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1.4全称量词与存在量词(全部)


下列语句是命题吗?(1)与(3),(2)与(4)之间有什么关系?

(1)x>3; (2)2x+1是整数; (3)对所有的x∈R,x>3; (4)对任意一个x∈Z,2x+1是整数。
常见的全称量词还有 语句(1)(2)不能判断真假,不是命题; “一切” “每一个” 语句(3)(4)可以判断真假,是命题。
全称量词定义:

/>短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词,并 用符号“ ? ”表示。 含有全称量词的命题,叫做全称命题。

“任给” “所有的”等 。

全称命题符号记法:
通常,将含有变量x的语句用p(x), q(x), r(x),…表示,变量x 的取值范围用M表示,那么,

全称命题“对M中任意一个x,有p(x)成立 ”可用符号简记为:

?x ? M,p( x),

读作“对任意x属于M,有p(x)成立”。

例如:?x ? R,sin 2 x ? 2 sin x cos x

? x∈R,x2+1≥1;

例.下列命题是否是全称命题? (1)每一个三角形都有外接圆; (2)一切的无理数都是正数; (3)实数都有算术平方根.
全称命题所描述的问题的特点: 给定范围内的所有元素(或每一个元素)都具有某 种共同的性质。

例1 判断下列全称命题的真假: (1)所有的素数是奇数; (2) ? x∈R,x2+1≥1; (3)对每一个无理数x,x2也是无理数;

解: (1)2 是素数,但 2 不是奇数。所以,全称命题“所有的素 数是奇数”是假命题。 ( 2 ) ?x?R ,总有x2 ? 0,因而x2 ?1?1. 所 以 , 全 称 命 题 “ ?x? R, x2 ?1?1”是真命题。 (3) 2 是无理数,但 ( 2)2 ? 2 是有理数。所以,全称命题“对 每一个无理数 x , x2 也是无理数”是假命题。

下列语句是命题吗?(1)与(3),(2)与(4)之间有什么关系?

(1)2x+1=3; (2)x能被2和3整除; (3)存在一个x0∈R,使2x+1=3; (4)至少有一个x0∈Z,x能被2和3整除。
常见的存在量词还有 语句(1)(2)不能判断真假,不是命题; “有些”“有一个” 语句(3)(4)可以判断真假,是命题。
存在量词定义:
短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词, 并用符号“ ? ”表示。 含有存在量词的命题,叫做特称命题。

“对某个”“有的”等 。

特称命题的符号记法:
特称命题“存在M中的一个x0,使p(x0)成立 ” 可用符号简记为:

?x0 ? M,p( x0 ),
读作“存在一个x0属于M,使p(x0)成立”。

例如: ?x ? R, tan x

?2

?x ? R,lg x ? 1

例2 判断下列特称命题的真假: (1)有一个实数x0, 使x02+2x0+3=0; (2)存在两个相交平面垂直于同一条直线; (3)有些整数只有两个正因数.
解 :( 1 ) 由 于 ?x ? R , x2 ? 2 x ? 3 ? ( x ?1)2 ? 2 ? 2, 因 此 使 所以, 特称命题 “有一个实数 x0 , x2 ? 2x ? 3 ? 0 的实数 x 不存在。
2 ? 2x ? 3 ? 0 ”是假命题。 使 x0 0

(2)由于垂直于同一条直线的两个平面是互相平行的,因此不 存在两个相交的平面垂直于同一条直线。所以,特称命题“存在 两个相交平面垂直于同一条直线”是假命题。 (3)由于存在整数 3 只有两个正因数 1 和 3, 。所以,特称命题 “有些整数只有两个正因数”是真命题。

全称命题、特称命题的表述方法:
命题 全称命题 ?x ? M , p( x)
①所有的x∈M,p(x)成立 ②对一切x∈M,p(x)成立 ③对每一个x∈M,p(x)成 立 ④任选一个x∈M,p(x)成 立 ⑤凡x∈M,都有p(x)成立

特称命题

?x0 ? M , p( x)

表 述 方 法

①存在x0∈M,使p(x)成立 ②至少有一个x0∈M,使 p(x)成立 ③对有些x0∈M,使p(x)成 立 ④对某个x0∈M,使p(x)成 立 ⑤有一个x0∈M,使p(x)成

写出下列命题的否定

?x ? M,p(x) 1)所有的矩形都是平行四边形;

2)每一个素数都是奇数; 2 3)?x ? R, x ? 2 x ? 1 ? 0 否定:
2)存在一个素数不是奇数;

?x ? M,p(x) ?x ? M,p(x)

1)存在一个矩形不是平行四边形;?x ? M,?p(x)

3)?x ? R, x ? 2x ? 1 ? 0
2

?x ? M,?p(x) ?x ? M,?p(x)

这些命题和它们的否定在形式上有什么变化?

全称命题的否定:
从命题形式上看,这三个全称命题的否定都 变成了特称命题. 一般地,对于含有一个量词的全称命题的否定, 有下面的结论: 全称命题p:

?x ? M , P( x), 它的否定?p: ?x ? M,?p(x).

全称命题的否定是特称命题.

探究
写出下列命题的否定 1)有些实数的绝对值是正数;

?x ? M,p(x)

2)某些平行四边形是菱形; 3)?x ? R, x2 ? 1 ? 0
否定: 1)所有实数的绝对值都不是正数; 2)所有平行四边形都不是菱形; 3) ?x ? R, x2 ? 1 ? 0

?x ? M,p(x) ?x ? M,p(x)
?x ? M,?p(x)

?x ? M,?p(x) ?x ? M,?p(x)

这些命题和它们的否定在形式上有什么变化?

特称命题的否定:
从命题形式上看,这三个特称命题的否定都变 成了全称命题. 一般地,对于含有一个量词的特称命题的否定, 有下面的结论:
特称命题 p : ?x ? M,p(x)

它的否定

?p : ?x ? M,?p(x)

特称命题的否定是全称命题.

例3 写出下列全称命题的否定,并判断真假: (1)p:所有能被3整除的整数都是奇数;
?p : 存在一个能被 3整除的整数不是奇数 .

(2)p:每一个四边形的四个顶点共圆;
?p:存在一个四边形,它的四个顶点不共圆.

(3)p: 对任意 x∈Z,x2的个位数字不等于3.
?p : ?x0 ? Z , x0 的个位数字等于3.
2

例4 写出下列特称命题的否定,并判断真假:
2 (1)p: ?x0 ? R, x0 ? 2x0 ? 2 ? 0 ;

?p : ?x ? R, x ? 2x ? 2 ? 0.
2

(2)p:有的三角形是等边三角形;
?p:所有的三角形都不是等边三角形.

(3)p: 有一个素数含有三个正因数.
?p : 每一个素数都不含有三个正因数.

总 结: 判断全称命题“?x∈M, p(x) ”是真命题 的方法
需要对集合M中每个元素x,证明p(x)成立

判断全称命题“?x∈M, p(x) ”是假命题 的方法
只需在集合M中找到一个元素x0,使得p(x0) 不成立即可(举反例)

总 结:
判断特称命题“?x0∈M, p(x0) ”是真命题 的方法
只需在集合M中找到一个元素x0,使得p(x0) 成立即 可 (举例说明).

判断特称命题“?x0∈M, p(x0) ”是假命题 的方法
需要证明集合M中,使p(x)成立的元素x不存在.

练习:
1.指出下列命题使用了那种量词,并用符号表示出来

?a ? 0, a ? a ? 2 ? 0 ①对任意正实数 a, a ? a ? 2 ? 0 ;
2 2

②对某个大于10的正整数 n,( 2) n ? 1024 ;
*

?n ? 10, n ? N ,( 2) ? 1024
n

2.判断下列命题的正假 1 1 ①对任意 a, b ? R ,若a ? b ,则 ? ; 假命题 ②对任意一实数 x , x
2

? 1 ? 2 成立 ;假命题

a

b

③有些整数只有两个正因数 真命题

3.下列命题中的假命题是( B ) x ?1 ? x ? R ,2 ?0 A. B. ?x ? N * ,( x ? 1)2 ? 0 C. ?x ? R,lg x ? 1 D. ?x ? R, tan x ? 2

4.已知a ? 0 ,函数 f ( x) ? ax ? bx ? c .若 x0 满足关于x 的方程 2ax ? b ? 0,则下列选项中为假命题的是( C ) A. ?x ? R, f ( x) ? f ( x0 ) B. ?x ? R, f ( x) ? f ( x0 ) C. ?x ? R, f ( x) ? f ( x0 ) D. ?x ? R, f ( x) ? f ( x0 )
2

p :对所有的正实数m , m 为正数且 m ? m ?p :存在一个正实数m, m ? 0 或 m ? m 真命题

5.写出下列命题的否定,并判断其真假.

6、命题:“对任意 k>0,方程 x2+x- k= 0有 实根”的否定是 c ( )

A.存在k≤0,使方程x2+x-k=0无实根 B.对任意k≤0,方程x2+x-k=0无实根 C.存在k>0,使方程x2+x-k=0无实根 D.存在k>0,使方程x2+x-k=0有实根

7.下列命题中,真命题是( A ) 2 A. ?m ? R ,使函数 f ( x) ? x ? mx( x ? R) 是偶函数; 2 B. ?m ? R ,使函数 f ( x) ? x ? mx( x ? R) 是奇函数; 2 C. ?m ? R,使函数 f ( x) ? x ? mx( x ? R) 都是偶函数; 2 D. ?m ? R,使函数 f ( x) ? x ? mx( x ? R) 都是奇函数; ① ②③ 8.下列命题为假命题是______

1 x 1 x ① ?x ? (0, ??),( ) ? ( ) ② ?x ? (0,1),log 1 x ? log 1 x 2 3 2 3 1 x ③?x ? (0,1),( ) ? log 1 x 2 2


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