 F。求证: ? FAC= ? EAC。

一、

圆外一点 P 作圆的两条切线和一条割线,切点为 A, B. 所作割 线交圆于 C, D 两点,C 在 P, D 之间. 在弦 CD 上取一点 Q, 使 ?DAQ ? ?PBC . 求证: ?DBQ ? ?PAC . {证明}如图, 联结 AB, 在△ADQ 和△ABC 中, ∠ADQ=∠ABC,

BC
∠DAQ=∠PBC=∠CAB,故△ADQ∽△ABC,而有 AB BC ? AD ? AB ? DQ .……(10 分)

?

DQ AD ,即

PC
又由切割线定理知△PCA∽△PAD,故 PA 同理由△PCB∽△PBD 得

?

AC AD ;

PC PB

BD .……………………………………(20 分) AC BC ? 又因 PA=PB,故 AD BD , 得 AC ? BD ? BC ? AD ? AB ? DQ .………………………………………(30 分)
又 由 关 于 圆 内 接 四 边 形 的 托 勒 密 定 理 知 AC ? BD ? BC ? AD ? AB ? CD . 于 是 得

?

BC

AB ? CD ? 2 AB ? DQ ,故

DQ ?
? DQ

1 2

CD

.即 CQ ? DQ ………………………(40 分)

AD

BC BC 在△CBQ 与△ABD 中, AB , 于是△CBQ∽△ABD,故 ?CBQ ? ?ABD , 即得 ?DBQ ? ?ABC ? ?PAC .…………………………………(50 分)
二.如图:⊿ABC 中,O 为外心,三条高 AD、BE、CF 交于点 H, 直线 ED 和 AB 交于点 M,FD 和 AC 交于点 N。求证: (1)OB⊥ DF,OC⊥DE; (2)OH⊥MN。 证明:(1)∵A、C、D、F 四点共圆 ∴∠BDF=∠BAC 又∠OBC=
1 2 ∴OB⊥DF.

?

CQ

, ? BCQ ? ?BAD

(180°-∠BOC)=90°-∠BAC

(2)∵CF⊥MA ∴MC 2-MH 2=AC 2-AH 2 ① ∵BE⊥NA ∴NB 2-NH 2=AB 2-AH 2 ② ∵DA⊥BC ∴BD 2-CD 2=BA 2-AC 2 ③ ∵OB⊥DF ∴BN 2-BD 2=ON 2-OD 2 ④ ∵OC⊥DE ∴CM 2-CD 2=OM 2-OD 2 ⑤ …………………………………… ①-②+③+④-⑤,得 NH 2-MH 2=ON 2-OM 2 MO 2-MH 2=NO 2-NH 2 ∴OH⊥MN ……………………………………………………………………

30 分

50 分


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