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高中数学课件 04椭圆的几何性质1


复习:
1.椭圆的定义:
到两定点F1、F2的距离之和为常数(大于|F1F2 |)的 动点的轨迹叫做椭圆。

| PF1 | ? | PF2 |? 2a(2a ?| F1F2 |)

2.椭圆的标准方程是: 2 2
当焦点在X轴上时 当焦点在Y轴上时

x y ? 2 ? 1(a ? b

? 0) 2 a 2 b 2 y x ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 a b

3.椭圆中a,b,c的关系是:
2=b2+c2 a

二、椭圆
x 1、范围: 2 ? 1, a
2

简单的几何性质
y2 ? 1得: 2 b

-a≤x≤a,

-b≤y≤b 知

椭圆落在x=±a,y= ± b组成的矩形中 y
B2

A1

b F1

a F2

A2

o c
B1

椭圆的对称性

Y P1(-x,y)

P(x,y)

O P2(-x,-y)

X

2、对称性:
从图形上看,椭圆关于x轴、y轴、原点对称。 从方程上看: (1)把x换成-x方程不变,图象关于y轴对称; (2)把y换成-y方程不变,图象关于x轴对称; (3)把x换成-x,同时把y换成-y方程不变,图象关于原点成中 y 心对称。
B2

A1

b F1

a F2

A2

o c
B1

3、椭圆的顶点 2 2 x y ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 a b
令 x=0,得 y=?,说明椭圆与 y轴的交点? 令 y=0,得 x=?说明椭圆与 x轴的交点? *顶点:椭圆与它的对称轴 的四个交点,叫做椭圆的 顶点。

y
B2 (0,b)

A1

b

a F2

A2 (a,0)

*长轴、短轴:线段A1A2、 (-a,0) F1 B1B2分别叫做椭圆的长轴 和短轴。 a、b分别叫做椭圆的长半 轴长和短半轴长。

o c
B1 (0,-b)

根据前面所学有关知识画出下列图形
x y ? ?1 (1) 25 16
y
4 B2 3 2 1
2 2

x2 y2 ? ?1 (2) 25 4
y
4 3 B 2 2 1

A1

A2 x

A1

A2 x

-5 -4 -3 -2 -1 -1 -2 -3 -4

123 4 5

B1

-5 -4 -3 -2 -1 -1 1 2 3 4 5 -2 -3 B1 -4

4、椭圆的离心率

c 离心率:椭圆的焦距与长轴长的比:e ? 叫做椭圆的离心率。 a [1]离心率的取值范围:0<e<1
[2]离心率对椭圆形状的影响: 1)e 越接近 1,c 就越接近 a,从而 b就越小,椭 圆就越扁 2)e 越接近 0,c 就越接近 0,从而 b就越大,椭 圆就越圆 [3]e与a,b的关系: 2 2 2

c e? ? a

a ?b b ? 1? a a
2

2

标准方程
范围 对称性 顶点坐标 焦点坐标 半轴长 离心率 a、b、c的 关系

x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 a b

|x|≤ a,|y|≤ b
关于x轴、y轴成轴对称;关于原点成 中心对称 (a,0)、(-a,0)、(0,b)、(0,-b) (c,0)、(-c,0) 长半轴长为a,短半轴长为b. a>b

c e ? a

a2=b2+c2

标准方程 范围

x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 a b

x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 b a

|x|≤ a,|y|≤ b
关于x轴、y轴成轴对称; 关于原点成中心对称

|x|≤ b,|y|≤ a
同前
(b,0)、(-b,0)、 (0,a)、(0,-a) (0 , c)、(0, -c) 同前 同前

对称性
顶点坐标 焦点坐标 半轴长 离心率 a、b、c的关 系

(a,0)、(-a,0)、 (0,b)、(0,-b) (c,0)、(-c,0) 长半轴长为a,短 半轴长为b. a>b

c e ? a

a2=b2+c2

同前

例1已知椭圆方程为16x2+25y2=400,
它的长轴长是:
焦距是:

10 。短轴长是:


6

3 离心率等于: 5

8




焦点坐标是: (?3,0) 外切矩形的面积等于:

(? 。顶点坐标是: 5,0) (0, ?4) 。

80



解题的关键:1、将椭圆方程转化为标 2 2 x y 准方程 ? ? 1 明确a、b
25 16

2、确定焦点的位置和长轴的位置

练习1.

已知椭圆方程为6x2+y2=6
。短轴长是:
.离心率等于:
30 6


它的长轴长是: 2 6
焦距是:




2

2 5 焦点坐标是:
(0,? 5 ) 外切矩形的面积等于: (0, ? 6) (?1, 0)

。顶点坐标是:



4 6
x2 y2 其标准方程是 ? ?1 1 6

a ? 6 b ? 1 则c ? a ? b ? 5
2 2

例2.过适合下列条件的椭圆的标准方程: Q (1)经过点 P(?3, 0) 、 (0, ?2) ; 3 (2)长轴长等于 20 ,离心率等于 5 . 解:(1)由题意, a ? 3 b ? 2,又∵长轴在 x
x2 y2 轴上,所以,椭圆的标准方程为 ? ? 1 c 3 9 4 . e 2 (2)由已知, a ? 20 , ? a ? 5

c ∴ a ? 10 , ? 6 ,∴ b2 ? 102 ? 62 ? 64
2 2



y 2 x2 x y ? ?. 1 ? ?1 或 所以椭圆的标准方程为 100 64 100 64

例3.已知椭圆的中心在原点,焦点在坐标轴 上,长轴是短轴的三倍,且椭圆经过点P(3, 0),求椭圆的方程。

x 2 答案: ? y ?1 9
分类讨论的数学思想

2

x y ? ?1 9 81

2

2

小结:
本节课我们学习了椭圆的几个简单几何性质:范围、 对称性、顶点坐标、离心率等概念及其几何意义。 了解了研究椭圆的几个基本量a,b,c,e及顶点、 焦点、对称中心及其相互之间的关系,这对我们解 决椭圆中的相关问题有很大的帮助,给我们以后学 习圆锥曲线其他的两种曲线扎实了基础。在解析几 何的学习中,我们更多的是从方程的形式这个角度 来挖掘题目中的隐含条件,需要我们认识并熟练掌 握数与形的联系。在本节课中,我们运用了几何性 质,待定系数法来求解椭圆方程,在解题过程中, 准确体现了函数与方程以及分类讨论的数学思想。


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